Universitas Politeknik Negeri Saint Petersburg

Fakultas Teknik Sibernetika

Departemen Otomasi dan Teknik Komputer

LAPORAN

untuk pekerjaan laboratorium No.3

Penelitian algoritma penyaringan digital berulang

sinyal dengan metode rata-rata.

Diselesaikan oleh mahasiswa gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Diperiksa oleh: V.D. Yarmiychuk

St. Petersburg

1. Tujuan pekerjaan

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk berkenalan dengan berbagai algoritma untuk penyaringan sinyal digital dengan metode rata-rata dan mempelajari efisiensi kerja mereka dalam kondisi ketika gangguan jenis "white noise" dengan harapan matematis nol dikenakan pada sinyal yang berguna dan

dispersi terkontrol.

2. Metodologi penelitian

Filter berdasarkan algoritma berikut sedang diselidiki:

1). Algoritma rata-rata berulang dengan memori tak terbatas.

Tujuan dari filter adalah untuk mengisolasi komponen konstan dari sinyal yang berguna dengan latar belakang interferensi.

Ekspresi untuk itu dalam bentuk berulang:

Ketika dia menyediakan .

2). Algoritma rata-rata berulang dengan faktor koreksi konstan.

Tujuan filter adalah untuk mengisolasi komponen frekuensi rendah dari sinyal input yang berguna dengan latar belakang kebisingan.

Jika Anda menerima, maka Anda dapat menulis persamaan ini dalam bentuk:

Dari mana, ketika melewati waktu kontinu, kami memperoleh fungsi transfer filter:

Artinya, filter yang dibangun menurut algoritma ini setara untuk nilai-nilai kecil

filter low-pass analog orde pertama.

3). Algoritma rata-rata memori terbatas berulang.

Tujuan filter adalah untuk menyoroti komponen frekuensi rendah dari sinyal input

menggunakan rata-rata hanya sejumlah pengukuran terbaru.

Efisiensi penyaringan digital, yaitu ukuran pengurangan tingkat kebisingan pada keluaran filter dibandingkan dengan tingkat kebisingan pada masukan, akan diperkirakan sebagai berikut:

Dimana: - sinyal bising pada input filter

Sinyal yang berguna pada input filter

Filter sinyal keluaran

Sinyal yang berguna pada keluaran filter

3. Skema percobaan (lihat Lampiran 1)

4. Hasil percobaan

4.1. Algoritma rata-rata berulang dengan memori tak terbatas

Penelitian dilakukan dengan periode sampling konstan sebesar 100 ms.

Pertimbangkan bagaimana efisiensi filter berubah dari besarnya sinyal input konstan (X).

Algoritma untuk kelulusan analitik, penyaringan digital menggunakan metode pemulusan eksponensial dan rata-rata bergerak. Filter yang kuat, high pass, band pass, dan notch. Diferensiasi diskrit, integrasi dan rata-rata nilai terukur.

Filter adalah sistem atau jaringan yang secara selektif mengubah bentuk sinyal (respon frekuensi amplitudo atau frekuensi fase). Tujuan utama penyaringan adalah meningkatkan kualitas sinyal (misalnya, menghilangkan atau mengurangi interferensi), mengekstrak informasi dari sinyal atau memisahkan beberapa sinyal yang sebelumnya digabungkan untuk, misalnya, secara efisien menggunakan saluran komunikasi yang tersedia.

Filter digital - filter apa pun yang memproses sinyal digital untuk mengisolasi dan / atau menekan frekuensi tertentu dari sinyal ini.

Tidak seperti filter digital, filter analog berurusan dengan sinyal analog, sifat-sifatnya adalah non-diskrit (kontinu), masing-masing, fungsi transfer tergantung pada sifat internal elemen penyusunnya.

Diagram blok yang disederhanakan dari filter digital real-time dengan input dan output analog ditunjukkan pada Gambar. 8a. Sinyal analog pita sempit secara berkala diambil sampelnya dan diubah menjadi satu set sampel digital, x (n), n = 0,1, Prosesor digital menyaring, memetakan urutan input x (n) ke output y (n) sesuai dengan filter komputasi algoritma. DAC mengubah output yang difilter secara digital ke nilai analog, yang kemudian difilter secara analog untuk menghaluskan dan menghilangkan komponen frekuensi tinggi yang tidak diinginkan.

Beras. 8a. Diagram blok yang disederhanakan dari filter digital

Pengoperasian filter digital disediakan terutama oleh perangkat lunak, oleh karena itu, mereka menjadi jauh lebih fleksibel dalam aplikasi dibandingkan dengan yang analog. Dengan bantuan filter digital dimungkinkan untuk mengimplementasikan fungsi transfer yang sangat sulit diperoleh dengan metode konvensional. Namun, filter digital belum dapat menggantikan filter analog di semua situasi, jadi tetap ada kebutuhan untuk filter analog yang paling populer.

Untuk memahami esensi penyaringan digital, pertama-tama, perlu untuk menentukan operasi matematika yang dilakukan pada sinyal dalam penyaringan digital (DF). Untuk ini, penting untuk mengingat definisi filter analog.

Filter analog linier adalah jaringan empat port, di mana transformasi linier dari sinyal input menjadi sinyal output direalisasikan. Secara matematis, transformasi ini digambarkan oleh linear biasa persamaan diferensial N-urutan ke-

di mana dan adalah koefisien yang merupakan konstanta atau fungsi waktu T; - urutan filter.

Filter diskrit linier adalah versi diskrit dari filter linier analog, di mana terkuantisasi (sampel) adalah variabel independen - waktu (adalah langkah pengambilan sampel). Dalam hal ini, variabel integer dapat dianggap sebagai "waktu diskrit", dan menandakan sebagai fungsi "waktu diskrit" (yang disebut fungsi kisi).

Secara matematis, fungsi filter diskrit linier dijelaskan oleh linear persamaan perbedaan dari jenisnya

di mana dan adalah pembacaan sinyal input dan output, masing-masing; dan - koefisien algoritma penyaringan, yang merupakan konstanta atau fungsi dari "waktu diskrit" n.

Algoritma penyaringan (2.2) dapat diimplementasikan melalui teknologi analog atau digital. Dalam kasus pertama, pembacaan sinyal input dan output berdasarkan level tidak terkuantisasi dan dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang variasinya (yaitu, memiliki kekuatan kontinum). Dalam kasus kedua, sampel sinyal dan dikuantisasi berdasarkan level, dan oleh karena itu mereka hanya dapat mengambil nilai "diizinkan" yang ditentukan oleh kedalaman bit perangkat digital. Selain itu, sampel sinyal terkuantisasi dikodekan, oleh karena itu operasi aritmatika yang dilakukan dalam ekspresi (2.2) tidak dilakukan pada sinyal itu sendiri, tetapi pada kode binernya. Karena kuantisasi dalam hal level sinyal dan, serta koefisien dan kesetaraan dalam algoritma (2.2) tidak dapat tepat dan hanya dipenuhi secara kira-kira.

Jadi, filter digital linier adalah perangkat digital yang kira-kira mengimplementasikan algoritma penyaringan (2.2).

Kerugian utama dari filter analog dan diskrit adalah bahwa ketika kondisi operasi berubah (suhu, tekanan, kelembaban, tegangan suplai, penuaan elemen, dll.), parameternya berubah. Ini mengarah ke tidak terkendali kesalahan sinyal keluaran, mis. akurasi pemrosesan yang rendah.

Kesalahan sinyal keluaran dalam filter digital tidak tergantung pada kondisi operasi (suhu, tekanan, kelembaban, tegangan suplai, dll.), tetapi hanya ditentukan oleh langkah kuantisasi sinyal dan algoritma filter itu sendiri, mis. alasan internal. Kesalahan ini adalah dikendalikan, itu dapat dikurangi dengan meningkatkan jumlah bit untuk mewakili sampel sinyal digital. Keadaan inilah yang menentukan keunggulan utama filter digital dibandingkan filter analog dan diskrit (akurasi tinggi pemrosesan sinyal dan stabilitas karakteristik DF).

DF berdasarkan jenis algoritma pemrosesan sinyal dibagi menjadi: Perlengkapan tulis dan tidak stasioner, rekursif dan non-rekursif, linier dan nonlinier.

Karakteristik utama dari CF adalah algoritma penyaringan, yang dengannya pelaksanaan CF dilakukan. Algoritma penyaringan menjelaskan operasi CF dari setiap kelas tanpa batasan, sementara karakteristik lain memiliki batasan pada kelas CF, misalnya, beberapa di antaranya hanya cocok untuk menggambarkan CF linier stasioner.

Beras. 11. Klasifikasi CF

dalam gambar. 11 menunjukkan klasifikasi filter digital (DF). Klasifikasi tersebut didasarkan pada prinsip fungsional, yaitu Filter digital dibagi lagi berdasarkan algoritme yang diterapkan, dan tidak memperhitungkan fitur sirkuit apa pun.

DF pemilihan frekuensi. Ini adalah jenis CF yang paling terkenal, dipelajari dengan baik, dan diuji dalam praktik. Dari sudut pandang algoritmik, DF pemilihan frekuensi memecahkan masalah berikut:

· Alokasi (penekanan) dari satu pita frekuensi yang ditentukan secara apriori; tergantung pada frekuensi mana yang ditekan dan mana yang tidak, filter low-pass (LPF), filter high-pass (HPF), filter band-pass (PF) dan filter takik (RF) dibedakan;

· Pemisahan komponen spektral sinyal dengan spektrum garis pada saluran frekuensi yang terpisah, sama dan merata di seluruh rentang frekuensi; membedakan antara CF dengan penipisan dalam waktu dan penipisan dalam frekuensi; dan karena metode utama untuk mengurangi biaya perangkat keras adalah selektivitas yang lebih rendah daripada set PF asli, struktur piramida multitahap yang dihasilkan darinya disebut DF "pemilih-pemilih";

· Pemisahan komponen spektral sinyal menjadi saluran frekuensi terpisah, yang spektrumnya terdiri dari sub-band dengan lebar berbeda, tidak merata dalam jangkauan operasi filter.

Perbedaan dibuat antara filter respons impuls terbatas (filter FIR) atau filter respons impuls tak terbatas (filter IIR).

CF yang optimal (quasi-optimal). Jenis filter ini digunakan ketika diperlukan untuk mengevaluasi kuantitas fisik tertentu yang mencirikan keadaan sistem yang mengalami gangguan acak. Tren saat ini adalah penggunaan pencapaian teori penyaringan optimal dan penerapan perangkat yang meminimalkan kuadrat rata-rata dari kesalahan estimasi. Mereka dibagi menjadi linier dan nonlinier, tergantung pada persamaan mana yang menggambarkan keadaan sistem.

Jika persamaan keadaan linier, maka CF Kalman optimal diterapkan; jika persamaan keadaan sistem nonlinier, maka berbagai CF multisaluran digunakan, yang kualitasnya meningkat dengan peningkatan jumlah saluran.

Ada berbagai kasus khusus ketika algoritma yang diimplementasikan oleh CF optimal (quasi-optimal) dapat disederhanakan tanpa kehilangan akurasi yang signifikan: ini adalah, pertama, kasus sistem stasioner linier yang mengarah ke CF Wiener yang terkenal; kedua, kasus pengamatan hanya pada satu momen waktu tertentu, yang mengarah ke DF yang optimal menurut kriteria rasio signal-to-noise (SNR) maksimum; ketiga, kasus persamaan keadaan sistem mendekati linier yang mengarah ke filter nonlinier orde pertama dan kedua, dll.

Masalah penting juga memastikan ketidakpekaan semua algoritma di atas terhadap penyimpangan karakteristik statistik sistem dari yang telah ditentukan; sintesis DF semacam itu, yang disebut kuat.

CF adaptif. Inti dari pemfilteran digital adaptif adalah sebagai berikut: untuk memproses sinyal input (biasanya DF adaptif dibangun dengan satu saluran), filter FIR konvensional digunakan; namun, IR filter ini tidak tetap disetel untuk selamanya, seperti saat mempertimbangkan pemilihan frekuensi DF; itu juga tidak berubah menurut hukum yang diberikan apriori, seperti ketika mempertimbangkan Kalman CF; Mereka dikoreksi dengan kedatangan setiap sampel baru sedemikian rupa untuk meminimalkan kesalahan akar kuadrat rata-rata penyaringan pada langkah tertentu. Algoritma adaptif dipahami sebagai prosedur berulang untuk menghitung ulang vektor sampel IH pada langkah sebelumnya menjadi vektor sampel IH "baru" untuk langkah berikutnya.

CF heuristik. Situasi mungkin terjadi ketika penggunaan prosedur pemrosesan yang benar secara matematis tidak praktis, karena menyebabkan biaya perangkat keras yang sangat besar. Pendekatan heuristik adalah (dari bahasa Yunani dan lat. Evrica- "mencari", "menemukan") dalam penggunaan pengetahuan, mempelajari pemikiran kreatif dan tidak sadar seseorang. Heuristik dikaitkan dengan psikologi, fisiologi aktivitas saraf yang lebih tinggi, sibernetika, dan ilmu lainnya. Pendekatan heuristik "dihasilkan" oleh keinginan pengembang untuk mengurangi biaya perangkat keras dan telah menyebar luas meskipun tidak ada pembenaran matematis yang ketat. Ini adalah apa yang disebut CF dengan solusi rangkaian penulis, salah satu contoh paling terkenal adalah yang disebut. saringan tengah.

Filter digital yang layak secara fisik, yang beroperasi dalam waktu nyata, dapat menggunakan data berikut untuk menghasilkan sinyal keluaran pada momen diskrit dalam waktu: a) nilai sinyal masukan pada saat pengambilan sampel, serta sejumlah " lalu" sampel masukan sejumlah sampel sebelumnya dari sinyal keluaran Bilangan bulat jenis menentukan urutan CF. Klasifikasi CF dilakukan dengan cara yang berbeda, tergantung pada bagaimana informasi tentang status sistem yang lalu digunakan.

CF melintang.

Ini adalah nama yang diberikan untuk filter yang bekerja sesuai dengan algoritma.

di mana adalah urutan koefisien.

Nomor tersebut merupakan urutan dari filter digital transversal. Seperti dapat dilihat dari rumus (15.58), filter transversal melakukan penjumlahan tertimbang dari sampel sinyal input sebelumnya dan tidak menggunakan sampel sinyal output sebelumnya. Menerapkan transformasi-z ke kedua sisi ekspresi (15.58), kami memastikan bahwa

Oleh karena itu berikut bahwa fungsi sistem

adalah fungsi rasional pecahan z yang memiliki kutub ganda di dan nol, koordinatnya ditentukan oleh koefisien filter.

Algoritma untuk fungsi DF transversal diilustrasikan oleh diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 15.7.

Beras. 15.7. Skema untuk membangun filter digital transversal

Elemen utama filter adalah blok penundaan nilai sampel untuk satu interval pengambilan sampel (persegi panjang dengan simbol), serta blok skala yang melakukan perkalian digital dengan koefisien yang sesuai. Dari output blok skala, sinyal menuju ke penambah, di mana, menambahkan, mereka membentuk sampel sinyal output.

Bentuk diagram yang disajikan di sini menjelaskan arti dari istilah "filter transversal" (dari bahasa Inggris transverse - transverse).

Implementasi perangkat lunak dari fungsi digital transversal.

Harus diingat bahwa diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 15.7 bukanlah diagram skema dari rangkaian listrik, tetapi hanya berfungsi sebagai representasi grafis dari algoritma pemrosesan sinyal. Dengan menggunakan bahasa FORTRAN, mari kita perhatikan sebuah fragmen dari program yang mengimplementasikan pemfilteran digital transversal.

Biarkan dua larik satu dimensi sel M masing-masing dibentuk di RAM komputer: larik dengan nama X, yang menyimpan nilai sinyal input, dan larik dengan nama A, yang berisi nilai koefisien filter.

Isi sel dalam larik X diubah setiap kali sampel baru dari sinyal input diterima.

Misalkan array ini diisi dengan sampel sebelumnya dari urutan input, dan pertimbangkan situasi yang muncul pada saat kedatangan sampel berikutnya, yang diberi nama S dalam program. Sampel ini harus ditempatkan di nomor sel 1, tetapi hanya setelah rekor sebelumnya adalah satu posisi ke kanan, yaitu ke sisi yang tertinggal.

Elemen larik X yang dibentuk dengan cara ini dikalikan suku demi suku dengan elemen larik A dan hasilnya dimasukkan ke dalam sel bernama Y, di mana nilai sampel dari sinyal keluaran diakumulasikan. Di bawah ini adalah teks program penyaringan digital transversal:

Respon impuls. Mari kita kembali ke rumus (15.59) dan menghitung respons impuls dari CF transversal dengan melakukan transformasi z terbalik. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap suku fungsi memberikan kontribusi yang sama dengan koefisien yang sesuai, digeser oleh posisi ke arah penundaan. Jadi disini

Kesimpulan ini dapat dicapai secara langsung, dengan mempertimbangkan diagram blok filter (lihat Gambar 15.7) dan dengan asumsi bahwa "pulsa tunggal" diumpankan ke inputnya.

Penting untuk dicatat bahwa respons impuls dari filter transversal mengandung sejumlah istilah yang terbatas.

Respon frekuensi.

Jika kita mengubah variabel dalam rumus (15.59), maka kita mendapatkan koefisien transmisi frekuensi

Untuk langkah pengambilan sampel A yang diberikan, berbagai bentuk respons frekuensi dapat diwujudkan dengan memilih bobot filter secara tepat.

Contoh 15.4. Selidiki karakteristik frekuensi filter digital transversal orde kedua yang rata-rata nilai saat ini dari sinyal input dan dua sampel sebelumnya sesuai dengan rumus

Fungsi sistem filter ini

Beras. 15.8. Karakteristik frekuensi DF transversal dari contoh 15.4: a - respons frekuensi; b - PFC

dari mana kita menemukan koefisien transmisi frekuensi

Transformasi dasar mengarah pada ekspresi berikut untuk respons frekuensi dalam respons fase sistem ini:

Grafik yang sesuai ditunjukkan pada Gambar. 15.8, a, b, di mana nilainya diplot di sepanjang sumbu horizontal - sudut fase interval pengambilan sampel pada nilai frekuensi saat ini.

Misalkan, misalnya, ada enam sampel per satu periode osilasi input harmonik. Dalam hal ini, urutan input akan memiliki bentuk

(nilai absolut sampel tidak masalah, karena filternya linier). Menggunakan algoritma (15.62), kami menemukan urutan output:

Dapat dilihat bahwa sinyal output harmonik dengan frekuensi yang sama seperti pada input sesuai dengannya, dengan amplitudo sama dengan amplitudo osilasi input dan dengan fase awal bergeser 60 ° ke arah penundaan.

DF rekursif.

Jenis filter digital ini dicirikan oleh fakta bahwa nilai sebelumnya tidak hanya sinyal input dan output yang digunakan untuk membentuk sampel output:

(15.63)

apalagi, koefisien yang menentukan bagian rekursif dari algoritma penyaringan tidak sama dengan nol pada waktu yang sama. Untuk menekankan perbedaan antara struktur kedua jenis filter digital, filter transversal disebut juga filter non-rekursif.

Fungsi sistem fungsi digital rekursif.

Melakukan transformasi-z dari kedua sisi relasi perulangan (15.63), kita menemukan bahwa fungsi sistem

menggambarkan sifat frekuensi CF rekursif, memiliki kutub pada bidang-z. Jika koefisien bagian rekursif dari algoritma adalah nyata, maka kutub-kutub ini terletak pada sumbu nyata atau membentuk pasangan konjugat kompleks.

Diagram struktural dari filter digital rekursif.

dalam gambar. 15.9 menunjukkan diagram algoritma perhitungan yang dilakukan sesuai dengan rumus (15.63). Bagian atas diagram blok sesuai dengan bagian transversal (non-rekursif) dari algoritma penyaringan. Untuk implementasinya, dalam kasus umum, blok skala besar (operasi perkalian) dan sel memori diperlukan di mana sampel input disimpan.

Bagian bawah diagram blok sesuai dengan bagian rekursif dari algoritma. Ini menggunakan nilai output berturut-turut, yang digeser dari sel ke sel selama operasi filter.

Beras. 15.9. Diagram struktural dari filter digital rekursif

Beras. 15.10. Diagram struktural filter digital rekursif kanonik orde ke-2

Kerugian dari prinsip implementasi ini adalah kebutuhan untuk sejumlah besar sel memori, secara terpisah untuk bagian rekursif dan non-rekursif. Skema kanonik fungsi digital rekursif lebih sempurna, di mana jumlah sel memori minimum yang mungkin digunakan, sama dengan angka terbesar. Sebagai contoh, Gambar. 15.10 menunjukkan diagram blok filter rekursif kanonik orde kedua, yang sesuai dengan fungsi sistem

Untuk memastikan bahwa sistem ini mengimplementasikan fungsi yang diberikan, pertimbangkan sinyal diskrit tambahan pada output penambah 1 dan tuliskan dua persamaan yang jelas:

(15.67)

Melakukan transformasi - dari persamaan (15.66), kami menemukan bahwa

Di sisi lain, sesuai dengan ekspresi (15.67)

Menggabungkan hubungan (15,68) dan (15,69), kita sampai pada fungsi sistem yang diberikan (15,65).

Stabilitas fungsi digital rekursif.

Fungsi digital rekursif adalah analog diskrit dari sistem umpan balik dinamis, karena nilai status sebelumnya disimpan dalam sel memori. Jika beberapa kondisi awal diberikan, yaitu seperangkat nilai, maka tanpa adanya sinyal input, filter akan membentuk elemen urutan tak terbatas yang memainkan peran osilasi bebas.

Filter digital disebut stabil jika proses bebas yang muncul di dalamnya adalah urutan yang tidak meningkat, yaitu, nilai di tidak melebihi angka positif tertentu M, terlepas dari pilihan kondisi awal.

Osilasi bebas pada fungsi digital rekursif berdasarkan algoritma (15.63) adalah solusi persamaan beda linier

Dengan analogi dengan prinsip penyelesaian persamaan diferensial linier, kita akan mencari solusi untuk (15,70) dalam bentuk fungsi eksponensial

dengan nilai yang masih belum diketahui. Mengganti (15,71) dalam (15,70) dan membatalkan dengan faktor persekutuan, kita melihat bahwa a adalah akar dari persamaan karakteristik

Berdasarkan (15.64), persamaan ini tepat bertepatan dengan persamaan yang dipenuhi oleh kutub fungsi sistem CF rekursif.

Biarkan sistem akar persamaan (15.72) ditemukan. Maka solusi umum persamaan selisih (15.70) akan berbentuk

Koefisien harus dipilih sehingga kondisi awal terpenuhi.

Jika semua kutub fungsi sistem, yaitu bilangan tidak melebihi satu dalam nilai absolut, terletak di dalam lingkaran satuan yang berpusat pada suatu titik, maka berdasarkan (15,73) setiap proses bebas dalam CF akan dijelaskan oleh hal penurunan progresi geometris dan filter akan stabil. Jelas bahwa hanya filter digital yang stabil yang dapat diterapkan secara praktis.

Contoh 15.5. Selidiki stabilitas filter digital orde 2 rekursif dengan fungsi sistem

persamaan karakteristik

memiliki akar

Kurva yang dijelaskan oleh persamaan pada bidang koefisien adalah batas yang di atasnya kutub-kutub fungsi sistemnya nyata dan di bawahnya adalah konjugat kompleks.

Untuk kasus kutub kompleks-konjugasi maka salah satu batas daerah kestabilan adalah garis lurus 1.

Beras. 15.11. Wilayah stabilitas filter rekursif orde ke-2 (kutub filter adalah konjugat kompleks di wilayah kode warna)

Mengingat kutub nyata di, kami memiliki kondisi stabilitas dalam bentuk

Filter digital yang layak secara fisik, yang beroperasi dalam waktu nyata, dapat menggunakan data berikut untuk menghasilkan sinyal keluaran pada momen waktu diskrit ke-i: a) nilai sinyal input pada saat sampel ke-i, sebagai serta sejumlah sampel input "masa lalu" tertentu; b) sejumlah sampel sebelumnya dari sinyal output Integer m dan n menentukan urutan CF. Klasifikasi CF dilakukan dengan cara yang berbeda, tergantung pada bagaimana informasi tentang status sistem yang lalu digunakan.

CF melintang. Ini adalah nama yang diberikan untuk filter yang bekerja sesuai dengan algoritma.

di mana -urutan koefisien.

Nomor T adalah orde filter digital transversal. Seperti dapat dilihat dari rumus (2.138), filter transversal melakukan penjumlahan tertimbang dari sampel sinyal input sebelumnya dan tidak menggunakan sampel sinyal output sebelumnya. Menerapkan transformasi-z ke kedua sisi ekspresi (2.138), kita melihat bahwa

Oleh karena itu berikut bahwa fungsi sistem

adalah fungsi rasional pecahan z , memiliki kutub lipat m pada z = 0 dan T nol yang koordinatnya ditentukan oleh koefisien filter.

Algoritma untuk fungsi DF transversal diilustrasikan oleh diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 2.17.

Beras. 2.17. Skema untuk membangun filter digital transversal

Elemen utama filter adalah blok penundaan nilai sampel untuk satu interval pengambilan sampel (persegi panjang dengan simbol z -1), serta blok skala yang melakukan perkalian digital dengan koefisien yang sesuai. Dari output blok skala, sinyal menuju ke penambah, di mana, menambahkan, mereka membentuk sampel sinyal output.

Bentuk diagram yang disajikan di sini menjelaskan arti istilah "filter transversal" (dari bahasa Inggris transversal).

Respon impuls. Mari kita kembali ke rumus (2.139) dan menghitung respons impuls dari CF transversal dengan melakukan transformasi z terbalik. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap suku fungsi H (z) memberikan kontribusi yang sama dengan koefisien yang sesuai , dipindahkan oleh NS posisi ke arah sisi tertinggal. Jadi disini

Kesimpulan ini dapat dicapai secara langsung, dengan mempertimbangkan diagram blok filter (lihat Gambar 2.17) dan dengan asumsi bahwa "impuls tunggal" (1, 0, 0, 0, ...) diumpankan ke inputnya.

Penting untuk dicatat bahwa respons impuls dari filter transversal mengandung sejumlah istilah yang terbatas.

Respon frekuensi. Jika dalam rumus (2.139) kita ubah variabelnya , maka kita mendapatkan koefisien transmisi frekuensi

Untuk langkah pengambilan sampel yang diberikan A dimungkinkan untuk mewujudkan berbagai bentuk respons frekuensi dengan memilih bobot filter secara tepat.

Metode sintesis filter digital. Yang paling luas dalam praktik sintesis filter digital adalah tiga metode yang dijelaskan di bawah ini.

Metode tanggapan impuls invarian.

Metode ini didasarkan pada asumsi bahwa filter digital yang disintesis harus memiliki respons impuls, yang merupakan hasil pengambilan sampel respons impuls dari prototipe filter analog yang sesuai. Artinya sintesis sistem yang dapat direalisasikan secara fisik di mana respons impuls menghilang di T<0 , kita memperoleh ekspresi berikut untuk respon impuls dari CF:

di mana T langkah pengambilan sampel waktu.

Perlu dicatat bahwa jumlah istilah individu dalam ekspresi untuk respon impuls CF dapat berupa terbatas atau tak terbatas. Ini menentukan struktur filter yang disintesis: filter transversal sesuai dengan respons impuls dengan jumlah sampel yang terbatas, sementara DF rekursif diperlukan untuk menerapkan respons impuls yang sangat panjang.

Hubungan antara koefisien respon impuls dan struktur DF sangat sederhana untuk filter transversal. Dalam kasus umum, sintesis struktur filter dilakukan dengan menerapkan z-konversi ke urutan bentuk yang diberikan di atas. Dengan mencari fungsi sistem H (z) filter, Anda harus membandingkannya dengan ekspresi umum dan menentukan koefisien bagian transversal dan rekursif. Tingkat perkiraan karakteristik frekuensi amplitudo filter digital yang disintesis dengan karakteristik prototipe analog tergantung pada langkah pengambilan sampel yang dipilih. Jika perlu, Anda harus menghitung koefisien transmisi frekuensi filter digital dengan melakukan fungsi sistem H (z) ubah variabel dengan rumus
, dan kemudian bandingkan hasilnya dengan penguatan frekuensi rangkaian analog.

Sintesis DF berdasarkan diskritisasi persamaan diferensial

sirkuit analog.

Struktur filter digital, yang kira-kira sesuai dengan rangkaian analog yang diketahui, dapat diperoleh dengan mendiskritkan persamaan diferensial yang menggambarkan prototipe analog. Sebagai contoh penggunaan metode ini, pertimbangkan sintesis CF yang sesuai dengan sistem dinamik osilasi orde kedua, di mana hubungan antara osilasi keluaran y (t) dan masukan goyangan x (t) ditentukan oleh persamaan diferensial

(2.142)

Misalkan langkah pengambilan sampelnya adalah  T dan pertimbangkan pengumpulan sampel diskrit  pada 1  dan  NS 1  ... Jika turunan dalam rumus diganti dengan persamaan beda hingga, maka persamaan diferensial akan berubah menjadi persamaan beda

Mengatur ulang istilah, kita mendapatkan:

(2.144)

Persamaan perbedaan mendefinisikan algoritma filter rekursif orde 2 yang mensimulasikan sistem osilasi analog dan disebut resonator digital. Dengan pilihan koefisien yang tepat, resonator digital dapat bertindak sebagai filter selektif frekuensi, mirip dengan rangkaian osilasi.

Metode karakteristik frekuensi invarian .

Pada dasarnya tidak mungkin untuk membuat filter digital, yang respons frekuensinya akan persis mengulangi respons frekuensi dari beberapa rangkaian analog. Alasannya adalah, seperti yang Anda ketahui, koefisien transfer frekuensi DF adalah fungsi periodik dari frekuensi dengan periode yang ditentukan oleh langkah pengambilan sampel.

Berbicara tentang kesamaan (invarians) karakteristik frekuensi filter analog dan digital, kita hanya dapat meminta agar seluruh interval frekuensi tak terhingga a, yang terkait dengan sistem analog, diubah menjadi segmen frekuensi q dari filter digital memenuhi ketidaksetaraan
sambil mempertahankan pandangan umum dari respon frekuensi.

Biarlah K A (R) fungsi transfer filter analog yang ditentukan oleh ekspresi rasional fraksional dalam pangkat P... Jika Anda menggunakan hubungan antar variabel z dan p, maka kita dapat menulis:

. (2.145)

Dengan hukum ini, hubungan antara P dan z tidak mungkin untuk mendapatkan fungsi filter sistem yang dapat direalisasikan secara fisik, karena substitusi ke dalam ekspresi K A (R) akan memberikan fungsi sistem yang tidak dinyatakan sebagai hasil bagi dua polinomial. Oleh karena itu, untuk sintesis filter lolos rendah, koneksi formulir

, (2.146)

yang juga memetakan titik-titik lingkaran satuan pada bidang-z ke titik-titik sumbu imajiner pada bidang-p. Kemudian

, (2.147)

dari mana mengikuti hubungan antara variabel frekuensi sistem analog dan digital:

. (2.148)

Jika tingkat pengambilan sampel cukup tinggi ( C T<<1), kemudian, seperti yang mudah dilihat dari rumus (2.147),  A  C... Jadi, pada frekuensi rendah, karakteristik filter analog dan digital praktis sama. Secara umum, perlu memperhitungkan transformasi skala di sepanjang sumbu frekuensi filter digital.

Dalam praktiknya, prosedur untuk mensintesis CF adalah dalam fungsi K A (R) rangkaian analog diganti dengan variabel sesuai dengan rumus (2.145). Fungsi sistem yang dihasilkan dari DF ternyata menjadi fraksional-rasional dan oleh karena itu memungkinkan untuk langsung menuliskan algoritma penyaringan digital.

Pertanyaan tes mandiri

Filter mana yang disebut cocok.

Berapa respon impuls dari filter.

Apa sinyal pada output dari filter yang cocok.

Filter apa yang disebut digital.

Apa perbedaan antara algoritma untuk pengoperasian filter rekursif dan transversal.

Apa metode utama untuk mensintesis filter digital? .

Apa sifat-sifat utama dari transformasi Fourier diskrit.

PEKERJAAN LABORATORIUM

ALGORITMA PENYARINGAN SINYALDalam sistem kontrol proses

Target. Kenalan dengan algoritma untuk menyaring sinyal acak terukur, yang paling umum dalam sistem kontrol proses, dan melakukan analisis komparatif dari fitur akurasi dan implementasinya di komputer.

Latihan

1) untuk karakteristik sinyal acak yang diberikan, hitung parameter filter optimal,

2) mensimulasikan sistem filtrasi pada komputer dan menghitung kesalahan filtrasi untuk setiap metode yang dipertimbangkan,

3) untuk melakukan analisis komparatif terhadap efektivitas algoritma yang dipertimbangkan.

Ketentuan dasar. 1 Pernyataan masalah filtrasi optimal. Sinyal dari alat pengukur sering mengandung kesalahan acak - gangguan. Tugas penyaringan adalah untuk memisahkan komponen sinyal yang berguna dari interferensi ke tingkat tertentu. Sebagai aturan, baik sinyal yang berguna maupun interferensi diasumsikan sebagai proses acak stasioner yang karakteristik statistiknya diketahui: ekspektasi matematis, varians, fungsi korelasi, kerapatan spektral. Mengetahui karakteristik ini, perlu untuk menemukan filter di kelas sistem dinamis linier atau di kelas sistem linier yang lebih sempit dengan struktur tertentu sehingga sinyal pada keluaran filter sedikit berbeda dari sinyal yang berguna.

Gambar 1. Pada pernyataan masalah filtrasi

Mari kita memperkenalkan notasi dan merumuskan masalah filtrasi lebih tepat. Biarkan input filter dengan respons impuls Ke(T) dan yang sesuai (karena transformasi Fourier) 0

AFH W(saya) sinyal yang berguna diterima x(T) dan interferensi yang tidak berkorelasi dengannya z(T) (gbr. 1). Fungsi korelasi dan kerapatan spektral dari sinyal dan interferensi yang berguna dilambangkan dengan R x (T), S x (T), R z (T) dan S z (T) ... Diperlukan untuk mencari karakteristik filter k(t) atau W(t) agar nilai rms selisihnya ε antara sinyal pada keluaran filter dan sinyal yang berguna x adalah minimal. Jika karakteristik filter diketahui dengan akurasi satu atau beberapa parameter, maka perlu untuk memilih nilai optimal dari parameter ini.

Kesalahan ε mengandung dua komponen. Pertama ( ε 1 ) terhubung dengan fakta bahwa beberapa bagian dari kebisingan masih akan melewati filter, dan yang kedua ( ε 2 ) - sehingga bentuk sinyal yang berguna akan berubah saat melewati filter. Dengan demikian, penentuan karakteristik filter yang optimal adalah pencarian solusi kompromi yang meminimalkan kesalahan total.

Mari kita nyatakan respons frekuensi filter dalam bentuk:

W (iω) = A (ω) exp.

Menggunakan rumus yang menghubungkan kerapatan spektral dari proses acak pada input dan output dari sistem linier dengan respons frekuensinya, kami menghitung kerapatan spektral dari masing-masing komponen kesalahan.

Untuk kesalahan yang terkait dengan lompatan kebisingan, kami memperoleh

S 1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Kerapatan spektral kesalahan yang terkait dengan distorsi sinyal yang berguna adalah:

S 2 (ω) = S x (ω )|1 – W(saya)| 2

Jumlah komponen ini S memiliki kerapatan spektral

S ε (ω ) = S 1 (ω ) + S 2 (ω )

Mengingat bahwa

|1 – W(saya)| 2 = 2 + A 2 (ω ) dosa 2 F(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Kesalahan akar kuadrat rata-rata terkait dengan kerapatan spektral dengan ekspresi

Dengan meminimalkan S ε (ω ) pada F(ω) dan A (), kita sampai pada persamaan

karenaF * (ω ) = 1
F *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Karakteristik yang ditemukan dari filter optimal sesuai dengan kerapatan kesalahan spektral

Kesalahan kuadrat rata-rata akar minimum

(3)

Sayangnya, filter yang ditemukan tidak dapat direalisasikan, karena kondisi kesetaraan ke nol pada semua frekuensi respons frekuensi fase berarti bahwa respons impuls filter adalah fungsi genap, tidak nol tidak hanya untuk T>0 , tetapi juga di T(Gambar 2, a).

Untuk filter yang dapat direalisasikan secara fisik, persyaratan berikut ini benar: Ke(T) = 0 pada t (Gbr. 2, b). Persyaratan ini harus dimasukkan ke dalam pernyataan masalah. Secara alami, kesalahan yang bisa dicapai σ sekaligus akan meningkat. Masalah penyaringan optimal dengan mempertimbangkan kelayakan fisik telah dipecahkan.

Beras. 2. Karakteristik impuls dari filter yang tidak dapat direalisasikan (a) dan yang dapat direalisasikan (b)

Beras. 3. Kepadatan spektral dari sinyal yang bergunaS x (ω) dan kebisinganS z (ω) dan karakteristik frekuensi amplitudo dari filter optimal A * (ω) dengan tidak tumpang tindih (a) dan tumpang tindih (b)S x (ω) danS z (ω)

N.Wiener. Solusinya jauh lebih rumit daripada yang diberikan di atas, oleh karena itu, dalam pekerjaan ini, kami akan mencari filter yang dapat direalisasikan secara fisik hanya di kelas filter yang karakteristiknya ditentukan secara akurat dengan nilai parameter. Kuantitas dihitung dengan rumus (3) dapat berfungsi sebagai perkiraan yang lebih rendah dari kesalahan penyaringan yang dapat dicapai.

Arti fisik dari relasi (2, b) diilustrasikan pada Gambar. 3. Jika spektrum sinyal yang berguna dan interferensi tidak tumpang tindih, maka A () harus sama dengan nol di mana kerapatan spektral interferensi berbeda dari nol, dan sama dengan satu untuk semua frekuensi di mana S x (ω)>0 ... dalam gambar. 3, b menunjukkan karakter A * (ω) dalam kasus ketika kepadatan spektral sinyal dan interferensi saling tumpang tindih.

Di antara filter dengan struktur tertentu, yang paling umum adalah filter berdasarkan operasi rata-rata bergerak, serta filter eksponensial dan yang disebut filter statistik orde nol. Filter eksponensial adalah filter aperiodik orde pertama, dan filter statistik orde nol adalah tautan penguat. Mari kita pertimbangkan masing-masing filter yang disebutkan secara lebih rinci.

Filter rata-rata bergerak. Output filter terkait dengan inputnya dengan rasio

Fungsi transien impuls dari filter ditunjukkan pada Gambar. 4, a. Karakteristik frekuensi sama

Respon impuls dapat dinyatakan dalam fungsi Heaviside 1(T)

k(T) = k.

Parameter filter yang dapat disesuaikan diperoleh k dan memori T.

Filter eksponensial(Gbr. 4, b). Sinyal keluaran ditentukan oleh persamaan diferensial

kamu/ γ + kamu = kg

Respon impulsnya adalah:

Karakteristik frekuensi

Parameter filter adalah keuntungan k dan konstanta waktu berbanding terbalik dengan γ .

Beras. 4. Fungsi transien impulsk(T) dan karakteristik frekuensi amplitudo (ω) dari filter tipikal: а - rata-rata saat ini; b - eksponensial; c) orde nol statis

Filter statistik orde nol. Filter ini, seperti yang disebutkan di atas, adalah tautan penguat. Karakteristiknya

kamu(T) = kg(T) ; A(ω) = k; F(ω) = 0

Bobot filter yang terdaftar tidak memungkinkan mencapai penyaringan yang ideal bahkan dengan sinyal terputus-putus dan spektrum interferensi. Minimalkan kesalahan σ ε Anda dapat memilih parameter k, T,... Ini membutuhkan karakteristik filter A () dan F(ω) sebagai fungsi dari frekuensi dan parameter, substitusikan ke dalam rumus (1), ambil integral dari ekspresi yang dihasilkan, yang akan menjadi fungsi dari parameter filter, dan temukan minimum integral ini di atas parameter.

Misalnya, untuk filter statistik orde Coulomb, kerapatan spektral galat akan berbentuk:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integral S ε sama dengan varians dari interferensi dikalikan dengan π ... Kita mendapatkan

Mari kita perhatikan bahwa integral di sisi kanan persamaan ini sama dengan varians dari sinyal yang berguna dan kebisingan, sehingga

Kondisi minimum dari ekspresi ini sehubungan dengan k mengarah pada kesetaraan

Setelah substitusi dari nilai yang ditemukan k ke dalam ekspresi untuk varians kesalahan, kita mendapatkan:

Filter rata-rata saat ini dan eksponensial masing-masing memiliki dua parameter yang dapat disesuaikan, dan nilai optimalnya tidak dapat diekspresikan dengan mudah melalui karakteristik sinyal dan noise yang berguna, tetapi nilai ini dapat ditemukan dengan metode numerik untuk menemukan minimum suatu fungsi dalam dua variabel.

Gambar 5 Diagram blok simulasi komputer sistem penyaringan sinyal acak

2. Deskripsi sistem simulasi. Pekerjaan dilakukan dengan memodelkan sistem komputer yang terdiri dari blok-blok berikut (Gbr. 5).

1. Generator sinyal input I, termasuk generator sinyal acak (GSS) dan dua filter pembentuk dengan karakteristik tertentu W x (saya) dan W z (saya) , pada output yang menerima sinyal yang berguna x(T) dan rintangan z(T) ... Antara generator sinyal acak dan filter pembentuk W z termasuk link delay , memberikan pergeseran dua sampai tiga siklus clock. Dalam hal ini, input dari filter yang membentuk interferensi dan input dari filter yang membentuk sinyal yang berguna tidak berkorelasi satu sama lain.

2. Blok untuk menghitung fungsi korelasi
.

3. Unit filtrasi (II), termasuk filter yang sebenarnya
dan blok untuk menghitung kesalahan penyaringan
.

Sinyal berguna yang dihasilkan dalam sistem x(T) dan rintangan z(T) adalah proses acak stasioner, fungsi korelasi yang dapat diperkirakan dengan eksponen bentuk (Gbr. 6)

(6)

di mana

Perkiraan varians sinyal dan dihitung menggunakan balok (pada = 0); parameter dan z diatur oleh guru.

3. Implementasi Diskrit dari Filter Kontinu. Kami menggunakan implementasi diskrit dari filter berkelanjutan yang dijelaskan di atas. Langkah diskresi T Hai mengambil secara signifikan kurang dari waktu peluruhan fungsi korelasi dari sinyal yang berguna dan kebisingan. Oleh karena itu, ekspresi di atas (1) untuk menghitung melalui karakteristik spektral dari sinyal input dan noise dapat digunakan dalam kasus diskrit.

Mari kita cari analog diskrit dari filter yang membentuk proses acak dengan fungsi korelasi dari sinyal yang diterima dari GSS (6). Kerapatan spektral yang sesuai dengan fungsi korelasi ini memiliki bentuk

(7)

Fungsi transfer filter pembentuk untuk kasus ketika dispersi sinyal pada output GSS sama dengan satu, adalah

Tidak sulit untuk melihatnya

Jika sinyal pada input dari masing-masing filter pembentuk dilambangkan dengan ξ , maka persamaan diferensial yang sesuai dengan fungsi transfer yang ditulis di atas memiliki bentuk

Analog perbedaan yang sesuai akan ditulis dalam bentuk;

Dengan demikian, algoritma untuk pengoperasian filter, yang membentuk sinyal yang berguna, memiliki bentuk:

(8a)

Demikian juga untuk filter pembentuk kebisingan

(8b)

Analog filter kontinu yang dirancang untuk mengisolasi interferensi adalah sebagai berikut:

untuk filter rata-rata bergerak

(9)

dimana nilainya aku pilih dari kondisi (aku + 1) T HAI = T;

untuk filter eksponensial

(10)

untuk filter statistik orde nol

pada Saya = kg Saya (11)

Perintah eksekusi. 1. Buat dan debug subrutin blok untuk menyaring informasi terkini dan menghitung kesalahan penyaringan.

2. Dapatkan realisasi proses acak pada output filter pembentuk dan gunakan untuk menemukan perkiraan varians dari sinyal dan noise yang berguna, serta fungsi korelasi R x (τ) dan R z (τ) ... Kira-kira tentukan α NS dan α z dan bandingkan dengan yang dihitung.

3. Hitung dengan S x (ω) dan S z (ω) secara analitis atau pada batas bawah komputer untuk kesalahan penyaringan rms.

4. Dengan menggunakan rumus (4), temukan perolehan optimal dari filter statistik orde nol dan nilai yang sesuai untuk membandingkan dengan.

5. Saya menggunakan salah satu metode terkenal untuk menemukan fungsi minimum dari dua variabel dan program yang dikompilasi terlebih dahulu untuk menemukan parameter optimal dari filter rata-rata bergerak dan eksponensial dan kesalahan root-mean-square penyaringan. Dalam hal ini, kombinasi spesifik dari parameter filter sesuai dengan kerapatan kesalahan spektral S ε (ω) didefinisikan oleh rumus (1), dan dari itu temukan nilainya setelah integrasi numerik.

6. Masukkan program filtrasi ke komputer, tentukan secara eksperimental kesalahan root-mean-square untuk parameter filter optimal dan non-optimal, bandingkan hasilnya dengan yang dihitung.

7. Lakukan analisis komparatif terhadap efektivitas berbagai algoritma penyaringan untuk indikator berikut: a) kesalahan root-mean-square minimum yang dapat dicapai; b) jumlah RAM yang dibutuhkan; c) komputer menghitung waktu.

Laporan harus berisi: 1) diagram blok sistem (lihat Gambar 5);

2) subrutin pembentukan dan filter yang disintesis;

3) perhitungan parameter optimal filter dan nilai yang sesuai dari kesalahan root-mean-square;

4) hasil analisis algoritma dan kesimpulan yang dipertimbangkan.

Gerai 6.2. Pembuatan proyek 6.3. Belajar APCS di pelatihan laboratorium... yakin sasaran kegiatan mereka. Sasaran kegiatan ...

Nama keluarga I.O. "" 20 g

Dokumen

Mode kerja);. … […) [Nama mode kerja] ... berdasarkan laboratorium analisis; 5) ... persyaratan untuk APCS... Proses teknologi ... pemrosesan dan analisis informasi ( sinyal, pesan, dokumen, dll. ... algoritma penyaringan dan algoritma menghilangkan kebisingan dari tujuan ...

Otomatisasi cerdas dalam proyek jangka dan diploma

abstrak

Kawat. target... produk ... sinyal HART untuk integrasi ke dalam sistem APCS ... penyaringan Ada berbagai jenis sensor debu. DT400G bekerja ... algoritma... industri kimia. Sarana teknis dan laboratorium kerja/ G.I. Lapshenkov, L.M. ...

Program kerja disiplin "otomatisasi proses teknologi"

Program kerja

... SASARAN DAN TUJUAN BELAJAR DISIPLIN Tujuan... komponen utama APCS- pengontrol ... dilihat sinyal c ... perbaikan bug, penyaringan pesan, ... algoritma dan program, diskusi, kinerja pengendalian bekerja. Laboratorium kelas. Laboratorium ...