MATEMATIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSÉRE

RENDSZER MATEMATIKAI MODELLEK MEGÉPÍTÉSÉNEK ALAPVETŐ MEGKÖZELÍTÉSEI

A rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek felépítésénél a kiinduló információ a vizsgált (tervezett) rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok. S... Ez az információ határozza meg a rendszermodellezés fő célját. Sés lehetővé teszi a kidolgozott matematikai modell követelményeinek megfogalmazását M. Sőt, az absztrakció mértéke függ azon kérdések körétől, amelyekre a rendszerkutató a modell segítségével választ kíván kapni, és bizonyos mértékig meghatározza a matematikai séma kiválasztását.

Matematikai sémák. A matematikai séma fogalmának bevezetése lehetővé teszi, hogy a matematikát ne számítási módszernek tekintsük, hanem gondolkodásmódnak, fogalmak megfogalmazásának eszközének, ami a legfontosabb a rendszer verbális leírásától való átmenetben. működési folyamatának formális reprezentációja valamilyen matematikai modell (analitikai vagy imitációs) formájában. A matematikai séma használatakor az S rendszer kutatóját mindenekelőtt az a kérdés kell, hogy érdekelje a leképezés megfelelősége a vizsgált rendszerben a valós folyamatok konkrét sémái formájában, és nem egy válasz (megoldás eredménye) egy konkrét kutatási kérdésre. Például egy kollektív információs-számítógépes rendszer működési folyamatának sorbanállási sémák hálózata formájában történő megjelenítése lehetővé teszi a rendszerben előforduló folyamatok jó leírását, de a bejövő áramlások és szolgáltatásfolyamatok összetett törvényei mellett, nem teszi lehetővé explicit formában történő eredmények elérését.

Matematikai séma láncszemként határozható meg a rendszer működési folyamatának a külső környezet hatását figyelembe vevő értelmes leírásától formális leírásáig, vagyis létezik egy lánc „leíró modell – matematikai séma – matematikai (analitikai és/ vagy utánzat) modell”.

Minden egyes S rendszert tulajdonságok halmaza jellemez, amelyek olyan értékekként értelmezhetők, amelyek tükrözik a modellezett objektum (valós rendszer) viselkedését, és figyelembe veszik annak működési feltételeit a külső környezettel (rendszerrel) kölcsönhatásban. E. A rendszer matematikai modelljének megalkotásakor meg kell oldani a teljességének kérdését. A modell teljességét elsősorban a „rendszer S - környezet” határvonal megválasztása szabályozza E» . Szintén meg kell oldani a modell egyszerűsítésének problémáját, ami segít a rendszer főbb tulajdonságainak kiemelésében, a másodlagosak elvetésével. Ráadásul a rendszer tulajdonságainak fő vagy másodlagoshoz való hozzárendelése alapvetően a rendszer modellezési céljától függ (például a rendszer működési folyamatának valószínűségi-időbeli jellemzőinek elemzése, a rendszer működési folyamatának szintézise). a rendszer felépítése stb.).

Az objektum formális modellje. A modellezési objektum modellje, azaz az S rendszer olyan mennyiségek halmazaként ábrázolható, amelyek leírják egy valós rendszer működési folyamatát, és általában a következő részhalmazokat alkotják: beviteli műveletek rendszerenként

;

összesített környezeti hatások

;

összesített belső, (saját) paraméterek rendszerek

;

összesített kimeneti jellemzők rendszerek

.

Sőt, a felsorolt ​​részhalmazokban megkülönböztethetők kezelt és nem menedzselt változók. Általánosságban , , , diszjunkt részhalmazok elemei, és determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak.

Az S rendszer modellezésekor a bemeneti műveletek, a külső környezet hatásai Eés a rendszer belső paraméterei az független (exogén) változók, amelyek vektor formában a következő alakúak:,, és a rendszer kimeneti jellemzői az függő (endogén) változók vektoros formában pedig a forma).

Az S rendszer működési folyamatát az üzemeltető időben leírja F s , amely általános esetben az exogén változókat a formai viszonyoknak megfelelően endogénné alakítja át

. (1)

A rendszer kimeneti jellemzőinek időbeli függésének halmaza y j (t) minden fajtára
hívott kimeneti pálya
. A függőséget (1) nevezzük rendszer működési törvényeS és jelöltük F s . Általános esetben a rendszer működésének törvénye F s megadható függvény, funkcionális, logikai feltételek formájában, algoritmikus és táblázatos formában, vagy szóbeli illesztési szabály formájában.

Az S rendszer leírása és tanulmányozása szempontjából nagyon fontos a koncepció működési algoritmusA s , amelyen a kimeneti jellemzők bemeneti hatásokat figyelembe vevő módszerét értjük
, környezeti hatások
és a rendszer saját paraméterei
. Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a működési törvény F s Az S rendszert többféleképpen is meg lehet valósítani, azaz sokféle működési algoritmust használva A s .

A relációk (1) a modellezés objektumának (rendszerének) időbeni viselkedésének matematikai leírása t, vagyis annak dinamikus tulajdonságait tükrözik. Ezért az ilyen típusú matematikai modelleket általában ún dinamikus modellek(rendszerek).

Mert statikus modellek A matematikai modell (1) egy modellezett objektum tulajdonságainak két részhalmaza közötti leképezés Y és { x, V, H), amely vektor formában úgy írható fel

. (2)

Az (1) és (2) kapcsolatokat többféleképpen is megadhatjuk: analitikusan (képletek segítségével), grafikusan, táblázatos formában stb. Ilyen kapcsolatok bizonyos esetekben az S rendszer adott időpontokban, ún. Államok. Az S rendszer állapotát vektorok jellemzik

és
,

ahol
,
, …,
pillanatnyilag
;
,
, …,
pillanatnyilag
stb.,
.

Ha az S rendszer működési folyamatát szekvenciális állapotváltozásnak tekintjük
, akkor egy pont koordinátáiként értelmezhetők Nak nek-dimenziós fázistér. Ezenkívül a folyamat minden egyes megvalósítása egy bizonyos fázispályának felel meg. Az állapotok összes lehetséges értékének gyűjteménye hívott állapottér modellezés tárgya Z, ráadásul
.

Az S rendszer állapotai az időpillanatban t 0 < t*T teljes mértékben meghatározzák a kezdeti feltételek
[ahol
,
, …,
], bemeneti hatások
, saját rendszerparaméterek
és a környezeti hatások
, amely egy ideig zajlott t*- t 0 , val vel két vektoregyenlet segítségével

; (3)

. (4)

A kezdeti állapot első egyenlete és exogén változók
vektorfüggvényt határoz meg
, a második pedig az állapotok kapott értéke szerint
- endogén változók a rendszer kimenetén
. Így az "input-state-output" objektum egyenletlánca lehetővé teszi a rendszer jellemzőinek meghatározását

. (5)

Általános esetben az S rendszer modelljében szereplő idő a modellezési intervallumon tekinthető (0, T) folytonos és diszkrét, azaz hosszúságú szegmensekre kvantált
időegységek mindegyik mikor
, ahol
- mintavételi intervallumok száma.

Így, alatt az objektum matematikai modellje(valós rendszer) megérti a változók véges részhalmazát (
} a köztük és a jellemzők közötti matematikai összefüggésekkel együtt
.

Ha a modellezés tárgyának matematikai leírása nem tartalmaz véletlenszerű elemeket, vagy azokat nem veszik figyelembe, vagyis ha feltételezhető, hogy ebben az esetben a külső környezet sztochasztikus hatásai
és sztochasztikus belső paraméterek
hiányoznak, akkor a modell ún meghatározó abban az értelemben, hogy a jellemzőket a determinisztikus bemenetek egyedileg határozzák meg

. (6)

Nyilvánvaló, hogy a determinisztikus modell a sztochasztikus modell speciális esete.

Tipikus sémák. Az adott matematikai összefüggések általános matematikai sémákat reprezentálnak, és lehetővé teszik a rendszerek széles osztályának leírását. Azonban az objektumok modellezésének gyakorlatában a rendszertervezés és a rendszerelemzés területén a rendszerkutatás kezdeti szakaszában ésszerűbb tipikus matematikai sémák: differenciálegyenletek, véges és valószínűségi automaták, sorrendszerek, Petri-hálók stb.

A tipikus matematikai sémák, amelyek nem rendelkeznek olyan általánosságfokkal, mint a vizsgált modellek, az egyszerűség és az áttekinthetőség, de az alkalmazási lehetőségek jelentős szűkítésével rendelkeznek. A folytonos időben működő rendszerek ábrázolására differenciál-, integrál-, integro-differenciális és egyéb egyenleteket használunk determinisztikus modellként, ha a vizsgálat során véletlenszerű tényezőket nem veszünk figyelembe, a működő rendszerek ábrázolására pedig véges automatákat és véges-differenciális sémákat. diszkrét időben.... A valószínűségi automatákat sztochasztikus modellként (véletlenszerű tényezők figyelembevételével) használják a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására, a sorba állító rendszereket pedig a folyamatos idejű rendszerek ábrázolására stb.

A felsorolt ​​tipikus matematikai sémák természetesen nem tehetik úgy, mintha ezek alapján le tudnák írni a nagy információkezelő rendszerekben előforduló összes folyamatot. Az ilyen rendszerek esetében bizonyos esetekben az aggregált modellek alkalmazása ígéretesebb.

Az aggregált modellek (rendszerek) lehetővé teszik a kutatási objektumok széles körének leírását, tükrözve ezen objektumok rendszerszerűségét. Összesített leírással történik, hogy egy komplex objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják a részek kölcsönhatását biztosító kapcsolatokat.

Így a rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek megalkotásakor a következő főbb megközelítések különböztethetők meg: folytonos-determinisztikus (például differenciálegyenletek); diszkrét-determinisztikus (véges automaták); diszkrét sztochasztikus (valószínűségi automaták); folytonos-sztochasztikus (sorba állító rendszerek); általánosított vagy univerzális (aggregált rendszerek).

FOLYAMATOS MEGHATÁROZÁSI MODELLEK (D-ÁRAMKÖRÖK)

Tekintsük a folytonos-determinisztikus megközelítés sajátosságait a differenciálegyenletek matematikai modellként való felhasználásának példáján. Differenciál egyenletek olyan egyenleteket nevezünk, amelyekben egy vagy több változó függvényei ismeretlenek, és az egyenlet nemcsak függvényeket, hanem azok különböző rendű származékait is tartalmazza. Ha az ismeretlenek több változó függvényei, akkor az egyenleteket parciális differenciálegyenleteknek nevezzük, ellenkező esetben, ha csak egy független változó függvényeit vesszük figyelembe, az egyenleteket közönséges differenciálegyenleteknek nevezzük.

Alapvető kapcsolatok. Az ilyen matematikai modellekben általában az időt használják független változóként, amelytől az ismeretlen keresett függvények függenek. t. Ekkor a matematikai összefüggés a determinisztikus rendszerekre (6) általános formában a következő lesz

, (7)

ahol
,
és
- NS-dimenziós vektorok;
- vektorfüggvény, amely bizonyos ( NS+1) -dimenziós
beállított és folyamatos.

Mivel az ilyen típusú matematikai sémák a vizsgált rendszer dinamikáját, azaz időbeni viselkedését tükrözik, ún. D- sémák(eng. dinamikus).

A legegyszerűbb esetben a közönséges differenciálegyenlet alakja

. (8)

A rendszertervezés legfontosabb alkalmazása D-rendszer mint matematikai apparátus az automatikus vezérlés elméletében. A D-áramkörök felépítésének és alkalmazásának sajátosságainak szemléltetésére nézzük meg a legegyszerűbb példát két különböző fizikai természetű elemi rendszer működési folyamatának formalizálására: a mechanikai. S M (az inga lengései, 1. ábra, a) és elektromos S K (lengőkör, 1. ábra, b).

Rizs. 1. Elemi rendszerek

Az inga kis lengésének folyamatát a közönséges differenciálegyenlet írja le

ahol
- az inga felfüggesztésének tömege és hossza; g - szabadesés gyorsulás;
- az inga elhajlási szöge az időpillanatban t.

Az inga szabad oszcillációjának ebből az egyenletéből meg lehet becsülni a számunkra érdekes jellemzőket. Például az inga kilengésének időszaka

.

Hasonlóképpen, az elektromos rezgőkörben zajló folyamatokat a közönséges differenciálegyenlet írja le

ahol L Nak nek , VAL VEL Nak nek - a kondenzátor induktivitása és kapacitása; q(t) - kondenzátor töltés időben t.

Ebből az egyenletből különböző becsléseket kaphat az oszcillációs körben zajló folyamat jellemzőiről. Például az elektromos rezgések időszaka

.

Nyilvánvalóan a jelölés bevezetése
,
, ,
, kapunk egy közönséges másodrendű differenciálegyenletet, amely leírja ennek a zárt hurkú rendszernek a viselkedését:

ahol
- rendszerparaméterek; z(t) - a rendszer időbeli állapota t.

Így e két objektum viselkedése egy általános matematikai modell alapján vizsgálható (9). Ezenkívül meg kell jegyezni, hogy az egyik rendszer viselkedése a másik segítségével elemezhető. Például egy inga viselkedése (rendszer S M) elektromos oszcillációs áramkörrel (rendszer S K).

Ha a vizsgált rendszer S, azaz egy inga vagy egy kontúr, kölcsönhatásba lép a külső környezettel E, majd megjelenik egy beviteli művelet NS(t) (külső erő az ingára ​​és az áramforrás energiaforrása) és egy ilyen rendszer folytonos-determinisztikus modellje a következő formában lesz

A matematikai modell általános sémája szempontjából NS(t) a bemeneti (vezérlő) művelet, és az S rendszer állapota ebben az esetben kimeneti jellemzőnek tekinthető, azaz tegyük fel, hogy a kimeneti változó egybeesik a rendszer adott időpontban fennálló állapotával y =z.

Lehetséges alkalmazások. A rendszertervezési problémák megoldása során nagy jelentőséggel bírnak a nagy rendszerek menedzselésének problémái. Ügyeljen a rendszerekre automatikus vezérlés- a dinamikus rendszerek egy speciális esetét ismertetjük D- sémákés gyakorlati sajátosságaik miatt külön modellosztályban kiemelve.

Az automatikus vezérlési folyamatok leírásánál általában ragaszkodnak egy valós objektum bemutatásához két rendszer formájában: vezérlő és vezérelt (vezérlő objektum). Egy általános, többdimenziós automata vezérlőrendszer felépítése az ábrán látható. 2, hol vannak kijelölve endogén változók:
- bemeneti (mester) hatások vektora;
- zavaró hatások vektora;
- hibajelzések vektora;
- ellenőrzési műveletek vektora; exogén változók:
- az S rendszer állapotvektora;
általában kimeneti változók vektora
=
.

Rizs. 2. Az automatikus vezérlőrendszer felépítése

A modern vezérlőrendszer olyan szoftver- és hardvereszközök összessége, amelyek biztosítják, hogy a vezérlőobjektum egy adott célt elérjen. Egydimenziós rendszerre az állapotkoordináta alapján lehet megítélni, hogy a vezérlőobjektum mennyire pontosan ér el egy adott célt. nál nél (t). A különbség az adott között nál nél hátoldal (t) és érvényes nál nél (t) a szabályozott változó változásának törvénye szabályozási hiba . Ha a szabályozott mennyiség változásának előírt törvénye megfelel a bemeneti (fő) művelet változásának törvényének, azaz.
, azután
.

Rendszerek, amelyeknél vezérlési hibák vannak
mindenkor ideálisnak nevezik. A gyakorlatban az ideális rendszerek megvalósítása lehetetlen. Tehát a hiba h"(t) - a negatív visszacsatolás elvén alapuló automatikus vezérlés szükséges eleme, mivel a kimeneti változó összhangba kerül y(t) a megadott értéke a köztük lévő eltérésre vonatkozó információkat használja fel. Az automatikus vezérlőrendszer feladata a változó megváltoztatása y(t) adott törvény szerint bizonyos pontossággal (elfogadható hibával). Az automatikus vezérlőrendszerek tervezésénél és üzemeltetésénél az alábbi rendszerparamétereket kell kiválasztani S, amely biztosítaná a szükséges szabályozási pontosságot, valamint a rendszer stabilitását az átmeneti folyamatban.

Ha a rendszer stabil, akkor gyakorlati jelentőségű a rendszer időbeni viselkedése, a szabályozott változó maximális eltérése nál nél (t) tranziens folyamatban a tranziens folyamat ideje, stb. A különböző osztályú automata vezérlőrendszerek tulajdonságairól differenciálegyenletek formájában lehet következtetéseket levonni, amelyek megközelítőleg leírják a rendszerekben zajló folyamatokat. A differenciálegyenlet sorrendjét és együtthatóinak értékét teljes mértékben a rendszer statikus és dinamikus paraméterei határozzák meg. S.

Tehát használ D-rendszer lehetővé teszi a folyamatosan determinisztikus rendszerek működési folyamatának formalizálását Sés elemző vagy szimulációs megközelítéssel értékelje főbb jellemzőit, megfelelő nyelv formájában a folyamatos rendszerek modellezéséhez vagy analóg és hibrid számítástechnikai eszközök használatával.

A besorolás bármely szakterületen elengedhetetlen. Lehetővé teszi a felhalmozott tapasztalatok általánosítását, a témakör fogalmainak racionalizálását. A matematikai modellezési módszerek rohamos fejlődése és alkalmazási területeik változatossága számos különféle típusú modell megjelenéséhez vezetett, és szükségessé tette a modellek olyan kategóriákba való besorolását, amelyek minden modell számára univerzálisak vagy szükségesek a területen. például a megépített modellről. Adjunk példát néhány kategóriára: felhasználási terület; figyelembe véve az időtényezőt (dinamikát) a modellben; tudás ága; a modellek bemutatásának módja; véletlenszerű (vagy bizonytalan) tényezők jelenléte vagy hiánya; a hatékonysági kritérium típusa és az előírt korlátozások stb.

A matematikai szakirodalmat elemezve azonosítottuk az osztályozás leggyakoribb jeleit:

1. A megvalósítási mód szerint (beleértve a formális nyelvet is) minden matematikai modell felosztható analitikus és algoritmikus.

Analitikai – Szabványos matematikai nyelvet használó modellek. Szimuláció - olyan modellek, amelyekben speciális modellezési nyelvet vagy univerzális programozási nyelvet használnak.

Az analitikus modellek felírhatók analitikus kifejezések formájában, pl. megszámlálható számú aritmetikai műveletet és határértékre történő átmenetet tartalmazó kifejezések formájában, például:. Az algebrai kifejezés az analitikus kifejezés speciális esete, ennek eredményeként pontos jelentést ad. Vannak olyan konstrukciók is, amelyek segítségével adott pontossággal meg lehet találni a kapott értéket (például egy hatványsor elemi függvényének kiterjesztése). Az ezt a technikát alkalmazó modelleket közelítőnek nevezzük.

Az analitikai modelleket viszont részekre bontják elméleti és empirikus modellek. Az elméleti modellek valós struktúrákat és folyamatokat tükröznek a vizsgált objektumokban, vagyis munkájuk elméletén alapulnak. Az empirikus modellek egy objektum környezeti feltételek változásaira adott reakcióinak tanulmányozásán alapulnak. Ebben az esetben nem vesszük figyelembe az objektum működésének elméletét, maga az objektum egy úgynevezett „fekete doboz”, a modell pedig egy bizonyos interpolációs függő. Kísérleti adatokból empirikus modellek építhetők fel. Ezeket az adatokat közvetlenül a vizsgált tárgyakon vagy azok fizikai modelljei segítségével nyerjük.

Ha egy folyamat nem írható le analitikus modell formájában, akkor azt egy speciális algoritmus vagy program segítségével írja le. Ez a modell algoritmikus. Algoritmikus modellek felépítése során numerikus vagy szimulációs megközelítéseket alkalmaznak. A numerikus megközelítésben a matematikai összefüggések halmazát egy véges dimenziós analóg helyettesíti (például egy folytonos argumentum függvényéből egy diszkrét argumentum függvényébe). Ezután egy számítási algoritmust készítünk, azaz. aritmetikai és logikai műveletsorok. A diszkrét analóg talált megoldását az eredeti probléma közelítő megoldásának tekintjük. A szimulációs megközelítésben magát a modellező objektumot diszkretizálják, és a rendszer egyes elemeiről modelleket építenek.

2. A matematikai modellek bemutatási formája szerint vannak:

1) Az invariáns modell olyan matematikai modell, amelyet egyenletrendszerrel (differenciális, algebrai) ábrázolnak anélkül, hogy figyelembe vennék az egyenletek megoldására szolgáló módszereket.

2) Algebrai modell - a modellek arányát a választott numerikus megoldási módszerrel társítják, és algoritmus formájában írják le (számítási sorrend).

3) Analitikus modell - a kívánt változók explicit függése az adott értékektől. Az ilyen modelleket fizikai törvények alapján, vagy az eredeti differenciálegyenletek táblázatos integrálok segítségével történő közvetlen integrálásával kapjuk. Ide tartoznak a kísérleti eredmények alapján kapott regressziós modellek is.

4) A grafikus modell grafikonok, ekvivalens áramkörök, diagramok és hasonlók formájában jelenik meg. A grafikus modellek használatához a grafika elemeinek feltételes képeinek és az invariáns matematikai modell összetevőinek egyértelmű megfeleltetésének szabálya kell, hogy legyen.

3. A hatékonysági kritérium típusától és a kiszabott korlátozásoktól függően a modellek alcsoportokra oszlanak. lineáris és nemlineáris. A lineáris modellekben a hatékonysági kritérium és a kiszabott kényszerek a modellváltozók lineáris függvényei (egyébként nemlineáris modellek). A hatékonysági kritérium és a modellváltozókra kiszabott kényszerek lineáris függésének feltételezése a gyakorlatban teljesen elfogadható. Ez lehetővé teszi egy jól kidolgozott lineáris programozói apparátus használatát a döntéshozatalhoz.

4. Az idő és a felhasználási terület tényezőjét figyelembe véve megkülönböztetik statikus és dinamikus modellek... Ha a modellben szereplő összes mennyiség nem függ az időtől, akkor van egy objektum vagy folyamat statikus modellje (egyszeri információszelet egy objektumról). Azok. a statikus modell olyan modell, amelyben az idő nem változó. A dinamikus modell lehetővé teszi az objektum időbeli változásainak megtekintését.

5. A döntést hozó felek számától függően kétféle matematikai modell létezik: leíró és normatív... A leíró modellben nincsenek döntéshozók. Formálisan az ilyen oldalak száma a leíró modellben nulla. Az ilyen modellek tipikus példája a sorbanállási rendszer modellje. Megbízhatóságelmélet, gráfelmélet, valószínűségszámítás, statisztikai vizsgálati módszer (Monte Carlo módszer) is használható leíró modellek felépítésére.

A normatív modellnek számos aspektusa van. A normatív modelleknek elvileg két típusa különböztethető meg: az optimalizációs modellek és a játékelméleti modellek. Az optimalizálási modellekben a megoldások kidolgozásának fő feladata technikailag a hatékonysági kritérium szigorú maximalizálására vagy minimalizálására redukálódik, azaz. a szabályozott változók olyan értékeit határozzák meg, amelyeknél a hatékonysági kritérium elér egy szélső értéket (maximum vagy minimum).

Az optimalizálási modellek által megjelenített megoldások fejlesztésére a klasszikus és új variációs módszerek (extrémum keresés) mellett a matematikai programozás módszereit (lineáris, nemlineáris, dinamikus) használják a legelterjedtebben. A játékelméleti modellt az oldalak számának sokfélesége (legalább kettő) jellemzi. Ha két ellentétes érdekű párt van, akkor a játékelméletet alkalmazzuk, ha a pártok száma kettőnél több, és nem lehetséges a koalíció és a kompromisszum közöttük, akkor a nem koalíciós játékok elméletét alkalmazzuk. n személyek.

6. A véletlenszerű (vagy bizonytalan) tényezők meglététől vagy hiányától függően léteznek determinisztikus és sztochasztikus matematikai modellek. A determinisztikus modellekben minden összefüggés, változó és állandó pontosan meg van adva, ami az eredményül kapott függvény egyértelmű definíciójához vezet. Determinisztikus modellt olyan esetekben készítünk, amikor a művelet kimenetelét befolyásoló tényezők kellően pontos mérésre vagy értékelésre alkalmasak, és a véletlenszerű tényezők vagy hiányoznak, vagy elhanyagolhatók.

Ha a modellben szereplő paraméterek egy része vagy mindegyike természetüknél fogva valószínűségi változó vagy véletlen függvény, akkor a modell a sztochasztikus modellek osztályába tartozik. A sztochasztikus modellekben beállítják a valószínűségi változók eloszlási törvényeit, ami a kapott függvény valószínűségi becsléséhez vezet, és a valóság egy bizonyos véletlenszerű folyamatként jelenik meg, amelynek lefolyását és kimenetelét a valószínűségi változók bizonyos jellemzői írják le: matematikai elvárások. , szórások, eloszlásfüggvények stb. Egy ilyen modell felépítése akkor lehetséges, ha elegendő tényanyag áll rendelkezésre a szükséges valószínűségi eloszlások meghatározásához, vagy ha a vizsgált jelenség elmélete lehetővé teszi ezen eloszlások elméleti meghatározását (a valószínűségszámítás képletei, határtételek stb. .).

7. A modellezés céljaitól függően vannak leíró, optimalizálás és kezelés modellek. A leíró (latin descriptio - leírásból) modellekben a modellparaméterek változásának törvényszerűségeit vizsgálják. Például egy anyagi pont mozgásának modellje alkalmazott erők hatására Newton második törvénye alapján:. Egy pont adott időpillanatbeli helyzetének és gyorsulásának (bemeneti paraméterek), tömegének (intrinsic paraméter) és a fellépő erők változási törvényének (külső hatások) megadásával lehetőség nyílik a pont koordinátáinak, ill. a sebesség az adott pillanatban (kimeneti adatok).

Az optimalizálási modellek segítségével egy bizonyos kritérium alapján meghatározzák a szimulált objektum paramétereit vagy az objektum vezérlési módjait a legjobban (optimálisan). Az optimalizálási modellek egy vagy több leíró modell felhasználásával épülnek fel, és számos kritériummal rendelkeznek az optimalitás meghatározásához. A bemeneti paraméterek értéktartományára korlátozások vonatkozhatnak a vizsgált objektum vagy folyamat jellemzőihez kapcsolódó egyenlőségek vagy egyenlőtlenségek formájában. Az optimalizálási modellre példa az élelmiszeradag összeállítása egy bizonyos étrendben (bemeneti adatként a termék kalóriatartalma, a költségek árértékei stb. szolgálnak).

A vezetési modelleket a céltudatos emberi tevékenység különböző területein történő döntések meghozatalára használják, amikor az alternatívák teljes halmazából több alternatívát választanak ki, és az általános döntéshozatali folyamat ezek sorozata. Például a diákok által készített jelentés kiválasztása előléptetésre. A probléma összetettsége egyrészt a bemeneti adatok bizonytalanságában (önállóan készült jelentés, vagy valaki más munkáját), másrészt a célokban (a munka tudományos jellege és szerkezete, a prezentáció szintje és a képzettség szintje) rejlik. a tanuló, a kísérlet eredményei és a levont következtetések). Mivel az azonos helyzetben meghozott döntés optimálissága többféleképpen értelmezhető, ezért a vezetési modellekben az optimalitási kritérium formája előre nincs rögzítve. A választás- és döntéselméletben a játékelméleti és műveleti kutatásokon alapuló, a bizonytalanság típusától függő optimalitási kritériumok kialakításának módszereit vizsgáljuk.

8.Megkülönböztetés a kutatási módszer szerint analitikai, numerikus és szimulációs modellek. Az analitikus modell egy rendszer formalizált leírása, amely lehetővé teszi egy egyenlet explicit megoldását egy jól ismert matematikai berendezés segítségével. A numerikus modellt egy olyan függőség jellemzi, amely a modell meghatározott kezdeti feltételeire és mennyiségi paramétereire csak részleges numerikus megoldásokat tesz lehetővé. A szimulációs modell a rendszer és a külső hatások leírásainak összessége, a rendszer működésére vonatkozó algoritmusok vagy a rendszer állapotának külső és belső zavarok hatására történő megváltoztatásának szabályai. Ezek az algoritmusok és szabályok nem teszik lehetővé a rendelkezésre álló matematikai analitikai és numerikus megoldási módszerek alkalmazását, de lehetővé teszik a rendszer működési folyamatának szimulálását és a kívánt jellemzők rögzítését. Ezenkívül néhány elemző és szimulációs modellt részletesebben megvizsgálunk, az ilyen típusú modellek tanulmányozása a hallgatók szakmai tevékenységének sajátosságaihoz kapcsolódik a megjelölt képzési irányban.

1.4. Matematikai modellek grafikus ábrázolása

A matematikában a mennyiségek kapcsolódási formáit egy független változó (argumentum) alakú egyenletekkel ábrázolhatjuk, y- függő változó (függvény). A matematikai modellezés elméletében a független változót faktornak, a függő változót válasznak nevezzük. Ezenkívül a matematikai modell felépítésének területétől függően a terminológia némileg módosul. Néhány példa a faktor és a válasz meghatározására, a vizsgálati területtől függően, az 1. táblázatban látható.

1. táblázat: A „faktor” és „válasz” fogalmak néhány meghatározása

A matematikai modell grafikus bemutatása során a faktorokat és válaszokat változónak fogjuk tekinteni, amelyek értékei a valós számok halmazához tartoznak.

A matematikai modell grafikus ábrázolása in pontok elrendezésének megfelelő válaszfelület k- mérettényező tér NS... Csak egydimenziós és kétdimenziós válaszfelületek jeleníthetők meg. Az első esetben ez egy valós síkon lévő pontok halmaza, a másodikban pedig olyan pontok halmaza, amelyek felületet alkotnak a térben (az ilyen pontok ábrázolásához célszerű szintvonalakat használni - ez a megjelenítési mód kétdimenziós tényezőtérbe épített tér felületének domborműve NS(8. ábra).

Az a terület, ahol a válaszfelület definiálva van, ún definíciós tartománya X *. Ez a terület általában csak egy része a teljes faktortérnek. NS(NS*Ì NS), és a vezérlőváltozókra szabott megszorítások segítségével kerül kiosztásra x i egyenlőségként írva:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

vagy egyenlőtlenségek:

x i min £ x i£ x i max, én= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Ebben az esetben a funkciókat f j(x) függhet egyszerre az összes változótól és azok egy részétől.

Az olyan korlátok, mint az egyenlőtlenségek, vagy a vizsgált objektumban zajló folyamatok fizikai korlátait (például hőmérsékleti korlátokat), vagy a létesítmény működési feltételeivel kapcsolatos műszaki korlátokat (például a forgácsolási sebesség korlátozása, a nyersanyagkészletek korlátai) jellemzik. .

A modellek tanulmányozási lehetőségei alapvetően a válaszfelület tulajdonságaitól (domborművétől), különösen a rajta elérhető „csúcsok” számától és kontrasztjától függenek. A csúcsok (völgyek) száma határozza meg modalitás válaszfelületek. Ha a definíciós tartományban a válaszfelületen egy csúcs (völgy) található, akkor a modellt hívjuk unimodális.

A funkcióváltás jellege ebben az esetben eltérő lehet (9. ábra).

A modellnek lehetnek első típusú töréspontjai (9. ábra (a)), második típusú töréspontjai (9. ábra b)). A 9 (c) ábra egy folyamatosan differenciálható unimodális modellt mutat be.

A 9. ábrán bemutatott mindhárom esetben teljesül az unimodalitás általános követelménye:

ha W (x *) W szélsőértéke, akkor az x 1 feltételből< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) ezt követi W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), ha az extrémum minimum, azaz a szélsőponttól való távolság növelésével a W (x) függvény értéke folyamatosan csökken (növekszik).

Az unimodális modellek mellett a polimodális modelleket is figyelembe vesszük (10. ábra).

A válaszfelület másik fontos tulajdonsága a kontrasztja, amely megmutatja a kapott függvény érzékenységét a tényezők változására. A kontrasztot a származékok értékei jellemzik. Mutassuk be a kontrasztjellemzőket egy kétdimenziós válaszfelület példáján (11. ábra).

Pont a minden változó esetében azonos kontrasztot jellemző "lejtőn" helyezkedik el x i (én= 1,2), pont b egy "szurdokban" található, amelyben a különböző változókhoz eltérő kontraszt (rossz feltételes a függvényünk), pont val vel egy "fennsíkon" található, ahol minden változó esetében alacsony a kontraszt x i az extrémum közelségét jelzi.

1.5. Matematikai modellek felépítésének alapvető módszerei

Adjuk meg a modellezett rendszerek formalizált ábrázolásának módszereinek osztályozását Volkova V.N. és Denisova AA. A szerzők elemző, statisztikai, halmazelméleti, nyelvi, logikai, grafikus módszereket emelnek ki. Az alapvető terminológiát, az ismertetett módszerosztályok alapján kidolgozott elméletekre vonatkozó példákat, valamint alkalmazásuk körét és lehetőségeit az 1. számú melléklet tartalmazza.

A modellezési rendszerek gyakorlatában az analitikai és statisztikai módszereket használják legszélesebb körben.

1) Analitikai módszerek matematikai modellek felépítésére.

A matematikai modellek felépítésére szolgáló analitikai módszerek terminológiai apparátusa a klasszikus matematika fogalmaira épül (képlet, függvény, egyenlet és egyenletrendszer, egyenlőtlenség, derivált, integrál stb.). Ezeket a módszereket a klasszikus matematika nyelvét használó terminológia egyértelműsége és érvényessége jellemzi.

Az analitikai koncepciók alapján olyan matematikai elméletek jöttek létre és fejlődtek ki, mint a klasszikus matematikai elemzés (például a függvénytanulmányozási módszerek), valamint a matematikai programozás és játékelmélet modern alapjai. Ezen túlmenően a matematikai programozás (lineáris, nemlineáris, dinamikus, egészszámú stb.) a probléma felállításának mindkét eszközét tartalmazza, és kibővíti a modell megfelelőségének bizonyítási lehetőségeit, ellentétben a matematika számos más területével. L.V. javasolta az optimális matematikai programozás ötletét a gazdasági (különösen a rétegelt lemez optimális vágásának problémájának) megoldására. Kantorovich.

Magyarázzuk meg a módszer jellemzőit egy példa segítségével.

Példa. Tegyük fel, hogy kétféle termék előállításához Aés V háromféle alapanyagot kell használnia. Ugyanakkor a típusú termelési egység gyártásához A 4 egységet fogyasztanak el. az első típusú alapanyagok, 2 db. 2. és 3. egység 3. típus. típusú termelési egység gyártásához V 2 egység fogy el. 1. típusú alapanyagok, 5 db. 2. típusú és 4 db. 3. típusú alapanyagok. A gyári raktárban 35 db van. 1. típusú, 43 - 2. típusú, 40 - 3. típusú alapanyagok. típusú termelési egység értékesítéséből A a gyár nyeresége 5 ezer rubel, és a forma termelési egységének eladásából V a nyereség 9 ezer rubel. Fel kell készíteni a probléma matematikai modelljét, amely maximális profitot biztosít.

Az egyes nyersanyagtípusok felhasználási arányait az ilyen típusú termék egy egységének előállításához a táblázat tartalmazza. Jelzi továbbá az egyes terméktípusok értékesítéséből származó nyereséget és az ilyen típusú alapanyagok teljes, a vállalkozás által felhasználható mennyiségét.

Jelöljük azzal x 1és x 2 a gyártott termékek mennyisége Aés V illetőleg. A terv első osztályú anyagának költsége lesz 4x 1 + 2x 2, és nem haladhatják meg a készleteket, pl. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

A második osztály anyagára vonatkozó korlátozások hasonlóak:

2x 1 + 5x 2 43,

és a harmadik évfolyam anyagán

3x 1 + 4x 2 40.

Profit az értékesítésből x 1 termelési egységek A és x 2 B termelési egység lesz z = 5x 1+ 9x 2(objektív funkció).

Megkaptuk a problémás modellt:

A probléma grafikus megoldását a 11. ábra mutatja.

Optimális (legjobb, azaz a függvény maximuma z) a probléma megoldása az A pontban található (a megoldást az 5. fejezet ismerteti).

Megvan x 1=4,x 2= 7, a függvény értéke z az A pontban:.

Így a maximális nyereség értéke 83 ezer rubel.

A grafikus mellett számos speciális módszer is létezik a probléma megoldására (például szimplex módszer), vagy az ezeket megvalósító alkalmazott szoftvercsomagokat alkalmazzák. A célfüggvény típusától függően lineáris és nemlineáris programozást különböztetnek meg, a változók jellegétől függően egész számú programozást.

A matematikai programozás általános jellemzői megkülönböztethetők:

1) a célfüggvény fogalmának bevezetése és a korlátok a probléma felállításának eszközei;

2) lehetőség van különböző kritériumok kombinálására egy modellben (különböző méretek, a példában - nyersanyagkészletek és nyereség);

3) a matematikai programozási modell lehetővé teszi a változók megengedett értékeinek tartományának határát;

4) az eredmények megszerzéséhez szükséges lépésenkénti algoritmus megvalósításának lehetősége (lépésről lépésre az optimális megoldáshoz);

5) a probléma geometriai értelmezésével elért egyértelműség, amely segít olyan esetekben, amikor a probléma formális megoldása lehetetlen.

2) Statisztikai módszerek matematikai modellek felépítésére.

A matematikai modellek megalkotásának statisztikai módszerei széles körben elterjedtek, és a 19. századi valószínűségszámítás fejlődésével kezdték széles körben alkalmazni. A véletlenszerű (sztochasztikus) események valószínűségi törvényein alapulnak, valós jelenségeket tükrözve. A „sztochasztikus” kifejezés a „véletlenszerűség” fogalmának tisztázása, előre meghatározott, határozott okokat jelez, amelyek befolyásolják a folyamatot, a „véletlenszerűség” fogalmát pedig az ilyen okok hatásától vagy hiányától való függetlenség jellemzi.

A statisztikai minták diszkrét valószínűségi változók és értékeik megjelenési mintái, vagy az események (folyamatok) eloszlásának folyamatos függőségei formájában jelennek meg. A sztochasztikus modellek felépítésének elméleti alapjait a 2. fejezet ismerteti részletesen.

Ellenőrző kérdések

1. Fogalmazza meg a matematikai modellezés fő problémáját!

2. Adja meg a matematikai modell definícióját!

3. Sorolja fel a kísérleti megközelítés főbb hátrányait a tanulmányban!

4. Sorolja fel a modellépítés főbb szakaszait!

5. Sorolja fel a matematikai modellek típusait!

6. Adjon rövid leírást a modellek típusairól!

7. Milyen formát ölt a matematikai modell, ha geometriailag ábrázoljuk?

8. Hogyan határozhatók meg az analitikus típusú matematikai modellek?

Feladatok

1. Készítsen matematikai modellt a probléma megoldásához, és osztályozza a modellt:

1) Határozza meg egy hengeres vödör maximális kapacitását, amelynek felülete (fedél nélkül) S!

2) A vállalkozás a rendszeres gyártást biztosítja két alvállalkozó problémamentes alkatrészellátásával. A szállítás visszautasításának valószínűsége az első alvállalkozótól -, a másodiktól -. Keresse meg a vállalkozás csődjének valószínűségét.

2. A Malthus-modell (1798) egy populáció méretével arányos szaporodását írja le. Diszkrét formában ez a törvény egy geometriai progresszió:; vagy A differenciálegyenlet formájában felírt törvény az exponenciális populációnövekedés modellje, és jól leírja a sejtpopulációk növekedését minden korlátozás nélkül: Állítsa be a kezdeti feltételeket, és mutassa be a modell működését.

Az MM felépítésében a rendszerek működési folyamatainak kiinduló információi a vizsgált (vetített) S rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok. Ez az információ határozza meg a modellezés fő célját, az MM-re vonatkozó követelményeket, az absztrakció szintjét. , valamint a matematikai modellezési séma kiválasztása.

Koncepció matematikai séma lehetővé teszi számunkra, hogy a matematikát ne számítási módszernek tekintsük, hanem gondolkodásmódnak, fogalmak megfogalmazásának eszközének, ami a legfontosabb a verbális leírástól a működési folyamatának formalizált ábrázolásához való átmenetben. néhány MM.

A szőnyeg használatakor. séma, a rendszer kutatóját mindenekelőtt a vizsgált rendszerben a valós folyamatok konkrét sémái formájában történő megjelenítés megfelelőségének kérdése érdekelje, nem pedig a válasz (megoldási eredmény) megszerzésének lehetősége. egy konkrét kutatási kérdésre.

Például a kollektív használatra szánt ICS működési folyamatának sorbanállási sémák hálózata formájában történő megjelenítése lehetővé teszi a rendszerben előforduló folyamatok jó leírását, de a bejövő folyamok és szolgáltatásfolyamatok összetett törvényei mellett nem teszi lehetővé explicit formában történő eredmények elérését.

Matematikai séma láncszemként határozható meg a rendszer működési folyamatának értelmes leírásától formalizált leírásáig, figyelembe véve a külső környezet hatását. Azok. van egy lánc: egy leíró modell - egy matematikai séma - egy szimulációs modell.

Minden egyes S rendszert tulajdonságok halmaza jellemez, amelyek olyan értékekként értelmezhetők, amelyek tükrözik a modellezett objektum (valós rendszer) viselkedését és működésének feltételeit a külső környezettel (rendszerrel) E.

Az S rendszer MM-jének megalkotásakor meg kell oldani a teljességének kérdését. A modellezés teljességét elsősorban a „System S – E környezet” határok megválasztása szabályozza. Szintén meg kell oldani az MM egyszerűsítésének problémáját, ami segít kiemelni a rendszer főbb tulajdonságait, elvetve a modellezés másodlagos céljait.

A szimulációs objektum MM-je, azaz. az S rendszer egy valós rendszer működési folyamatát leíró mennyiségek halmazaként ábrázolható, és általános esetben a következő részhalmazokat alkotja:

X - bemeneti hatások halmaza Sх i Х-re, i = 1… n x;

A külső környezeti hatások összessége v l V, l = 1… n v;

A rendszer belső (intrinzik) paramétereinek halmaza h k H, k = 1… n h;

Az y j Y, j = 1… n y rendszer kimeneti jellemzőinek halmaza.

A felsorolt ​​készletekben ellenőrzött és nem szabályozott mennyiségek különböztethetők meg. Általában X, V, H, Y diszjunkt halmazok, amelyek determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak. Az E bemeneti műveletek és az S belső paraméterek független (exogén) változók.Kimeneti jellemzők - függő változók (endogén)... Az S műveleti folyamatot F S operátor írja le:

(1)

Kimeneti pálya F S - a működés törvénye S.F S lehet függvény, funkcionális, logikai feltételek, algoritmus, táblázat vagy szabályok szóbeli leírása.

Működési algoritmus A S - módszer a kimeneti jellemzők megszerzésére, figyelembe véve a bemeneti hatásokat Nyilvánvalóan ugyanaz az FS többféleképpen is megvalósítható, pl. sokféle A S használatával.

Az (1) reláció a t időben modellező S objektum viselkedésének matematikai leírása, azaz. tükrözi azt dinamikus tulajdonságok... (1) az S rendszer dinamikus modellje. Az MM statikus feltételekhez vannak X, V, H leképezések Y-be, azaz. (2)

Az (1), (2) összefüggéseket képletekkel, táblázatokkal stb.

Ezenkívül bizonyos esetekben kapcsolatokat kaphatunk a rendszer tulajdonságain keresztül meghatározott időpontokban, amelyeket állapotoknak nevezünk.

Az S rendszer állapotait vektorok jellemzik:

és , ahol pillanatnyilag t l  (t 0, T)

pillanatnyilag t ll  (t 0, T) stb. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) egy pont koordinátái a k-dimenziós fázistérben. A folyamat minden egyes megvalósítása egy bizonyos fázispályának felel meg.

Az állapotok összes lehetséges értékének halmazát () a modellezési objektum állapotterének nevezzük, Z és z k Z.

S rendszerállapot a t 0 időintervallumban , ahol a bemenet, a belső paraméterek és a külső környezet hatásai, amelyek a t * - t 0 időintervallumban lejátszódtak 2 vektoregyenlet felhasználásával:

; (3)

másképp: . (5)

Idő módban S a szimulációs intervallumon (t 0, T) mind folytonosnak, mind diszkrétnek tekinthető, azaz. t hosszúságú szegmensre kvantálva.

Így egy objektum MM alatt a változók véges halmazát () értjük, a köztük lévő matematikai összefüggésekkel és jellemzőkkel együtt.

A modellezést determinisztikusnak nevezzük, ha az F, Ф operátorok determinisztikusak, azaz. egy adott bemenet esetén a kimenet determinisztikus. A determinisztikus modellezés a sztochasztikus modellezés speciális esete. A gyakorlatban az objektumok modellezése a rendszerelemzés területén a kutatás elsődleges szakaszaiban ésszerűbb a szabványos matematikai sémák használata: diff. egyenletek, véges és valószínűségi automaták, QS stb.

Nem birtokolt. olyan fokú általánosság, mint a modellek (3), (4), jellemző matematikai sémák Előnyük az egyszerűség és áttekinthetőség, de az alkalmazási kör jelentős szűkítése mellett.

Mint meghatározó modellek, amikor véletlen tényt nem veszünk figyelembe a vizsgálat során, a folytonos időben működő rendszerek ábrázolására differenciál-, integrál- és egyéb egyenletek, a diszkrét időben működő rendszerek pedig véges automaták és véges differencia sémák.

A sztochasztikus modellek kezdetén (véletlenszerű faktor figyelembe vételével) a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására valószínűségi automatákat, a folytonos idejű rendszereket pedig queuing rendszerekkel (QS) használnak. Az úgynevezett összesített modellek.

Az aggregált modellek (rendszerek) lehetővé teszik a kutatási objektumok széles körének leírását, tükrözve ezen objektumok rendszerszerűségét. Aggregált leírással történik, hogy egy összetett objektumot véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják a kapcsolatokat, biztosítva a részek kölcsönhatását.

16 Matematikai sémák modellező rendszerekhez.

A rendszer matematikai modelljeinek felépítésének főbb megközelítései. Folyamatosan determinisztikus modellek. Diszkrét-determinisztikus modellek. Diszkrét sztochasztikus modellek. Folyamatos sztochasztikus modellek. Hálózati modellek. Kombinált modellek.

A rendszer matematikai modelljeinek felépítésének főbb megközelítései.

A rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek felépítésénél a kiinduló információ a vizsgált (tervezett) rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok. S.

Matematikai sémák

A valós folyamatok konkrét diagramok formájában jelennek meg. Mat. sémák - átmenet az értelmes leírásról a rendszer formális leírására, figyelembe véve a környezet hatását.

Formális objektummodell

a szimulációs objektum modellje,

azaz rendszerek S, mennyiségek halmazaként ábrázolható,

egy valós rendszer működési és generálási folyamatának leírása

általában a következő részhalmazok:

Összesített beviteli műveletek rendszerenként

NSén, volt, (e-a karakterhez tartozik)én=1; nx

Összesített környezeti hatások

vl eVl = 1; nv

Összesített belső (saját) paraméterek rendszerek

hkeHk = 1, nh

Összesített kimeneti jellemzők rendszerek

yJeYj = 1; ny

Megkülönböztetheti a kezelt és a nem felügyelt változókat.

A rendszerek modellezésekor a bemeneti hatások, a környezeti hatások és a belső paraméterek determinisztikus és sztochasztikus komponenseket egyaránt tartalmaznak.

bemeneti hatások, környezeti hatások Eés a rendszer belső paraméterei az független (exogén) változók.

A rendszer működési folyamata S az üzemeltető időben leírta Fs, amely általános esetben az exogén változókat endogén változókká alakítja át az alaki viszonyok szerint:

y(t) = Fs (x, v, h, t) - mind ve-velktori.

Az Fs rendszer működési törvénye megadható függvény, funkcionális, logikai feltételek formájában, algoritmikus és táblázatos formában, vagy szóbeli megfelelési szabály formájában.

Az As működő algoritmus fogalma - módszer a kimeneti jellemzők megszerzésére, figyelembe véve a bemeneti műveleteket, a külső környezet hatásait és a rendszer belső paramétereit.

Bemutatjuk a rendszer állapotait is - a rendszer tulajdonságait adott időpontokban.

Az állapotok összes lehetséges értékének összessége alkotja egy objektum állapotterét.

Így a "bemenet - állapotok - kimenet" objektum egyenletlánca lehetővé teszi a rendszer jellemzőinek meghatározását:

Így, alatt az objektum matematikai modellje(valós rendszer) a változók véges részhalmazát érti (x (t), v (t), h(t)) a köztük és a jellemzők közötti matematikai összefüggésekkel együtt y (t).

Tipikus sémák

A tanulmány kezdeti szakaszában szabványos sémákat használnak. : differenciálegyenletek, véges és valószínűségi automaták, sorrendszerek, Petri-hálók stb.

Differenciál-, integrál-, integro-differenciális és egyéb egyenletek a folytonos időben működő rendszerek determinisztikus modellként való ábrázolására szolgálnak, amikor a véletlenszerű tényezőket nem vesszük figyelembe a vizsgálat során, és véges automatákat és véges-differenciális sémákat használunk a rendszerben működő rendszerek ábrázolására. diszkrét idő....

A valószínűségi automatákat sztochasztikus modellként (véletlenszerű tényezők figyelembevételével) használják a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására, a sorba állító rendszereket pedig a folyamatos idejű rendszerek ábrázolására stb.

Így a rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek megalkotásakor a következő főbb megközelítések különböztethetők meg: folytonos-determinisztikus (például differenciálegyenletek); diszkrét-determinisztikus (véges automaták); diszkrét sztochasztikus (valószínűségi automaták); folytonos-sztochasztikus (sorba állító rendszerek); általánosított, vagy univerzális (aggregált rendszerek).

Folyamatosan determinisztikus modellek

Tekintsük a folytonosan determinisztikus megközelítés jellemzőit egy példán keresztül, Mat. modellek differenciál egyenletek.

Differenciálegyenletek azok az egyenletek, amelyekben egy változó vagy több változó függvényei ismeretlenek, és az egyenlet nemcsak a függvényeiket, hanem azok különböző rendű származékait is tartalmazza.

Ha az ismeretlenek több változó függvényei, akkor az egyenleteket - parciális differenciálegyenletek. Ha egy független változó ismeretlen függvényei, akkor közönséges differenciálegyenletek.

Általános matematikai összefüggés determinisztikus rendszerekre:

Diszkrét-determinisztikus modellek.

A DDM felülvizsgálat tárgyát képezi automata elmélet (TA)... A TA az elméleti kibernetika egy része, amely olyan eszközöket vizsgál, amelyek diszkrét információkat dolgoznak fel, és belső állapotukat csak elfogadható időpontokban változtatják meg.

Állami gép automatának nevezzük, amelyben a belső állapotok és bemeneti jelek halmaza (és ennek következtében a kimeneti jelek halmaza) véges halmazok.

Véges állapotú gép sok belső állapota és bemeneti jele van, amelyek véges halmazok. Gép az F-séma adja meg: F = ,

ahol z, x, y rendre a bemeneti és kimeneti jelek véges halmaza (ábécé), valamint a belső állapotok véges halmaza (ábécé). z0ÎZ - kezdeti állapot; j (z, x) - átmeneti függvény; y (z, x) - kilépési funkció.

Az automata diszkrét automataidőben működik, amelynek pillanatai ciklusok, vagyis egymás mellett egyenlő időintervallumok, amelyek mindegyike megfelel a bemeneti, a kimeneti jel és a belső állapot állandó értékeinek. Egy absztrakt automatának egy bemeneti és egy kimeneti csatornája van.

Egy F - automata definiálásához le kell írni az F = halmaz összes elemét , azaz bemeneti, belső és kimeneti ábécé, valamint átmeneti és kimeneti funkciók. Az F - automaták munkájának beállításához leggyakrabban táblázatos, grafikus és mátrixos módszereket használnak.

A táblázatos beállításnál átmenet- és kimeneti táblázatokat használnak, amelyek sorai az automata bemeneti jeleinek, az oszlopok pedig az állapotainak felelnek meg.

Munka leírás F- Miles géppisztoly A j átmenetek és y kimenetek táblázatait az (1) táblázat, az F - Moore-féle automata - leírását pedig a (2) átmenetek táblázata szemlélteti.

Asztal 1

Átmenetek
…………………………………………………………
…………………………………………………………

2. táblázat

…………………………………………………………

Az F - a három állapotú F1 Mealy-automata, két bemeneti és két kimeneti jellel - táblázatos megadásának példái a 3. táblázatban, F - az F2 Moore-automata - a 4. táblázatban találhatók.

3. táblázat

Átmenetek

4. táblázat

A véges állapotú gép meghatározásának másik módja az irányított gráf fogalmát használja. Az automata gráf az automata különböző állapotainak megfelelő csúcsok halmaza, amelyek az automata bizonyos átmeneteinek megfelelő gráfívek csúcsait kötik össze. Ha az xk bemeneti jel átmenetet okoz a zi állapotból a zj állapotba, akkor az automata gráfon a zi csúcsot a zj csúcsgal összekötő ívet xk-vel jelöljük. Az átmenet funkció beállításához a grafikon íveit meg kell jelölni a megfelelő kimeneti jelekkel.

Rizs. 1. Mealy (a) és Moore (b) automatáinak grafikonjai.

A modellezési feladatok megoldásánál gyakran kényelmesebb forma a véges állapotú gép mátrix definíciója. Ebben az esetben az automata kapcsolódási mátrixa egy C = || négyzetmátrix cij ||, melynek sorai a kezdeti állapotoknak, az oszlopai pedig az átmeneti állapotoknak felelnek meg.

Példa. A korábban vizsgált F2 Moore-automata esetében felírjuk az állapotmátrixot és a kimeneti vektort:

;

Diszkrét sztochasztikus modellek

Legyen Ф a (zk, yi) alak összes lehetséges párjának halmaza, ahol уi a kimenet eleme

Y részhalmaz. Megköveteljük, hogy a G halmaz bármely eleme indukáljon

a Ф halmazon valamilyen eloszlási törvény a következő formában:

Elemek a következőből: Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Információs hálózatok "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> számítógépes információk feldolgozása távoli terminálokról stb.

Ugyanakkor jellemző a

az ilyen objektumok működése az alkalmazások (követelmények) véletlenszerű megjelenése

szolgáltatás és a szolgáltatás véletlenszerű időpontban történő megszüntetése,

vagyis működésük folyamatának sztochasztikus jellege.

A QS egy dinamikus rendszer, amelyet arra terveztek, hogy hatékonyan szolgálja ki az alkalmazások véletlenszerű áramlását korlátozott rendszererőforrásokkal. A QS általánosított felépítése a 3.1. ábrán látható.

Rizs. 3.1. SMO rendszer.

A QS bemenetére érkező homogén követelések típusokra oszlanak, a generáló októl függően az i típusú követelések áramlásának intenzitását (i = 1 ... M) li-vel jelöljük. Minden típusú alkalmazás összessége a QS bejövő áramlása.

A pályázatok kiszolgálása megtörtént m csatornák.

Különbséget kell tenni az egyetemes és a speciális szolgáltatási csatornák között. Egy j típusú univerzális csatorna esetében ismertnek tekintjük a tetszőleges típusú követelések kiszolgálási időtartamának Fji (t) eloszlási függvényeit. Speciális csatornák esetében az egyes igénytípusok csatornáinak szolgáltatási időtartamára vonatkozó elosztási funkciók nincsenek meghatározva, ezen igények hozzárendelése ehhez a csatornához.

A Q - áramkörök analitikusan és szimulációs modellekkel vizsgálhatók. Ez utóbbi nagy sokoldalúságot biztosít.

Nézzük a sorban állás fogalmát.

A kiszolgálás bármely elemi cselekményében két fő összetevő különböztethető meg: a követelés általi kézbesítés elvárása és a követelés tényleges kiszolgálása. Ez megjeleníthető valamilyen i-edik Pi szolgáltatási eszköz formájában, amely egy igényakkumulátorból áll, amelyben egyszerre lehet li = 0 ... LiH igény, ahol LiH az i-edik akkumulátor kapacitása, ill. kárszolgálati csatorna, ki.

Rizs. 3.2. A CMO eszköz sematikus diagramja

A Pi kiszolgáló eszköz minden eleme eseményfolyamokat fogad: a wi követelések folyamát a Hi akkumulátorhoz, és a kiszolgáló ui adatfolyamot a ki csatornához.

Az események sodrásával A (PS) olyan események sorozata, amelyek egymás után következnek be bizonyos véletlenszerű pillanatokban. Tegyen különbséget a homogén és heterogén események folyamai között. Homogén A PS-t csak ezeknek az eseményeknek az érkezési pillanatai (okokozó momentumok) jellemzik, és a (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…) sorozattal adjuk meg, ahol tn az n-edik érkezési pillanata. esemény - egy nem negatív valós szám. A TSA az n-edik és az n-1-edik esemény közötti időintervallumok sorozataként is megadható (tn).

Heterogén A PS-t sorozatnak nevezzük (tn, fn), ahol tn - momentumokat okoz; fn - eseményattribútumok halmaza. Például hozzárendelhető egyik vagy másik követelésforráshoz, egy prioritás meglétéhez, egy vagy másik típusú csatorna kiszolgálásának képességéhez stb.

A ki csatorna által kiszolgált követelések és azok a követelések, amelyek a Pi szervert különböző okok miatt nem szolgálták ki, az yiÎY kimeneti adatfolyamot alkotják.

A Pi szolgáltatási eszköz működési folyamata úgy ábrázolható, mint az elemeinek Zi (t) időbeni állapotának megváltoztatása. A Pi új állapotába való áttérés azt jelenti, hogy megváltozik a benne lévő kérések száma (a ki csatornában és a Hi tárolóban). Hogy. a Pi állapotvektora a következő alakú:, ahol a meghajtó állapotok vannak, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width = 24 height = 28 "height = 28 " > = 1 - egy kérés van a tárolóban ..., = - a tároló teljesen foglalt - a ki csatorna állapota (= 0 - a csatorna szabad, = 1 a csatorna foglalt).

A valós objektumok Q-diagramjait számos Pi elemi szolgáltatási eszköz alkotja. Ha ki különböző kiszolgáló eszközöket kapcsolunk párhuzamosan, akkor többcsatornás szolgáltatás (többcsatornás Q-áramkör), ha pedig Pi eszközök és párhuzamos összetételeik sorba vannak kötve, akkor többfázisú szolgáltatás (többfázisú Q-áramkör).

A Q-séma meghatározásához szükséges a működéséhez szükséges algoritmusok leírása is, amelyek meghatározzák a követelések viselkedésének szabályait különböző kétértelmű helyzetekben.

Az ilyen helyzetek előfordulási helyétől függően léteznek algoritmusok (diszciplínák) a Нi akkumulátorban történő követelések kivárására és a ki csatornán lévő károk kiszolgálására. Az alkalmazások áramlásának heterogenitását egy prioritási osztály - relatív és abszolút prioritások - bevezetésével veszik figyelembe.

Hogy. Egy Q-séma, amely leírja egy tetszőleges bonyolultságú QS működési folyamatát, egyértelműen halmazok halmazaként van meghatározva: Q = .

Hálózati modellek.

A párhuzamos rendszerek és folyamatok szerkezetének és kölcsönhatásának formális leírására, valamint az ok-okozati összefüggések komplex rendszerekben történő elemzésére a Petri-hálókat, az úgynevezett N-sémákat használjuk.

Formálisan az N-sémát a forma négyszerese adja

N = ,

ahol B szimbólumok véges halmaza, amelyeket pozícióknak nevezünk, B ≠ O;

D a szimbólumok véges halmaza, amelyet D ≠ O átmeneteknek neveznek,

B ∩ D ≠ O; I - bemeneti funkció (közvetlen beesési funkció)

I: B × D → (0, 1); О - kimeneti funkció (inverz incidencia függvény),

О: B × D → (0, 1). Így az általam megadott bemeneti függvény leképezi a dj átmenetet

a bemeneti pozíciók halmaza bj I (dj), és a kimeneti függvény O leképezése

dj átmenet a bj О (dj) kimeneti pozíciók halmazába. Minden átmenethez

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Hasonlóképpen minden bi B pozícióhoz bevezetjük a definíciókat

az I (bi) pozíció bemeneti és kimeneti átmeneteinek halmaza

O (bi) pozíció:

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

A Petri-háló egy kétrészes irányított gráf, amely kétféle csúcsból áll - pozíciókból és átmenetekből, amelyeket ívek kötnek össze; az azonos típusú csúcsok közvetlenül nem kapcsolhatók össze.

Példa a Petri-hálóra. A fehér körök a pozíciókat, a csíkok az átmeneteket, a fekete körök a címkéket jelzik.

A tájékozódási ívek pozíciókat és átmeneteket kötnek össze, és minden ív egy halmaz elemétől (pozíció vagy átmenet) egy másik halmaz eleméhez irányul.

(átmenet vagy pozíció). Az N-tervű gráf multigráf, mivel az

elismeri több ív létezését egyik csúcstól a másikig.

Dekompozíció "href =" / szöveg / kategória / dekompozitciya / "rel =" könyvjelző "> bomlás egy összetett rendszer képviseli többszintű szerkezete egymással összekapcsolt elemek kombinálva alrendszerek különböző szintű.

Egy aggregátum az A-diagram elemeként működik, és az aggregátumok közötti kapcsolat (az S rendszeren belül és az E külső környezettel) az R konjugációs operátor segítségével történik.

Bármely egységet a következő halmazok jellemeznek: T idők, X bemeneti és Y kimeneti jelek, Z állapotok minden t időpontban. Az egység állapotát tT időpontban z (t) Z-ként jelöljük,

a bemeneti és kimeneti jelek pedig rendre x (t) X és y (t) Y.

Feltételezzük, hogy az aggregátum átmenete a z (t1) állapotból a z (t2) ≠ z (t1) állapotba rövid időintervallumban történik, azaz δz ugrás következik be.

Az egység z (t1) állapotból z (t2) állapotba való átmeneteit magának az egységnek a belső (belső) paraméterei h (t) H és az x (t) X bemeneti jelek határozzák meg.

A kezdeti t0 időpontban a z állapotok értéke z0, azaz z0 = z (t0), amelyet a z (t) folyamat eloszlási törvénye ad meg t0 időpontban, nevezetesen J. Tegyük fel, hogy a folyamat az egység működését xn bemeneti jel esetén egy véletlenszerű V operátor írja le. Ekkor abban a pillanatban, amikor a bemeneti jel megérkezik az egységhez tnT

xn meghatározhatja az állapotot

z (tn + 0) = V.

A félidő intervallumot t1 jelöljük< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

A V és U véletlen operátorok gyűjteményét az aggregátum új állapotokba való átmeneteinek operátorának tekintjük. Ebben az esetben az egység működési folyamata a δz állapotok ugrásából áll az x bemeneti jelek érkezési pillanatában (V operátor) és az ezen pillanatok közötti állapotváltozásokból tn és tn + 1 (U operátor). Az U operátorra nincsenek korlátozások, ezért a δz állapotok ugrásai olyan időpontokban megengedettek, amelyek nem az x bemeneti jelek érkezési időpontjai. A továbbiakban a δz ugrások pillanatait tδ speciális időpillanatoknak, a z (tδ) állapotokat pedig az A-séma speciális állapotainak nevezzük. A δz állapotok ugrásainak leírására speciális tδ időpontokban a W véletlenszerű operátort fogjuk használni, amely az U operátor speciális esete, azaz.

z (tδ + 0) = W.

A Z állapotok halmazában megkülönböztetünk egy Z (Y) részhalmazt úgy, hogy ha z (tδ) eléri a Z (Y) értéket, akkor ez az állapot a kimeneti jel kibocsátásának a kimeneti operátor által meghatározott pillanata.

y = G.

Így aggregátum alatt bármely objektumot értünk, amelyet a T, X, Y, Z, Z (Y), H és V, U, W, G véletlen operátorok rendezett gyűjteménye határoz meg.

A bemeneti jelek sorozatát, amelyek az A-sémába érkezésük sorrendjében vannak elrendezve, bemeneti üzenetnek vagy x-üzenetnek nevezzük. A kibocsátási idő szerint rendezett kimeneti jelek sorozatát kimeneti üzenetnek vagy y-üzenetnek nevezzük.

HA RÖVIDEN

Folyamatos-determinisztikus modellek (D-sémák)

Folyamatos időben működő rendszerek tanulmányozására szolgálnak. Az ilyen rendszerek leírására elsősorban differenciál-, integrál-, integro-differenciálegyenleteket használnak. A közönséges differenciálegyenletekben csak egy független változó függvényét, a parciális differenciálegyenletekben pedig több változó függvényét vesszük figyelembe.

A D-modellek alkalmazására példaként említhető egy mechanikus inga vagy egy elektromos rezgőkör működésének tanulmányozása. A D-modellek műszaki alapját az analóg számítógépek (AVM) vagy a jelenleg gyorsan fejlődő hibrid számítógépek (GVM) alkotják. Mint ismeretes, a számítógépen végzett kutatás alapelve az, hogy a kutató (az AVM felhasználója) a megadott egyenletek szerint külön tipikus csomópontokból - műveleti erősítőkből - összeállít egy áramkört, skálázásra, csillapításra, közelítésre, ill. stb.

Az ABM szerkezete a reprodukálható egyenletek formájának megfelelően változik.

A digitális számítógépben a struktúra változatlan marad, de csomópontjainak működési sorrendje a benne lefektetett programnak megfelelően változik. Az AVM és a digitális számítógép összehasonlítása jól mutatja a különbséget a szimuláció és a statisztikai modellezés között.

Az ABM szimulációs modellt valósít meg, de általában nem használja a statisztikai modellezés elveit. A digitális számítógépekben a legtöbb szimulációs modell véletlen számok, folyamatok vizsgálatán, azaz statisztikai modellezésen alapul. A folytonos-determinisztikus modelleket a gépészetben széles körben alkalmazzák az automata vezérlőrendszerek tanulmányozásában, a csillapítórendszerek megválasztásában, a technológiai rezonanciajelenségek és rezgések azonosításában.
stb.

Diszkrét-determinisztikus modellek (F-áramkörök)

Működjön diszkrét idővel. Ezek a modellek képezik az alapját a diszkrét automatarendszerek manapság rendkívül fontos és elterjedt osztálya működésének tanulmányozásának. Kutatásuk céljára az automaták elméletének önálló matematikai apparátusát fejlesztették ki. Ezen elmélet alapján a rendszert olyan automatának tekintjük, amely diszkrét információkat dolgoz fel, és a feldolgozás eredményétől, belső állapotaitól függően változik.

Ez a modell az elemek és csomópontok számának minimalizálásán alapul egy áramkörben, eszközben, az eszköz egészének optimalizálása és a csomópontok működési sorrendje. Az elektronikus áramkörök mellett az e modellben leírt gépek feltűnő képviselője egy robot, amely adott program szerint, adott determinisztikus sorrendben irányítja a technológiai folyamatokat.

A numerikus vezérlőgépet is ez a modell írja le. A feldolgozó alkatrészek sorrendjének kiválasztása ezen a gépen a vezérlőegység (vezérlő) beállításával történik, amely bizonyos időpontokban vezérlőjeleket generál / 4 /.

Az automata elmélet a Boole-függvények matematikai berendezését használja, amelyek a jelek két lehetséges értékére, a 0-ra és az 1-re működnek.

Az automatákat memória nélküli, memóriás automatákra osztják. Munkájuk leírása táblázatok, mátrixok, grafikonok segítségével történik, amelyek a gép egyik állapotból a másikba való átmeneteit jelenítik meg. A gép működésének bármiféle leírásához szükséges analitikus kiértékelések nagyon körülményesek, és még viszonylag kis számú elem, csomópont mellett is gyakorlatilag kivitelezhetetlenek. Ezért az automaták összetett áramköreinek tanulmányozását, amelyek kétségtelenül roboteszközöket is tartalmaznak, szimuláció segítségével végzik.

Diszkrét sztochasztikus modellek (P-sémák)

Valószínűségi automaták munkájának tanulmányozására használják őket. Az ilyen típusú automatákban az egyik állapotból a másikba való átmenet külső jelek hatására és az automata belső állapotának figyelembevételével történik. A T-automatáktól eltérően azonban ezek az átmenetek nem szigorúan determinisztikusak, hanem bizonyos valószínűséggel előfordulhatnak.

Ilyen modell például egy véges állapothalmazt tartalmazó diszkrét Markov-lánc. Az F-sémák elemzése átmenet valószínűségi mátrixok feldolgozására, transzformációjára, valamint valószínűségi gráfok elemzésére épül. Már viszonylag egyszerű eszközök elemzéséhez, amelyek viselkedését F-áramkörök írják le, célszerű szimulációt alkalmazni. Ilyen szimulációra adunk példát a 2.4. pontban.

Folyamatos sztochasztikus modellek (Q-sémák)

A sorbaállási rendszernek tekintett rendszerek széles osztályának elemzésére használják őket. Szervizfolyamatként olyan folyamatok ábrázolhatók, amelyek fizikai természetükben eltérőek: termékellátási áramlások egy vállalkozásba, egyedi gyártású alkatrészek és termékek áramlása, alkatrészáramlás összeszerelősoron, vezérlési műveletek áramlása a vezérlőközpontból. az ACS a munkahelyekre, és visszaküldi a számítógépes információfeldolgozásra vonatkozó kéréseket stb.

Ezek az áramlások jellemzően számos tényezőtől és konkrét helyzettől függenek. Ezért a legtöbb esetben ezek az áramlások időben véletlenszerűek, és bármikor módosulhatnak. Az ilyen sémák elemzése a sorbanálláselmélet matematikai apparátusán alapul. Ezek közé tartozik a folyamatos Markov-lánc. Az analitikai módszerek, a sorbanálláselmélet fejlesztésében elért jelentős előrelépések ellenére a Q-sémák analitikai módszerekkel történő elemzése csak jelentős egyszerűsítő feltételezések és feltevések mellett végezhető el. A legtöbb ilyen sémát, különösen az olyan összetetteket, mint a folyamatirányító rendszerek, robotrendszerek, részletes tanulmányozása csak szimuláció segítségével végezheti el.

Általánosított modellek (A-diagramok)

Bármely rendszer működési folyamatainak leírása alapján aggregált módszerrel. Aggregált leírással a rendszer külön alrendszerekre oszlik, amelyek matematikai leírás szempontjából kényelmesnek tekinthetők. Az ilyen felosztás (dekompozíció) eredményeként egy összetett rendszer jelenik meg többszintű rendszer formájában, amelynek egyes szintjei (aggregátumai) elemezhetők. Az egyes aggregátumok elemzése alapján és ezen aggregátumok összekapcsolódásának törvényszerűségeit figyelembe véve lehetőség nyílik a teljes rendszer átfogó vizsgálatára.

, Yakovlev Systems. 4. kiadás - M .: Felsőiskola, 2005 .-- S. 45-82.

Matematikai sémák modellező rendszerekhez

A szimuláció előnyei és hátrányai

A fő méltóság szimuláció komplex rendszerek tanulmányozásában:

· Az S rendszer működési folyamatának jellemzőinek feltárása bármilyen körülmények között;

· A számítógép használatának köszönhetően a tesztek időtartama jelentősen lecsökken egy teljes körű kísérlethez képest;

· Valós rendszer vagy részei teljes körű tesztelésének eredményei felhasználhatók szimulációhoz;

· A modellezett rendszer szerkezetének, algoritmusainak és paramétereinek rugalmassága a rendszer optimális verziójának keresése során;

· Összetett rendszerek esetén - ez az egyetlen gyakorlatban megvalósítható módszer a rendszerek működési folyamatának tanulmányozására.

A fő korlátozásokat szimulációs modellezés:

· A rendszer működési folyamatának jellemzőinek teljes körű elemzéséhez és az optimális megoldás felkutatásához a szimulációs kísérlet többszöri reprodukálása szükséges, a probléma kiindulási adatainak változtatásával;

· Nagy számítógépes időráfordítás.

A gépi modellezés hatékonysága. A szimuláció során biztosítani kell a rendszermodell maximális hatékonyságát. HatékonyságÁltalában úgy definiálják, mint a modell működése során elért eredmények értékének bizonyos mértéke és a fejlesztésébe és létrehozásába fektetett költségek közötti különbséget.

A szimulációs modellezés hatékonysága számos kritérium alapján értékelhető:

a szimulációs eredmények pontossága és megbízhatósága,

Az építés és a modellel való munka ideje M,

A gép erőforrásainak költsége (idő és memória),

· A modell fejlesztésének és működtetésének költsége.

A hatékonyság legjobb mércéje a kapott eredmények összehasonlítása valós vizsgálatokkal. Statisztikai megközelítést alkalmazva, bizonyos fokú pontossággal (a gépi kísérlet megvalósításainak számától függően) megkapjuk a rendszer viselkedésének átlagolt jellemzőit.

A számítógépes idő teljes költsége az egyes szimulációs algoritmusok be- és kimeneti idejéből, a számítási műveletek végrehajtásának idejéből tevődik össze, figyelembe véve a RAM-hoz és a külső eszközökhöz való hozzáférést, valamint az egyes szimulációs algoritmusok összetettségét és a kísérletek tervezése.

Matematikai sémák.Matematikai modell Matematikai objektumok (számok, változók, halmazok, vektorok, mátrixok stb.) és a köztük lévő kapcsolatok gyűjteménye, amely megfelelően tükrözi a létrehozott technikai objektum fizikai tulajdonságait. A matematikai modell kialakításának és elemzési és szintézisre történő felhasználásának folyamatát ún matematikai modellezés.

A rendszer matematikai modelljének megalkotásakor meg kell oldani a teljességének kérdését. A modell teljességét elsősorban a határrendszer megválasztása szabályozza S- Szerda E". Szintén meg kell oldani a modell egyszerűsítésének problémáját, ami segít a modellezés céljától függően kiemelni a rendszer főbb tulajdonságait, elvetve a másodlagosakat.

A rendszer működési folyamatának értelmes leírásáról a formális leírásra való átmenetben, figyelembe véve a külső környezet hatását, alkalmazni kell. matematikai séma a lánc láncszemeként „leíró modell – matematikai séma – matematikai (analitikai és/vagy szimulációs) modell”.

Az objektum formális modellje. Objektummodell (rendszerek S) egy valós rendszer működési folyamatát leíró mennyiségek halmazaként ábrázolható:

A rendszerre gyakorolt ​​bemeneti hatások halmaza

x i = X,i =;

A környezeti hatások összessége

v j = V, j= ;

A rendszerek belső (intrinzik) paramétereinek halmaza

h k = H, k =;

A rendszer kimeneti jellemzőinek halmaza

y j = Y, j =.

Általánosságban x i, v j, h k, y j diszjunkt részhalmazok elemei, és determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak.

Bemeneti hatások, környezeti hatások Eés a rendszer belső paraméterei az független (exogén) változók, amelyek vektoros formában rendre ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)), és a kimeneti jellemzők a következők függő (endogén) változók és vektor formában a következő alakúak: ( t) = (nál nél 1 (t), nál nél 2 (t), …, nY(t)). Megkülönböztetheti a kezelt és a nem felügyelt változókat.

A rendszer működési folyamata S az üzemeltető időben leírta F S, amely az exogén változókat a formai viszonyoknak megfelelően endogénné alakítja át

(t) = F S(,,, t). (2.1)

A rendszer kimeneti jellemzőinek időbeli függésének halmaza y j(t) minden típushoz j = hívott kimeneti pálya (t). A függőséget (2.1) nevezzük az F S rendszer működési törvénye, amely függvény, funkcionális, logikai feltételek formájában, algoritmikus, táblázatos formában vagy verbális illesztési szabály formájában van megadva. Az A S működési algoritmusa a kimeneti jellemzők megszerzésének módszerét nevezzük, figyelembe véve a bemeneti hatásokat ( t), környezeti hatások ( t) és a rendszer saját paraméterei ( t). Ugyanaz a működési törvény F S rendszerek S többféleképpen is megvalósítható, pl. sokféle működési algoritmus használatával Egy S.

A matematikai modelleket ún dinamikus(2.1) ha matematikai relációk írják le a modellezés tárgyának (rendszerének) időbeni viselkedését t, azaz dinamikus tulajdonságokat tükrözik.

Mert statikus modellek esetén a matematikai modell egy modellezett objektum tulajdonságainak két részhalmaza közötti leképezés Yés ( X, V, H) egy bizonyos pillanatban, amely vektoros formában így írható fel

= f(, , ). (2.2)

A (2.1) és (2.2) kapcsolatokat többféleképpen is megadhatjuk: analitikusan (képletekkel), grafikusan, táblázatos formában stb. Ezeket a kapcsolatokat a rendszer tulajdonságain keresztül lehet elérni S meghatározott időpontokban, amelyeket állapotoknak nevezünk. A rendszer állapota S vektorok jellemzik

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) és "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

ahol z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") ebben a pillanatban t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") ebben a pillanatban t ""Î ( t 0 , T) stb. k =.

Ha figyelembe vesszük a rendszer működésének folyamatát S mint az állapotok egymás utáni változása z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), akkor egy pont koordinátáiként értelmezhetők k-dimenziós fázistér... Ezenkívül a folyamat minden egyes megvalósítása egy bizonyos fázispályának felel meg. A () állapotok összes lehetséges értékének halmazát hívják állapottér modellezés tárgya Z, és
z kÎ Z.

A rendszer állapotai S pillanatnyilag t 0 < t* £ T teljes mértékben meghatározzák a kezdeti feltételek 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [ahol z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], beviteli műveletek ( t), belső paraméterek ( t) és a külső környezet hatásai ( t), amely az időintervallumban történt t* – t 0, két vektoregyenlet felhasználásával

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Az első egyenlet a 0 kezdeti állapothoz és az exogén változókhoz,, határozza meg a vektorfüggvényt ( t), a második pedig az állapotok kapott értéke szerint ( t) Endogén változók vannak-e a rendszer kimenetén ( t). Így a "bemenet - állapotok - kimenet" objektum egyenletlánca lehetővé teszi a rendszer jellemzőinek meghatározását

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

Általában az idő a rendszermodellben S szimulációs intervallumon (0, T) folytonos és diszkrét is, azaz. D hosszúságú szegmensekre kvantálva t időegységek mindegyik mikor T = m D t, ahol m = - a mintavételi intervallumok száma.

Így, alatt matematikai modell objektum (valós rendszer) a változók véges részhalmazát megérti (( t), (t), (t)) a köztük és a jellemzők közötti matematikai összefüggésekkel együtt ( t).

Ha a modellező objektum matematikai leírása nem tartalmaz véletlenszerű elemeket, vagy azokat nem veszik figyelembe, pl. ha feltételezhetjük, hogy ebben az esetben a külső környezet sztochasztikus hatásai ( t) és sztochasztikus belső paraméterek ( t) hiányoznak, akkor a modell ún meghatározó abban az értelemben, hogy a jellemzőket a determinisztikus bemenetek egyedileg határozzák meg

(t) = f(, t). (2.6)

Nyilvánvaló, hogy a determinisztikus modell a sztochasztikus modell speciális esete.

Tipikus matematikai sémák. Az objektumok modellezésének gyakorlatában a rendszertervezés és a rendszerelemzés területén a rendszerkutatás kezdeti szakaszában ésszerűbb tipikus matematikai sémák: differenciálegyenletek, véges és valószínűségi automaták, sorrendszerek, Petri-hálók, összesített rendszerek stb.

A tipikus matematikai sémák előnye az egyszerűség és az áttekinthetőség. Differenciál-, integrál-, integro-differenciális és egyéb egyenletek a folytonos időben működő rendszerek determinisztikus modellként való ábrázolására szolgálnak, amikor a véletlenszerű tényezőket nem vesszük figyelembe a vizsgálat során, és véges automatákat és véges-differenciális sémákat használunk a rendszerben működő rendszerek ábrázolására. diszkrét idő. A valószínűségi automatákat sztochasztikus modellként (véletlenszerű tényezők figyelembevételével) használják a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására, a sorba állító rendszereket pedig a folytonos idejű rendszerek ábrázolására. A Petri-hálók az ok-okozati összefüggések elemzésére szolgálnak olyan összetett rendszerekben, ahol több folyamat egyidejűleg, párhuzamosan megy végbe. Folyamatos és diszkrét, determinisztikus és sztochasztikus rendszerek (például ASOIU) viselkedésének leírására általánosított (univerzális) aggregált rendszeren alapuló megközelítés alkalmazható. Az aggregált leírásban egy összetett objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerekre) osztunk, miközben fenntartjuk a részek interakcióját biztosító kapcsolatokat.

Így a rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek megalkotásakor a következő főbb megközelítések különböztethetők meg: folytonos-determinisztikus ( D-sémák); diszkrét-determinisztikus ( F-sémák); diszkrét sztochasztikus ( R-sémák); folytonos-sztochasztikus ( K-sémák); hálózat ( N-sémák); általános vagy univerzális ( a-sémák).

2.2. Folyamatosan determinisztikus modellek ( D-sémák)

Alapvető kapcsolatok... Tekintsük a folytonos-determinisztikus megközelítés sajátosságait a differenciálegyenletek matematikai modellként való felhasználásának példáján. Differenciál egyenletek Olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben egy vagy több változó függvényei ismeretlenek, és az egyenlet nemcsak függvényeket, hanem azok különböző rendű származékait is tartalmazza. Ha több változó ismeretlen függvényei, akkor az egyenleteket hívjuk parciális differenciálegyenletek, ellenkező esetben, ha egy független változó függvényét vesszük figyelembe, az egyenleteket hívjuk közönséges differenciálegyenletek.

Az általános matematikai összefüggés determinisztikus rendszerekre (2.6) a következő lesz

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

ahol " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) és = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-dimenziós vektorok; (, t) Olyan vektorfüggvény, amely bizonyos ( n+1) -dimenziós (, t) beállított és folyamatos.

Az ilyen típusú matematikai sémákat ún D-áramkörök(angol. dinamikus), a vizsgált rendszer dinamikáját tükrözik, és az idő általában független változóként szolgál, amelytől ismeretlen, ismeretlen függvények függenek. t.

A legegyszerűbb esetben egy közönséges differenciálegyenlet alakja a következő:

y"(t) = f(y, t). (2.8)

Tekintsük a legegyszerűbb példát két eltérő jellegű elemi áramkör működési folyamatának formalizálására: mechanikus S M (az inga lengése, 2.1. ábra, a) és elektromos S K (oszcillációs áramkör, 2.1. ábra, b).

Rizs. 2.1. Elemi rendszerek

Az inga kis lengésének folyamatát a közönséges differenciálegyenlet írja le

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

ahol m M, l M az inga felfüggesztésének tömege és hossza; g- a gravitáció gyorsulása; F(t) Az inga elhajlási szöge az időpillanatban t.

Az inga szabad oszcillációjának ebből az egyenletéből meg lehet becsülni a számunkra érdekes jellemzőket. Például az inga kilengésének időszaka

T M = 2 p.

Hasonlóképpen, az elektromos rezgőkörben zajló folyamatokat a közönséges differenciálegyenlet írja le

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

ahol L K, C K - a kondenzátor induktivitása és kapacitása; q(t) A kondenzátor töltése az adott pillanatban t.

Ebből az egyenletből különböző becsléseket kaphat az oszcillációs körben zajló folyamat jellemzőiről. Például az elektromos rezgések időszaka

T M = 2 p.

Nyilvánvalóan a jelölés bevezetése h 2 = m M l M 2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/ C K, F(t) = q(t) = z(t), kapunk egy közönséges másodrendű differenciálegyenletet, amely leírja ennek a zárt hurkú rendszernek a viselkedését:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

ahol h 0 , h 1 , h 2 - rendszerparaméterek; z(t) A rendszer pillanatnyi állapota
idő t.

Így ennek a két objektumnak a viselkedése az általános matematikai modell (2.9) alapján vizsgálható. Ezenkívül meg kell jegyezni, hogy az inga viselkedése (rendszer S M) elektromos oszcillációs áramkörrel (rendszer S NAK NEK).

Ha a vizsgált rendszer S(inga vagy kontúr) kölcsönhatásba lép a külső környezettel E, akkor megjelenik a beviteli művelet x(t) (külső erő az ingára ​​és az áramforrás energiaforrása), és egy ilyen rendszer folytonos-determinisztikus modellje a következő lesz:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

Az általános matematikai modell szempontjából (lásd a 2.1. pontot) x(t) a bemeneti (vezérlő) művelet és a rendszer állapota S ebben az esetben kimeneti jellemzőnek tekinthető, azaz. a kimeneti változó megegyezik a rendszer adott időpontban fennálló állapotával y = z.

Lehetséges alkalmazások D- sémák... A lineáris vezérlőrendszerek leírásához, mint minden dinamikus rendszer, az inhomogén differenciálegyenleteknek állandó együtthatói vannak

ahol,,…, - az idő és származékai ismeretlen függvénye; és ismert függvények.

Például a vezérlőrendszerekben differenciálegyenletekkel leírható folyamatok szimulálására tervezett VisSim szoftvercsomag segítségével egy közönséges inhomogén differenciálegyenlet megoldását szimuláljuk.

ahol az idő valamely szükséges függvénye nulla kezdeti feltétellel rendelkező intervallumon, vesszük h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Az adott egyenletet a derivált közül a legmagasabbra ábrázolva megkapjuk az egyenletet

amelyek a VisSim csomag építőelemeinek halmazával modellezhetők: aritmetikai blokkok - Erősítés (konstans szorzás), Összegzés-Csatlakozás (összeadó); integrációs blokkok - Integrátor (numerikus integráció), Transfer Function (átviteli függvényként ábrázolt egyenlet beállítása); blokkok a jelek beállításához - Const (konstans), Step (egység funkciója "lépés" formájában), Ramp (lineárisan növekvő jel); jelblokkok-vevők - Plot (a kutató által a szimuláció során elemzett jelek időtartományában történő megjelenítése).

ábrán. A 2.2. ábra ennek a differenciálegyenletnek a grafikus ábrázolását mutatja. A bal szélső integrátor bemenete egy változónak, a középső integrátor bemenete - és a jobb szélső integrátor - bemenetének felel meg. A jobb szélső integrátor kimenete a változónak felel meg y.

A dinamikus rendszerek egy sajátos esetét ismertetjük D- sémák vannak automatikus vezérlőrendszerek(SPG)és szabályozás(SAR). Egy valós objektum két rendszer formájában jelenik meg: vezérlő és vezérelt (vezérlő objektum). Egy általános, többdimenziós automata vezérlőrendszer felépítése az ábrán látható. 2.3 endogén változók:( t) A bemeneti (mester) hatások vektora; ( t) A zavaró hatások vektora; " (t) A hibajelek vektora; "" (t) - ellenőrzési műveletek vektora; exogén változók:( t) A rendszer állapotvektora S; (t) A kimeneti változók vektora, általában ( t) = (t).

Rizs. 2.2. Az egyenlet grafikus ábrázolása

A vezérlőrendszer olyan szoftver- és hardvereszközök összessége, amelyek biztosítják, hogy a vezérlőobjektum egy adott célt elérjen. Azt, hogy egy objektum milyen pontosan ér el egy adott célt, az állapotkoordináták alapján ítélhető meg (egydimenziós rendszer esetén). y(t). A különbség az adott között y szamár ( t) és érvényes y(t) a szabályozott változó változásának törvénye szabályozási hiba " (t) = y szamár ( t) – y(t). Ha a szabályozott mennyiség változásának előírt törvénye megfelel a bemeneti (fő) művelet változásának törvényének, azaz. x(t) = y szamár ( t), azután " (t) = x(t) – y(t).

Rendszerek, amelyeknél vezérlési hibák vannak " (t) = 0 mindenkor hívjuk ideál... A gyakorlatban az ideális rendszerek megvalósítása lehetetlen. Az automatikus vezérlőrendszer feladata a változó megváltoztatása y(t) adott törvény szerint bizonyos pontossággal (elfogadható hibával). A rendszerparamétereknek biztosítaniuk kell a kívánt szabályozási pontosságot, valamint a rendszer stabilitását az átmeneti folyamatban. Ha a rendszer stabil, akkor elemezze a rendszer viselkedését időben, a szabályozott változó maximális eltérését y(t) az átmeneti folyamatban, a tranziens folyamat ideje stb. A differenciálegyenlet sorrendjét és együtthatóinak értékét teljes mértékben a rendszer statikus és dinamikus paraméterei határozzák meg.

Rizs. 2.3. Az automatikus vezérlőrendszer felépítése:

УC - vezérlőrendszer; OU - vezérlő objektum

Tehát használ D A -schemes lehetővé teszi a folyamatosan determinisztikus rendszerek működési folyamatának formalizálását Sés elemző vagy szimulációs megközelítéssel értékelje főbb jellemzőit, megfelelő nyelv formájában a folyamatos rendszerek modellezéséhez vagy analóg és hibrid számítástechnikai eszközök használatával.

2.3. Diszkrét-determinisztikus modellek ( F-sémák)

Alapvető kapcsolatok... Tekintsük a diszkrét-determinisztikus megközelítés sajátosságait az automaták elméletének matematikai apparátusként való felhasználásának példáján. A rendszert automata formájában olyan bemeneti és kimeneti jelekkel rendelkező eszközként ábrázolják, amely diszkrét információkat dolgoz fel, és belső állapotait csak elfogadható időpontokban változtatja meg. Állami gép egy automatát nevezünk, amelyben a belső állapotok, bemeneti és kimeneti jelek halmazai véges halmazok.

Az absztraktan véges automaták matematikai sémaként ábrázolhatók ( F-séma), amelyet hat elem jellemez: egy véges halmaz NS bemeneti jelek (bemeneti ábécé); véges halmaz Y kimeneti jelek (kimeneti ábécé); véges halmaz Z belső állapotok (belső ábécé vagy állapotok ábécéje); kezdeti állapot z 0 , z 0 Î Z; átmeneti függvény j ( z, x); kimeneti függvény y ( z, x). Automata gép készlet F-rendszer: F = á Z, x, Y, y, j, z 0 ñ, diszkrét időben működik, melynek pillanatai órajelek, amelyek mindegyike megfelel a bemeneti és kimeneti jelek, valamint a belső állapotok állandó értékeinek. Jelöljük az állapotot, valamint a megfelelő bemeneti és kimeneti jeleket t-én órakor t= 0, 1, 2, ..., át z(t), x(t), y(t). Sőt, a feltétel alapján z(0) = z 0, és z(t)Î Z, x(t)Î x, y(t)Î Y.

Egy absztrakt állapotgépnek egy bemeneti és egy kimeneti csatornája van. Minden pillanatban t= 0, 1, 2, ... diszkrét idő F- a gép egy bizonyos állapotban van z(t) a készletből Z az automata állapotaiban, és az idő kezdeti pillanatában t= 0 mindig a kezdeti állapotban van z(0) = z 0. Ebben a pillanatban t képesnek lenni z(t), az automata képes érzékelni a jelet a bemeneti csatornán x(t)Î xés adja ki a jelet a kimeneti csatornán y(t) = y [ z(t),x(t)], átmegy a z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Egy absztrakt véges állapotú gép megvalósítja a bemeneti ábécé szavainak valamilyen leképezését x sok hétvégi szón
ábécé Y... Más szóval, ha az állapotgép bemenete a kezdeti állapotra van állítva z 0, adja meg a beviteli ábécé betűit egy bizonyos sorrendben x(0), x(1), x(2), ..., azaz bemeneti szó, akkor a kimeneti ábécé betűi sorban megjelennek a gép kimenetén y(0), y(1), y(2),…, kimeneti szót alkotva.

Így az állapotgép munkája a következő séma szerint történik: mindegyikben t-edik óra a gép bemenetére az állapotban z(t), adnak valamilyen jelet x(t), amire az átmenettel reagál ( t+1) az új állapotba z(t+1) és valamilyen kimeneti jelet ad. A fentiek a következő egyenletekkel írhatók le: for F-első típusú automata, más néven automata mérföld,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

számára F-második típusú automata

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Második típusú automata, amihez

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

azok. a kilépési függvény független a bemeneti változótól x(t) nak, nek hívják Moore gépkarabélya.

Így a (2.15) - (2.19) egyenletek, amelyek teljesen meghatározzák
F-automata a (2.3) és (2.4) egyenlet speciális esete, amikor
rendszer S- determinisztikus és az egyetlen bemenetére diszkrét jel érkezik x.

Az állapotok száma alapján megkülönböztetjük a memóriás és memória nélküli véges állapotú gépeket. A memóriával rendelkező automatáknak több, a memória nélküli automatáknak (kombinációs vagy logikai áramkörök) csak egy állapotuk van. Ebben az esetben a (2.16) szerint a kombinációs áramkör működése az, hogy minden bemeneti jelhez hozzárendel x(t) bizonyos kimeneti jel y(t), azaz az űrlap logikai funkcióját valósítja meg

y(t) = y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Ezt a függvényt logikai értéknek nevezzük, ha az ábécé xés Y amelyhez a jelértékek tartoznak xés y, két betűből áll.

A diszkrét idő számlálásának jellege szerint a véges állapotú gépeket szinkron és aszinkron gépekre osztják. Szinkronban F-automaták azt az időpontot, amikor az automata "olvassa" a bemeneti jeleket, kötelező szinkronjelek határozzák meg. A következő szinkronizáló jel után a "beolvasás" figyelembevételével és a (2.15) - (2.19) egyenletekkel összhangban átmenet történik egy új állapotba, és a kimeneten egy jelet adnak ki, amely után a gép érzékeli a következő értéket. a bemeneti jelről. Így a gép reakciója a bemeneti jel egyes értékeire egy ciklusban ér véget, melynek időtartamát a szomszédos szinkronjelek közötti intervallum határozza meg. Aszinkron F- a gép folyamatosan olvassa a bemeneti jelet, és ezért egy kellően hosszú, állandó értékű bemeneti jelre reagál x, a (2.15) - (2.19) pontból következően többször is megváltoztathatja az állapotot, a megfelelő számú kimenőjel megadásával, amíg stabil állapotba nem kerül, amit ezzel a bemeneti jellel már nem lehet megváltoztatni.

Lehetséges alkalmazások F- sémák. Beállítani a döntőt F-automata, a halmaz összes elemét le kell írni F= <Z, x, Y, y, j, z 0>, azaz bemeneti, belső és kimeneti ábécé, valamint az átmenetek és kimenetek funkciói, valamint az állapothalmazok közül ki kell emelni az állapotot z 0, amelyben az automata állapotban van t= 0. A feladat beállításának többféle módja van F-automaták, de a leggyakrabban használt a táblázatos, grafikus és mátrixos.

A táblázatos módszerben az átmenetek és a kimenetek táblázatai vannak beállítva, amelyek sorai az automata bemeneti jeleinek, az oszlopok pedig az állapotoknak felelnek meg. A bal oldali első oszlop a kezdeti állapotnak felel meg z 0. A kereszteződésben én sor és k az átmeneti tábla -edik oszlopa, a megfelelő j ( z k, x i) átmenetek függvénye, a kimenetek táblázatában pedig az y megfelelő értéke ( z k, x i) kimeneti funkciókat. Mert F- Moore automatája mindkét asztal kombinálható.

Munka leírás F-automata A mérföldeket a j átmenetek és y kimenetek táblázatával a táblázat szemlélteti. 2.1, és a leírás F-More automatája - az átmeneti táblázat szerint (2.2. táblázat).

2.1. táblázat

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Átmenetek
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Kimenetek
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

2.2. táblázat

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Példák táblázatos beállítási módra F-automatikus mérföld F 1 táblázatban vannak megadva. 2.3, és for F-moore gép F 2 - a táblázatban. 2.4.

2.3. táblázat

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Átmenetek
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Kimenetek
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

2.4. táblázat

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

A véges állapotú gép grafikus meghatározásánál az irányított gráf fogalmát alkalmazzuk. Az automata gráf az automata különböző állapotainak megfelelő csúcsok halmaza, amelyek az automata bizonyos átmeneteinek megfelelő gráfívek csúcsait kötik össze. Ha a bemeneti jel x kállapotból való átmenetet okoz z i Egy államban z j, akkor az automata grafikonján a csúcsot összekötő ív látható z i felsővel z j, jelölve x k... A kimenetek funkciójának beállításához a grafikoníveket meg kell jelölni a megfelelő kimeneti jelekkel. Miles gépeknél ez a jelölés a következőképpen történik: ha a bemeneti jel x k az államra hat z i, akkor a kimenő ívet kapjuk z iés megjelölve x k; ez az ív egy kimeneti jellel is meg van jelölve y= y ( z i, x k). Moore automatánál a grafikon hasonló jelölése a következő: ha a bemeneti jel x k, az automata egy bizonyos állapotára hatva átmenetet okoz az állapotba z j, majd az ív felé irányul z iés megjelölve x k, emellett ünnepeljük a hétvégét
jel y= y ( z j, x k).

ábrán. 2.4. a, b táblázatokban korábban megadva F- Mérföldes gépek F 1 és Moore F 2 ill.

Rizs. 2.4. Az automaták a - Mérföldeket és b - Moore grafikonokat ábrázolják

A véges automata mátrix hozzárendeléséhez az automata kapcsolódási mátrixa négyzet VAL VEL=||ij-vel||, a sorok a kezdeti állapotoknak, az oszlopok pedig az átmeneti állapotoknak felelnek meg. Elem ij-vel = x k/y s a kereszteződésben állva
én sor és j-edik oszlop, a Miles automata esetében a bemeneti jelnek felel meg x kállapotból való átmenetet okozva z i Egy államban z j, és a kimeneti jel y s ez az átmenet generálja. A Miles géphez F A fenti 1. ábrán a vegyületek mátrixának alakja a következő:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Ha az átmenet az állam z i Egy államban z j több jel hatására következik be, a mátrix eleme c ij az ehhez az átmenethez tartozó bemenet-kimenet párok halmaza, amelyeket diszjunkciós jel köt össze.

Mert F-moore gépelem ij-vel egyenlő a bemeneti jelek halmazával az átmenetnél ( z i, z j), a kimenetet pedig a kimenetek vektora írja le

= y ( z k) ,

én-edik összetevője, aminek az állapotot jelző kimeneti jele z i.

A fentiekhez F-moore gép F2 a kapcsolatok mátrixa és a kimenetek vektora a következő alakú:

–x 1 –x 2 –nál nél 1

–x 2 – –x 1 nál nél 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –nál nél 2

x 2 –x 1 – –nál nél 3

A determinisztikus automaták esetében teljesül az átmenetek egyediségének feltétele: egy adott állapotban lévő automata egyetlen bemeneti jel hatására sem léphet át egynél több állapotba. A grafikus beállítási módra alkalmazva F-automata, ez azt jelenti, hogy az automata gráfban két vagy több azonos bemeneti jellel jelölt él nem mehet ki egyik csúcsból sem. És a gép kapcsolatainak mátrixában VAL VEL egyetlen bemeneti jel sem fordulhat elő többször minden vonalon.

Mert F-automata állapot z k hívott fenntartható, ha bármilyen bemenetre x i ÎX amihez j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F- hívják a gépet aszinkron, ha minden állam z k ÎZ stabil.

Így az objektumok tulajdonságainak modelleken történő tanulmányozásának diszkrét-determinisztikus megközelítésében a koncepció egy matematikai absztrakció, amely alkalmas a valós objektumok működési folyamatainak széles osztályának leírására automatizált vezérlőrendszerekben. Használva F- egy automata esetében lehetőség van olyan objektumok leírására, amelyeket diszkrét állapotok jelenléte és a munka időbeni diszkrét jellege jellemez - ezek a számítógép elemei és csomópontjai, vezérlő-, szabályozó- és vezérlőeszközök, időbeli és térbeli rendszerek. váltás az információcsere-technológiában stb.

2.4. Diszkrét sztochasztikus modellek ( R-sémák)

Alapvető kapcsolatok... Tekintsük a valószínűségi (sztochasztikus) automatákon diszkrét-sztochasztikus megközelítéssel történő matematikai sémák felépítésének jellemzőit. Általánosságban valószínűségi automata
R-sémák(angol probabijistic automat) úgy definiálható, mint egy memóriával rendelkező diszkrét soros információátalakító, amelynek működése minden ciklusban csak a benne lévő memória állapotától függ, és statisztikailag leírható.

Bemutatjuk a matematikai fogalmat R-automata, a számára bevezetett fogalmak használatával F-automata. Vegye figyelembe a készletet G, melynek elemei minden lehetséges pár ( x i, z s), ahol x iés z s- a bemeneti részhalmaz elemei NSés a Z állapotok részhalmazai, ill. Ha van két ilyen j és y függvény, akkor ezeket használják a leképezések végrehajtására G®Z és G®Y, akkor azt mondják F = X, Y, j, y> egy determinisztikus típusú automatát definiál.

Tekintsünk egy általánosabb matematikai sémát. Legyen
Ф - az összes lehetséges alakpár halmaza ( z k, y i), ahol én- a kimeneti részhalmaz eleme Y... Megköveteljük, hogy a készlet bármely eleme G a Ф halmazon indukált valamilyen eloszlási törvényt a következő formában:

Ahol b kj= 1, ahol b kj- az automata állapotba való átmenetének valószínűsége z kés a jel megjelenése a kimeneten y j ha képes volt rá z sés a bemenetén ebben az időpontban vették a jelet x i... A táblázatok formájában bemutatott ilyen eloszlások száma megegyezik a halmaz elemeinek számával G... E táblázatok halmazát B-vel jelöljük. Ezután a négy elemet P = valószínűségi automatának nevezzük
(R-automata).

Lehetséges alkalmazások P- sémák. Legyen a halmaz elemei G indukál néhány eloszlási törvényt a részhalmazokra Yés Z, amelyek a következő formában ábrázolhatók:

Ahol z k = 1 és q j = 1, hol z kés q j -átmeneti valószínűségek
R-automata gép állapotban z kés a kimenő jel megjelenése y k feltéve, hogy
R z sés annak bemenete bemeneti jelet kapott x i.

Ha mindenkinek kés j a viszony érvényesül q j z k = b kj, akkor olyan
R- hívják a gépet Miles valószínűségi automatája... Ez a követelmény a disztribúciók függetlenségének feltételének teljesülését jelenti az új állapotra vonatkozóan R-automata készülék és annak kimeneti jele.

Most hagyjuk a kimenő jel definícióját R- az automata csak attól függ, hogy az automata egy adott munkaciklusban milyen állapotban van. Más szóval, legyen a kimeneti részhalmaz minden eleme Y a kimenetek valószínűségi eloszlását indukálja, amelynek alakja a következő:

Itt s i = 1, hol s i- a kimeneti jel megjelenésének valószínűsége y i nál nél nál nél szavak és ez R- állapotban volt a gép z k.

Ha mindenkinek kés én a viszony érvényesül z k s i =b ki akkor olyan
R- hívják a gépet Moore valószínűségi automatája. Koncepció
R-Miley és Moore automatáját a determinisztikus analógiájával vezetjük be
F-automata. Egy konkrét eset R- ként meghatározott automata P=X, Y, B> olyan automaták, amelyekben vagy az új állapotba való átmenet, vagy a kimeneti jel determinisztikusan meghatározott. Ha a kimeneti jel
R-automatát determinisztikusan határozzuk meg, akkor egy ilyen automatát nevezünk
Y-... Hasonlóképpen,
Z-determinisztikus valószínűségi automata hívott R- egy automata, amelyben az új állapot kiválasztása determinisztikus.

Példa 2.1. Adott legyen Y-meghatározó P-gép

ábrán. A 2.5 ennek az automatának egy irányított átmeneti grafikonját mutatja. A gráf csúcsai az automata állapotaihoz, az ívek pedig az egyik állapotból a másikba való lehetséges átmenetekhez kapcsolódnak. Az ívek súlya megfelel az átmenet valószínűségének p ij, és az ezen állapotok által indukált kimeneti jelek értékeit a gráf csúcsaihoz írjuk. Meg kell becsülni ennek a fennmaradásának teljes végső valószínűségét P-automata állapotokban z 2 és z 3 .

Rizs. 2.5. Valószínűségi automata grafikon

Az analitikus megközelítéssel leírhatók a Markov-láncok elméletéből ismert összefüggések, és egyenletrendszert kaphatunk a végső valószínűségek meghatározására. Ebben az esetben a kezdeti állapot z A 0 figyelmen kívül hagyható, mivel a kezdeti eloszlás nem befolyásolja a végső valószínűségek értékeit. Akkor van

ahol k-val- a tartózkodás végső valószínűsége R-Automatikus készülék állapotában z k.

Megkapjuk az egyenletrendszert

Ezekhez az egyenletekhez hozzáadjuk a normalizálási feltételt val vel 1 + val vel 2 + val vel 3 + val vel 4 = 1. Ekkor az egyenletrendszert megoldva megkapjuk val vel 1 = 5/23, val vel 2 = 8/23, val vel 3 = 5/23,
val vel 4 = 5/23. És így, val vel 2 + val vel 3 = 13/23 = 0,5652. Más szóval, ebben a példában megadott végtelen munkával Y-meghatározó
R-automata a kimenetén egy bináris sorozat jön létre, amelynek előfordulási valószínűsége 0,5652.

Hasonló R-az automaták használhatók Markov-szekvenciák generátoraként, amelyek szükségesek a rendszerek működéséhez szükséges folyamatok felépítéséhez és megvalósításához S vagy környezeti hatások E.

2.5. Folyamatos sztochasztikus modellek ( K-sémák)

Alapvető kapcsolatok... A folytonos-sztochasztikus megközelítés jellemzőit a tipikus matematika példáján fogjuk áttekinteni K- sémák - sorbanállási rendszerek(angol sorbanállási rendszer).

Szolgáltatási folyamatként a gazdasági, termelési, műszaki és egyéb rendszerek működésének különböző fizikai természetű folyamatai ábrázolhatók, például: egy adott vállalkozás termékellátásának áramlása, az alkatrészek és alkatrészek áramlása egy futószalagon. műhely, számítógépes információk feldolgozására vonatkozó kérések távoli terminálokról stb. Ebben az esetben az ilyen objektumok működésének jellemző sajátossága a szervizelési igények (követelmények) véletlenszerű megjelenése és a szervizelés véletlenszerű időpontokban történő elvégzése, pl. működésük folyamatának sztochasztikus jellege.

Az események sodrásával eseménysorozatnak nevezzük, amelyek egymás után, bizonyos véletlenszerű pillanatokban következnek be. Tegyen különbséget a homogén és heterogén események folyamai között. Eseményfolyam hívott homogén, ha csak ezeknek az eseményeknek az érkezési pillanatai (okomomentumok) jellemzik, és a sorozat ( t n} = {0 £ t 1 font t 2 ... £ t n£ … }, ahol t n -érkezés pillanata NS- Az esemény egy nem negatív valós szám. Egy homogén eseményfolyam megadható időintervallumok sorozataként is NS- m és az (n - 1) esemény (t n), ami egyértelműen a kihívást jelentő pillanatok egymásutánjához köthető ( t n} , ahol t n = t n– t n -1 ,NS³ 1, t 0 = 0, azok. t 1 = t 1 . Heterogén események folyama sorozatnak nevezzük ( t n, f n} , ahol t n - kihívást jelentő pillanatok; f n - esemény jeleinek halmaza. Például egy nem egységes követelésfolyam szolgáltatási folyamatához hozzárendelhető egy adott kárigényforráshoz, prioritás meglétéhez, egy vagy másik típusú csatorna kiszolgálásának képességéhez.

A kiszolgálás bármely elemi cselekményében két fő összetevő különböztethető meg: a követelés általi kézbesítés elvárása és a követelés tényleges kiszolgálása. Ez néhány formájában ábrázolható én-a szervizeszköz P i(2.6. ábra), amely a megbízások gyűjtőjéből áll Szia, amely egyszerre lehet j i= alkalmazások ahol L i H– kapacitás
én- menjen a tárhelyre, és egy csatorna a kérések kiszolgálásához (vagy csak egy csatorna) K i. A szervizeszköz minden eleméhez P i eseményfolyamok érkeznek: a hajtáshoz Szia alkalmazások áramlását w i, csatornánként K i - szolgáltatási folyamat és én.

Rizs. 2.6. Alkalmazásszolgáltató eszköz

A csatorna által kiszolgált alkalmazások K i,és kérések, amelyek elhagyták az eszközt P i különböző okok miatt (például a meghajtó túlcsordulása miatt) nem szolgált ki Szia), kimeneti adatfolyamot alkotnak y i Î Y, azok. a megbízások kilépésének pillanatai közötti időintervallumok a kimeneti változók részhalmazát alkotják.

Általában az alkalmazások áramlása w i ÎW, azok. a megrendelések bejáratnál való megjelenésének pillanatai közötti időintervallumok K i, nem menedzselt változók részhalmazát képezi, és a szolgáltatásfolyamat te én ОU, azok. a követelés kiszolgálásának kezdete és vége közötti időintervallumok a szabályozott változók részhalmazát alkotják.

A szervizeszköz működési folyamata P i időelemeinek állapotát megváltoztató folyamatként ábrázolható z i(t). Átmenet egy új állapotba P i változást jelent a benne lévő alkalmazások számában (a csatornában K iés a hajtásban Szia). Így az állapotok vektora P iúgy néz ki, mint a: , ahol z i H- meghajtó állapot Szia (z i H= 0 - a meghajtó üres, z i H= 1 - egy kérés van a tárolóban, ..., z i H = L i H – a meghajtó teljesen megtelt); L i H - tárolási kapacitás Szia, a benne elférő alkalmazások számával mérve; z i k - csatorna állapota K i(z i k = 0 – a csatorna ingyenes, z i k= 1 – a csatorna foglalt).

Lehetséges alkalmazások K- sémák. A bonyolultabb szerkezeti összefüggésekkel és viselkedési algoritmusokkal rendelkező rendszerek modellezésének gyakorlatában a formalizáláshoz nem külön kiszolgáló eszközöket használnak, hanem
K- sémák , számos elemi szolgáltatási eszköz összetétele alkotja P i. Ha a csatornák K i párhuzamosan kapcsolódnak különböző kiszolgáló eszközök, ekkor többcsatornás szolgáltatás történik ( többcsatornás Q- rendszer) , és ha az eszközök P iés párhuzamos összetételük sorba van kötve, akkor van többfázisú szolgáltatás ( többfázisú Q- rendszer) . Tehát a munkáért K- A sémának a konjugált operátort kell használnia R, tükrözve a szerkezeti elemek (csatornák és tárolóeszközök) egymással való összekapcsolódását.