Szentpétervári Állami Műszaki Egyetem

Műszaki Kibernetikai Kar

Automatizálási és Számítástechnikai Tanszék

JELENTÉS

3. számú laboratóriumi munkához

Rekurrens digitális szűrő algoritmusok kutatása

jeleket átlagoló módszerrel.

Tanuló fejezte be gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Ellenőrizte: V.D. Yarmiychuk

Szentpétervár

1. A munka céljai

A munka célja, hogy megismerkedjenek a jelek átlagoló módszerrel történő digitális szűrésére szolgáló különféle algoritmusokkal, és tanulmányozzák a munkájuk hatékonyságát olyan körülmények között, amikor a hasznos jelre nulla matematikai elvárású "fehér zaj" típusú interferencia kerül, ill.

szabályozott diszperzió.

2. Kutatási módszertan

A következő algoritmusokon alapuló szűrőket vizsgáljuk:

1). Ismétlődő átlagoló algoritmus végtelen memóriával.

A szűrő célja a hasznos jel állandó összetevőjének elkülönítése az interferencia hátterétől.

Kifejezése visszatérő formában:

Amikor ellátja .

2). Ismétlődő átlagoló algoritmus állandó korrekciós tényezővel.

A szűrő célja, hogy a bemeneti hasznos jel alacsony frekvenciájú összetevőit leválasztsa a zaj háttérétől.

Ha elfogadja, felírhatja ezt az egyenletet a következő formában:

Innen a folytonos időre áttérve megkapjuk a szűrő átviteli függvényét:

Vagyis az ezen algoritmus szerint felépített szűrő kis értékek esetén egyenértékű

elsőrendű analóg aluláteresztő szűrő.

3). Ismétlődő véges memória átlagoló algoritmus.

A szűrő célja a bemeneti jel alacsony frekvenciájú összetevőinek kiemelése

csak korlátozott számú legutóbbi mérés átlagát használja.

A digitális szűrés hatékonyságát, vagyis a szűrőkimenet zajszintjének csökkentését a bemeneti zajszinthez képest a következőképpen becsüljük meg:

Ahol: - zajos jel a szűrő bemenetén

Hasznos jel a szűrő bemenetén

Szűrő kimeneti jel

Hasznos jel a szűrő kimenetén

3. A kísérlet vázlata (lásd 1. függelék)

4. A kísérlet eredményei

4.1. Ismétlődő átlagoló algoritmus végtelen memóriával

A vizsgálatokat 100 ms-nak megfelelő állandó mintavételi periódus mellett végeztük.

Tekintsük, hogyan változik a szűrő hatásfoka az állandó bemeneti jel nagyságától (X).

Algoritmusok analitikai beosztáshoz, digitális szűréshez exponenciális simítási és mozgóátlagos módszerekkel. Robusztus, felüláteresztő, sáváteresztő és bevágásos szűrők. A mért értékek diszkrét differenciálása, integrálása és átlagolása.

A szűrő olyan rendszer vagy hálózat, amely szelektíven megváltoztatja a jel alakját (amplitúdó-frekvencia vagy fázis-frekvencia válasz). A szűrés fő célja a jelminőség javítása (például az interferencia kiküszöbölése vagy csökkentése), a jelekből információ kinyerése vagy több olyan jel elkülönítése, amelyeket korábban kombináltak, például a rendelkezésre álló kommunikációs csatorna hatékony kihasználása érdekében.

Digitális szűrő - bármely szűrő, amely digitális jelet dolgoz fel annak érdekében, hogy elkülönítse és/vagy elnyomja a jel bizonyos frekvenciáit.

A digitális szűrőtől eltérően az analóg szűrő analóg jellel foglalkozik, tulajdonságai nem diszkrétek (folyamatosak), illetve az átviteli függvény az alkotóelemeinek belső tulajdonságaitól függ.

Az analóg bemenettel és kimenettel rendelkező valós idejű digitális szűrő egyszerűsített blokkdiagramja az ábrán látható. 8a. A keskeny sávú analóg jelet periodikusan mintavételezi, és digitális minták halmazává alakítja, x (n), n = 0,1. A digitális processzor szűr, az x (n) bemeneti sorozatot az y (n) kimenetre képezi le a számítási szűrőnek megfelelően. algoritmus. A DAC a digitálisan szűrt kimenetet analóg értékekké alakítja, amelyeket aztán analóg szűréssel simítanak ki és távolítanak el a nem kívánt nagyfrekvenciás alkatrészekről.

Rizs. 8a. Digitális szűrő egyszerűsített blokkvázlata

A digitális szűrők működését elsősorban szoftveres eszközök biztosítják, így sokkal rugalmasabbnak bizonyulnak az alkalmazásban az analógokhoz képest. A digitális szűrők segítségével olyan átviteli függvények valósíthatók meg, amelyeket hagyományos módszerekkel nagyon nehéz elérni. A digitális szűrők azonban még nem helyettesíthetik minden helyzetben az analóg szűrőket, így továbbra is szükség van a legnépszerűbb analóg szűrőkre.

A digitális szűrés lényegének megértéséhez mindenekelőtt meg kell határozni azokat a matematikai műveleteket, amelyeket a digitális szűrésben (DF) végeznek a jeleken. Ehhez hasznos megjegyezni az analóg szűrő definícióját.

Lineáris analóg szűrő egy négyportos hálózat, amelyben a bemeneti jel lineáris átalakítása kimeneti jellé valósul meg. Matematikailag ezt a transzformációt egy közönséges lineáris írja le N differenciálegyenlet- a sorrend

ahol és olyan együtthatók, amelyek az idő állandói vagy függvényei t; - szűrőrendelés.

Lineáris diszkrét szűrő egy analóg lineáris szűrő diszkrét változata, amelyben a kvantált (mintavételezett) a független változó - idő (a mintavételi lépés). Ebben az esetben egy egész változót "diszkrét időnek", a jeleket pedig a "diszkrét idő" függvényeinek (ún. rácsfüggvényeknek) tekinthetjük.

Matematikailag egy lineáris diszkrét szűrő funkcióját egy lineáris írja le különbségi egyenlet abból a fajtából

ahol és a bemeneti és kimeneti jelek leolvasása; és - a szűrőalgoritmus együtthatói, amelyek a "diszkrét idő" állandói vagy függvényei n.

A szűrő algoritmus (2.2) megvalósítható analóg vagy digitális technológiával. Az első esetben a bemeneti és kimeneti jelek szint szerinti leolvasása nincs kvantálva, és bármilyen értéket felvehet a változási tartományban (azaz a kontinuum erejével). A második esetben a jelminták és a jelek szintjei kvantálva vannak, ezért csak a digitális eszközök bitmélysége által meghatározott "engedélyezett" értékeket vehetik fel. Ezenkívül a kvantált jelminták kódoltak, ezért a (2.2) kifejezésben végrehajtott aritmetikai műveleteket nem magukon a jeleken, hanem azok bináris kódjain hajtjuk végre. A (2.2) algoritmusban a jelszint és az együtthatók, valamint az egyenlőség kvantálása miatt nem lehet pontos, és csak megközelítőleg teljesül.

Így a lineáris digitális szűrő olyan digitális eszköz, amely megközelítőleg megvalósítja a (2.2) szűrési algoritmust.

Az analóg és diszkrét szűrők fő hátránya, hogy a működési feltételek megváltozásakor (hőmérséklet, nyomás, páratartalom, tápfeszültség, elemek öregedése stb.) a paramétereik megváltoznak. Ez ahhoz vezet ellenőrizetlen kimeneti jel hibák, pl. alacsony feldolgozási pontosságra.

A digitális szűrőben a kimenő jel hibája nem függ az üzemi körülményektől (hőmérséklet, nyomás, páratartalom, tápfeszültségek stb.), hanem csak a jelkvantálás lépése és maga a szűrő algoritmusa határozza meg, pl. belső okok. Ez a hiba az ellenőrzött, csökkenthető a digitális jelek mintáit reprezentáló bitek számának növelésével. Ez a körülmény határozza meg a digitális szűrők fő előnyeit az analóg és a diszkrét szűrőkkel szemben (a jelfeldolgozás nagy pontossága és a DF-jellemzők stabilitása).

A DF-ek a jelfeldolgozó algoritmus típusa szerint vannak felosztva helyhez kötöttés nem helyhez kötött, rekurzívés nem rekurzív, lineárisés nemlineáris.

A CF fő jellemzője az szűrő algoritmus, amely szerint a CF végrehajtását végzik. A szűrési algoritmus bármely osztályú CF-ek működését korlátok nélkül írja le, míg más jellemzők korlátozzák a CF-ek osztályát, egyesek például csak stacionárius lineáris CF-ek leírására alkalmasak.

Rizs. 11. A CF osztályozása

ábrán. A 11. ábra a digitális szűrők (DF) osztályozását mutatja. Az osztályozás a funkcionális elven alapul, pl. A digitális szűrők az általuk alkalmazott algoritmusok alapján vannak felosztva, és nem veszik figyelembe az áramköri jellemzőket.

A frekvenciaválasztás DF-je. Ez a CF legismertebb, legjobban tanulmányozott és a gyakorlatban tesztelt típusa. Algoritmikus szempontból a frekvenciaválasztó DF-ek a következő problémákat oldják meg:

· Egy előre meghatározott frekvenciasáv kiosztása (elnyomása); attól függően, hogy mely frekvenciák vannak elnyomva, és melyek nem, megkülönböztetünk egy aluláteresztő szűrőt (LPF), egy felüláteresztő szűrőt (HPF), egy sávszűrőt (PF) és egy bevágásszűrőt (RF);

· A jel spektrális összetevőinek szétválasztása vonalspektrummal külön frekvenciacsatornákon, egyenlően és egyenletesen elosztva a teljes frekvenciatartományban; különbséget tenni az időbeli és a frekvencia tizedes CF-jei között; és mivel a hardverköltségek csökkentésének fő módszere az eredetinél alacsonyabb szelektivitású PF-készletek kaszkádolása, az ebből származó többlépcsős piramisszerkezetet „előválasztó-választó” DF-nek nevezték;

· A jel spektrális összetevőinek szétválasztása külön frekvenciacsatornákra, amelyek spektruma különböző szélességű, a szűrő működési tartományán belül egyenlőtlenül elosztott részsávokból áll.

Megkülönböztetünk véges impulzusválasz-szűrőt (FIR-szűrő) vagy végtelen impulzus-válaszszűrőt (IIR-szűrő).

Optimális (kvázi optimális) CF-ek. Ezt a szűrőtípust akkor használják, ha bizonyos fizikai mennyiségeket kell kiértékelni, amelyek egy véletlenszerű zavaroknak kitett rendszer állapotát jellemzik. A jelenlegi trend az optimális szűrés elmélete vívmányainak felhasználása és a becslési hiba átlagos négyzetét minimalizáló eszközök megvalósítása. Lineáris és nemlineáris csoportokra oszthatók, attól függően, hogy mely egyenletek írják le a rendszer állapotát.

Ha az állapotegyenletek lineárisak, akkor az optimális Kálmán CF-t alkalmazzuk, ha a rendszer állapotegyenletei nemlineárisak, akkor különféle többcsatornás CF-eket használunk, amelyek minősége a csatornák számának növekedésével javul.

Különféle speciális esetek léteznek, amikor az optimális (kvázi optimális) CF-ekkel megvalósított algoritmusok leegyszerűsíthetők a pontosság jelentős vesztesége nélkül: ez egyrészt a jól ismert Wiener-féle CF-hez vezető lineáris stacionárius rendszer esete; másodszor, a megfigyelések csak egy rögzített időpontban, ami a maximális jel-zaj viszony (SNR) kritériuma szerint optimális DF-hez vezet; harmadszor, a rendszer lineárishoz közeli állapotegyenletei, amelyek első és másodrendű nemlineáris szűrőkhöz vezetnek stb.

Fontos probléma az is, hogy a fenti algoritmusok mindegyike érzéketlen legyen a rendszer statisztikai jellemzőinek az előre meghatározottaktól való eltérésére; az ilyen, robusztusnak nevezett DF-ek szintézise.

Adaptív CF-ek. Az adaptív digitális szűrés lényege a következő: a bemeneti jel feldolgozására (általában egycsatornás adaptív DF-ek épülnek) hagyományos FIR szűrőt használnak; ennek a szűrőnek az IR-je azonban nem marad egyszer és mindenkorra beállítva, mint a DF frekvenciaválasztásnál; az a priori adott törvény szerint sem változik, mint a Kálmán CF esetében; Ezeket minden új minta érkezésével korrigálják oly módon, hogy az adott lépésben a szűrés négyzetes hibája minimális legyen. Az adaptív algoritmus egy olyan ismétlődő eljárás, amely az előző lépésben lévő IH minták vektorát a következő lépéshez „új” IH minták vektorává alakítja át.

Heurisztikus CF-ek. Előfordulhatnak olyan helyzetek, amikor a matematikailag helyes feldolgozási eljárások alkalmazása nem praktikus, mivel indokolatlanul magas hardverköltségekhez vezet. A heurisztikus megközelítés (görögből és lat. Evrica- „keresni”, „felfedezni”) a tudás felhasználásában, az ember kreatív, tudattalan gondolkodásának tanulmányozásában. A heurisztikát a pszichológiával, a magasabb idegi aktivitás fiziológiájával, a kibernetikával és más tudományokkal kapcsolják össze. A heurisztikus megközelítést a fejlesztők hardverköltségek csökkentésére irányuló vágya "generálja", és a szigorú matematikai indoklás hiánya ellenére széles körben elterjedt. Ezek az úgynevezett CF-ek a szerző áramköri megoldásaival, az egyik leghíresebb példa az ún. medián szűrő.

A fizikailag megvalósítható, valós időben működő digitális szűrők a következő adatok segítségével állíthatják elő a kimenő jelet egy diszkrét időpillanatban: a) a bemeneti jel értéke a mintavétel pillanatában, valamint bizonyos számú " past" bemeneti minták a kimeneti jel bizonyos számú korábbi mintájából. Egész számok, amelyek típusa határozza meg a CF sorrendjét. A CF-ek osztályozása különböző módon történik, attól függően, hogy hogyan használják fel a rendszer múltbeli állapotaira vonatkozó információkat.

Transzverzális CF-ek.

Így nevezik azokat a szűrőket, amelyek az algoritmus szerint működnek.

ahol az együtthatók sorozata.

A szám a transzverzális digitális szűrő sorrendje. Amint a (15.58) képletből látható, a keresztirányú szűrő a bemeneti jel előző mintáinak súlyozott összegzését hajtja végre, és nem használja a kimeneti jel múltbeli mintáit. A z-transzformációt a (15.58) kifejezés mindkét oldalára alkalmazva meggyőződünk arról

Ebből következik, hogy a rendszer funkciója

egy z tört racionális függvény, amelynek több pólusa van és nulla, és amelyek koordinátáit a szűrő együtthatók határozzák meg.

A transzverzális DF működésének algoritmusát az ábrán látható blokkdiagram szemlélteti. 15.7.

Rizs. 15.7. Transzverzális digitális szűrő felépítésének sémája

A szűrő fő elemei egy mintavételi intervallum mintaértékeinek késleltetésének blokkjai (szimbólumokkal ellátott téglalapok), valamint skálablokkok, amelyek digitális szorzást hajtanak végre a megfelelő együtthatókkal. A skálablokkok kimeneteiről a jelek az összeadóba kerülnek, ahol összeadva a kimeneti jel mintáját képezik.

Az itt bemutatott diagram formája megmagyarázza a "keresztirányú szűrő" kifejezés jelentését (az angol keresztirányú - keresztirányú).

A transzverzális digitális funkció szoftveres megvalósítása.

Figyelembe kell venni, hogy az ábrán látható blokkdiagram. A 15.7 nem egy elektromos áramkör sematikus diagramja, hanem csak a jelfeldolgozó algoritmus grafikus ábrázolásaként szolgál. A FORTRAN nyelv eszközeivel tekintsünk egy transzverzális digitális szűrést megvalósító program töredékét.

A számítógép RAM-jában alakítsunk ki két egydimenziós M cellából álló tömböt: egy X nevű tömböt, amely a bemeneti jel értékeit tárolja, és egy A nevű tömböt, amely a bemeneti jel értékeit tartalmazza. szűrő együtthatók.

Az X tömb celláinak tartalma minden alkalommal megváltozik, amikor a bemeneti jel új mintája érkezik.

Tegyük fel, hogy ez a tömb meg van töltve a bemeneti sorozat előző mintáival, és vegyük figyelembe a következő minta érkezésének pillanatában felmerülő helyzetet, amely a programban S nevet kap. Ennek a mintának a cellaszámban kell elhelyezkednie 1, de csak az előző rekord után egy pozícióval jobbra, vagyis a lemaradó oldal felé.

Az így kialakított X tömb elemeit tagonként megszorozzuk az A tömb elemeivel, és az eredményt beírjuk egy Y nevű cellába, ahol a kimenő jel mintaértékét halmozzuk fel. Az alábbiakban a transzverzális digitális szűrőprogram szövege olvasható:

Impulzus válasz. Térjünk vissza a (15.59) képlethez, és számítsuk ki a transzverzális CF impulzusválaszát az inverz z-transzformáció végrehajtásával. Könnyen belátható, hogy a függvény minden tagja a megfelelő együtthatóval egyenlő mértékben járul hozzá, pozíciókkal eltolva a késleltetés felé. Ezért itt

Ez a következtetés közvetlenül levonható, ha figyelembe vesszük a szűrő blokkvázlatát (lásd 15.7. ábra), és feltételezzük, hogy a bemenetére "egyetlen impulzus" kerül.

Fontos megjegyezni, hogy a keresztirányú szűrő impulzusválasza véges számú tagot tartalmaz.

Frekvenciaválasz.

Ha megváltoztatjuk a változót a (15.59) képletben, akkor megkapjuk a frekvenciaátviteli együtthatót

Egy adott A mintavételi lépéshez a szűrősúlyok megfelelő megválasztásával a frekvenciaválasz formák széles skálája valósítható meg.

Példa 15.4. Vizsgálja meg egy másodrendű transzverzális digitális szűrő frekvenciakarakterisztikáját, amely a bemeneti jel és két előző minta aktuális értékét átlagolja a képlet szerint

Ennek a szűrőnek a rendszerfunkciója

Rizs. 15.8. A transzverzális DF frekvenciakarakterisztikája a 15.4 példából: a - frekvenciamenet; b - PFC

honnan találjuk a frekvenciaátviteli együtthatót

Az elemi transzformációk a következő kifejezésekhez vezetnek a frekvenciaválaszra ennek a rendszernek a fázisválaszában:

A megfelelő grafikonok az ábrán láthatók. 15.8, a, b, ahol az érték a vízszintes tengelyek mentén van ábrázolva - a mintavételi intervallum fázisszöge az aktuális frekvenciaértéken.

Tegyük fel például, hogy a harmonikus bemeneti oszcilláció egy periódusára hat minta van. Ebben az esetben a beviteli sorozat alakja lesz

(a minták abszolút értékei nem számítanak, mivel a szűrő lineáris). A (15.62) algoritmus segítségével megtaláljuk a kimeneti sorozatot:

Látható, hogy a bemenettel megegyező frekvenciájú harmonikus kimeneti jel felel meg, amelynek amplitúdója megegyezik a bemeneti oszcilláció amplitúdójával, és a kezdeti fázis 60 ° -kal el van tolva a késleltetés felé.

Rekurzív DF-ek.

Az ilyen típusú digitális szűrőket az a tény jellemzi, hogy nem csak a bemeneti és kimeneti jelek korábbi értékeit használják a kimeneti minta kialakításához:

(15.63)

ráadásul a szűrőalgoritmus rekurzív részét meghatározó együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával. A kétféle digitális szűrő szerkezete közötti különbség hangsúlyozására a transzverzális szűrőket nem rekurzív szűrőknek is nevezik.

Rekurzív digitális függvény rendszerfüggvénye.

A (15.63) ismétlődési reláció mindkét oldalának z-transzformációját végrehajtva azt találjuk, hogy a rendszerfüggvény

egy rekurzív CF frekvenciatulajdonságait leíró pólusai vannak a z-síkon. Ha az algoritmus rekurzív részének együtthatói valósak, akkor ezek a pólusok vagy a valós tengelyen fekszenek, vagy összetett konjugált párokat alkotnak.

Rekurzív digitális szűrő szerkezeti diagramja.

ábrán. A 15.9 ábra a (15.63) képlet szerint végrehajtott számítási algoritmus diagramját mutatja. A blokkdiagram felső része a szűrőalgoritmus keresztirányú (nem rekurzív) részének felel meg. Megvalósításához általános esetben nagyméretű blokkokra (szorzási műveletekre) és memóriacellákra van szükség, amelyekben a bemeneti mintákat tárolják.

A blokkdiagram alsó része az algoritmus rekurzív részének felel meg. Egymást követő kimeneti értékeket használ, amelyek a szűrő működése során celláról cellára tolódnak el.

Rizs. 15.9. Rekurzív digitális szűrő szerkezeti diagramja

Rizs. 15.10. A 2. rendű kanonikus rekurzív digitális szűrő szerkezeti diagramja

Ennek a megvalósítási elvnek a hátránya, hogy nagyszámú memóriacellára van szükség, külön a rekurzív és nem rekurzív részekhez. Tökéletesebbek a rekurzív digitális függvények kanonikus sémái, amelyekben a lehető legkisebb számú memóriacellát használjuk, amely egyenlő a számok közül a legnagyobbal. Példaként az ábra. A 15.10 a másodrendű kanonikus rekurzív szűrő blokkdiagramját mutatja, amely megfelel a rendszerfunkciónak

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ez a rendszer végrehajt egy adott funkciót, vegye figyelembe az 1. összeadó kimenetén lévő diszkrét segédjelet, és írjon fel két nyilvánvaló egyenletet:

(15.67)

A (15.66) egyenlet -transzformációját végrehajtva azt találjuk

Másrészt a (15.67) kifejezésnek megfelelően

A (15.68) és (15.69) relációkat kombinálva jutunk el az adott rendszerfüggvényhez (15.65).

Rekurzív digitális függvények stabilitása.

A rekurzív digitális függvény egy dinamikus visszacsatolási rendszer diszkrét analógja, mivel korábbi állapotainak értékei a memóriacellákban tárolódnak. Ha adott valamilyen kezdeti feltétel, vagyis egy értékhalmaz, akkor bemeneti jel hiányában a szűrő egy végtelen sorozat elemeit képezi, amelyek a szabad rezgések szerepét töltik be.

A digitális szűrőt akkor nevezzük stabilnak, ha a benne fellépő szabad folyamat egy nem növekvő sorozat, azaz az at értékek nem haladnak meg egy bizonyos pozitív M számot, függetlenül a kezdeti feltételek megválasztásától.

A (15.63) algoritmuson alapuló rekurzív digitális függvényben a szabad rezgések megoldást jelentenek a lineáris differencia egyenletre

A lineáris differenciálegyenletek megoldásának elvével analóg módon (15.70) megoldást keresünk exponenciális függvény formájában

még ismeretlen értékkel. Ha a (15.71)-et behelyettesítjük a (15.70)-be, és egy közös tényezővel töröljük, azt látjuk, hogy a a karakterisztikus egyenlet gyöke

A (15.64) alapján ez az egyenlet pontosan egybeesik azzal az egyenlettel, amelyet a rekurzív CF rendszerfüggvényének pólusai teljesítenek.

Keressük meg a (15.72) egyenlet gyökérrendszerét. Ekkor a (15.70) differenciaegyenlet általános megoldása alakja lesz

Az együtthatókat úgy kell megválasztani, hogy a kezdeti feltételek teljesüljenek.

Ha a rendszer minden pólusa funkcionál, azaz a számok abszolút értékben nem haladják meg az egyet, és egy pontban középpontos egységkörön belül helyezkednek el, akkor (15.73) alapján a CF bármely szabad folyamatát kifejezésekkel írjuk le. csökkenő geometriai progressziókat és a szűrő stabil lesz. Nyilvánvaló, hogy gyakorlatilag csak stabil digitális szűrők alkalmazhatók.

15.5. példa. Vizsgálja meg egy rekurzív 2. rendű digitális szűrő stabilitását rendszerfunkcióval

Karakterisztikus egyenlet

gyökerei vannak

Az együtthatósíkon az egyenlettel leírt görbe az a határ, amely felett a rendszerfüggvény pólusai valósak, alatta pedig komplex konjugáltak.

A komplex-konjugált pólusok esetében ezért a stabilitási tartomány egyik határa az 1. egyenes.

Rizs. 15.11. Másodrendű rekurzív szűrő stabilitási tartománya (a szűrő pólusai összetett konjugátumok a színkódolt régióban)

Figyelembe véve a valós pólusokat, a stabilitási feltétel a formában van

A fizikailag megvalósítható, valós időben működő digitális szűrők a következő adatok felhasználásával állíthatják elő a kimenő jelet az i-edik diszkrét időpillanatban: a) a bemeneti jel értéke az i-edik minta pillanatában, mint valamint bizonyos számú „múltbeli” bemeneti minta b) a kimeneti jel bizonyos számú megelőző mintája Az m és n egész számok határozzák meg a CF sorrendjét. A CF-ek osztályozása különböző módon történik, attól függően, hogy hogyan használják fel a rendszer múltbeli állapotaira vonatkozó információkat.

Traisverse CF.Így nevezik azokat a szűrőket, amelyek az algoritmus szerint működnek.

ahol -együtthatók sorozata.

Szám T a transzverzális digitális szűrő sorrendje. Amint a (2.138) képletből látható, a keresztirányú szűrő a bemeneti jel előző mintáinak súlyozott összegzését végzi, és nem használja a kimeneti jel múltbeli mintáit. A z-transzformációt a (2.138) kifejezés mindkét oldalára alkalmazva azt látjuk, hogy

Ebből következik, hogy a rendszer funkciója

z tört racionális függvény , amelynek m-szeres pólusa z = 0-nál és T nullák, amelyek koordinátáit a szűrő együtthatók határozzák meg.

A transzverzális DF működésének algoritmusát az ábrán látható blokkdiagram szemlélteti. 2.17.

Rizs. 2.17. Transzverzális digitális szűrő felépítésének sémája

A szűrő fő elemei egy mintavételi intervallum mintaértékeinek késleltetésének blokkjai (z -1 szimbólumokkal ellátott téglalapok), valamint skálablokkok, amelyek digitális szorzást hajtanak végre a megfelelő együtthatókkal. A skálablokkok kimeneteiről a jelek az összeadóba kerülnek, ahol összeadva a kimeneti jel mintáját képezik.

Az itt bemutatott diagram formája megmagyarázza a "transzverzális szűrő" kifejezés jelentését (az angol keresztirányú szóból).

Impulzus válasz. Térjünk vissza a (2.139) képlethez, és számítsuk ki a transzverzális CF impulzusválaszát az inverz z-transzformáció végrehajtásával. Könnyen belátható, hogy a H (z) függvény minden tagja a megfelelő együtthatóval egyenlő mértékben járul hozzá , által kiszorított NS pozíciókat a lemaradó oldal felé. Ezért itt

Ez a következtetés közvetlenül levonható, ha figyelembe vesszük a szűrő blokkvázlatát (lásd 2.17. ábra), és feltételezzük, hogy a bemenetére "egyetlen impulzus" (1, 0, 0, 0, ...) kerül.

Fontos megjegyezni, hogy a keresztirányú szűrő impulzusválasza véges számú tagot tartalmaz.

Frekvenciaválasz. Ha a (2.139) képletben megváltoztatjuk a változót , akkor megkapjuk a frekvenciaátviteli együtthatót

Egy adott mintavételi lépéshez A a szűrősúlyok megfelelő megválasztásával a frekvenciaválasz formák széles választéka valósítható meg.

Digitális szűrőszintézis módszerek. A digitális szűrőszintézis gyakorlatában a legelterjedtebb az alábbiakban ismertetett három módszer.

Invariáns impulzusválaszok módszere.

Ez a módszer azon a feltevésen alapul, hogy a szintetizált digitális szűrőnek impulzusválasza kell, hogy legyen, ami a megfelelő analóg szűrő prototípus impulzusválaszának mintavételezésének eredménye. Fizikailag megvalósítható rendszerek szintézise, ​​amelyeknél az impulzusválasz megszűnik t<0 , a következő kifejezést kapjuk a CF impulzusválaszára:

ahol T időmintavételi lépés.

Meg kell jegyezni, hogy a CF impulzusválaszának kifejezésében az egyes tagok száma véges vagy végtelen lehet. Ez határozza meg a szintetizált szűrő szerkezetét: a keresztirányú szűrő véges számú mintával rendelkező impulzusválasznak felel meg, míg a végtelen hosszú impulzusválasz megvalósításához rekurzív DF szükséges.

Az impulzusválasz együtthatója és a DF szerkezete közötti kapcsolat különösen egyszerű egy keresztirányú szűrő esetében. Általános esetben a szűrőszerkezet szintézisét alkalmazással végezzük z-konverzió a fent megadott formájú sorozatra. A rendszerfunkció megtalálásával H (z) szűrőt, hasonlítsa össze az általános kifejezéssel, és határozza meg a keresztirányú és a rekurzív részek együtthatóit. A szintetizált digitális szűrő amplitúdó-frekvencia karakterisztikája az analóg prototípus jellemzőihez való közelítésének mértéke a kiválasztott mintavételi lépéstől függ. Szükség esetén ki kell számítani a digitális szűrő frekvenciaátviteli együtthatóját a rendszerfunkció végrehajtásával H (z) változtassa meg a változót képlettel
, majd hasonlítsa össze az eredményt az analóg áramkör frekvenciaerősítésével.

A differenciálegyenlet diszkretizálásán alapuló DF szintézis

analóg áramkör.

Az analóg prototípust leíró differenciálegyenlet diszkretizálásával egy digitális szűrő szerkezetét, amely megközelítőleg egy ismert analóg áramkörnek felel meg. Példaként e módszer alkalmazására vegyük egy másodrendű oszcillációs dinamikus rendszernek megfelelő CF szintézisét, amelynél a kimeneti oszcilláció közötti kapcsolat y (t)és bemeneti hullámzás x (t) a differenciálegyenlet állítja be

(2.142)

Tegyük fel, hogy a mintavételi lépés az  tés fontolja meg a különálló minták gyűjtését  nál nél 1  és  NS 1  ... Ha a képletben a deriváltokat véges-differenciális kifejezéseikre cseréljük, akkor a differenciálegyenletből differenciálegyenlet lesz

A feltételeket átrendezve a következőket kapjuk:

(2.144)

A különbségi egyenlet egy másodrendű rekurzív szűrőalgoritmust határoz meg, amely egy analóg oszcillációs rendszert szimulál, és amelyet digitális rezonátornak neveznek. Az együtthatók megfelelő megválasztásával a digitális rezonátor frekvenciaszelektív szűrőként működhet, hasonlóan az oszcillációs áramkörhöz.

Az invariáns frekvenciakarakterisztika módszere .

Alapvetően lehetetlen olyan digitális szűrőt létrehozni, amelynek frekvenciamenete pontosan megismételné valamelyik analóg áramkör frekvenciamenetét. Ennek az az oka, hogy, mint ismeretes, a DF frekvenciaátviteli együtthatója a frekvencia periodikus függvénye, amelynek periódusát a mintavételi lépés határozza meg.

Ha az analóg és digitális szűrők frekvenciakarakterisztikájának hasonlóságáról (invarianciájáról) beszélünk, akkor csak azt követelhetjük meg, hogy az analóg rendszerre vonatkozó ω a frekvenciák teljes végtelen intervallumát a digitális szűrő ω q frekvenciaszegmensévé alakítsuk. az egyenlőtlenség kielégítése
miközben megtartja a frekvenciamenet általános képét.

Legyen K a (R) egy analóg szűrő átviteli függvénye, amelyet hatványokban kifejezett tört racionális kifejezés határoz meg p... Ha a változók közötti kapcsolatot használjuk zés p, akkor ezt írhatjuk:

. (2.145)

Ezzel a törvénnyel a kapcsolat között pés z fizikailag megvalósítható rendszerszűrő függvényt nem lehet beszerezni, mivel a kifejezésbe a helyettesítés K a (R) olyan rendszerfüggvényt ad, amely nem két polinom hányadosaként van kifejezve. Ezért az aluláteresztő szűrők szintéziséhez a forma összekapcsolása

, (2.146)

amely a z-síkban lévő egységkör pontjait is leképezi a p-síkon lévő képzeletbeli tengely pontjaira. Azután

, (2.147)

ahonnan következik a frekvenciaváltozók  analóg és digitális rendszerek közötti kapcsolata:

. (2.148)

Ha a mintavételi gyakoriság elég magas ( c T<<1), majd, amint a (2.147) képletből könnyen látható,  a  c... Így alacsony frekvenciákon az analóg és a digitális szűrők jellemzői gyakorlatilag megegyeznek. Általában figyelembe kell venni a skála transzformációt a digitális szűrő frekvenciatengelye mentén.

A gyakorlatban a CF szintetizálásának eljárása a függvényben található K a (R) az analóg áramkört a (2.145) képlet szerinti változóval helyettesítjük. A DF eredményül kapott rendszerfüggvénye tört-racionálisnak bizonyul, így lehetővé teszi a digitális szűrési algoritmus közvetlen felírását.

Önellenőrző kérdések

Melyik szűrőt nevezzük illesztettnek.

Mi a szűrő impulzusválasza?

Mi a jel az illesztett szűrő kimenetén.

Milyen szűrőket nevezünk digitálisnak.

Mi a különbség a rekurzív és a transzverzális szűrő működési algoritmusai között?

Melyek a digitális szűrők szintetizálásának főbb módszerei? .

Melyek a diszkrét Fourier transzformáció főbb tulajdonságai?

LABORATÓRIUMI MUNKÁK

JELSZŰRŐ ALGORITMUSOKA folyamatirányító rendszerben

Cél. A folyamatirányító rendszerben legelterjedtebb mért véletlen jelek szűrésére szolgáló algoritmusok megismerése, pontosságuk és megvalósítási jellemzőik számítógépen történő összehasonlító elemzése.

Gyakorlat

1) a véletlen jelek adott jellemzőihez számítsa ki az optimális szűrési paramétereket,

2) szimulálja a szűrőrendszert számítógépen, és számítsa ki a szűrési hibát minden egyes figyelembe vett módszer esetében,

3) a vizsgált algoritmusok hatékonyságának összehasonlító elemzése.

Alapvető rendelkezések. 1 Az optimális szűrési probléma megállapítása. A mérőeszközök jelei gyakran véletlenszerű hibát – interferenciát – tartalmaznak. A szűrési feladat az, hogy a hasznos jelkomponenst az interferencia mértékétől elkülönítse. Általános szabály, hogy mind a hasznos jelet, mind az interferenciát stacionárius véletlenszerű folyamatoknak tekintjük, amelyek statisztikai jellemzői ismertek: matematikai elvárás, variancia, korrelációs függvény, spektrális sűrűség. Ezen jellemzők ismeretében a lineáris dinamikus rendszerek osztályába, vagy a lineáris rendszerek egy szűkebb osztályába, adott szerkezetű szűrőt kell találni, hogy a szűrő kimenetén a jel a lehető legkisebb mértékben térjen el a hasznos jeltől.

1. ábra. A szűrési probléma megállapításáról

Vezessük be a jelölést és fogalmazzuk meg pontosabban a szűrési problémát. Legyen impulzusválaszú a szűrő bemenete Nak nek(t) és a megfelelő (a Fourier-transzformáció miatt) 0

AFH W(iω) hasznos jelek érkeznek x(t) és a vele nem korrelált interferencia z(t) (1. ábra). A hasznos jel és az interferencia korrelációs függvényeit és spektrális sűrűségét jelöli R x (t), S x (t), R z (t) és S z (t) ... Meg kell találni a k ​​(t) vagy W (t) szűrő karakterisztikáját, hogy a különbség effektív értéke ε a szűrőkimeneten lévő jel és az x hasznos jel között minimális volt. Ha a szűrőkarakterisztikát egy vagy több paraméter pontossággal ismerjük, akkor ezeknek a paramétereknek az optimális értékeit kell kiválasztani.

Hiba ε két komponenst tartalmaz. Az első ( ε 1 ) összefügg azzal a ténnyel, hogy a zaj egy része mégis áthalad a szűrőn, a második pedig ( ε 2 ) - így a hasznos jel alakja megváltozik, amikor áthalad a szűrőn. Így az optimális szűrőkarakterisztikának meghatározása egy olyan kompromisszumos megoldás keresése, amely minimalizálja a teljes hibát.

Képzeljük el a szűrő frekvenciaválaszát a következő formában:

W (iω) = A (ω) exp.

A lineáris rendszer bemenetén és kimenetén előforduló véletlenszerű folyamatok spektrális sűrűségét a frekvenciamenettel összekötő képletekkel kiszámítjuk az egyes hibakomponensek spektrális sűrűségét.

A zaj kihagyásával kapcsolatos hibára azt kapjuk, hogy

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

A hasznos jel torzulásával járó hiba spektrális sűrűsége az

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Ezen S ε komponensek összegének spektrális sűrűsége van

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Tekintve, hogy

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) bűn 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

A négyzetes átlag hiba a spektrális sűrűséghez kapcsolódik a kifejezéssel

Minimalizálással S ε (ω ) tovább f(ω) és A (ω), eljutunk az egyenletekhez

kötözősalátaf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Az optimális szűrő talált jellemzői megfelelnek a spektrális hibasűrűségnek

Minimális négyzetes közép hiba

(3)

Sajnos a talált szűrő nem valósítható meg, mivel a nullával való egyenlőség feltétele a fázis-frekvencia válasz minden frekvenciáján azt jelenti, hogy a szűrő impulzusválasza páros függvény, nem csak t>0 , hanem at t(2. ábra, a).

Minden fizikailag megvalósítható szűrőre igaz a következő követelmény: Nak nek(t) = 0 nál nél t (2. ábra, b). Ezt a követelményt be kell építeni a problémafelvetésbe. Természetesen az elérhető hiba σ ugyanakkor növekedne. A fizikai megvalósíthatóságot figyelembe vevő optimális szűrés problémája megoldódott.

Rizs. 2. Nem realizálható (a) és megvalósítható (b) szűrők impulzuskarakterisztikája

Rizs. 3. A hasznos jel spektrális sűrűségeS x (ω) és zajS z (ω) és az optimális A szűrő amplitúdó-frekvencia karakterisztikája * (ω) nem átfedéssel (a) és átfedéssel (b)S x (ω) ésS z (ω)

N. Wiener. Megoldása jóval bonyolultabb, mint a fenti, ezért ebben a munkában csak a szűrők osztályába fogunk olyan fizikailag megvalósítható szűrőket keresni, amelyek jellemzőit a paraméterek értékére pontosan adják meg. A mennyiség a (3) képlettel számított érték az elérhető szűrési hiba alacsonyabb becsléseként szolgálhat.

A (2, b) reláció fizikai jelentését az ábra szemlélteti. 3. Ha a hasznos jel és az interferencia spektruma nem fedi egymást, akkor A (ω) egyenlőnek kell lennie nullával, ha az interferencia spektrális sűrűsége különbözik nullától, és egyenlőnek kell lennie eggyel minden olyan frekvencián, amelyen S x (ω)>0 ... ábrán. 3, b a karaktert mutatja A * (ω) abban az esetben, ha a jel és az interferencia spektrális sűrűsége átfedi egymást.

Az adott szerkezetű szűrők közül a legelterjedtebbek a mozgóátlagos műveleten alapuló szűrők, valamint az exponenciális szűrő és az ún. nullarendű statisztikai szűrő. Az exponenciális szűrő egy elsőrendű periodikus szűrő, a nulla rendű statisztikai szűrő pedig egy erősítő kapcsolat. Tekintsük részletesebben az egyes említett szűrőket.

Mozgóátlag szűrő. A szűrő kimenete a bemenetéhez kapcsolódik az arány alapján

A szűrő impulzus-tranziens funkciója a 4. ábrán látható, a. A frekvenciajellemzők azonosak

Az impulzusválasz a Heaviside-függvény segítségével fejezhető ki 1(t)

k(t) = k.

Az állítható szűrőparaméterek az erősítés kés a memória T.

Exponenciális szűrő(4. ábra, b). A kimenő jelet a differenciálegyenlet határozza meg

y/ γ + y = kg

Az impulzusválasz a következő:

Frekvencia jellemzők

A szűrő paraméterei az erősítés k az időállandó pedig fordítottja γ .

Rizs. 4. Impulzus tranziens függvényekk(t) és a tipikus szűrők amplitúdó-frekvencia karakterisztikája А (ω): а - áramátlag; b - exponenciális; c) statikus nulladrendű

Nullarendű statisztikai szűrő. Ez a szűrő, mint fentebb említettük, egy erősítő link. Jellemzői

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

A felsorolt ​​szűrők súlya még diszjunkt jel- és interferenciaspektrummal sem teszi lehetővé az ideális szűrést. Minimalizálja a hibát σ ε kiválaszthatja a paramétereket k, T, γ... Ehhez a szűrő jellemzőire van szükség A (ω)és f(ω) a gyakoriság és a paraméterek függvényében helyettesítsük az (1) képletben, vegyük az eredményül kapott kifejezés integrálját, amely a szűrőparaméterek függvénye lesz, és keressük meg ennek az integrálnak a minimumát a paraméterek felett.

Például egy Coulomb-rendű statisztikai szűrő esetén a hiba spektrális sűrűsége a következő lesz:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integrál S ε egyenlő az interferencia szórásának szorzatával π ... Kapunk

Vegyük figyelembe, hogy ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán lévő integrálok egyenlőek a hasznos jel és a zaj szórásával, így

Ennek a kifejezésnek a minimumának feltétele a vonatkozásban k egyenlőséghez vezet

A talált érték pótlása után k a hiba szórásának kifejezésébe a következőket kapjuk:

Az aktuális átlag és az exponenciális szűrők két-két állítható paraméterrel rendelkeznek, és ezek optimális értékei nem fejezhetők ki olyan könnyen a hasznos jel és a zaj jellemzőivel, de ezek az értékek numerikus módszerekkel megkereshetők. egy függvény minimuma két változóban.

5. ábra Egy véletlenszerű jelszűrő rendszer számítógépes szimulációjának blokkvázlata

2. A szimulált rendszer leírása. A munka a következő blokkokból álló rendszer számítógépes modellezésével történik (5. ábra).

1. I. bemeneti jelgenerátor, amely egy véletlen jelgenerátort (GSS) és két meghatározott jellemzőkkel rendelkező alakítószűrőt tartalmaz W x (iω) és W z (iω) , amelynek kimenetén hasznos jel érkezik x(t) és akadályozás z(t) ... A véletlen jelgenerátor és az alakító szűrő között W z tartalmazott egy Δ késleltető kapcsolatot, amely két-három órajeles ciklust biztosít. Ebben az esetben az interferenciát képező szűrő bemenete és a hasznos jelet képező szűrő bemenete nem korrelál egymással.

2. Blokk a korrelációs függvények kiszámításához
.

3. Szűrőegység (II), beleértve a tényleges szűrőt
és egy blokkot a szűrési hiba kiszámításához
.

A rendszerben generált hasznos jel x(t)és akadályozás z(t) stacionárius véletlen folyamatok, amelyek korrelációs függvényei a forma kitevőivel közelíthetők (6. ábra)

(6)

ahol

Jelvariancia becslések és blokk segítségével számítva (τ = 0-nál); az α és α z paramétereket a tanár állítja be.

3. Folyamatos szűrők diszkrét megvalósítása. A fent leírt folyamatos szűrők diszkrét megvalósításait használjuk. Diszkrétségi lépés t o a hasznos jel és a zaj korrelációs függvényeinek lecsengési idejénél lényegesen kevesebbet vesznek fel. Ezért a fenti (1) kifejezések a σ ε kiszámítására a bemeneti jel és a zaj spektrális jellemzői alapján használhatók diszkrét esetben.

Először keressük meg a szűrők diszkrét analógjait, amelyek a GSS-től kapott jelből véletlenszerű folyamatokat képeznek korrelációs függvényekkel (6). Az ezeknek a korrelációs függvényeknek megfelelő spektrális sűrűségek alakja

(7)

A formáló szűrők átviteli függvényei arra az esetre, ha a GSS kimenetén a jel szórása eggyel egyenlő

Ezt nem nehéz belátni

Ha az egyes alakító szűrők bemenetén lévő jelet jelöljük ξ , akkor a fentebb leírt átviteli függvényeknek megfelelő differenciálegyenletek alakja

A megfelelő különbségi analógok a következő formában lesznek felírva;

Így a hasznos jelet képező szűrő működési algoritmusa a következő formájú:

(8a)

Hasonlóan a zajformáló szűrőhöz is

(8b)

Az interferencia elkülönítésére tervezett folyamatos szűrők analógjai a következők:

mozgóátlag szűrőhöz

(9)

ahol az érték l feltétel közül választhat (l + 1) t O = T;

exponenciális szűrőhöz

(10)

nulladrendű statisztikai szűrőhöz

nál nél én = kg én (11)

Végrehajtási parancs. 1. A blokk alprogramjainak létrehozása és hibakeresése az aktuális információk szűrésére és a szűrési hibák kiszámítására.

2. Szerezzen meg véletlenszerű folyamatok realizációit az alakító szűrők kimenetén, és használja azokat a hasznos jel és zaj varianciáinak becslésére, valamint korrelációs függvényekre. R x (τ) és R z (τ) ... Körülbelül meghatározni α NSés α zés hasonlítsa össze a számítottakkal.

3. Számítsa ki S x (ω) és S z (ω) analitikusan vagy számítógépes alsó korláton az effektív szűrési hibáért.

4. A (4) képlet segítségével keresse meg a nulladrendű statisztikai szűrő optimális erősítését és a hozzá tartozó értéket összehasonlítani vele.

5. A mozgóátlag- és az exponenciális szűrők optimális paramétereinek, valamint a szűrés négyzetes hibáinak megtalálására a két változó függvényének minimumának megtalálásának egyik jól ismert módszerét és egy előre összeállított programot használok. Ebben az esetben a szűrőparaméterek meghatározott kombinációja felel meg a spektrális hibasűrűségnek S ε (ω) az (1) képlet határozza meg, és ebből keresse meg az értéket numerikus integráció után.

6. Írja be a szűrőprogramot a számítógépbe, kísérletileg határozza meg az optimális és nem optimális szűrőparaméterek négyzetes középhibáját, és hasonlítsa össze az eredményeket a számítottakkal.

7. Végezze el a különböző szűrőalgoritmusok hatékonyságának összehasonlító elemzését az alábbi mutatók esetében: a) a minimálisan elérhető négyzetgyökér hiba; b) a szükséges mennyiségű RAM; c) számítógépes számlálási idő.

A jelentésnek tartalmaznia kell: 1) a rendszer blokkvázlata (lásd az 5. ábrát);

2) a formázási és szintetizált szűrők szubrutinjai;

3) a szűrők optimális paramétereinek és a négyzetes hiba megfelelő értékeinek kiszámítása;

4) a figyelembe vett algoritmusok és következtetések elemzésének eredményeit.

6.2-es fülke. Projektalkotás 6.3. Tanulmány APCS az edzésen laboratórium... bizonyos célokat tevékenységüket. Gólok tevékenységek ...

I.O. Vezetéknév "" 20 g

Dokumentum

Mód munka) ;. … […) [Mód neve munka] ... alapján laboratórium elemzések; 5) ... követelményei APCS... Technológiai folyamatok ... információfeldolgozás és -elemzés ( jeleket, üzenetek, dokumentumok stb... algoritmusok szűrésés algoritmusok távolítsa el a zajt cél ...

Intelligens automatizálás félévi és diplomaprojektekben

absztrakt

A vezeték. cél... termék... jel HART a rendszerekbe való integráláshoz APCS ... szűrés Különféle típusú porérzékelők léteznek. DT400G művek ... algoritmus... a vegyipar. Technikai eszközök és laboratórium munka/ GI. Lapshenkov, L.M. ...

A „Technológiai folyamatok automatizálása” tudományág munkaprogramja

Munkaprogram

... GÓLOKÉS A FEGYELEM TANULÁSÁNAK CÉLJAI A cél... a fő összetevők APCS- vezérlők ... nézetek jeleket c ... hibajavítások, szűrésüzenetek, ... algoritmusokés programok, beszélgetések, ellenőrzés végrehajtása művek. Laboratórium osztályok. Laboratórium ...