Tekintsük a béta eloszlást, számítsuk ki annak matematikai elvárását, szórást és módusát. Az MS EXCEL BETA.DIST () függvény segítségével ábrázoljuk az eloszlásfüggvény és a valószínűségi sűrűség grafikonjait. Generáljunk véletlen számokból álló tömböt, és értékeljük ki az eloszlási paramétereket.
Béta terjesztésBéta-
terjesztés)
2 paramétertől függ: α ( alfa)> 0(meghatározza az eloszlás alakját) és b (béta)> 0(meghatározza a léptéket).
Sok más folytonos eloszlástól eltérően egy valószínűségi változó variációs tartománya Béta terjesztés, a szegmens korlátozza. Ezen a szegmensen kívül eloszlási sűrűség egyenlő 0-val. Ennek a szegmensnek a határait a kutató határozza meg a probléma függvényében. Ha A = 0 és B = 1, akkor ilyen Béta terjesztés szabványnak nevezik.
Béta terjesztés megnevezéssel rendelkezik Béta(alfa; béta).
jegyzet: Ha a paraméterek alfaés béta= 1, akkor Béta terjesztésátváltozik, azaz. Béta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Általánosságban elosztási függvény elemi függvényekkel nem fejezhető ki, ezért numerikus módszerekkel számítjuk ki, például az MS EXCEL BETA.DIST () függvény segítségével.
jegyzet: Az elosztási paraméterek példafájljában a képletek egyszerűbb írása érdekében alfa és béta megfelelő.
A példafájl grafikonokat is tartalmaz valószínűségi sűrűségés elosztási függvények megjelölt értékekkel középső, és .
Véletlenszám generálás és paraméterbecslés
Használata inverz eloszlásfüggvény(vagy kvantilis értékek ( p-
kvantilis),
lásd) létrehozhat egy valószínűségi változó értékeit Béta terjesztés... Ehhez a következő képletet kell használnia:
BÉTA.OBR (RAND (); alfa; béta; A; B)
TANÁCS: Mivel véletlen számok generálódnak a RAND () funkcióval, majd a gomb megnyomásával F9, lehetőség van minden alkalommal új minta beszerzésére, és ennek megfelelően a paraméterek új becslésére.
A RAND () függvény 0-tól 1-ig generál, ami pontosan megfelel a valószínűség változási tartományának (lásd. példa fájllap Generáció).
Most egy véletlen számokból álló tömb van generálva a megadott eloszlási paraméterekkel alfaés béta(legyen 200), becsüljük meg az eloszlási paramétereket.
Paraméter becslés alfaés béta lehet vele csinálni pillanatok módszere(feltételezzük, hogy az A és B paraméter ismert):
Helyes link ehhez a cikkhez:
Oleinikova S.A. - A béta törvény szerint elosztott valószínűségi változók összegének eloszlási törvényének közelítése // Kibernetika és programozás. - 2015. - 6. sz. - P. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
A béta törvény szerint eloszló valószínűségi változók összegének eloszlási törvényének közelítése
| Oleinikova Szvetlana Alekszandrovna a műszaki tudományok doktora A Voronyezsi Állami Műszaki Egyetem docense 394026, Oroszország, Voronezh, Moskovsky prospect, 14 Oleinikova Szvetlana Aleksandrovna a műszaki tudományok doktora A Voronyezsi Állami Műszaki Egyetem Automatizált és Számítástechnikai Rendszerek Tanszékének docense 394026, Oroszország, g. Voronyezs, Moszkvszkij prospekt, 14 A cikk szerkesztőhöz való eljuttatásának dátuma: 14-12-2015
A cikk felülvizsgálatának dátuma: 15-12-2015
Annotáció. Ebben a munkában a kutatás tárgya egy valószínűségi változó eloszlási sűrűsége, amely véges számú béta érték összege, amelyek mindegyike a saját intervallumában, saját paramétereivel van elosztva. Ez a törvény széles körben elterjedt a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, mivel megfelelően nagyszámú véletlenszerű jelenség leírására használható, ha a megfelelő folytonos valószínűségi változó értékei egy bizonyos intervallumban koncentrálódnak. Mivel a keresett béta értékek összege egyik ismert törvénnyel sem fejezhető ki, probléma merül fel az eloszlási sűrűség becslésével. A munka célja egy olyan közelítés megtalálása a béta értékek összegének eloszlási sűrűségére, amely a legkisebb hibában különbözne. A cél elérése érdekében egy számítási kísérletet végeztünk, melynek eredményeként adott számú béta érték esetén az eloszlássűrűség számértékét összevettük a kívánt sűrűség közelítésével. Közelítésként normál és béta eloszlást használtunk. A kísérleti elemzés eredményeként olyan eredmények születtek, amelyek azt jelzik, hogy célszerű a keresett eloszlási törvényt a béta törvénnyel közelíteni. A kapott eredmények egyik alkalmazási területeként a véletlenszerű időtartamú projektmenedzsment problémáját tekintjük, ahol a kulcsszerep a projekt végrehajtási idejének becslése, amely a témakör sajátosságaiból adódóan, béta értékek összegével írható le.
Kulcsszavak:
valószínűségi változó, béta eloszlás, eloszlássűrűség, normális eloszlás törvénye, valószínűségi változók összege, számítási kísérlet, rekurzív algoritmus, közelítés, hiba, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Megjelenés dátuma: 19-01-2016
Absztrakt. Ebben a cikkben a kutatás tárgya a valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye (PDF), amely véges számú béta érték összege. Ez a törvény elterjedt a valószínűségelméletben és a matematikai statisztikában, mert alkalmazásával kellően sok véletlenszerű eseménnyel lehet leírni, ha a megfelelő folytonos valószínűségi változó értéke egy bizonyos tartományba koncentrálódik. Mivel a béta értékek szükséges összegét egyik ismert törvény sem tudja kifejezni, problémát jelent a sűrűségeloszlás becslése. A cél az, hogy a PDF-hez olyan közelítést találjunk a béta-értékek összegére, amelynél a legkisebb hiba lenne. E cél elérése érdekében számítási kísérletet végeztek, amelyben egy adott számú béta értékhez hasonlították össze a PDF számértékét a kívánt sűrűség közelítésével. Közelítésként a normál és a béta eloszlást használtam. A kísérleti elemzés eredményeként olyan eredmények születtek, amelyek jelzik a kívánt törvény béta eloszlás segítségével történő közelítésének megfelelőségét. Az eredmények egyik alkalmazási területeként a projektmenedzsment problémát a véletlenszerű munkák időtartamával vesszük figyelembe. Itt a kulcskérdés a projekt megvalósítási idejének értékelése, ami az adott tárgykörből adódóan a béta értékek összegével írható le.
Kulcsszavak: Véletlenszerű érték, béta eloszlás, sűrűségfüggvény, normális eloszlás, valószínűségi változók összege, számítási kísérlet, rekurzív algoritmus, közelítés, hiba, PERT Bevezetés Megfontolásra kerül a béta-értékek összegének eloszlási törvényének becslésének problémája. Ez egy univerzális törvény, amely a legtöbb véletlenszerű jelenség leírására használható folytonos eloszlási törvény segítségével. Különösen az esetek túlnyomó többségében, amikor olyan véletlenszerű jelenségeket vizsgálnak, amelyek egymódusú folytonos valószínűségi változókkal írhatók le egy bizonyos értéktartományban, egy ilyen érték közelíthető a béta törvénnyel. Ebben a tekintetben a béta-értékek összegére vonatkozó eloszlási törvény megtalálásának problémája nemcsak tudományos jellegű, hanem bizonyos gyakorlati jelentőségű is. Ezenkívül a legtöbb eloszlási törvénytől eltérően a béta törvénynek nincsenek olyan egyedi tulajdonságai, amelyek lehetővé tennék a kívánt mennyiség analitikus leírását. Ezen túlmenően ennek a törvénynek az a sajátossága, hogy rendkívül nehéz a valószínűségi változók összegének sűrűségének meghatározásához szükséges többszörös határozott integrált kinyerni, és az eredmény egy meglehetősen körülményes kifejezés még n = 2 esetén is, és növekedéssel. a kifejezések számában a végkifejezés összetettsége sokszorosára nő. Ebben a tekintetben felmerül a probléma a béta-értékek összegének eloszlási sűrűségének minimális hibával történő közelítése.
Ez a cikk egy megközelítést mutat be a kívánt törvény közelítésének megtalálásához egy számítási kísérlet segítségével, amely lehetővé teszi az egyes konkrét esetekben az érdeklődési sűrűség legmegfelelőbb törvények (normál és béta) becslésével kapott hiba összehasonlítását. Ennek eredményeként arra a következtetésre jutottak, hogy a béta értékek összegét a béta eloszlás segítségével célszerű megbecsülni. 1. A probléma megfogalmazása és jellemzői Általában a béta törvényt az intervallumban megadott sűrűség határozza meg az alábbiak szerint:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Gyakorlatilag azonban érdekesek azok a béta értékek, amelyeket tetszőleges intervallumban határoznak meg. Ez elsősorban annak tudható be, hogy ebben az esetben a gyakorlati problémák köre sokkal szélesebb, másodsorban pedig, amikor egy általánosabb esetre megoldást találunk, nem lehet egy konkrét esetre olyan eredményt elérni, amely valószínűségi változóval (1) kell meghatározni. Nem jelent nehézséget. Ezért a következőkben tetszőleges intervallumon definiált valószínűségi változókat fogunk figyelembe venni. Ebben az esetben a probléma a következőképpen fogalmazható meg.
Megvizsgáljuk egy valószínűségi változó eloszlási törvényének becslésének problémáját, amely a valószínűségi változók összege `xi_ (i),` i = 1, ..., n, amelyek mindegyike a béta törvény szerint oszlik el a p i és q i paraméterekkel rendelkező intervallumban. Az egyes tagok eloszlási sűrűségét a következő képlet határozza meg:
A béta értékek összegének törvényének megtalálásának problémája részben már korábban megoldódott. Konkrétan képleteket kaptunk két béta érték összegének becslésére, amelyek mindegyikét az (1) segítségével határozzuk meg. A javasolt megközelítésben két valószínűségi változó összegének keresésére az eloszlási törvénnyel (2).
Általában azonban az eredeti probléma nem oldódott meg. Ennek oka elsősorban a (2) képlet specifitása, amely nem teszi lehetővé, hogy kompakt és kényelmes képleteket kapjunk a sűrűség meghatározásához a valószínűségi változók összegéből. Valóban, két mennyiségre "xi_1" és "xi_2". a szükséges sűrűséget a következőképpen határozzuk meg:
"f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)"
n valószínűségi változó összeadása esetén többszörös integrált kapunk. Ugyanakkor ennek a problémának a béta-eloszlás sajátosságaival kapcsolatos nehézségei vannak. Konkrétan, még n = 2 esetén is a (3) képlet használata meglehetősen nehézkes eredményhez vezet, amelyet hipergeometriai függvényekkel határoznak meg. A kapott sűrűség integráljának újbóli felvétele, amelyet már n = 3 és annál nagyobb értéknél meg kell tenni, rendkívül nehéz. Ugyanakkor nem zárhatók ki olyan hibák, amelyek elkerülhetetlenül felmerülnek egy ilyen összetett kifejezés kerekítése és kiszámítása során. Ebben a tekintetben szükségessé válik a (3) képlet közelítésének keresése, amely lehetővé teszi a jól ismert formulák minimális hibával történő alkalmazását.
2. Számítási kísérlet a béta értékek összegének sűrűségének közelítésére A kívánt eloszlássűrűség sajátosságainak elemzésére olyan kísérletet végeztünk, amely lehetővé teszi statisztikai információ gyűjtését egy valószínűségi változóról, amely előre meghatározott számú, adott paraméterekkel rendelkező béta eloszlású valószínűségi változó összege. A kísérleti elrendezést részletesebben a. Az egyes béta értékek paramétereit, illetve számukat változtatva nagyszámú kísérlet eredményeként a következő következtetésekre jutottunk.
1. Ha az összegben szereplő egyes valószínűségi változók szimmetrikus sűrűségűek, akkor a végső eloszlás hisztogramja a normálhoz közeli alakú. Szintén közel állnak a végső érték numerikus jellemzőinek (matematikai elvárás, variancia, aszimmetria és kanyarodás) értékelésének normál törvényéhez.
2. Ha az egyes valószínűségi változók aszimmetrikusak (pozitív és negatív aszimmetriával is), de a teljes aszimmetria 0, akkor a grafikus ábrázolás és a numerikus jellemzők szempontjából a kapott eloszlási törvény is közel áll a normálhoz.
3. Más esetekben a keresett törvény vizuálisan közel áll a béta törvényhez. Különösen öt aszimmetrikus valószínűségi változó összege látható az 1. ábrán.
1. ábra - Öt egyformán aszimmetrikus valószínűségi változó összege
Így az elvégzett kísérlet alapján fel lehet tenni egy hipotézist a béta-értékek összegének sűrűségének normális vagy béta eloszlással történő lehetséges közelítéséről.
Ennek a hipotézisnek a megerősítésére és a közelítés egyetlen törvényének kiválasztására a következő kísérletet hajtjuk végre. A béta eloszlású valószínűségi változók számának és paramétereinek megadása után megtaláljuk a kívánt sűrűség számértékét, és összehasonlítjuk a megfelelő normál vagy béta eloszlás sűrűségével. Ehhez szükség lesz:
1) dolgozzon ki egy algoritmust, amely lehetővé teszi a béta értékek összegének sűrűségének számszerű becslését;
2) a megadott paraméterekkel és a kezdeti értékek számával meghatározza a végső eloszlás paramétereit normál vagy béta eloszlás feltételezése mellett;
3) határozza meg a közelítés hibáját a normális eloszlás vagy a béta eloszlás alapján.
Tekintsük ezeket a feladatokat részletesebben. A béta értékek összegének sűrűségének meghatározására szolgáló numerikus algoritmus a rekurzión alapul. n tetszőleges valószínűségi változó összege a következőképpen határozható meg:
"eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)" , (4)
"eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)" . (5)
Hasonlóképpen leírhatja az "eta_ (n-1)" valószínűségi változó eloszlási sűrűségét:
"eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)" , (6)
Hasonló érvelést folytatva és a (3) képlet felhasználásával kapjuk:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-) 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) "
Ezeket a szempontokat, valamint a béta-eloszlású mennyiségek sűrűségének meghatározásának sajátosságait részletesebben a.
A végső eloszlási törvény paramétereit a valószínűségi változók függetlenségének feltételezése alapján határozzuk meg. Ebben az esetben az összegük matematikai elvárását és szórását a következő képletek határozzák meg:
"Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)"
A normál törvényben az a és a "szigma" paramétereket közvetlenül a (8) és (9) képletek határozzák meg. A béta eloszláshoz először ki kell számítania az alsó és a felső határt. A következőképpen határozhatók meg:` `
"a = összeg_ (i = 1) ^ na_ (i)"; (tíz)
,,, b = összeg_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (tizenegy)
Itt a i és b i az egyes tagok intervallumainak határai. Ezután összeállítunk egy egyenletrendszert, amely képleteket tartalmaz a béta érték matematikai elvárására és varianciájára:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) :) (12) "
Itt az "xi" egy valószínűségi változó, amely leírja a szükséges összeget. Matematikai elvárását és szórását a (8) és (9) képlet határozza meg; az a és b paramétereket a (10) és (11) képlet adja meg. Ha megoldottuk a (12) rendszert a p és q paraméterek tekintetében, a következőt kapjuk:
"p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))" . (13)
"q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))" . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) "
Itt a "hatf (x)" a béta értékek összegének közelítése; "f_ (eta) (x)" - a béta értékek összegének eloszlási törvénye.
Az egyes bétaértékek paramétereit egymás után módosítjuk a hibák becsléséhez. Különösen a következő kérdések lesznek érdekesek:
1) milyen gyorsan konvergál a béta értékek összege a normál eloszláshoz, és meg lehet-e becsülni az összeget egy másik törvénnyel, amelynek minimális hibája lesz a béta értékek összegének valódi eloszlási törvényéhez képest;
2) mennyivel nő a hiba a béta-értékek aszimmetriájának növekedésével;
3) hogyan fog megváltozni a hiba, ha a béta értékek eloszlási intervallumai eltérőek.
A kísérleti algoritmus általános sémája a béta-értékek minden egyes értékére a következőképpen ábrázolható (2. ábra).
2. ábra - A kísérleti algoritmus általános sémája
PogBeta - a végső törvénynek az intervallum béta eloszlásával való közelítéséből eredő hiba;
PogNorm - a végső törvénynek az intervallum normális eloszlásával való közelítéséből eredő hiba;
ItogBeta - a hiba végső értéke, amely a végső eloszlás béta törvény általi közelítéséből adódik;
ItogNorm - a hiba teljes értéke, amely a végső eloszlás normál törvény szerinti közelítéséből adódik. 3. Kísérleti eredmények Elemezzük a korábban ismertetett kísérlet eredményeit.
A hibák csökkenésének dinamikáját a tagok számának növekedésével a 3. ábra mutatja. Az abszcissza a tagok számát, az ordináta pedig a hiba nagyságát mutatja. A továbbiakban a "Norm" sorozat a hiba normál eloszlás szerinti változását mutatja, a "Béta" sorozat - a béta - eloszlás.
3. ábra - Hibák csökkentése a kifejezések számának csökkentésével
Amint az ebből az ábrából látható, két tag esetében a béta törvény szerinti közelítés hibája körülbelül 4-szer kisebb, mint a normál eloszlási törvény szerinti közelítés hibája. Nyilvánvaló, hogy a kifejezések növekedésével a normál törvény szerinti közelítési hiba sokkal gyorsabban csökken, mint a béta törvény. Feltételezhető az is, hogy nagyon sok tag esetén a normáltörvény szerinti közelítés kisebb hibával fog járni, mint a béta eloszlással történő közelítés. A hiba nagyságát figyelembe véve azonban ebben az esetben megállapítható, hogy a tagok száma szempontjából a béta eloszlás az előnyösebb.
A 4. ábra a hibák változásának dinamikáját mutatja a valószínűségi változók aszimmetriájának növekedésével. Az általánosság elvesztése nélkül az összes kezdeti béta érték p paraméterét 2-es értékkel rögzítettük, és a q + 1 paraméter változásának dinamikája az abszcissza tengelyen látható. A grafikonokon az ordináta tengelye a közelítési hibát mutatja. A paraméterek más értékeivel végzett kísérlet eredményei általában hasonlóak.
Ebben az esetben is nyilvánvaló, hogy célszerű a béta értékek összegét béta eloszlással közelíteni.
4. ábra - A közelítési hibák változása a mennyiségek növekvő aszimmetriájával
Ezt követően elemeztük a hibák változását a kezdeti béta értékek tartományának megváltoztatásakor. Az 5. ábra a hiba mérési eredményeit mutatja négy béta érték összegére, amelyek közül három oszlik el az intervallumban, a negyedik tartománya pedig szekvenciálisan növekszik (az abszcisszán ábrázolva).
5. ábra - Hibák változása a valószínűségi változók eloszlási intervallumának megváltoztatásakor
A 3-5. ábrákon látható grafikus illusztrációk alapján, valamint a kísérlet eredményeként kapott adatokat figyelembe véve megállapítható, hogy a béta-értékek összegének közelítésére célszerű a béta eloszlást használni.
Amint azt a kapott eredmények mutatják, az esetek 98%-ában a vizsgált érték béta-törvény szerinti közelítésénél kisebb a hiba, mint a normál eloszlás közelítésénél. A béta közelítési hiba átlagos értéke elsősorban azon intervallumok szélességétől függ, amelyek között az egyes tagok eloszlanak. Ebben az esetben ez a becslés (a normál törvénnyel ellentétben) nagyon kevéssé függ a valószínűségi változók szimmetriájától, valamint a tagok számától. 4. Alkalmazások A kapott eredmények egyik alkalmazási területe a projektmenedzsment feladata. A projekt egymásra épülő soros-párhuzamos feladatok halmaza, véletlenszerű szolgáltatási időtartammal. Ebben az esetben a projekt időtartama véletlenszerű érték lesz. Nyilvánvaló, hogy ennek a mennyiségnek az eloszlási törvényének értékelése nemcsak a tervezési szakaszban érdekes, hanem az összes munka idő előtti befejezésével járó lehetséges helyzetek elemzésében is. Figyelembe véve azt a tényt, hogy a projekt késedelme sokféle kedvezőtlen helyzethez vezethet, beleértve a bírságot is, a projekt időtartamát leíró valószínűségi változó eloszlási törvényének becslése rendkívül fontos gyakorlati feladatnak tűnik.
Jelenleg a PERT módszert használják ehhez az értékeléshez. Feltételezése szerint a projekt időtartama egy normális eloszlású "eta" valószínűségi változó, amelynek paraméterei:
"a = összeg_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)", (16)
"szigma = sqrt (összeg_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))" . (17)
Itt k a projekt kritikus útján lévő munkahelyek száma; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - ezen munkák időtartama.
Tekintsük a PERT módszer korrekcióját, figyelembe véve a kapott eredményeket. Ebben az esetben feltételezzük, hogy a projekt időtartama a (13) és (14) paraméterekkel rendelkező béta törvény szerint van elosztva.
A kapott eredményeket próbáljuk ki a gyakorlatban. Tekintsünk egy projektet, amelyet a 6. ábrán látható hálózati diagram definiál.
6. ábra - Hálózati diagram példa
Itt a grafikon élei a munkákat, az élek súlyai a munkák számát jelzik; csúcsok négyzetekben - események, amelyek a munka kezdetét vagy végét jelzik. Adjuk meg a munkákat az 1. táblázatban megadott időtartamokkal.
Asztal 1 - A projektmunkák időbeli jellemzői
| Munka sz. |
min |
max |
Mat. készenlétben lévő |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
A fenti táblázatban min az a legrövidebb idő, amely alatt ez a munka elvégezhető; max - leghosszabb idő; Mat. készenlétben lévő a béta eloszlás matematikai elvárása, amely egy adott munka elvégzésének várható idejét mutatja.
A projekt végrehajtási folyamatát egy speciálisan kifejlesztett szimulációs modellező rendszerrel szimuláljuk. Részletesebben le van írva a. Kimenetként a következőket kell kapnia:
Projekt hisztogramok;
A szimulációs rendszer statisztikai adatai alapján adott intervallumban a projekt végrehajtási valószínűségeinek értékelése;
Valószínűségbecslés normál és béta eloszlással.
A projekt végrehajtásának 10 000-szeres szimulációja során a szolgáltatás időtartamáról mintát kaptunk, melynek hisztogramja a 7. ábrán látható.
7. ábra - Projekt időtartamának hisztogramja
Nyilvánvaló, hogy a 7. ábrán látható hisztogram megjelenése eltér a normáleloszlási törvény sűrűséggráfjától.
A (8) és (9) képleteket használjuk a végső matematikai elvárás és szórás meghatározásához. Kapunk:
`M eta = 27; D eta = 1,3889."
Egy adott intervallum eltalálásának valószínűségét a jól ismert képlet segítségével számítjuk ki:
`P (l (18)
ahol "f_ (eta) (x)" az "eta" valószínűségi változó eloszlási törvénye, lés r- az érdeklődési intervallum határai.
Számítsuk ki a végső béta eloszlás paramétereit. Ehhez a (13) és (14) képleteket használjuk. Kapunk:
p = 13,83; q = 4,61.
A béta eloszlás határait a (10) és (11) képlet határozza meg. Lesz:
A vizsgálat eredményeit a 2. táblázat tartalmazza. Az általánosság elvesztése nélkül válasszunk 10000-nek megfelelő modellfutásokat. A „Statisztika” oszlopban a statisztikai adatok alapján kapott valószínűséget számítjuk ki. A „Normál” oszlop a normáleloszlási törvény szerint számított valószínűséget mutatja, amelyet most a probléma megoldására használunk. A Béta oszlop a béta eloszlásból számított valószínűségi értéket tartalmazza.
2. táblázat – Valószínűségi becslések eredményei
A 2. táblázatban bemutatott eredmények, valamint más projektek végrehajtási folyamatának modellezése során kapott hasonló eredmények alapján megállapítható, hogy a kapott becslések a valószínűségi változók összegének (2) béta-val való közelítésére. A disztribúciók lehetővé teszik a probléma megoldását a meglévő társaikhoz képest nagyobb pontossággal. A munka célja a béta értékek összegének eloszlási törvényének olyan közelítése volt, amely a legkisebb hibában különbözik más analógoktól. A következő eredményeket kaptuk.
1. Kísérletileg hipotézist állítottak fel a béta értékek összegének a béta eloszlás segítségével történő közelítésének lehetőségéről.
2. Olyan szoftvert fejlesztettek ki, amely lehetővé teszi a kívánt sűrűség normáleloszlási törvény és béta törvény szerinti közelítéséből adódó hiba számértékének meghatározását. Ez a program egy rekurzív algoritmuson alapul, amely lehetővé teszi, hogy számszerűen meghatározza a béta értékek összegének sűrűségét egy adott sűrűséggel, amelyet részletesebben a cikkben ismertetünk.
3. Felállítottam egy számítási kísérletet, melynek célja a legjobb közelítés meghatározása volt a hibák összehasonlító elemzésével különböző körülmények között. A kísérleti eredmények azt mutatták, hogy a béta-eloszlás használható a béta-értékek összegének eloszlási sűrűségének legjobb közelítéseként.
4. Bemutatunk egy példát, amelyben a kapott eredmények gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ezek projektmenedzsment feladatok véletlenszerű végrehajtási időkkel az egyes munkákhoz. Az ilyen feladatoknál fontos probléma a projekt késedelmes befejezésével járó kockázatok felmérése. A kapott eredmények lehetővé teszik a kívánt valószínűségek pontosabb becslését, és ennek következtében a tervezési hibák valószínűségének csökkentését.
Bibliográfia
|
|
Nem vagy rabszolga!
Zárt oktatási tanfolyam az elit gyermekeinek: "A világ igazi elrendezése".
http://noslave.org
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Béta terjesztés
Valószínűségi sűrűség
A béta eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye |
Elosztási funkció
A béta eloszlás kumulatív eloszlási függvénye |
| Kijelölés
|
texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a matematikát / README.): \ Text (Be) (\ alfa, \ béta)
|
| Lehetőségek
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; Lásd matematikai / README - hangolási hivatkozás.): \ Alpha> 0
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A konfigurációs segítségért lásd a matematikai / README részt.): \ Beta> 0
|
| Hordozó
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A konfigurációs segítségért lásd a matematikát / README.): X \ in
|
| Valószínűségi sűrűség
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a matematikai / README részt.): \ Frac (x ^ (\ alfa-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alfa, \ béta))
|
| Elosztási funkció
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A konfigurációs segítségért lásd a matematikai / README részt.): I_x (\ alfa, \ béta)
|
| Várható érték
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; Lásd a matematikai / README menüpontot a hangolási súgóért.): \ Frac (\ alfa) (\ alfa + \ béta)
|
| Középső
|
|
| Divat
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; Lásd a matematikai / README súgót a hangoláshoz.: \ Frac (\ alfa-1) (\ alfa + \ béta-2) számára Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; Lásd a matematikai / README menüpontot a hangolási segítségért.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Diszperzió
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a matematikai / README oldalt.): \ Frac (\ alfa \ béta) ((\ alfa + \ béta) ^ 2 (\ alfa + \ béta + 1))
|
| Aszimmetria együttható
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási súgóért lásd: math / README \ béta))
|
| Kurtosis együttható
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a matematikai / README részt.): 6 \, \ frac (\ alfa ^ 3- \ alfa ^ 2 (2 \ béta-1) + \ beta ^ 2 (\ béta + 1) -2 \ alfa \ béta ( \ béta + 2)) (\ alfa \ béta (\ alfa + \ béta + 2) (\ alfa + \ béta + 3))
|
| Differenciál entrópia
|
|
| Pillanatok generáló függvénye
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math / README oldalt: 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alfa + r) (\ alfa + \ béta + r) \ jobb) \ frac (t ^ k) (k
!}
|
| Jellegzetes funkció
|
Nem sikerült elemezni a kifejezést (Végrehajtható texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math / README részt.): () _1F_1 (\ alpha; \ alfa + \ béta; i \, t)
|
Béta terjesztés a valószínűségszámításban és a statisztikában abszolút folytonos eloszlások kétparaméteres családja. Olyan valószínűségi változók leírására szolgál, amelyek értéke véges intervallumra korlátozódik.
Meghatározás
|
| 90 képpont |
Valószínűségi eloszlások |
|---|
| Egydimenziós |
Többdimenziós |
|---|
| Diszkrét:
|
Bernoulli | Binomiális | Geometriai | Hipergeometrikus | Logaritmikus | Negatív binomiális | Poisson | Diszkrét egyenruha |
Multinomiális |
|---|
| Teljesen folyamatos:
|
Béta| Weibulla | Gamma | Hiperexponenciális | Gompertz Distribution | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | | | Kopula |
|---|
A Béta disztribúciót jellemző részlet
Könnyek csillogtak a szememben... És egyáltalán nem szégyelltem. Sokat adnék azért, hogy élve találkozzam egyikükkel! .. Főleg Magdalénával. Milyen csodálatos, ősi varázslat égett ennek a csodálatos nőnek a lelkében, amikor létrehozta varázslatos birodalmát?! A birodalom, amelyben a Tudás és Megértés uralkodott, és amelynek gerince a Szeretet volt. Csak nem azt a szeretetet, amelyről a „szent” egyház kiáltott, miután ezt a csodálatos szót annyira megkoptatta, hogy nem akartam tovább hallani, hanem azt a szép és tiszta, igazi és bátor, az egyetlen és csodálatos SZERETET, amellyel néven születtek a hatalmak ... és akinek a nevében rohantak csatába az ősi harcosok ... akinek a nevében új élet született ... akinek a nevében világunk megváltozott és jobb lett ... Ezt a Szeretetet a Arany Mária. És ennek a Máriának szeretnék meghajolni... Mindenért, amit hordozott, tiszta, fényes ÉLETéért, bátorságáért és szeretetéért.
De sajnos ezt lehetetlen volt megtenni... Évszázadokkal ezelőtt élt. És nem lehettem, aki ismerte őt. Hirtelen hihetetlenül mély, könnyed szomorúság söpört végig a fejemen, és keserű könnyek potyogtak...
- Hát mi vagy, barátom! .. Más bánat vár rád! - kiáltott fel Sever meglepetten. - Kérlek nyugodj le ...
Gyengéden megérintette a kezem, és fokozatosan eltűnt a szomorúság. Csak a keserűség maradt, mintha valami könnyű és drága dolgot veszítettem volna el...
- Nem lazíthatsz... Háború vár rád, Isidora.
- Mondd, Sever, a katarok tanítását a Magdolna miatt hívták Szeretettanításnak?
- Itt nincs teljesen igazad, Isidora. Az avatatlanok a Szeretet Tanításának nevezték. Azok számára, akik megértették, teljesen más jelentést hordozott. Hallgass a szavak hangjára, Isidora: szerelem francia hangokon - amor - nem igaz? És most vedd le ezt a szót, elválasztva tőle az "a" betűt... A'mor ("halandó") lesz - halál nélkül... Ez a Magdolna tanításának - a halhatatlanok tanításának - valódi jelentése Mint már mondtam neked - mindent egyszerűen, Isidora, ha csak azért, hogy helyesen nézz és hallgass... Nos, és aki nem hallja - maradjon a Szeretet Tanítása... az is szép.
Teljesen elképedve álltam. A halhatatlanok tanítása! .. Daariya ... Szóval, mi volt Radomir és Magdolna tanítása! .. Az észak sokszor meglepett, de még soha nem éreztem magam ennyire megdöbbenve! .. A katarok tanítása vonzott hatalmas, varázslatos ereje, és nem tudtam megbocsátani magamnak, hogy korábban nem beszéltem erről Északkal.
- Mondd, Sever, maradt valami a katari rekordokból? Valaminek túl kellett élnie, nem? Ha nem is maguk a Tökéletesek, akkor legalább csak a tanítványok? Értek valamit a való életükről és a tanításukról?
- Sajnos - nem, Isidora. Az inkvizíció mindent elpusztított, mindenhol. Vazallusait a pápa parancsára még más országokba is küldték, hogy megsemmisítsenek minden kéziratot, minden megmaradt nyírfakérget, amit csak találtak... Kerestünk legalább valamit, de semmit nem tudtunk megmenteni.
- Nos, mi van magukkal az emberekkel? Nem maradhatna valami azoknak az embereknek, akik évszázadokon át megőrzik?
- Nem tudom, Isidora... Azt hiszem, ha valakinek volt is valamilyen felvétele, az idővel megváltozott. Hiszen természetes, hogy az ember mindent a maga módján alakít át... És főleg megértés nélkül. Így nem valószínű, hogy bármi is megmaradt úgy, ahogy volt. Kár... Igaz, megőriztük Radomir és Magdolna naplóit, de ez még a katár megalkotása előtt volt. Bár szerintem a tanítás nem változott.
- Elnézést a zavaros gondolataimért és kérdéseimért, Sever. Látom, hogy sokat veszítettem anélkül, hogy eljöttem volna hozzád. De még mindig élek. És amíg lélegzem, akkor is megkérdezhetem, nem? Elárulnád, hogyan végződött Svetodar élete? Elnézést, hogy félbeszakítom.
Sever őszintén elmosolyodott. Tetszett neki a türelmetlenségem és a szomjam, hogy "legyen időm" kideríteni. És örömmel folytatta.
Hazatérése után Svetodar mindössze két évig élt és tanított Occitaniában, Isidora. Ám ezek az évek váltak vándoréletének legdrágább és legboldogabb éveivé. Napjai Beloyar vidám nevetésétől megvilágítva, szeretett Montsegurjában teltek, körülvéve a Tökéletesekkel, akiknek Svetodar őszintén és őszintén próbálta átadni azt, amit a távoli Vándor sok éven át tanított neki.
- Bernoulli képlet.
Maga terjesztés
hívják binomiális.
A binomiális eloszlás paraméterei a siker valószínűsége p (q = 1 - p) és a kísérletek száma n. A binomiális eloszlás hasznos a binomiális események eloszlásának leírására, például a férfiak és nők száma véletlenszerűen kiválasztott cégek. A binomiális eloszlás használata játékproblémákban különösen fontos.
Az n próba sikerének m valószínűségének pontos képlete a következő:
ahol p a siker valószínűsége; q értéke 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - tesztek száma, m = 0,1 ... m
A binomiális eloszlás főbb jellemzői:
6. Poisson-képlet és Poisson-eloszlás.
Legyen az n kísérletek száma nagy, a p valószínűség kicsi, és
np kicsi. Ekkor az m siker valószínűsége n kísérletben megközelítőleg meghatározható Poisson-képlet:
.
Valószínűségi változó m eloszlássorozattal,
Poisson eloszlású. Minél több n, annál pontosabb a Poisson-képlet. Durva számításokhoz a képletet n = 10 esetén használjuk,
0-2, n = 100 esetén
0 - 3. A mérnöki számításoknál a képletet akkor alkalmazzuk, ha n = 20,
0-3, n = 100,
0 - 7. A pontos számítások érdekében a képletet akkor alkalmazzuk, ha n = 100,
0-7, n = 1000,
0
– 15.
Számítsuk ki egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását.
A Poisson valószínűségi változó főbb jellemzői:
Poisson eloszlási terv:
7. Geometriai eloszlás.
Tekintsük a Bernoulli-sémát. Jelöljük X-et - az első siker előtti kísérletek számát, ha egy kísérletben a siker valószínűsége p. Ha az első teszt sikeres, akkor X = 0.
... Ha X = 1, azaz az első teszt sikertelen, a második pedig sikeres, akkor a szorzási tétel szerint
... Hasonlóképpen, ha X = n, akkor az n-edik tesztig minden teszt sikertelen, és
... Állítsunk össze egy X valószínűségi változó eloszlási sorozatát
Egy ilyen eloszlási sorozatú valószínűségi változó rendelkezik geometriai eloszlás.
Ellenőrizzük a normalizálási feltételt:
8. Hipergeometrikus eloszlás.
Ez egy X valószínűségi változó diszkrét valószínűségi eloszlása, amelynek egész értékei m = 0, 1,2, ..., n valószínűségekkel:
ahol N, M és n nemnegatív egész számok és M< N, n < N.
A hipergeometrikus eloszlás matematikai elvárása nem függ N-től, és egybeesik a megfelelő binomiális eloszlás µ = np matematikai elvárásával.
A hipergeometrikus eloszlás diszperziója 
nem haladja meg a binomiális eloszlás npq varianciáját. A hipergeometrikus eloszlás tetszőleges sorrendű példányai a binomiális eloszlás momentumainak megfelelő értékeire hajlanak.
9. Béta terjesztés.
A béta eloszlás sűrűsége a következő:
A standard béta eloszlás a 0-tól 1-ig terjedő tartományba koncentrálódik. Lineáris transzformációk alkalmazásával a béta érték átalakítható úgy, hogy bármely tartományban értéket vegyen fel.
A béta eloszlású mennyiség főbb számszerű jellemzői:
Főnév., Szinonimák száma: 1 terjesztés (62) ASIS szinonim szótár. V.N. Trishin. 2013... Szinonima szótár
béta terjesztés- 1,45. béta eloszlás Egy folytonos X valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amely 0-tól 1-ig tetszőleges értéket vehet fel, beleértve a határokat is, és amelynek eloszlássűrűsége 0 £ x £ 1, paraméterei m1> 0, m2> 0, ahol Г .. ... A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája
béta terjesztés- Egy szakaszon értékeket vevő folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amelynek sűrűségét a képlet adja meg, ahol, a, b> 0 és a gamma-függvény. Jegyzet. Speciális eseteit nagyon széles körben használják ...... Szociológiai Statisztikai Szótár
Lásd a tervet... Szinonima szótár
A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában a Dirichlet-eloszlás (amely Johann Peter Gustave Lejeune Dirichletről kapta nevét), amelyet gyakran Dir (α) jelölnek, folytonos többváltozós valószínűség-eloszlások családja, amelyet az α vektorral paraméterez... ... Wikipédia
Béta: A Wikiszótárban van egy "béta" szócikk. A béta (betű) (β) a görög ábécé második betűje. Bétatesztelés Béta együttható Béta függvény (matematika) Béta eloszlás (valószínűségelmélet ... Wikipédia
Valószínűségi sűrűség ... Wikipédia
A valószínűségi eloszlás egy olyan törvény, amely leírja egy valószínűségi változó értéktartományát és azok elfogadásának valószínűségét. Tartalom 1 Definíció 2 A disztribúciók meghatározásának módjai ... Wikipédia
Terjesztés. Pearson-eloszlás Valószínűségi sűrűség ... Wikipédia
Könyvek
- Az egyetemi oktatási programokra való felvétel összehasonlítása az olimpiák eredményei és az USE pontszámok alapján, O. V. Poldin. A cikkben a különböző oktatási programok egyetemi felvételi minőségének összehasonlításához azt javasoljuk, hogy használjuk a korrigált keresleti görbéket, amelyeket a beiratkozottak HASZNÁLATI eredményeiből kaptunk.
