A differenciálegyenletek (egyenletrendszerek) konstans együtthatós megoldásának egyik módja az integráltranszformációk módszere, amely lehetővé teszi, hogy egy valós változó függvényét (eredeti függvény) helyettesítsük egy komplex változó függvényével (egy függvény képe). ). Ennek eredményeként az eredeti függvények terében a differenciálási és integrációs műveletek algebrai szorzássá és osztássá alakulnak át a képfüggvények terében. Az integráltranszformációk módszerének egyik képviselője a Laplace-transzformáció.

Folyamatos Laplace transzformáció- egy integrál transzformáció, amely egy komplex változó függvényét (a függvény képe) egy valós változó függvényével (a függvény eredetijével) kapcsolja össze. Ebben az esetben egy valós változó függvényének teljesítenie kell a következő feltételeket:

A függvény egy valós változó teljes pozitív féltengelyén definiált és differenciálható (a függvény kielégíti a Dirichlet-feltételeket);

A függvény értéke a kezdeti pillanatig nullával egyenlő ;

A függvény növekedését az exponenciális függvény korlátozza, azaz. egy valós változó függvényében léteznek ilyen pozitív számok M és val vel , mit hol c - abszolút konvergencia abszcisszája (valamelyik pozitív szám).

Laplace transzformáció (közvetlen integrál transzformáció) egy valós változó függvényét a következő formájú függvénynek nevezzük (egy komplex változó függvénye):

A függvényt a függvény eredetijének, a függvényt pedig képének nevezzük. Komplex változó Laplace operátornak nevezzük, ahol a szögfrekvencia, valami pozitív állandó szám.

Első példaként definiálunk egy képet egy állandó függvényhez

Második példaként definiálunk egy képet a koszinuszfüggvényhez ... Az Euler-képlet figyelembevételével a koszinuszfüggvény két exponenciális összegeként ábrázolható .

A gyakorlatban a közvetlen Laplace-transzformáció végrehajtásához transzformációs táblázatokat használnak, amelyekben a tipikus függvények eredetijeit és képeit mutatják be. E funkciók közül néhányat az alábbiakban mutatunk be.

Eredeti és kép az exponenciális függvényhez

Eredeti és kép a koszinusz függvényhez

Eredeti és kép a szinuszfunkcióhoz

Eredeti és kép az exponenciálisan bomló koszinuszhoz

Eredeti és kép az exponenciálisan bomló szinuszhoz

Meg kell jegyezni, hogy a függvény egy Heaviside függvény, amely nullát vesz fel az argumentum negatív értékeihez, és eggyel egyenlő értéket vesz fel az argumentum pozitív értékeihez.

Laplace transzformáció tulajdonságai

Linearitási tétel

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz. bármely lineáris kapcsolat egy függvény eredeti példányai között érvényes ezeknek a függvényeknek a képeire.

A linearitás tulajdonság megkönnyíti az összetett képek eredetijének megtalálását, mivel lehetővé teszi, hogy egy függvény képét egyszerű tagok összegeként ábrázoljuk, majd minden reprezentált kifejezés eredetijét megtaláljuk.

Az eredeti differenciálási tétele funkciókat

Az eredeti függvény differenciálása megegyezik szorzás

Nem nulla kezdeti feltételek esetén:

Nulla kezdeti feltétellel (speciális eset):

Így a függvényt differenciáló műveletet egy aritmetikai művelet váltja fel a függvény képterében.

Az eredeti integrációs tétele funkciókat

Az eredeti függvény integrálása megegyezik osztály függvényképeket a Laplace operátorra.

Így a függvényt integráló műveletet egy aritmetikai művelet váltja fel a függvény képterében.

Hasonlósági tétel

A függvény argumentumának megváltoztatása (a jel tömörítése vagy kiterjesztése) az időtartományban az argumentum és a függvénykép ordinátájának ellentétes változásához vezet.

Az impulzus időtartamának növekedése spektrális funkciójának összenyomódását és a spektrum harmonikus összetevőinek amplitúdóinak csökkenését okozza.

Késleltetési tétel

A jel késleltetése (eltolódása, eltolása) az eredeti függvény argumentumával az intervallum szerint a spektrum fázis-frekvencia függvényében (az összes harmonikus fázisszöge) adott mértékű változáshoz vezet anélkül, hogy a modulus (amplitúdó) megváltozna. függvény) a spektrum.

Az eredményül kapott kifejezés bármelyikre érvényes

Eltolási tétel

A jel késleltetése (eltolás, eltolás) a függvénykép argumentumával az eredeti függvény exponenciális tényezővel való szorzásához vezet

Gyakorlati szempontból az eltolási tételt az exponenciális függvények képeinek meghatározására használják.

Konvolúciós tétel

A konvolúció egy matematikai művelet, amelyet két függvényre alkalmaznak, és egy harmadik függvényt eredményeznek. Más szóval, ha egy bizonyos lineáris rendszer reagál egy impulzusra, akkor a konvolúció segítségével kiszámíthatja a rendszer válaszát a teljes jelre.

Így két függvény eredetijének konvolúciója e függvények képeinek szorzataként ábrázolható. Az egyeztetési tételt az átviteli függvények figyelembevételekor használjuk, amikor a rendszer válaszát (négyportos hálózat kimeneti jelét) akkor határozzuk meg, amikor egy négyportos hálózat bemenetére impulzus-tranziens választ adunk.

Lineáris kvadrupólus

Inverz Laplace transzformáció

A Laplace-transzformáció reverzibilis, i.e. egy valós változó függvénye egy komplex változó függvényéből egyedileg meghatározható . Ehhez az inverz Laplace transzformációs képletet használjuk(Mellin-képlet, Bromwich-integrál), amelynek a következő alakja van:

Ebben a képletben az integrálási határok azt jelentik, hogy az integráció egy végtelen egyenes mentén halad, amely párhuzamos a képzeletbeli tengellyel, és egy pontban metszi a valós tengelyt. Figyelembe véve, hogy ez utóbbi kifejezés a következőképpen írható át:

A gyakorlatban az inverz Laplace-transzformáció végrehajtásához a függvény képét a legegyszerűbb törtek összegére bontják a meghatározatlan együtthatók módszerével, és minden törtre (a linearitási tulajdonságnak megfelelően) meghatározzák a függvény eredetijét. , beleértve a jellemző függvények táblázatának figyelembevételét is. Ez a módszer olyan függvény megjelenítésére érvényes, amely helyes racionális tört. Meg kell jegyezni, hogy a legegyszerűbb tört lineáris és másodfokú tényezők szorzataként ábrázolható valós együtthatókkal, a nevező gyökeinek típusától függően:

Ha a nevezőben nulla gyök van, a függvény törtre bontja, például:

Ha a nevezőben nulla n-szeres gyök található, a függvény a típus törtrészére bontható:

Ha a nevezőben valódi gyök található, a függvény törtre bontja, például:

Ha a nevezőben valódi n-es többszörös gyök található, a függvény törtre bontja, például:

Ha a nevezőben van egy képzeletbeli gyök, akkor a függvény törtre bontja, például:

Összetett konjugált gyökerek esetén a nevezőben a függvény törtre bontja, például:

∙ Általánosságban ha a függvény képe szabályos racionális tört (a számláló foka kisebb, mint a racionális tört nevezőjének foka), akkor a legegyszerűbb törtek összegére bővíthető.

∙ Egy adott esetben ha a függvénykép nevezőjét csak az egyenlet egyszerű gyökeire bontjuk, akkor a függvényképet a legegyszerűbb törtek összegére a következőképpen bonthatjuk fel:

Az ismeretlen együtthatók meghatározhatók a definiálatlan együttható módszerrel vagy egyszerűsített módon a következő képlet segítségével:

A függvény értéke a pontban;

A függvény deriváltjának értéke egy pontban.

Átirat

1 Laplace-transzformáció Rövid információ Az áramkörelméletben széles körben használt Laplace-transzformáció egy olyan integráltranszformáció, amelyet f időfüggvényekre alkalmaznak, amelyek nullával egyenlők< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Bebizonyítható, hogy ha a Laplace-integrál valamilyen s értékre konvergál, akkor olyan F függvényt definiál, amely a teljes félsíkon analitikus> s Az így definiált F függvény analitikusan folytatható a komplex változó teljes síkjára = +, az egyes szinguláris pontok kivételével. Leggyakrabban ezt a folytatást úgy hajtjuk végre, hogy az integrál kiszámításával kapott képletet kiterjesztjük a komplex változó teljes síkjára Az F függvény, amelyet analitikusan a teljes komplex síkra folytatunk, a az f időfüggvény Laplace-képének, vagy egyszerűen a képnek nevezzük. Az F képéhez viszonyított f függvényt eredetinek nevezzük. Ha az F kép ismert, akkor az eredetit az f F d inverz Laplace-transzformációval találhatjuk meg. > A jobb oldali integrál egy, az ordinátatengellyel párhuzamos egyenes mentén lévő kontúrintegrál. Az értéket úgy választjuk meg, hogy az R> félsíkban ne legyenek szinguláris pontjai az F függvénynek. az inverz Laplace-transzformáció, és az f L (F) L 7 szimbólummal jelöljük

2 Tekintsük a Laplace-transzformáció néhány tulajdonságát Linearitás Ez a tulajdonság felírható az L (ff) L (f) L (f) egyenletnek egy df L () d df d F fdf függvény Laplace-transzformációjaként. az integrál: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Tekintsük a Laplace-transzformáció legegyszerűbb alkalmazását az áramkörelméletben Az ábrán az áramkörök legegyszerűbb elemei láthatók: ellenállás, induktivitás és kapacitás Az ellenálláson bekövetkező pillanatnyi feszültségesés a még mindig fennálló egyenlőség az Ohm-törvény alakja, de már a feszültség és áramerősség képeihez Az induktivitáson átívelő pillanatnyi feszültségre a diu L, d reláció, azaz nincs egyenes arányosság, Ohm törvénye itt nem érvényes A Laplace-transzformáció után U-t kapunk. = LI LI +

3 Ha, ahogy az gyakran előfordul, I + =, akkor az összefüggés U = LI alakot ölt, így a feszültség és az áram képére ismét érvényes az Ohm-törvény Az ellenállás szerepét az L mennyiség játssza, ami induktivitás-ellenállásnak nevezzük A kapacitásra vonatkozóan megvan a kapcsolat a feszültség és az induktivitás pillanatnyi értéke között uid C A Laplace-transzformáció után ez az arány az UI alakot ölti, a C te az Ohm-törvény alakját, a kapacitív ellenállás pedig: egyenlő C-vel Készítsünk táblázatot az áramkörelméletben található elemi függvények direkt és inverz Laplace-transzformációiból egy egységlépést az egyenlőségek határoznak meg: at; Laplace-nél ennek a függvénynek a transzformációja L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Most nézzük a racionális tört inverz transzformációját, nevezetesen a kép bbbb BF nnnnmmmm Legyen m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 út Bontsuk fel a képet egyszerű törtekre, és szorozzuk meg: nn KKKKB Most törekedjünk Ekkor csak K marad a jobb oldalon: lim BK A jobb oldalon van egy formabizonytalanság, amelyet L'Hôpital szerint bővítünk. szabály: "BK Helyettesítve kapjuk" n BB Ismert egyszerű tört inverz transzformációja: L Ezért "n BBL Kamat speciális eset, amikor a nevező egyik gyöke nullával egyenlő: BF Ebben az esetben a dekompozíció F egyszerű törtté alakítása az előzőből következően alakja lesz" n BBB és B gyöke nincs nullán

6 3 Ezért az F függvény inverz Laplace-transzformációja a következő alakú lesz: n B B B "L Tekintsünk egy másik esetet, amikor a B nevezőben lévő polinomnak több gyöke van. Legyen m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Az áramkörök néhány általános tulajdonsága. Legyen egy komplex áramkör P ágból és Q csomópontból. Ekkor az első és a második Kirchhoff-törvény szerint P + Q egyenleteket állíthatunk össze az ágakban lévő P áramokra és Q csomóponti potenciálokra. Az egyik Q csomóponti potenciál nullának vesszük De az egyenletek száma Q-n csökkenthető, ha hurokáramokat használunk váltakozó áramként Ebben az esetben automatikusan teljesül az első Kirchhoff-törvény, hiszen minden áram belép és kilép a csomópontból, azaz megadja nullával egyenlő összáram, és ezen felül a csomóponti potenciálok Q-ja a hurokáramon keresztül fejeződik ki. Az egyenletek teljes száma, és ezért a független hurkok egyenlővé válnak P + QQ = PQ + A független egyenletek közvetlenül felírhatók ha a hurokáramokat ismeretlennek vesszük.egyik másik kontúr ábra Minden kontúrhoz egyenleteket készítünk a második Kirchhoff-törvény szerint. a Általában az elágazás ellenállása egyenlő i R i C i L ahol i, =, n, n a független áramkörök száma. A hurokáramok egyenletei a következők: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Itt E i az i-edik áramkörben lévő összes EMF összege i-edik kontúrok Az ii ellenállások az i-edik körvonalban szereplő ellenállások összegét jelentik Az i ellenállás része az i-edik ellenállása 33 ábra Példa független kontúrokra

8 Az m-edik áramkör egyenlete a következő lesz: olyan áramkör, amely a harmadik áramkörben is benne van. Nyilvánvaló, hogy passzív áramkörre igaz az i = i egyenlőség. Tekintsük, hogy az áramköri áramok egyenletei olyan aktív áramkörök esetén tranzisztorok módosulnak, ábra mi mi mn I n Em I i A második tagot a jobb oldalról a bal oldalra áthelyezve ezt az egyenletet a következőképpen alakítjuk át: mi mi I i mn I n Em ismeretlenek, csomóponti potenciálok szintén használt, az egyik csomópont potenciáljából számolva, nullának vesszük Y ami a következőképpen írható át: ahol ábra Tranzisztor egyenértékű áramköre komplex áramkörben U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 A csomóponti potenciálok egyenletrendszere Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Amelyben függő áramforrások vannak. Tekintsük most az áramköri egyenletek megoldásait. ugyanaz a determináns, amelyben az i-edik oszlopot a jobb oldali E, E, E n elektromotoros erők helyettesítik. Tegyük fel, hogy az áramkörben csak egy EMF van, amely a bemeneti áramkörben van, és amelyhez az első szám van hozzárendelve. az egyenleteket úgy kell összeállítani, hogy csak egy áramköri áram menjen át a számunkra érdekes ágon, 4. ábra Ekkor a bemeneti áram egyenlő az IE-vel, ahol a megfelelő algebrai komplement determináns i 4. ábra Áramkör EMF-el a bemeneti áramkörben 35

10 Az EI arányt bemeneti ellenállásnak nevezzük. Ezzel szemben ez az ellenállás figyelembe veszi az összes áramkör hatását A második kimeneti áramkörnél I 36 E lesz, ahol a megfelelő algebrai összeadás A TIE összefüggést átviteli ellenállásnak nevezzük. az első áramkörből a másodikba. 5 5. ábra Áramforrás az "UI" I, Y "Y" bemeneten és az átviteli vezetőképesség az első csomóponttól a másodikig: U "I" IYT, YT "" ahol I az első csomópontba betáplált áram, az első és második csomópontban kapott U és U feszültség "a csomóponti potenciálok egyenletrendszerének fő meghatározója, és" i a megfelelő algebrai komplementer és Y között egy Y reláció Egy passzív láncra volt = Ezért a rendszer fő meghatározója szimmetrikus Ebből következik, hogy az algebrai komplementerek egyenlőek: = Ezért egyenlőek és az átviteli ellenállás T = T Ezt a tulajdonságot nevezzük viszonosság. Ez, amint látjuk, az ellenállásmátrix szimmetriája. A reciprocitás tulajdonságát a 6. ábra a következőképpen fogalmazza meg: ha a bemeneti áramkörben található EMF valamilyen áramot okoz a kimeneti áramkörben, akkor ugyanaz az EMF, amely a a kimeneti áramkör okozza a bemeneti áramkörben,

11 re áram azonos értékű Röviden, ezt a tulajdonságot néha a következőképpen fogalmazzák meg: Az EMF a bemeneti áramkörben és az ampermérő a kimeneti áramkörben felcserélhető, míg az ampermérő leolvasása nem változik. 6. ábra A tulajdonsággal rendelkező áramkör viselkedése reciprocitás 7 UE 7. ábra Feszültségátviteli együttható, majd A 7. ábra diagramjából következik: UUI n; ; K n E T E; I T U n Hasonlóképpen meghatározható az áramátviteli arány I K I 8. ábra: I Innen I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I 8. ábra Áramátviteli arány Yn Y T T 37

12 3 Bővebben az áramköri függvények általános tulajdonságairól Az áramköri függvények egyenletek megoldásával kapott változó függvényei, például bemeneti vezetőképességi ellenállás, átviteli vezetőképességi ellenállás stb. Összevont paraméterekkel rendelkező áramkörök esetén bármely áramköri függvény racionális a változó és törtrésze m Ф B bnmnbmmnn 38 bb és az együtthatók valósok Ellenkező esetben Ф bmnm, "" "hol, m,", "," n gyöke egyenletek mbnmnbmnm, nbb formában ábrázolható Az értékek =, m az Ф függvény nulláinak, az = ",", "n" értékeket pedig pólusoknak Φ Nyilvánvalóan két racionális függvény, amelyek nullája és pólusa egybeesik, csak állandó tényezőkkel térhet el egymástól. más szóval a lánc paramétereinek gyakoriságtól való függésének jellegét teljesen meghatározzák a láncfüggvény nullái és pólusai.. a polinom felveszi a * = * és B * = B konjugált értéket * Ebből következik, hogy ha a polinom azt Ha van komplex gyök, akkor az is gyök lesz. Így a láncfüggvény nullái és pólusai lehetnek valósak vagy összetett konjugált párokat alkothatnak. Legyen Ф a lánc függvénye. Tekintsük értékeit =: Ф Ф Ф Mivel az együtthatók a számlálóban és a nevezőben Ф valósak, akkor Ф Ф n,

13 Nem Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Ezeket az egyenlőségeket összehasonlítva a fent megadott egyenlőség figyelembevételével azt kapjuk, hogy Ф Ф, Ф Ф, azaz az áramköri függvény valós része a frekvencia páros függvénye, a képzeletbeli páratlan pedig 3. frekvencia függvénye Stabilitás és fizikai megvalósíthatóság Tekintsük azt az egyenlőséget, amely meghatározza az U feszültség okozta bemeneti ellenállás áramát: UIB Legyen U egységnyi lépés, majd I, B ahol és B polinomok A kiterjesztési képlet segítségével kaphat i BB ", ahol a B polinom nullai, és ezért az ellenállásfüggvény nullái és a fődetermináns nullai: = Ha legalább egy nullának pozitív valós része van, akkor i végtelenül növekedni fog. Így az ellenállás, amelyek közül legalább egy nulla a jobb oldali félsíkban van, instabil rendszernek felel meg, 39

14 me Ugyanezt a következtetést vonhatjuk le a T átviteli ellenállásra, az Y bemeneti vezetőképességre, az YT átviteli vezetőképességre vonatkozóan is. Definíció Egy áramköri függvényt akkor nevezünk fizikailag megvalósíthatónak, ha egy olyan áramkörnek felel meg, amely valós elemekből áll, és amelynek természetes rezgései egyike sem. amplitúdója korlátlanul növekszik -val A definícióban megadott láncot stabilnak nevezzük A lánc fizikailag megvalósítható stabilfüggvényének fődeterminánsának nullái, ezért az ellenállási és vezetőképességi függvények nullái csak a bal oldalon helyezkedjenek el. a változó félsíkja vagy a valós frekvenciák tengelyén. Ha két vagy több nulla több gyökkel esik egybe, akkor a megfelelő megoldások alakja: M, ahol M egy m fokú polinom, m az If gyök többszöröse, egyidejűleg =, és m>, akkor a megfelelő megoldás korlátlanul növekszik o együttható e átvitelre, akkor az előbbiekben leírtak nem nullákra vonatkoznak, hanem az átviteli együttható áramkör függvényének pólusaira. nullái minden bizonnyal a megfelelő síkban helyezkednek el.A fentiekből az következik, hogy a lánc fizikailag megvalósítható függvényei a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: míg a láncfüggvény nullái és pólusai vagy valósak, vagy összetett konjugált párokat alkotnak; b a láncfüggvény valós és imaginárius része valós frekvenciákon páros, illetve páratlan frekvenciafüggvény; a fődetermináns nulláiban, következésképpen a vezetőképességi ellenállás és az átviteli vezetőképességi ellenállás nem lehet a jobb oldali félsíkban, több nulla pedig sem a jobb félsíkban, sem a valós frekvenciák tengelyén T 4

15 3 Tranziens folyamatok erősítőkben Az áramkör egyenletrendszerének megoldása képet ad a kimenő jelről adott bemenetre U = KE Az áramkör függvénye az időtartományban az inverz u L (KE) Laplace transzformáció segítségével kereshető meg. A legérdekesebb a tranziens folyamat lépéses bemeneti jellel Reakció A rendszer egyetlen lépésre adott válaszát átmeneti függvénynek nevezzük, az átmeneti függvény ismeretében megtalálhatjuk a rendszer válaszát egy tetszőleges bemeneti jelre. alakzat.Egy lépés képének van formája, ezért a rendszer válasza egyetlen lépésre: K h L Az inverz Laplace-transzformáció a következőképpen írható fel: h LKK 4 d Ugyanakkor>, mivel az út Az integrációnak a pólustól jobbra kell feküdnie = Nagyon érdekes a definíció 3. ábra Az erősítő tranziens függvényének körvonala a frekvenciamenettel való integrálásának típusa szerint Ehhez a tranziens integráció számítási útvonalát a valós frekvenciák függvényének tengelyével kombinálva = Pólus t-ben pont = ebben az esetben egy kis r sugarú kört kell megkerülni 3. ábra: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Menjünk az r határig Akkor van d KVKK d KV h Itt a V kifejezés az integrállal ennek az integrálnak a fő értékét jelenti. E képlet alapján néhány általános következtetés levonható Cserélje ki a h változót a következőre: d KVK h De h, amint az oksági elvből következik, mivel a jel itt jelenik meg> A K erősítési függvény összetett és így ábrázolható. a valós és képzetes részek összege: K = K + K r A h kifejezésbe behelyettesítve d KKVK r-t kapunk. A vonatkozásban differenciálva d KK r vagy cos sin sin cos d KKKK rr

17 Az integrandus képzetes része a frekvencia páratlan függvénye, ezért az integrálja egyenlő nullával. Mivel a valós rész a frekvencia páros függvénye, a feltétel, amelyet a fizikailag megvalósítható átviteli együtthatónak teljesítenie kell, a következő: K cos K sin dr at Ez a feltétel, mint láttuk, az oksági elvből következik. Megmutatható, hogy az a rendszer, amelynek átviteli együtthatója a K, B polinomok arányaként írható fel, stabil abban az értelemben, hogy a polinom minden nullája B a bal félsíkban fekszik, kielégíti az oksági elvet. Ehhez megvizsgáljuk a K hd integrált< и >Vezessünk be két zárt kontúrt és B-t a 3. ábrán látható módon. 3. ábra Integrációs kontúrok: at< ; B при > 43

18 44 Tekintsünk egy olyan függvényt, ahol az integrál egy zárt kontúrt vesz fel. A Cauchy-féle integráltétel miatt az integrál egyenlő nullával, mivel a jobb oldali félsíkban az integrandus a feltétel alapján analitikus. Az integrál felírható egy integrálok összege az integrációs körvonal egyes szakaszaira: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Mivel cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >h B h tart R-re Így: R h, for>

19 A maradék egy egyszerű pólusra vonatkoztatva egyenlő az RB-vel, amely már korábban is volt K lim, 45 lim B Példa Tekintsük a 33. ábrán látható integráló lánc sémáját. Ennél a láncnál az átviteli együttható, valamint annak képzeletbeli és valós értéke a részek alakja: K; K; K r, ahol RC Bizonyítsuk be, hogy a fent megadott oksági feltétel szerint az egyenlőségnek teljesülnie kell Az egyenlőség ismert cos sin d cos d A jobb és bal oldalt a következőképpen különböztetjük meg: sin d Ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldalát megszorozva a következőt kapjuk: sin d, 33. ábra Az integráló áramkör sémája, amelyből a bizonyításhoz szükséges egyenlőség következik. A rendszer tranziens függvényének birtokában bármely bemenetre megtalálhatjuk a válaszát. jel Ehhez közelítőleg a bemeneti jelet egységlépések összegeként ábrázoljuk 34. ábra

20 34. ábra A bemeneti jel ábrázolása Ezt az ábrázolást a következőképpen írhatjuk fel: uuu Következő uu "Az egységlépésre adott válasz egyenlő lesz h-val Ezért a kimeneti jel megközelítőleg a következőképpen ábrázolható: uuhu" h Átlépés a határértékre , az összeg helyett az uuhu "hd" integrált kapjuk. A Duhamel-integrál egyik alakja Részenkénti integrálással megkaphatjuk a Duhamel-integrál másik alakját: uuhuh "d És végül a =" változó megváltoztatásával , a Duhamel integrál két további alakját is megkaphatjuk: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 A kétpólusú áramkörök egyes tulajdonságai 4 A bemeneti vezetési ellenállás függvény általános tulajdonságai A kétpólusú hálózatokat teljes mértékben a bemeneti vezetési ellenállás függvénye jellemzi Ennek a függvénynek a jobb oldali félsíkjában nem lehetnek nullák, valamint több nulla a valós frekvenciák tengelyén Mivel Y, így Y nullái a pólusoknak felelnek meg és fordítva.A bemeneti vezetési ellenállás függvényében nem lehetnek pólusok a jobb félsíkban és több pólus a valós frekvenciák tengelyén. Az aszimptotikus egyenlőség teljesül: bm mn Mivel a valós frekvenciák tengelyén ne legyen több nulla és pólus, ebből következik, hogy a számláló és a nevező polinomjainak mn te hatványai nem térhetnek el eggyel többel. lisi = hasonlóképpen kimutatható, hogy a számláló és a nevező legkisebb kitevői nem térhetnek el eggyel többel. Ezen állítások fizikai jelentése az, hogy nagyon magas és nagyon alacsony frekvenciákon egy passzív kétpólusú eszköznek úgy kell viselkednie, mint egy kapacitás vagy induktivitás vagy aktív ellenállás n, 4 Kétterminális hálózat energiafüggvényei Tegyük fel, hogy a kétterminális hálózat egy komplex áramkör, amely aktív ellenállásokat, kapacitásokat és induktív elemeket tartalmaz.

Ha egy kétkapocs kapcsaira szinuszos feszültséget kapcsolunk, akkor a két kapocsban némi teljesítmény disszipál, melynek P átlagértéke jellemzi az energia disszipációt A kondenzátorokban és tekercsekben elektromos és mágneses energia tárolódik, az átlag melynek értékeit WE és WH jelöljük. Ezeket az értékeket a hurokáramok egyenleteivel számítjuk ki. A fenti mennyiségek kifejezéseit közvetlenül írjuk a legegyszerűbb esetek analógiájára. Tehát az R ellenállásra az átlagos disszipált teljesítmény egyenlő a PRII-vel Hasonlóképpen egy több elágazást tartalmazó áramkör esetén az átlagos teljesítmény a hurokáramokon keresztül fejezhető ki: P i R i I i I Az induktivitásban tárolt átlagos energia, egyenlő a WHLII-val Komplex áramkör esetén ezt az értéket a következőképpen fejezzük ki: a hurokáramok: WH 4 i L i I A kondenzátorban tárolt átlagos energia De ezért WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Ezen arány alapján írhatunk egy kifejezést a teljes átlagos elektromos energiára: WE 4 Ii I i Ci Nézzük meg, hogyan kapcsolódnak ezek a mennyiségek a bemeneti feszültségekhez és áramokhoz. Ehhez írjuk fel a hurokáramok egyenleteit. IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Szorozzuk meg az egyes egyenleteket a megfelelő 49 Ii áramerősséggel, és adjuk össze az összes I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci értéket Ha R i = R i; L i = L i; C i = C i, vagyis az áramkör kielégíti a reciprocitás elvét, és nincsenek aktív elemek, akkor: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W A fenti egyenlőségbe behelyettesítve E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE függvényeket kapunk

24 Telledzhen tétele lehetővé teszi, hogy kifejezéseket találjunk Y ellenállására és vezetőképességére az energiafüggvények alapján: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Az és az Y kifejezésekből energiafüggvények tekintetében bizonyos következtetéseket vonhatunk le.A bemeneti ellenállás ill. egy passzív áramkör vezetőképességének van egy nem negatív valós része a valós frekvenciák tengelyén. Ez csak akkor nulla, ha nincs energiaveszteség az áramkörben A stabilitási feltételek megkövetelik, hogy Y-nak ne legyen nulla és pólusa a jobb felében. sík A pólusok hiánya azt jelenti, hogy Y analitikus függvények a jobb oldali félsíkban. Ha egy függvény valamely régióban analitikus, akkor valós és képzeletbeli részei a régió határán érik el legkisebb és legnagyobb értéküket. a bemeneti ellenállás és vezetőképesség függvényei analitikusak a jobb oldali félsíkban, valós része a határon ennek a tartománynak a valós frekvenciák tengelyén eléri a legkisebb értéket, de a valós frekvenciák tengelyén a valós rész nemnegatív, ezért a teljes jobb oldali félsíkban pozitív. Ráadásul a függvények és Y valós értéket vesz fel ​​valós értékekre, mivel ezek a valós együtthatós polinomok osztásának hányadosa Azt a függvényt, amely valós értékeket vesz fel valósnak, és amelynek a jobb oldali félsíkban pozitív valós része van, pozitív valós függvénynek nevezzük. A bemeneti ellenállás a konduktanciafüggvények pedig pozitív valós függvények A függvény pozitív valós függvény volt 3 A valós frekvenciatengelyen lévő képzeletbeli rész nullával egyenlő, ha a kétterminális eszköz nem tartalmaz reaktív elemeket vagy a mágneses és EE átlagos tartalékait;

25 elektromos energia egy kétvégű hálózatban azonos Ez a helyzet a rezonanciával; azt a frekvenciát, amelyen ez megtörténik, rezonanciafrekvenciának nevezzük. Megjegyzendő, hogy a és Y energiaarányok származtatása során alapvetően a függő források hiányának reciprocitási tulajdonságát használták.Azoknál az áramköröknél, amelyek nem felelnek meg a reciprocitás elvének. és függő forrásokat tartalmaznak, ez a képlet hibásnak bizonyulhat A 4. ábra egy soros rezonáns áramkör diagramját mutatja Nézzük meg, mit ad az energiaképlet ebben a legegyszerűbb esetben Az R ellenállásban disszipált teljesítmény, amikor I áram folyik, egyenlő a PIR-rel Az elektromos és mágneses energiák átlagos tartalékai egyenlőek: WHLICU; W E A kondenzátoron lévő U feszültség, amikor az I áram folyik, innen W E I U C I C Az energiaképletben behelyettesítve a következőt kapjuk: L I I R I

26 Itt E E C C S I S E R R RC RC C C Legyen, S >> C, hogy a zárójelben lévő első tag figyelmen kívül hagyható legyen a lámpa S meredeksége Ekkor a bemeneti impedancia S I E RC E RC I S S RC lesz ahol Req; Leq SS 4. ábra Elektronikus ellenállás RC SR eq L eq, Nyilvánvaló, hogy a bemeneti ellenállás számítása energiafüggvényekkel ebben az esetben hibás eredményt ad. Valóban, ebben az áramkörben nincs mágneses energiatartalék, ami meghatározza az induktivitást Az energiaképlet erre az áramkörre való alkalmatlanságának oka egy függő forrás jelenléte az áramkörben. A lámpa vezérlőrácsának áramkörében a szükséges fáziseltolás kiválasztásával induktív vagy kapacitív fáziseltolódás érhető el. a bemeneti feszültség és áramerősség, és ennek megfelelően a bemeneti ellenállás induktív vagy kapacitív jellege passzív áramkör ellenállása vagy vezetőképessége nem negatív a valós frekvenciák tengelyén Bármely frekvenciára azonosan lehet nulla, ha az áramkör minden elemének nincs vesztesége, azaz tisztán reaktív, de még veszteségek jelenlétében is az ellenállás vagy vezetőképesség valós része bizonyos frekvenciákon eltűnik 5

27 Ha a képzeletbeli tengelyen sehol sem tűnik el, akkor az ellenállás vagy vezetőképesség függvényéből a fizikai megvalósíthatóság feltételeinek megsértése nélkül levonható egy állandó érték úgy, hogy a nem negatívnak maradó valós rész valamilyen frekvencián nullára fordul. A változó jobb oldali félsíkjában lévő pólusok ., azaz ebben a tartományban analitikus, akkor a valós részének határán, azaz a képzeletbeli tengelyen van egy minimális érték. Ezért ennek a minimális értéknek a kivonása a valós rész pozitív a jobb oldali félsíkban A bemeneti vezetési ellenállás függvényét a vezetés aktív ellenállásának típusminimum függvényének nevezzük, ha a valós része eltűnik a valós frekvenciák tengelyén, így ennek csökkenése komponens lehetetlen a passzivitás feltételeinek megsértése nélkül. akkor a valós frekvenciák tengelyén a valós rész nullája legalább , c és nem minimálisan aktív d típusú multiplicitással rendelkezik a 43. ábrán, és az áramkör bemeneti ellenállása nem minimálisan aktív típusú, mivel a az ellenállás valós része nem tűnik el semmilyen valós frekvencián Ugyanakkor a vezetőképesség valós része eltűnik a frekvencián = Ezért az áramkör minimális aktív vezetőképességű áramkör A 43. b ábrán az áramkör egy áramkör. minimális aktív ellenállás, mivel az ellenállás valós része végtelen 53 frekvencián eltűnik

28 A 43. ábrán az áramkör egy R = minimális aktív ellenállású áramkör a soros áramkör rezonanciafrekvenciáján A 3. körben lévő áramkör véges ellenállású a rezonanciafrekvencián 44 Aktív kétpólusú hálózatok bemeneti vezetőképességi ellenállásai 44. ábra Kétterminális eszközök: a EMF forrással, b ellenállás hozzáadásával R Az aktív bemeneti vezetőképesség ellenállása a passzív kétterminális eszközökkel ellentétben nem pozitív függvény, ezért az ilyen kétterminális hálózatok bizonyos feltételek mellett legyen instabil. Tekintsük az itt elérhető lehetőségeket Az ellenállásnak a változó jobb oldali félsíkjában nullák vannak, de ott nincsenek pólusai Tekintsük a 44. ábrán látható áramkört, és helyezzünk el exponenciálisan növekvő megoldásokat, azaz kétpólusú A nick instabil, ha EMF-forrásról táplálják, vagy egyébként, ha a kivezetései rövidre zárnak. Másrészt, mivel nincs pólusa a jobb oldali félsíkban, ez analitikus funkció ebben a félsíkban. ebből következik, hogy a valós rész eléri a minimumot a jobb oldali félsík határán, azaz a valós frekvenciák tengelyein Ez a minimum negatív, mivel ellenkező esetben pozitív valós függvény lenne, és a jobb oldalon nem lehet nulla. félsík.A valós frekvenciatengelyen a valós rész minimuma nullára növelhető pozitív valós ellenállás hozzáadásával Ebben az esetben a + R függvény pozitív valós függvénnyel lesz Ezért egy kétvégű hálózat hozzáadásával az R ellenállás stabil lesz rövidzárlat alatt 44. ábra, b.

29 Az Y vezetőképességnek a jobb félsíkjában nullák vannak, de ott nincsenek pólusai. Ez az előzővel ellentétes eset, mivel ez azt jelenti, hogy = / Y pólusai vannak a jobb félsíkban, de ott nincsenek nullák. .Ebben az esetben a stabilitást áramforrásos áramkörben vizsgáljuk 45. ábra, a Ha Y a jobb oldali félsíkban nullák, akkor a kétkapus hálózat instabil üresjáratban. Mivel Y-nak nincs pólusa a jobb oldali félsíkban, az Y függvény valódi pozitív függvénnyel tehető egy pozitív valós vezetőképesség G Gmin hozzáadásával. nullák a jobb oldali félsíkban, de ott nincsenek pólusai, kellően nagy valós vezetőképesség hozzáadásával stabilizálhatóvá tehető.3. feszültségforrásból A függvénynek a jobb oldali félsíkban vannak nullái és pólusai.Ebben az esetben a a stabilitás kérdésének megoldása különös átgondolást igényel Tehát a következő következtetéseket vonhatjuk le: ha egy aktív kétvégű hálózat áramforrásról táplálva stabil, nincs pólusa a jobb félsíkban, akkor stabillá tehető. feszültségforrásról táplálva valamilyen pozitív anyagellenállás sorba kapcsolásával; ha egy aktív kétkapusú eszköz stabil, ha Y feszültségforrásról táplálják, és nincsenek pólusai a jobb félsíkban, akkor áramforrásról táplálva stabilvá tehető, ha kellően nagy valós vezetőképességet kapcsolunk párhuzamosan Példa Vegye figyelembe az R negatív ellenállás párhuzamos bekötése C kapacitással 46. ábra RCR Itt R RC CI 55 Y b G 45. ábra Kétpólusú hálózatok: a áramforrással; b vezetőképesség hozzáadásával Y Y 46. ábra Kétpólusú I negatív ellenállással

30 Amint látható, a jobb oldali félsíkban nincsenek nullák, ezért egy ilyen áramkör feszültségforrásról táplálva stabil, de üresjáratban instabil. Adjunk hozzá L induktivitást sorba, majd 47. ábra Egyenértékű áramkör alagútdióda RRL LCR L RC RC Ennek a funkciónak a jobb oldali félsíkjában nullák vannak: , RC 4 RC LC Ezért az áramkör instabil, ha feszültségforrásról táplálják, de van egy pólusa is a jobb félsíkban. próbálja meg stabilizálni az R soros ellenállás hozzáadásával. 47. ábra Majd R LCR RRC LRRLR RC RC A stabilitási feltétel abból áll, hogy a jobb oldali félsíkban nincsenek számláló nullák. Ehhez a számlálóban lévő trinomiális összes együtthatóját meg kell adni. legyen pozitív: RR CL; RR Ez a két egyenlőtlenség a következőképpen írható fel: L CR RR Nyilvánvalóan lehetségesek ilyen egyenlőtlenségek, ha LLR vagy R RC C R R feltétel mellett A 47. ábrán látható áramkör ekvivalens az alagútdióda C áramkörével.

31 lehetőség alagútdióda működési módjának stabilizálására külső ellenállás segítségével Példa Tekintsünk egy LC áramkört párhuzamosan kapcsolt negatív ellenállással 48. ábra Keresse meg az áramkör terhelés nélküli stabilitásának feltételeit Ehhez számítsa ki a vezetőképességet: th R vagy R> R o Ha a fordított egyenlőtlenség teljesül, az áramkörben a 45 rezonanciakör frekvenciáján önrezgések gerjesztődnek bizonyos határokig anélkül, hogy megsértenék a passzivitás feltételeit Fizikailag ez a valós komponens állandó értékű változása azt jelenti, hogy valódi aktív ellenállás hozzáadása vagy kizárása, ideális esetben független a frekvenciától. Az n ellenállásfüggvény reaktív komponensének változása A konstans értékű vezetőképesség elfogadhatatlan, mivel ez sérti az áramköri funkció képzeletbeli komponensének fizikai megvalósíthatóságának feltételeit. Fizikailag ez azzal magyarázható, hogy nincsenek tisztán reaktív frekvenciafüggetlen vezetőképességi ellenállású elemek. a reaktív komponens változása az aktív komponens változása nélkül lehetséges abban az esetben, ha a vezetőképesség ellenállásának pólusai vannak a valós frekvenciák tengelyén A fizikai megvalósíthatósági feltételek miatt az ilyen pólusoknak egyszerű és összetett konjugáltaknak kell lenniük

32 Legyenek az ellenállásnak pólusai a frekvenciákon Ekkor meg tudjuk különböztetni az egyszerű törteket MNBB Könnyen belátható, hogy NNMMN r MB r 58 B * M, MM Tekintsük az egyik tört viselkedését, például M / közel = Akkor MMM r M r M A frekvencia közelében a valós komponens előjelet vált, ami ellentmond a fizikai megvalósíthatóság feltételeinek Ezért M r = N r = Ekkor M = N Ezen kívül kimutatható, hogy M = N> Valóban = = +, és> Ekkor a tört felveszi az M / értéket, aminek nagyobbnak kell lennie nullánál, mivel a törtnek a jobb oldali félsíkban egy valós pozitív függvénynek kell lennie Tehát, M = N> Tehát, ha van komplex konjugáltja pólusok a valós frekvenciák tengelyén, akkor a következő formában ábrázolható: MM, B és akkor teljesíti a fizikai megvalósíthatóság feltételeit, ha teljesülnek Valóban , nincs pólusa a jobb félsíkban, mivel ott nincsenek pólusai .Ezért egy analitikus függvény a jobb oldali félsíkban. Másrészt az első tag A valós frekvenciák tengelyei pusztán képzeletbeli értékek, ezért a valós frekvenciák tengelyein ugyanazok a valós részeik vannak. Az első tag szétválasztása nem befolyásolja a valós frekvenciák tengelyein lévő valós részt. Ebből következik, hogy a jobb felében sík is pozitív r függvény

33 Ezenkívül valós valós értékeket vesz a jobb félsíkban a valós értékekhez. Következésképpen ez egy valós pozitív függvény. : M "Y, YM" ahol a kifejezés a soros rezonáns áramkör vezetőképességét jelöli: YCLLCL A pontokban lévő pólusokon kívül ±, azaz véges frekvenciákon lehetségesek a pólusok nulla és végtelen frekvencián. Ezek a pólusok megfelelnek a a kifejezések :, L, Y, YC, CL t nem felel meg a kapacitásnak vagy az induktivitásnak A következő állítás igaz Bemeneti impedancia A passzív áramkör vezetőképessége továbbra is kielégíti a fizikai megvalósíthatóság feltételeit, ha 59

34 vonjuk le belőle a valós frekvenciák tengelyén elhelyezkedő pólusoknak megfelelő vezetőképességi reaktanciát.ellenállási és vezetőképességi pólusok nem valós frekvenciákon Az ilyen pólusok jelenléte azt jelentené, hogy csillapítás nélkül szabad oszcillációk létezhetnek bennük De sok esetben esetekben jó közelítéssel elhanyagolhatóak a reaktív elemek veszteségei 46 Tisztán reaktív elemekből álló áramkörök tulajdonságai Gyakran előfordul, hogy kis veszteségű elemekből épül fel egy áramkör Ilyenkor a veszteségek befolyása esetenként figyelmen kívül hagyható. érdekes az áramkörök veszteségmentes tulajdonságainak megismerése, valamint annak megállapítása, hogy a veszteség milyen feltételek mellett hagyható el. Tegyük fel, hogy az áramkör minden eleme tisztán reaktív Könnyen kimutatható, hogy ebben az esetben a valós frekvenciák tengelyén az ellenállás és a vezetőképesség Y képzetes értékeket vesz fel. Valóban, ebben az esetben a veszteségek hatványa nulla, ezért: W I 6 H WE W Y E WE; Mivel az ellenállás vagy vezetőképesség képzeletbeli része az áramkör páratlan függvénye, akkor ebben az esetben = Ezért az általánosabb esetben = A fizikai megvalósíthatóság feltételei megkövetelik, hogy ne legyenek nullák és pólusok a jobb félsíkban De mivel =, akkor a bal félsíkban sem lehetnek nullák és pólusok. Ezért H

35 függvény, Y csak a valós frekvencia tengelyén lehet nulla és pólus.Fizikailag ez érthető is, hiszen egy veszteség nélküli áramkörben a szabad rezgések nem csillapodnak.Ebből az következik, hogy a tengelyen fekvő pólusok azonosításának módszerével A valós frekvenciákon a függvények és az Y a következő alakra redukálhatók: bnbnb Y Más szavakkal, egy kétpólusú eszköz ellenállással ábrázolható a következő diagrammal a 49. ábrán Foster alakjában:; 49. ábra Az első Foster forma Ennek megfelelően Y a -edik Foster alak formájában ábrázolható. 4. ábra 4. ábra A második Foster forma Megmutatható, hogy a valós frekvenciák tengelyén a nullák és a pólusok váltakoznak csak egyszerű, akkor nullához közel a függvény M o alakban ábrázolható, ahol o a Közelhez képest nagyobb kicsinységű mennyiség a jobb oldali félsíkban, a valós mennyiségnek pozitívnak kell lennie, és ez csak akkor lehetséges, ha M valódi 6

36 egy magnitúdó, és M> Ezért nullához közel = a képzeletbeli komponens csak pozitív deriválttal változhat, az előjelet "+"-ra változtatva szakadásnak kell lennie, ami csomózott elemű áramkörök esetén csak pólus lehet. ez vonatkozik az Y vezetőképességre is A nullákat rezonancia pontoknak, a pólusokat antirezonancia pontoknak nevezzük Ezért a rezonanciák mindig váltakoznak az antirezonanciákkal Az Y vezetőképességnél a rezonanciák a pólusoknak, az antirezonanciák pedig a nulláknak felelnek meg Könnyen belátható, hogy mindkettő a rezonancia pontokon és az antirezonanciák pontjain az elektromos és mágneses energia átlagos tartaléka egyenlő egymással. Valóban, a rezonancia pontokon =, azaz WHWE = antirezonancia pontokon Y = tehát WEWH = Legyen most megmutatjuk, hogy veszteség nélküli áramkörök esetén a következő képletek játszódnak le, megadom ellenállás és vezetőképesség függése a frekvenciától Ábrázoljuk az ellenállást és a vezetőképességet a következő formában: X, Y B Ekkor: dx WH W d I db WH WE d E Bizonyításhoz tekintsük az ellenállás definícióját E I 6 E; Legyen E = cons Differenciáljunk frekvencia szerint: d E di d I d Tegyük fel, hogy E valós érték Akkor veszteség nélküli áramkör esetén I pusztán képzeletbeli érték Ebben az esetben d E d I di d I I és

37 Térjünk most át az n 4 hurokáramok egyenletrendszerére: I Li I Ei, i, n C Feltételezve, hogy csak E, minden egyenletet megszorozunk és összeadjuk az összes egyenletet: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Ezután rátérünk a veszteségmentes áramkörökre is p 4-ben kapott összefüggésre: i, L i I Ii ii, IIC ii E Frekvencia alapján differenciálva E = cons-nál kapjuk: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , mivel E feltételezés alapján valós érték A fentiekből az is következik, hogy: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Az összegbe behelyettesítve a következőket kapjuk: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Hasonló kifejezéseket redukálva a bal és a jobb oldalon azt találjuk: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E volt n 4 szekcióban található, egyenlő i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Az ellenállásfüggvény deriváltját behelyettesítve a kifejezésben a következőt kapjuk: d E di WH W d I d I Hasonlóképpen bizonyíthatja a második egyenlőség dy W d E WE Ezekből a képletekből az következik, hogy a frekvencia növekedésével a tisztán reaktív elemekből álló áramkör reaktanciája és vezetőképessége csak növekedhet.A nullák és a pólusok nulla és végtelen frekvencián való jelenlététől függően a grafikon X és B függése a következő típusok valamelyike ​​lehet, a 4. ábrán látható. Végül megpróbáljuk kideríteni, hogy a kis veszteségek jelenléte hogyan befolyásolja a reaktív elemekből álló áramkör ellenállását.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 A csillapítás különböző pólusoknál eltérő lehet Ezért célszerű figyelembe venni az ellenállásfüggvény viselkedését valamelyik pólus közelében.

40 Mivel a valós frekvenciák tengelyén lévő értékekre vagyunk kíváncsiak, ezért a számlálóban a következővel kell helyettesíteni, elvethetjük, kicsi a feltételhez képest: Ez a kifejezés a következőképpen alakítható át:, Qx "ahol ; Q; x; A Q >> mennyiséget minőségi tényezőnek, az x mennyiséget relatív detuningnak nevezzük Közeli rezonancia Ezen kívül van még: A C x QQ értéke; QQCC a rezonanciakör karakterisztikus impedanciája. Tekintsük, hogyan függenek a rezonanciaközeli ellenállás valós és képzeletbeli részei a frekvenciától: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 A közeli rezonancia Im növekszik, de rezonanciánál negatív deriválttal megy át nullán Az R rezonanciabeli valós részének maximuma van.Az Im és R grafikonok frekvenciától függően a 4. ábrán láthatóak. Az R rezonanciagörbe nem függ a Q tényezőtől A Q tényező növelésével a görbe szélessége csökken, de a magassága nő, így a terület változatlan marad Qx >>, a valós rész gyorsan csökken, a képzeletbeli rész pedig egyenlő Im x 67, azaz ugyanúgy változik, mint veszteségmentes kontúr esetén

42 Tehát a frekvenciafüggés kis veszteségek bevezetésével alig változik a rezonanciafrekvenciától a >> nagyságú távolságra eső frekvenciákon A frekvencia közelében a lefutás jelentősen megváltozik Az Y vezetési pólus, azaz a soros rezonanciakör vezetőképessége pólushoz hasonló relációnak felel meg: ahol Q; gq Y, Qx g karakterisztikus vezetőképesség; L x Zero az Y Közeli nulla vezetési pólusnak felel meg, ezért az ellenállás a valós frekvenciák tengelyén a következőképpen ábrázolható: Qx x, Y gq Q ahol = / g nulla közelében ugyanúgy változik, mint 68 előtt.

43 5 Kvadrupólusok 5 A négypólus alapegyenletei A kvadrupólus egy olyan áramkör, amelynek két kapcsa van: a bemenet, amelyre a jelforrás csatlakozik, és a kimenet, amelyre a terhelés csatlakozik átviteli ellenállás Ilyen körülmények között a Az n jelforrás és az n terhelési ellenállás benne van a T-ben Amikor ezek változnak, és T változik Kívánatos, hogy legyenek olyan egyenletek és paraméterek, amelyek magát a négyportos hálózatot jellemzik.Az együttható a kimeneten az üresjárati átviteli vezetőképesség reciproka kapocspár: 69 II; 5. ábra A négyportos hálózat bekapcsolása I Itt U és U a bemeneti és kimeneti kapcsokon lévő feszültségek, I és I a bemeneti és kimeneti kapcsokon keresztül a négyportos hálózat felé folyó áramok, lásd 5. ábra. a feszültségeket és áramokat összekötő egyenletrendszernek egyszerű jelentése van. Az érték az I és U közötti arányossági együttható a kimeneti kapcsokon lévő áram mellett I =, azaz terhelés nélkül a kimeneti kapcsokon; más szóval ez a bemeneti ellenállás terhelés nélkül a kimeneten = x Hasonlóképpen, ez a bemeneti ellenállás a kimeneti kapcsok oldaláról terhelés nélkül az első kapocspárnál = x Az együttható jelentése: az átviteli vezetőképességgel ellentétes érték üresjáratban az első kapocspárnál, azaz nulláramú bemeneti U és IYT x YT x kapcsokon

44 I U; YT x YT x Vegye figyelembe, hogy egy passzív négyportos hálózatnál a reciprocitás elve miatt mindkét átviteli vezetőképesség egyenlő egymással, ezért = = / Y Tx A fent megadott egyenletrendszer így írható fel: IU x I ; YT x IU x I YT x I, mivel az áram ebben az esetben négy portos hálózatról van irányítva, vagyis a fent elfogadotthoz képest ellenkező irányban U-t behelyettesítve a második egyenletbe, azt kapjuk, hogy honnan I, I n I x I YTx IY x Tx Az első egyenletbe I-t behelyettesítve UI x Y Tx n-et kapunk. Innen a bemeneti impedanciát nx U x IY-ben találjuk Analógia alapján a kimeneti ellenállásra is írhatunk egy kifejezést, felcserélve a indexek és: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Négypólusú készülék jellemző paraméterei Nagyon érdekes az az eset, amikor a generátor és a terhelés egyidejűleg illeszkedik, azaz amikor n = c és n = c, az in = c és out = c összefüggés történik Az in és out kifejezésekben behelyettesítve azokat az egyenleteket, amelyek lehetővé teszik c és c megtalálását: cc x x YT x YT x 7 cc Ezt a rendszert a következőképpen oldjuk meg Az első egyenletből azt találjuk: honnan cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Vegye figyelembe, hogy a rövidzárlat és a rövidzárlat bemeneti ellenállások az első és a második kapocspár oldaláról, ha a másik kapocspáron rövidzárlat keletkezik. A c karakterisztikus impedanciával egyenlő terhelést illesztettnek nevezzük. Ha tetszőleges számú négyportos hálózat van így bekapcsolva, az illeszkedés bármely keresztmetszetben megmarad. UI c I c ln I c U cg ln U A valós frekvenciák karakterisztikus átviteli együtthatójának valós részét karakterisztikus csillapításnak, a képzeletbeli részét pedig karakterisztikus fázisállandónak nevezzük, kapjuk meg az arányt is: I g I; U c g U U U I I

47 A karakterisztikus átviteli együttható abból a szempontból kényelmes, hogy a kétportos hálózatok egymáshoz illesztett kaszkádcsatlakozása esetén a kapott átviteli együttható megegyezik az egyes négyportos hálózatok átviteli együtthatóinak összegével. A jellemző átviteli együttható a Az alábbi összefüggések: A c és c karakterisztikus impedanciák általánosságban a frekvenciától függenek. Ezért a karakterisztikus paraméterek használata nem mindig kényelmes a T átviteli ellenállás ábrázolására. négykapu hálózat állandó valós R terhelésre, tisztán aktív ellenállással Az R generátor 53. ábra Ebben az esetben az átvitelt az UI ln, UI működési átviteli együttható segítségével határozzuk meg, ahol U "és I" és az az áramerősség, amelyet a generátor a generátor belső ellenállásával megegyező ellenálláson képes kifejleszteni, azaz: EU, IE, R 73 EUI, 4R U és I feszültség és terhelési áram Ebben az esetben U = IR helyettesítve, mi ln működési átviteli együtthatóhoz kapjuk. Innen a 4R ERI ln ERRTIRR értéket kapjuk

48 Az érték a komplex változó függvénye Valós frekvenciák esetén =: = + B, ahol az üzemi csillapítás, B a fázisállandó Az üzemi csillapítás egyenlő ln TRR 74 ln PP mx, mivel P mx az a maximális teljesítmény, amelyet a generátor tud adni a négyportos hálózat bemenetére, P pedig az RP mx EPIR 4R terhelésre allokált teljesítmény. Mutassuk meg, hogy a valódi pozitív függvény Valóban, mivel T-nek nincsenek nullák a jobb oldali félsíkban, a függvény a jobb oldali félsíkban analitikus.Ezért a vele arányos analitikus függvény is a jobb oldali félsíkban van analitikus, jelen esetben a valós frekvenciák tengelyén Az inverz érték ezen a tengelyen éri el a legkisebb értéket. passzív négyport a valós frekvenciák tengelyén, ezért R> a teljes jobb oldali félsíkban Tovább T ln 4R R A T függvény két valós együtthatós polinom osztásának hányadosa, és T valós pozitív e értékek valósra Ezért a valós értékekre is valós, így arra a következtetésre juthatunk, hogy egy valós pozitív függvény Egy adott működési átviteli együtthatójú négyportos hálózat szintézisének problémája általános esetben a legjobban megoldható. az úgynevezett keresztezett négyportos hálózat segítségével, amely bizonyos feltételek mellett rendelkezik T

4.11. Laplace transzformáció tulajdonságai. 1) Egy az egyhez megfeleltetés: s (S И (2) A Laplace-transzformáció linearitása: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (és 3)) Analitikusság S И (): ha s (megfelel

4 5. előadás DINAMIKUS ÁRAMKÖRÖK ELEMZÉSE Terv Elektromos áramkörök állapotegyenletei Állapotegyenletek kialakításának algoritmusa 3 Példák állapotegyenletek összeállítására 4 Következtetések Elektromos áramkörök állapotegyenletei

4 .. A Laplace-transzformáció tulajdonságai.) Egy-egy megfeleltetés: S И () 2) A Laplace-transzformáció linearitása: s (s () И () И 2 S S2 (), valamint 3) Analitikusság S И (): ha megfelel a feltételnek

64 6. előadás AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK MŰKÖDÉSI MÓDSZERE Laplace-transzformáció terv Laplace-transzformáció tulajdonságai 3. Az elektromos áramkörök elemzésének operátori módszere 4. Az eredeti meghatározása az ismert

2.2. Operátori módszer a tranziensek kiszámításához. Elméleti információk. Az összetett áramkörök tranziens folyamatainak klasszikus módszerrel történő kiszámítása gyakran nehézkes az integrációs állandók meghatározása.

70 7. előadás AZ ÁRAMKÖRÖK MŰKÖDŐ FUNKCIÓI Terv Kezelői bemeneti és átviteli függvények Az áramköri függvények pólusai és nullái 3. Következtetések Kezelői bemeneti és átviteli függvények Egy áramkör operátorfüggvényét ún.

Szinuszos áram "a tenyerében" Az elektromos energia nagy része EMF formájában keletkezik, amely idővel a harmonikus (szinuszos) függvény törvénye szerint változik. A harmonikus EMF forrásai a következők

4 Előadás AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK RESONANCIA FREKVENCIA JELLEMZŐI A rezonancia és jelentősége a rádióelektronikában Komplex átviteli függvények 3 Logaritmikus frekvenciakarakterisztika 4 Következtetések Rezonancia ill.

Átmeneti folyamatok „a tenyerében”. Már ismeri az állandósult állapotban lévő áramkör kiszámításának módszereit, vagyis olyan, amikor az áramok, mint az egyes elemek feszültségesése, időben állandóak.

Rezonancia a tenyerében. A rezonancia egy induktív és kapacitív elemeket tartalmazó, passzív kétterminális hálózat módusa, amelyben a reaktanciája nulla. Rezonancia állapot

Kényszer elektromos rezgések. Váltóáram Tekintsük azokat az elektromos rezgéseket, amelyek akkor jelentkeznek, ha az áramkörben generátor van, amelynek elektromotoros ereje periodikusan változik.

3. fejezet Váltakozó áram Elméleti információk Az elektromos energia nagy része EMF formájában keletkezik, amely idővel a harmonikus (szinuszos) függvény törvénye szerint változik.

3. előadás. Levonások. A maradékokra vonatkozó főtétel Az f () függvény maradéka egy izolált szinguláris a pontban egy komplex szám, amely egyenlő az f () 2 integrál értékével a kör mentén i pozitív irányban.

Elektromágneses rezgések Kvázi-stacionárius áramok Folyamatok egy oszcillációs áramkörben Az oszcillációs áramkör sorba kapcsolt induktivitástekercsekből, egy C kapacitású kondenzátorból és egy ellenállásból áll.

1 5 Elektromos rezgések 51 Oszcillációs áramkör Rezgésnek nevezzük a fizikában nemcsak a testek periodikus mozgását, hanem minden olyan periodikus vagy csaknem periodikus folyamatot is, amelyben egy ill.

Passzív áramkörök Bevezetés A feladatok a passzív áramkörök amplitúdó-frekvencia, fázis-frekvencia és tranziens karakterisztikáinak számítására vonatkoznak. A megnevezett jellemzők kiszámításához tudnia kell

SZABAD- ÉS KÉSZÍTETT REZGÉSEK VIZSGÁLATA OSZCILLÁCIÓS ÁRAMKÖRBEN Szabad elektromos rezgések rezgéskörben Tekintsünk sorba kapcsolt kondenzátorokból álló rezgőkört

3. előadás Téma Oszcillációs rendszerek Szekvenciális oszcillációs áramkör. A feszültségek rezonanciája A soros rezgőkör olyan áramkör, amelyben egy tekercs és egy kondenzátor sorba van kötve.

Moszkvai Állami Egyetem M.V. Lomonoszov Fizikai Kar Általános Fizikai Tanszék

Anyagok az "Elektromos áramkörök elmélete" tudományág önálló tanulásához a szakos hallgatók számára: -6 4 s "Ipari elektronika" (rész), -9 s "Modellezés és számítógépes tervezés

Komplex amplitúdómódszer Harmonikus feszültségingadozások az R elemek kivezetésein vagy azonos frekvenciájú harmonikus áram áramlását okozzák. Funkciók differenciálása, integrálása, kiegészítése

4. függelék Kényszer elektromos rezgések Váltóáram Az alábbi elméleti információk hasznosak lehetnek a 6., 7., 8. laboratóriumi munkára való felkészülés során az "Elektromosság és mágnesesség" laboratóriumban.

54 5. előadás Fourier-transzformáció és spektrális módszer elektromos áramkörök elemzéséhez. Terv Az aperiodikus függvények és a Fourier-transzformáció spektrumai A Fourier-transzformáció egyes tulajdonságai 3 Spektrális módszer

Vizsga Feszültségrezonancia (folytatás) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω A nevező ω 0 frekvencián minimális, így ω0 = 0 => ω0 ω 0 = ezt a frekvenciát rezonánsnak nevezzük

2. fejezet Tranziens folyamatok számítási módszerei. 2.1. A klasszikus számítási módszer. Elméleti információk. Az első fejezetben egy állandósult állapotú áramkör számítási módszereit vettük figyelembe, azaz

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Sematikus függvények Az áramköri funkciók berendezése mind az egyenáramú, mind a harmonikus áramú áramkörök elemzésére, valamint tetszőleges típusú behatásokra, állandósult állapotban.

4.9. Az áramkör tranziens válasza, kapcsolata az impulzusválaszsal. Tekintsük a K j K j j> S j j K j S 2 függvényt Tegyük fel, hogy K jω rendelkezik a h K j Fourier transzformációval Ha létezik IH k K j, akkor

9. előadás Differenciálegyenletek linearizálása Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek Homogén egyenletek megoldásaik tulajdonságai Inhomogén egyenletek megoldásainak tulajdonságai 9. definíció Lineáris

Módszerfejlesztés Problémamegoldás TFKP segítségével Komplex számok Műveletek komplex számokkal Komplex sík Komplex szám ábrázolható algebrai és trigonometrikus exponenciálisan

Tartalomjegyzék BEVEZETÉS Szakasz KLASSZIKUS MÓDSZER A TRANZIENSEK SZÁMÍTÁSÁHOZ Szakasz A TRANZIENSEK KISZÁMÍTÁSA VÉLETLENSZERŰ BEMENETEKKEL OVERLAY INTEGRÁLOK HASZNÁLATÁVAL 9 VEZÉRLÉSI KÉRDÉSEK7

4 ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK Az oszcillációs áramkör kondenzátorokból és tekercsekből álló elektromos áramkör, amelyben lehetséges a kondenzátor újratöltésének oszcillációs folyamata.

3.5. Komplex párhuzamos oszcillációs áramkör I Olyan áramkör, amelyben legalább egy párhuzamos ág mindkét előjelű reaktivitást tartalmazza. I С С I I A és között nincs mágneses kapcsolat. Rezonancia állapot

ELŐADÁS N38. Egy analitikus függvény viselkedése a végtelenben. Különleges pontok. Egy függvény maradványai ... egy végtelenül távoli pont szomszédsága ... egy Laurent-kiterjesztés egy végtelenül távoli pont szomszédságában .... 3. Viselkedés

4 3. előadás AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK FREKVENCIA JELLEMZŐI Komplex átviteli függvények Logaritmikus frekvenciakarakterisztika 3. Konklúzió Komplex átviteli függvények (komplex frekvenciakarakterisztika)

Ingadozások. 3. előadás Generátor A generátor működési elvének elmagyarázásához először nézzük meg, mi történik, ha egy vezeték lapos fordulata egyenletes mágnesben forog.

DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK Általános fogalmak

A harmonikus rezgések forrásának (GCI) számítása Adja meg a GCI kezdeti áramkörét a transzformátor primer tekercséhez viszonyítva egyenértékű feszültségforrással Határozza meg paramétereit (EMF és belső

11. munka KÉNYSZERREZGÉSEK ÉS A RESONANCIA JELENSÉGÉNEK VIZSGÁLAT OSCILLÁLÓ ÁRAMKÖRBEN Az induktort és a kondenzátort tartalmazó áramkörben elektromos rezgések léphetnek fel. A munka tanul

4. témakör .. AC áramkörök Témakérdések .. AC áramkör induktivitással .. AC áramkör induktivitással és aktív ellenállással. 3. AC áramkör kapacitással. 4. Lánc változó

4 Előadás AZ ELLENÁLLÓ ÁRAMKÖRÖK ELEMZÉSE Terv Az elektromos áramkörök elemzésének feladata Kirchhoff-törvények Példák az ellenállásos áramkörök elemzésére 3 Egy áramkör ekvivalens transzformációi 4. Következtetések Az elektromos áramkörök elemzésének feladata

708-as változat Az elektromos áramkörben szinuszos EMF e (ωt) sin (ωt ψ) forrás működik. ábrán látható kapcsolási rajz. Az EMF E forrás effektív értéke, a kezdeti fázis és az áramköri paraméterek értéke

Kezdeti adatok R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoff törvényei (állandó feszültség) 1. Csomópontok keresése Csomópont pont , amelyben három (vagy több) vezeték van csatlakoztatva

ELŐADÁS Oszcilláció. Kényszerrezgések ábra A M mathcale oszcillációs forrás egy soros rezgőkört táplál, amely egy R ellenállásból, egy L induktorból és egy kapacitású kondenzátorból áll.

Vizsga Feszültségrezonancia (folytatás) Feltételezzük, hogy az egyik áramkörön lévő feszültség megegyezik a teljes oszcillációs áramkör feszültségével, és az áramkör kimenetén lévő feszültség a kondenzátor feszültsége, majd amplitúdó

tanév őszi féléve 3. témakör NEM PERIODIKUS JELEK HARMONIKUS ELEMZÉSE Direkt és inverz Fourier transzformációk A jel spektrális karakterisztikája Amplitúdó-frekvencia és fázis-frekvencia spektrumok

6. előadás Két állandó valós együtthatójú lineáris egyenletrendszer nyugalmi pontjainak osztályozása. Tekintsünk két lineáris differenciálegyenletből álló rendszert állandó valós értékkel

54 5. előadás Fourier-transzformáció és spektrális módszer elektromos áramkörök elemzéséhez. Terv Az aperiodikus függvények és a Fourier-transzformáció spektrumai 2 A Fourier-transzformáció néhány tulajdonsága 3 Spektrális módszer

Téma: A váltakozó áram törvényei Az elektromos áram töltött részecskék vagy makroszkopikus testek rendezett mozgása. A változó olyan áram, amely idővel megváltoztatja értékét.

Vizsgálati impedancia Impedancia Az impedancia vagy komplex impedancia definíció szerint egyenlő a komplex feszültség és a komplex áram arányával: Z ɶ Vegye figyelembe, hogy az impedancia is egyenlő az aránnyal

Tartalomjegyzék Bevezetés. Alapfogalmak .... 4 1. Volterra integrálegyenletei ... 5 A házi feladat változatai .... 8 2. Volterra integrálegyenletének feloldója. 10 Házi feladat lehetőség... 11

II. fejezet Integrálok Antiderivatív függvény és tulajdonságai Az F () függvényt egy f () folytonos függvény antideriváltjának nevezzük az a b intervallumon, ha F () f (), a; b (;) Például az f () antideriválták függvényre

A klasszikus módszer. 1. ábra- az elektromos áramkör kezdeti diagramja Áramköri paraméterek: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Induktivitás reaktancia:

Összetett lineáris elektromos áramkörök számítási módszerei Alap: lineáris algebrai egyenletrendszerek összeállításának és megoldásának képessége - akár egyenáramú áramkörre, akár szimbolizálás után

KONKRÉT INTEGRÁL. Integrálösszegek és egy definiált integrál Legyen a [, b] intervallumon definiált y = f () függvény, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 7. előadás AZ ÁRAMKÖRÖK MŰKÖDŐ FUNKCIÓI Kezelői bemeneti és átviteli függvények Az áramköri függvények pólusai és nullái 3. Következtetések Operátori beviteli és átviteli függvények A lánc operátorfüggvénye egy reláció

68 7. előadás ÁTMENETI FOLYAMATOK ELSŐRENDŰ ÁRAMKÖRÖKBEN 1. terv Tranziens folyamatok elsőrendű RC-áramkörökben 2.Tranziens folyamatok elsőrendű R-áramkörökben 3. Példák tranziens folyamatok számítására áramkörökben

4 AC SZINSZIDÁLIS ÁRAM LINEÁRIS ELEKTROMOS ÁRAMKÖREI ÉS SZÁMÍTÁSUK MÓDSZEREI 4.1 ELEKTROMOS GÉPEK. SZINUSSZIDÁLIS ÁRAMTERMELÉSI ALAPELV 4.1.012. A szinuszos áramot pillanatnyi áramnak nevezzük

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény "KUBAN STATE UNIVERSITY" Fizikai és Technológiai Kar Optoelektronikai Tanszék

~ ~ FKP A Cauchy-féle FKP komplex változó függvényének deriváltja - Riemann feltétele az FKP szabályossági fogalmának A komplex szám képe és alakja Az FKP formája: ahol két változó valós függvénye valós

Ez a neve egy másik típusú integrál transzformációnak, amelyet a Fourier-transzformáció mellett széles körben használnak a rádiótechnikában a jelek tanulmányozásával kapcsolatos problémák legkülönfélébb megoldására.

Komplex frekvencia koncepció.

A spektrális módszerek, mint már ismert, azon a tényen alapulnak, hogy a vizsgált jelet végtelenül sok elemi tag összegeként ábrázolják, amelyek mindegyike a törvénynek megfelelően periodikusan változik időben.

Ennek az elvnek a természetes általánosítása abban rejlik, hogy a tisztán képzeletbeli indikátorokkal rendelkező összetett exponenciális jelek helyett olyan exponenciális jeleket veszünk figyelembe, ahol egy komplex szám: komplex frekvenciának nevezzük.

Két ilyen összetett jel használható valós jel összeállítására, például a következő szabály szerint:

hol van a komplex konjugált értéke.

Valóban, ebben az esetben

A komplex frekvencia valós és képzetes részének megválasztásától függően különféle valós jelek nyerhetők. Tehát, ha, de megkapja az If alakú szokásos harmonikus rezgéseket, akkor az előjeltől függően időben vagy növekvő vagy csökkenő exponenciális rezgéseket kap. Az ilyen jelek bonyolultabb formát kapnak, amikor. Itt a szorzó olyan borítékot ír le, amely idővel exponenciálisan változik. Néhány tipikus jel az ábrán látható. 2.10.

A komplex frekvencia fogalma mindenekelőtt nagyon hasznosnak bizonyul, mert lehetővé teszi általánosított függvények igénybevétele nélkül olyan jelek spektrális ábrázolását, amelyek matematikai modelljei nem integrálhatók.

Rizs. 2.10. Valódi jelek, amelyek a komplex frekvencia különböző értékeinek felelnek meg

Egy másik szempont is lényeges: a (2.53) formájú exponenciális jelek „természetes” eszközként szolgálnak a különböző lineáris rendszerekben előforduló rezgések tanulmányozására. Ezeket a kérdéseket a Ch. nyolc.

Meg kell jegyezni, hogy a valódi fizikai frekvencia a komplex frekvencia képzeletbeli része. A komplex frekvencia valós részére nincs külön kifejezés.

Alapvető kapcsolatok.

Legyen valamilyen valós vagy komplex jel, amely t> 0-nál van definiálva, és negatív időértékeknél egyenlő nullával. Ennek a jelnek a Laplace-transzformációja egy integrállal megadott komplex változó függvénye:

A jelet eredetinek, a függvényt pedig Laplace-képének (röviden csak a képnek) nevezzük.

A (2.54) integrál létezését biztosító feltétel a következő: a jelnek legfeljebb exponenciális növekedési üteme lehet, azaz teljesítenie kell azt az egyenlőtlenséget, ahol pozitív számok vannak.

Ha ez az egyenlőtlenség teljesül, a függvény abban az értelemben létezik, hogy a (2.54) integrál abszolút konvergál minden olyan komplex számra, amelyeknél az a számot az abszolút konvergencia abszcisszájának nevezzük.

A (2.54) főképlet változója azonosítható a komplex frekvenciával Valóban, pusztán képzeletbeli komplex frekvencián, amikor a (2.54) képletből (2.16) képlet alakul át, amely meghatározza a jel Fourier-transzformációját, ami nulla Így a Laplace-transzformáció szóba jöhet

Csakúgy, mint a Fourier-transzformáció elméletében, a kép ismeretében lehetséges az eredeti visszaállítása. Ehhez az inverz Fourier transzformációs képletben

elemző folytatást kell végrehajtani, a képzeletbeli változótól a komplex argumentumig átmenni a) A komplex frekvencia síkján az integrációt végtelenül hosszú függőleges tengely mentén hajtjuk végre, amely az abszolút konvergencia abszcisszától jobbra helyezkedik el. Mivel at a differenciál, az inverz Laplace-transzformáció képlete a formát veszi fel

Az összetett változó függvényelméletében bebizonyosodott, hogy a Laplace-képek a simaság szempontjából "jó" tulajdonságokkal rendelkeznek: ilyen képek a komplex sík minden pontján, egy megszámlálható ún. szinguláris pontok, analitikus függvények. A szinguláris pontok általában pólusok, egyszeresek vagy többszörösek. Ezért a (2.55) forma integráljainak kiszámításához a maradékok elméletének rugalmas módszereit használhatjuk.

A gyakorlatban széles körben használják a Laplace transzformációs táblákat, amelyek információkat gyűjtenek az eredetiek közötti megfelelésről. és képek. A táblázatok jelenléte népszerűvé tette a Laplace-transzformációs módszert mind az elméleti tanulmányokban, mind a rádiótechnikai eszközök és rendszerek mérnöki számításaiban. A függelékekben van egy ilyen táblázat, amely lehetővé teszi a problémák meglehetősen széles skálájának megoldását.

Példák Laplace-transzformációk kiszámítására.

A képszámítási módszereknek sok közös vonása van a Fourier-transzformációval kapcsolatban már tanulmányozottakkal. Nézzük a legjellemzőbb eseteket.

2.4. példa: Az általánosított exponenciális impulzus képe.

Legyen, ahol egy fix komplex szám. A -függvény jelenléte határozza meg az egyenlőséget a (2.54) képlet segítségével

Ha ekkor a számláló eltűnik, amikor a felső határt behelyettesítjük. Ennek eredményeként megkapjuk a levelezést

A (2.56) képlet speciális eseteként egy valós exponenciális videoimpulzus képe található:

és egy komplex exponenciális jel:

Végül (2.57) beírva megtaláljuk a Heaviside függvény képét:

Példa 2.5. Delta függvény kép.

Korábban a K (t, О = е) kernel integrált Fourier-transzformációval foglalkoztunk. A Fourier-transzformáció kényelmetlen, mivel az f (t) függvény abszolút integrálhatóságának feltétele teljesülnie kell a teljes t tengelyen. A Laplace-transzformáció lehetővé teszi, hogy Definíció 1. Az eredeti függvény egy t valós argumentum tetszőleges komplex értékű f (t) függvényét jelenti, amely teljesül a következő feltételeknek: az ilyen pontok * tengelyeinek véges intervalluma csak véges szám lehet 2. f (t) függvény nullával egyenlő t negatív értékei esetén, f (t) = 0 3 esetén. t növekedésével az f (t) modulus nem növekszik gyorsabban, mint egy exponenciális függvény, azaz Léteznek olyan M> 0 és s számok, amelyek mindegyikére t Világos, hogy ha az (1) egyenlőtlenség teljesül néhány s = aj-ra, akkor BÁRMELY 82> 8-ra is érvényes lesz. = infs, amelyre az (1) egyenlőtlenség , az f (t) függvény növekedési ütemének nevezzük. Megjegyzés. Általános esetben az egyenlőtlenség nem áll fenn, de a becslés ott érvényes, ahol e> 0 tetszőleges. Tehát a függvénynek van egy növekedési kitevője в0 = Számára a \ t \ ^ M V * ^ 0 egyenlőtlenség nem áll fenn, de az f | ^ Mei. Az (1) feltétel sokkal kevésbé korlátozó, mint a (*). 1. példa: a függvény nem teljesíti a (") feltételt, de az (1) feltétel teljesül bármely s> I és A /> I esetén; növekedési ütem 5o = Tehát ez az eredeti függvény. Másrészt a függvény nem eredeti függvény: végtelen növekedési sorrendje van, „o = + oo. A legegyszerűbb eredeti függvény az úgynevezett egységfüggvény.Ha valamelyik függvény az 1. definíció 1. és 3. feltételét teljesíti, de a 2. feltételt nem, akkor a szorzat már eredeti függvény. A jelölés egyszerűsége érdekében általában elhagyjuk az rj (t) tényezőt, miután megegyeztünk abban, hogy az összes figyelembe vett függvény nulla negatív t esetén, tehát ha valamilyen f (t) függvényről beszélünk, például o sin ty cos t, el stb., akkor a következő függvények mindig implikált (2. ábra): n = n (0 1. ábra Definíció 2. Legyen f (t) az eredeti függvény. A kép az f (t ) függvény Laplace által meghatározott komplex változójának F (p) függvénye LAPLACE TRANSFORM Alapvető definíciók Tulajdonságok Függvények konvolúciója Szorzási tétel Az eredeti megkeresése a képről Az inverziós tétel használata műveleti számításhoz Duhamel-képlet Integrálás állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletrendszerekből Integrálegyenletek megoldása, ahol az integrált a t pozitív féltengelyen veszik át. Az F (p) függvényt a / (/) függvény Laplace-transzformációjának is nevezik; a transzformáció magja K (t) p) = e ~ pt. Azt a tényt, hogy a függvénynek van F (p) képe, a 2. példát írjuk. Keresse meg az r) (t) egységfüggvény képét. A függvény egy eredeti függvény, amelynek növekedési üteme 0 és 0 között van. A (2) képlet értelmében az rj (t) függvény képe a függvény lesz, ha akkor for, a függvény jobb oldalán lévő integrál. utolsó egyenlőség konvergál, és azt kapjuk, hogy az rj (t) függvény képe £ függvény lesz. Ahogy megbeszéltük, felírjuk, hogy rj (t) = 1, majd a kapott eredményt a következőképpen írjuk fel: 1. Tétel. Minden z0 növekedési kitevővel rendelkező f (t) eredeti függvényre az F (p) kép definiálva van. a félsíkban R ep = s > s0, és egy analitikus függvény ebben a félsíkban (3. ábra). Legyen Az F (p) kép létezésének bizonyításához a jelzett félsíkban elegendő megállapítani, hogy a (2) nem megfelelő integrál abszolút konvergál a>-ra. (3) segítségével megkapjuk, amely bizonyítja integrál (2). Ezzel egyidejűleg becslést kaptunk az F (p) Laplace-transzformációra a konvergencia félsíkjában. A (2) differenciáló kifejezést formálisan az integrál jele alatt p-re vonatkoztatva azt találjuk, hogy az (5) integrál létezése ugyanúgy megállapítható, mint a (2) integrál létezése. F "(p) részenkénti integrációját alkalmazva egy becslést kapunk, amely az (5) integrál abszolút konvergenciáját jelenti. (A nem integrál tagnak, 0., - nulla határértéke van t + oo-ra). integrál ( 5) egyenletesen konvergál p-hez képest, mivel egy p-től független konvergens integrállal van majorizálva. Következésképpen a p-re vonatkozó differenciálás törvényszerű, és az (5) egyenlőség érvényes. Mivel létezik F "(p) derivált, a Laplace transzformálni F (p) mindenhol a félsíkban Rep = 5> 5® egy analitikus függvény. A (4) egyenlőtlenségből következik a következmény. Ha vékony p a végtelenbe hajlik úgy, hogy Re p = s végtelenül növekszik, akkor 3. példa Keressük meg a függvény képét is tetszőleges komplex szám. Az f (() függvény kitevője egyenlő a. > a-val, de minden p pontban is, kivéve a p = a pontot, ahol ennek a képnek egyszerű pólusa van. A jövőben nem egyszer találkozunk majd hasonló helyzet, amikor az F (p) kép egy analitikus függvény a p komplex változó teljes síkjában, elszigetelt szinguláris pontok kizárására. Nincs ellentmondás az 1. tétellel. Ez utóbbi csak azt állítja, hogy a Rep> «o félsíkban az F (p) függvénynek nincsenek szinguláris pontjai: ezek mindegyike vagy a Rep = so egyenes bal oldalán, vagy magán ezen az egyenesen található. Vedd észre nem. Az operatív számításban néha az f (f) függvény Heaviside-képe is használatos, amelyet egyenlőség határoz meg, és a p tényezővel különbözik a Laplace-képtől. §2. A Laplace-transzformáció tulajdonságai A következőkben az eredeti függvényeket, ezen keresztül azok Laplace szerinti képeit jelöljük. £ biw dee folytonos függvények) azonos képe van, akkor azonosak. Teopewa 3 (n "yeyiost * átalakítja Laplace-t). Ha a függvények eredetiek, akkor a levegő bármely komplex állandójára Az állítás érvényessége a képet meghatározó integrál linearitási tulajdonságából következik:, a függvények növekedési üteme, ill. E tulajdonság alapján kapjuk. Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy és a továbbiakban a 4. Tétel (hasonlóságok). Ha f (t) az eredeti függvény, és F (p) a Laplace-képe, akkor tetszőleges a> 0 konstans esetén = m-re állítva azt kapjuk, hogy Ezzel a tétellel az (5) és (6) képletből megkapjuk az 5. Tételet. (az eredeti megkülönböztetéséről). Legyen az eredeti függvény az F (p) képpel, és legyen - is az eredeti függvények, és hol van a függvény növekedési üteme Akkor és általában Itt a Let helyes határértéket értjük. Keressük meg azt a képet, amink van Integrálás részenként, kapjuk. A (10) jobb oldalán lévő nem integrál tag k pontban eltűnik. Rc p = s> h esetén a t = Odet - / ( 0). A második tag a (10) jobb oldalán egyenlő pF (p). Így a (10) összefüggés felveszi a formát, és a (8) képlet bizonyítást nyer. Konkrétan, ha az f (n \ t) kép megtalálásához azt írjuk, hogy honnan, n-szer részenként integrálva, a 4. példát kapjuk. Az eredeti differenciálására vonatkozó tétel segítségével keressük meg az f (t) = függvény képét. sin2 t. Ezért az 5. Tétel megállapítja a Laplace-integráltranszformáció egy figyelemre méltó tulajdonságát: (a Fourier-transzformációhoz hasonlóan) a differenciálási műveletet p-vel való szorzás algebrai műveletévé alakítja. Befoglalási képlet. Ha ezek eredeti függvények, akkor Valóban, az 1. Tétel következményének köszönhetően minden kép nullára hajlik. Innen következik a befoglalási képlet (6. Tétel (a kép differenciálódásáról). A kép differenciálása az eredetivel való szorzásra redukálódik, Mivel az F (p) függvény a félsíkban tehát analitikus, ezért lehet o. tekintetében differenciált. Nálunk ez utóbbi csak azt jelenti, hogy az 5. példa. A 6. Tétel segítségével keressük meg a 4. függvény képét Mint tudják, ezért (A 6. Tétel alkalmazásával ismét általánosságban a 7. tételt találjuk (az eredeti integrálása). Az eredeti integrálása). leredukálódik a kép elosztására azzal, hogy ha van eredeti függvény, akkor az eredeti függvény lesz, sőt. Legyen. Azáltal, hogy Másrészt ahonnan F = Ez utóbbi ekvivalens a bizonyított összefüggéssel (13 Példa 6. Keresse meg az M függvény képét Ebben az esetben úgy, hogy Ezért a 8. Tétel (képintegráció) .Ha az integrál is konvergál, akkor a ^ függvény képeként szolgál: LAPLACE TRANSFORM Alapdefiníciók Tulajdonságok Konvolúciója függvények Szorzási tétel Az eredeti megkeresése a kép alapján A műveleti számítás inverz tételének használata Duhamel-képlet Lineáris differenciálegyenletrendszerek integrálása állandó együtthatóval Megoldás integrálegyenletek Valóban, ha feltételezzük, hogy az integró útja fekszenek a félsíkra, így megváltoztathatjuk az integrálás sorrendjét Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy egy függvény képe 7. példa Keresse meg az M függvény képét Mint ismeretes,. Ezért, mivel feltesszük, azt kapjuk, hogy £ = 0, for. Ezért a (16) reláció Példa alakot ölt. Keresse meg az f (t) függvény grafikus képét (5. ábra). Írjuk fel az f (t) függvény kifejezését a következőképpen: Ezt a kifejezést a következőképpen kaphatjuk meg. Tekintsük a függvényt, és vonjuk ki belőle a függvényt.A különbség eggyel egyenlő lesz. A kapott különbséghez hozzáadjuk a függvényt, így az f (t) függvényt kapjuk (6c. ábra), így Innen a késleltetési tételt felhasználva megtaláljuk a 10. tételt (elmozdulás). akkor tetszőleges p0 komplex szám esetén a tétel valóban lehetővé teszi, hogy a függvények ismert képeiből ugyanazon függvények képeit keressük exponenciális függvénnyel megszorozva, például 2.1. A függvények konvolúciója. Szorzástétel Legyen az f (t) u függvény definiált és folytonos minden t-re. Ezeknek a függvényeknek a konvolúciója t új függvénye, amelyet egyenlőség határoz meg (ha létezik ez az integrál). Eredeti függvényeknél a művelet mindig összecsukható, és (17) 4 Valóban, az eredeti függvények szorzata m függvényében véges függvény, azaz. valamilyen véges intervallumon kívül eltűnik (jelen esetben az intervallumon kívül. Véges folytonos függvényeknél a konvolúciós művelet kielégíthető, és a képletet kapjuk Könnyen ellenőrizhető, hogy a konvolúciós művelet kommutatív, 11. Tétel (szorzás). Ha, akkor a t) konvolúciónak van képe Könnyen ellenőrizhető, hogy a konvolúció (az eredeti függvények az eredeti függvény növekedési indexszel "ahol a függvények növekedési indexei, ill. az ilyen művelet legális) és a késleltetési tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy így (18) és (19) alapján azt találjuk, hogy a képek szorzása megfelel az eredetik hajtogatásának, Prter 9. Keresse meg az A függvény képét V (0 a konvolúciója függvények. A szorzási tétel alapján Feladat. Legyen f (t) egy T periódusú periodikus függvény. Mutassuk meg, hogy F (p) Laplace-képe a 3. képlettel adott. Az eredeti keresése a képből A feladat a következő : adott az F (p) függvénynek, meg kell találnunk a / (<)>amelynek képe F (p). Fogalmazzunk meg olyan feltételeket, amelyek elegendőek ahhoz, hogy egy p összetett változó F (p) függvénye képként szolgáljon. 12. Tétel. Ha egy F (p) 1) analitikus függvény a félsíkban így nullára hajlik bármely R s0 félsíkban egyenletesen a p arghoz képest; 2) az integrál abszolút konvergál, akkor F (p) valamilyen eredeti függvény képe Probléma. Az F (p) = függvény szolgálhat valamilyen eredeti függvény képeként? Íme néhány módja annak, hogy megtalálja az eredetit a képen. 3.1. Az eredeti megkeresése képtáblázatok segítségével Mindenekelőtt az F (p) függvényt érdemes egyszerűbb, "táblázatos" formába vinni. Például abban az esetben, ha F (p) a p argumentum tört racionális függvénye, akkor elemi törtekre bontjuk, és a Laplace-transzformáció megfelelő tulajdonságait használjuk. 1. példa: Keresse meg a függvény eredetijét Írjuk fel az F (p) függvényt alakba Az eltolástételt és a Laplace-transzformáció linearitási tulajdonságát felhasználva megkapjuk a 2. példát. Keressük meg a 4-es függvény eredetijét Írjuk fel F (p) ), mint ezért a 3.2. Az inverziós tétel használata és következményei 13. tétel (inverzió). Ha az illeszkedés) egy eredeti függvény s0 növekedési kitevőjével és F (p) a képe, akkor az f (t) függvény folytonosságának bármely pontján fennáll az összefüggés, ahol az integrált bármely egyenes mentén felvesszük és megértjük. a főérték értelmében, azaz ahogy az (1) képletet Laplace transzformációs inverziós képletnek, vagy Mellin formulának nevezik. Valóban, tegyük fel például, hogy f (t) darabonként sima minden véges szakaszon (\ displaystyle F (s) = \ varphi), így φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) mindegyikről elemző z k (\ displaystyle z_ (k))és egyenlő nullával z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ megjelenítési stílus z_ (1) = z_ (2) = \ lpont = z_ (n) = 0), és F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ kettőspont k = 1, \; 2, \; \ lpont, \; n)), akkor létezik az inverz transzformáció, és a megfelelő előre transzformáció abszolút konvergencia abszcissza.

jegyzet: ezek elégséges feltételek a létezéshez.

• Konvolúciós tétel

Fő cikk: Konvolúciós tétel

• Az eredeti megkülönböztetése és integrálása

Az eredeti első származékának Laplace-képe az argumentumhoz képest a kép szorzata az utóbbi argumentumával mínusz az eredeti nullánál a jobb oldalon:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Kezdő és végső érték tételek (határtételek):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) ha a függvény minden pólusa s F (s) (\ displaystyle sF (s)) a bal félsíkban vannak.

A véges érték tétel nagyon hasznos, mert egyszerű összefüggés segítségével írja le az eredeti végtelenben való viselkedését. Ezt használják például egy dinamikus rendszer pályájának stabilitásának elemzésére.

• Egyéb tulajdonságok

Linearitás:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Szorzás egy számmal:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ left ((\ frac (s) (a)) \ right).)

Néhány függvény közvetlen és inverz Laplace-transzformációja

Az alábbiakban néhány függvény Laplace-transzformációjának táblázata látható.

№	Funkció	Időtartomány x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ matematikai (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvenciatartomány X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Konvergencia régió számára oksági rendszerek
1	tökéletes lemaradás	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	egyetlen impulzus	δ (t) (\ megjelenítési stílus \ delta (t) \)	1 (\ displaystyle 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ for all s \)
2	lemaradás n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	nyugodt n (\ displaystyle n)- a sorrend	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n))) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	nyugodt q (\ displaystyle q)- a sorrend	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ megjelenítési stílus (\ frac (t ^ (q))) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	egység funkció	H (t) (\ displaystyle H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	lag egység funkció	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Sebesség lépés	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-edik sorrend frekvencia eltolással	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ megjelenítési stílus (\ frac (t ^ (n))) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa)
2d.1	exponenciális bomlás	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alfa t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alfa)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
3	exponenciális közelítés	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ megjelenítési stílus (1-e ^ (- \ alfa t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s (s + \ alfa))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	koszinusz	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hiperbolikus szinusz	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
7	hiperbolikus koszinusz	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
8	exponenciálisan bomlik sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alfa t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
9	exponenciálisan bomlik koszinusz	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alfa t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alfa) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
10	gyökér n (\ displaystyle n)- a sorrend	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ bal (1 + (\ frac (1) (n)) ) \ jobb))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	természetes logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ left ((\ frac (t) (t_ (0))) \ right) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0))) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Bessel-függvény első fajta rendelés n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2)) + \ omega ^ (2 ) )) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	első fajta rendelés n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)) ) )) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Bessel-függvény második fajta nulla sorrend	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ megjelenítési stílus Y_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alfa) ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	módosított Bessel-függvény második fajta, nulla sorrend	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ megjelenítési stílus K_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t))
16	hiba funkció	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Megjegyzések a táblázathoz: H (t) (\ megjelenítési stílus H (t) \); α (\ displaystyle \ alpha \), β (\ displaystyle \ béta \), τ (\ displaystyle \ tau \)és ω (\ displaystyle \ omega \) - Kapcsolat más transzformációkkal Alapvető összefüggések Mellin átalakul A Mellin-transzformáció és az inverz Mellin-transzformáció a változók egyszerű megváltoztatásával kapcsolódik a kétoldali Laplace-transzformációhoz. Ha a Mellin transzformációban G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ megjelenítési stílus G (s) = (\ matematikai (M)) \ bal \ (g (\ théta) \ jobb \) = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) fel θ = e - x (\ megjelenítési stílus \ théta = e ^ (- x)), akkor egy kétoldalas Laplace-transzformációt kapunk. Z-transzformáció Z (\ displaystyle Z) A -transzformáció egy rácsfüggvény Laplace-transzformációja, amelyet változók változtatásával állítunk elő: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Borel transzformáció A Borel-transzformáció integrál alakja megegyezik a Laplace-transzformációval, létezik egy általánosított Borel-transzformáció is, melynek segítségével a Laplace-transzformáció használata a függvények szélesebb osztályára is kiterjeszthető. Bibliográfia Van der Pol B., Bremer H. Műveleti számítás a kétoldali Laplace-transzformáció alapján. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1952. - 507 p. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integráltranszformációk és műveleti számítások. - M.: A "Nauka" kiadó fizikai és matematikai szakirodalmának főkiadása, 1974. - 544 p. Ditkin V.A., Kuznyecov P.I. Műveleti kalkulus kézikönyv: Az elmélet alapjai és a képlettáblázatok. - M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 256 p. Carslow H., Jaeger D. Műveleti módszerek az alkalmazott matematikában. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1948. - 294 p. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourier-sorok és integrálok. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace átalakul. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 p. M. L. Krasznov, G. I. Makarenko Műveleti kalkulus. A mozgás stabilitása. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 p. Mikusinsky Y. Operátori kalkulus. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1956. - 367 p. Romanovszkij P.I. Fourier sorozat. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace átalakul. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 p.