Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial (sistem persamaan) dengan koefisien konstan adalah metode transformasi integral, yang memungkinkan fungsi dari variabel nyata (fungsi asli) digantikan oleh fungsi dari variabel kompleks (gambar fungsi). ). Akibatnya, operasi diferensiasi dan integrasi dalam ruang fungsi asli diubah menjadi perkalian dan pembagian aljabar dalam ruang fungsi gambar. Salah satu perwakilan dari metode transformasi integral adalah transformasi Laplace.

Transformasi Laplace berkelanjutan- transformasi integral yang menghubungkan fungsi variabel kompleks (gambar fungsi) dengan fungsi variabel nyata (asli dari fungsi). Dalam hal ini, fungsi dari variabel riil harus memenuhi kondisi berikut:

Fungsi terdefinisi dan terdiferensiasikan pada seluruh semisumbu positif dari variabel riil (fungsi memenuhi kondisi Dirichlet);

Nilai fungsi hingga momen awal disamakan dengan nol ;

Pertumbuhan fungsi dibatasi oleh fungsi eksponensial, yaitu untuk fungsi variabel nyata, ada bilangan positif seperti itu M dan dengan , Apa dimana C - absis konvergensi absolut (beberapa bilangan positif).

Transformasi Laplace (transformasi integral langsung) fungsi dari variabel nyata disebut fungsi dengan bentuk berikut (fungsi dari variabel kompleks):

Fungsi disebut asal dari fungsi, dan fungsi disebut bayangannya. Variabel kompleks disebut operator Laplace, di mana adalah frekuensi sudut, adalah beberapa bilangan konstan positif.

Sebagai contoh pertama, kami mendefinisikan gambar untuk fungsi konstan

Sebagai contoh kedua, kami mendefinisikan gambar untuk fungsi kosinus ... Dengan mempertimbangkan rumus Euler, fungsi kosinus dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua eksponensial .

Dalam praktiknya, untuk melakukan transformasi Laplace langsung, tabel transformasi digunakan, di mana fungsi asli dan gambar disajikan. Beberapa fungsi tersebut disajikan di bawah ini.

Asli dan Gambar untuk Fungsi Eksponensial

Asli dan gambar untuk fungsi kosinus

Asli dan gambar untuk fungsi sinus

Asli dan gambar untuk kosinus yang meluruh secara eksponensial

Asli dan gambar untuk sinus yang meluruh secara eksponensial

Perlu dicatat bahwa fungsi tersebut adalah fungsi Heaviside yang mengambil nilai nol untuk nilai negatif argumen dan mengambil nilai sama dengan satu untuk nilai positif argumen.

Properti transformasi Laplace

teorema linearitas

Transformasi Laplace adalah linier, yaitu setiap hubungan linier antara asal suatu fungsi berlaku untuk gambar fungsi-fungsi ini.

Properti linearitas memudahkan untuk menemukan yang asli dari gambar yang kompleks, karena memungkinkan gambar dari suatu fungsi untuk direpresentasikan sebagai jumlah dari istilah sederhana, dan kemudian untuk menemukan yang asli dari setiap istilah yang diwakili.

Teorema Diferensiasi dari yang asli fungsi

Diferensiasi dari fungsi aslinya cocok perkalian

Untuk kondisi awal bukan nol:

Dengan kondisi awal nol (kasus khusus):

Jadi, operasi diferensiasi fungsi digantikan oleh operasi aritmatika dalam ruang citra fungsi tersebut.

Teorema Integrasi dari yang asli fungsi

Integrasi fungsi asli cocok divisi fungsi gambar ke operator Laplace.

Dengan demikian, operasi integrasi fungsi digantikan oleh operasi aritmatika dalam ruang gambar fungsi.

Teorema kesamaan

Mengubah argumen fungsi (kompresi atau ekspansi sinyal) dalam domain waktu menyebabkan perubahan yang berlawanan dalam argumen dan ordinat gambar fungsi.

Peningkatan durasi pulsa menyebabkan kompresi fungsi spektralnya dan penurunan amplitudo komponen harmonik spektrum.

Teorema penundaan

Penundaan (pergeseran, pergeseran) sinyal dengan argumen fungsi asli dengan interval menyebabkan perubahan fungsi frekuensi fase spektrum (sudut fase semua harmonik) dengan jumlah tertentu tanpa mengubah modulus (amplitudo fungsi) dari spektrum.

Ekspresi yang dihasilkan berlaku untuk semua

teorema perpindahan

Penundaan (pergeseran, pergeseran) sinyal dengan argumen gambar fungsi mengarah ke perkalian fungsi asli dengan faktor eksponensial

Dari sudut pandang praktis, teorema perpindahan digunakan untuk menentukan gambar fungsi eksponensial.

teorema konvolusi

Konvolusi adalah operasi matematika yang diterapkan pada dua fungsi dan, menghasilkan fungsi ketiga. Dengan kata lain, memiliki respons sistem linier tertentu terhadap impuls, Anda dapat menggunakan konvolusi untuk menghitung respons sistem terhadap seluruh sinyal.

Dengan demikian, konvolusi asli dari dua fungsi dapat direpresentasikan sebagai produk dari gambar dari fungsi-fungsi ini. Teorema rekonsiliasi digunakan ketika mempertimbangkan fungsi transfer, ketika respons sistem (sinyal keluaran dari jaringan empat port) ditentukan ketika sinyal diterapkan ke input jaringan empat port dengan respons transien impuls.

Kuadrupol linier

Transformasi Laplace terbalik

Transformasi Laplace bersifat reversibel, yaitu fungsi variabel nyata ditentukan secara unik dari fungsi variabel kompleks . Untuk ini, rumus transformasi Laplace terbalik digunakan(Rumus Mellin, integral Bromwich), yang memiliki bentuk berikut:

Dalam rumus ini, batas-batas integrasi berarti bahwa integrasi berjalan sepanjang garis lurus tak terbatas yang sejajar dengan sumbu imajiner dan memotong sumbu nyata di suatu titik. Menimbang bahwa ekspresi terakhir dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Dalam praktiknya, untuk melakukan transformasi Laplace terbalik, gambar fungsi didekomposisi menjadi jumlah pecahan paling sederhana dengan metode koefisien tak terdefinisi, dan untuk setiap pecahan (sesuai dengan sifat linearitas) fungsi asli ditentukan , termasuk dengan mempertimbangkan tabel fungsi tipikal. Metode ini valid untuk menampilkan suatu fungsi yang merupakan pecahan rasional yang benar. Perlu dicatat bahwa pecahan paling sederhana dapat direpresentasikan sebagai produk dari faktor linier dan kuadrat dengan koefisien nyata, tergantung pada jenis akar penyebut:

Jika ada akar nol pada penyebut, fungsi tersebut didekomposisi menjadi pecahan seperti:

Jika ada nol n -fold root di penyebut, fungsi didekomposisi menjadi pecahan dari jenis:

Jika ada akar real pada penyebut, fungsi tersebut didekomposisi menjadi pecahan seperti:

Jika ada akar kelipatan n real pada penyebut, fungsi tersebut didekomposisi menjadi pecahan seperti:

Jika ada akar imajiner pada penyebut, fungsi tersebut didekomposisi menjadi pecahan seperti:

Dalam kasus akar konjugasi kompleks dalam penyebut, fungsi tersebut didekomposisi menjadi pecahan seperti:

∙ Secara umum jika gambar fungsinya adalah pecahan rasional beraturan (derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut pecahan rasional), maka dapat diperluas menjadi jumlah pecahan paling sederhana.

Dalam kasus tertentu jika penyebut gambar fungsi hanya diurai menjadi akar-akar persamaan sederhana, maka gambar fungsi dapat diurai menjadi jumlah pecahan paling sederhana sebagai berikut:

Koefisien yang tidak diketahui dapat ditentukan dengan menggunakan metode koefisien tidak terdefinisi atau dengan cara yang disederhanakan menggunakan rumus berikut:

Nilai fungsi pada titik;

Nilai turunan fungsi di suatu titik.

Salinan

1 Transformasi Laplace Informasi singkat Transformasi Laplace, yang banyak digunakan dalam teori rangkaian, adalah transformasi integral yang diterapkan pada fungsi waktu f sama dengan nol pada< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Dapat dibuktikan bahwa jika integral Laplace konvergen untuk beberapa nilai s, maka ia mendefinisikan fungsi F yang analitik pada seluruh setengah bidang > s Fungsi F yang didefinisikan demikian dapat dilanjutkan secara analitis ke seluruh bidang dari variabel kompleks = +, dengan pengecualian titik tunggal individu. Paling sering, kelanjutan ini dilakukan dengan memperluas rumus yang diperoleh dengan menghitung integral ke seluruh bidang variabel kompleks. Fungsi F, yang dilanjutkan secara analitis ke seluruh bidang kompleks, adalah disebut gambar Laplace dari fungsi waktu f atau hanya gambar. Fungsi f dalam kaitannya dengan gambarnya F disebut asli. Jika gambar F diketahui, maka yang asli dapat ditemukan menggunakan invers transformasi Laplace f F d untuk > Integral di ruas kanan adalah integral kontur sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat Nilai dipilih sehingga tidak ada titik singular dari fungsi F pada setengah bidang R>. adalah invers transformasi Laplace dan dilambangkan dengan simbol f L (F) L 7

2 Perhatikan beberapa sifat Transformasi Laplace Linearitas Sifat ini dapat ditulis sebagai persamaan L (ff) L (f) L (f) Transformasi Laplace dari turunan suatu fungsi df L () d df d F fdf 3 Transformasi Laplace dari integral: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Pertimbangkan aplikasi transformasi Laplace yang paling sederhana dalam teori rangkaian Gambar menunjukkan elemen rangkaian yang paling sederhana: resistansi, induktansi dan kapasitansi Penurunan tegangan sesaat melintasi resistansi adalah persamaan yang masih dimiliki bentuk hukum Ohm, tetapi sudah untuk gambar tegangan dan arus Untuk tegangan sesaat melintasi induktansi, hubungan diu L, d yaitu tidak ada proporsionalitas langsung, hukum Ohm tidak berlaku di sini Setelah transformasi Laplace, kami memperoleh U = LI LI +

3 Jika, seperti yang sering terjadi, I + =, maka relasinya berbentuk U = LI Jadi, untuk gambar tegangan dan arus, hukum Ohm berlaku lagi.Peran hambatan dimainkan oleh besaran L, yang disebut resistansi induktansi Untuk kapasitansi, kita memiliki hubungan antara nilai sesaat tegangan dan induktansi uid C Setelah transformasi Laplace, rasio ini mengambil bentuk UI, C te memiliki bentuk hukum Ohm, dan resistansi kapasitif adalah sama dengan C Mari kita buat tabel transformasi Laplace langsung dan terbalik dari fungsi dasar yang ditemukan dalam teori rangkaian langkah satuan ditentukan oleh persamaan: di; pada transformasi Laplace fungsi ini akan menjadi L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Sekarang perhatikan transformasi invers dari pecahan rasional, yaitu transformasi dari gambar bbbb BF nnnnmmmm Biarkan m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 cara Mari kita dekomposisi gambar menjadi pecahan sederhana dan kalikan dengan: nn KKKKB Sekarang kita berusaha Maka hanya K yang tersisa di sisi kanan: lim BK Di sebelah kanan kita memiliki ketidakpastian bentuk, yang diperluas sesuai dengan L'Hôpital aturan: "Substitusi BK, kita dapatkan" n BB Transformasi invers dari pecahan sederhana diketahui: L Oleh karena itu, "n BBL Bunga adalah kasus khusus ketika salah satu akar penyebut sama dengan nol: BF Dalam hal ini, dekomposisi dari F menjadi pecahan sederhana akan memiliki bentuk, sebagai berikut dari sebelumnya, "n BBB dan B tidak memiliki akar di nol

6 3 Oleh karena itu, invers Transformasi Laplace dari fungsi F akan berbentuk: n B B B "L Pertimbangkan kasus lain ketika polinomial pada penyebut B memiliki akar ganda. Biarkan m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Beberapa sifat umum rangkaian Biarkan rangkaian kompleks mengandung cabang P dan simpul Q Kemudian, menurut hukum Kirchhoff pertama dan kedua, seseorang dapat membuat persamaan P + Q untuk arus P di cabang dan potensial simpul Q Salah satu potensi simpul Q dianggap nol Tetapi jumlah persamaan dapat dikurangi pada Q, jika kita menggunakan arus loop sebagai arus bolak-balik Dalam hal ini, hukum Kirchhoff pertama secara otomatis terpenuhi, karena setiap arus masuk dan keluar dari simpul, yaitu, memberikan arus total sama dengan nol, dan, sebagai tambahan, Q dari potensial simpul dinyatakan melalui arus loop Jumlah total persamaan, dan, oleh karena itu, loop independen menjadi sama dengan P + QQ = PQ + Persamaan independen dapat ditulis secara langsung jika arus loop dianggap tidak diketahui Salah satu kontur lainnya Gambar Untuk setiap kontur, persamaan dibuat menurut hukum Kirchhoff kedua a Umumnya, hambatan cabang sama dengan i R i C i L di mana i, =, n, n adalah jumlah rangkaian independen Persamaan arus loop adalah sebagai berikut: I I n I n E; saya n saya n E; ni n I nn I n En i, Di sini E i adalah jumlah semua EMF yang termasuk dalam rangkaian ke-i Kontur ke-i Resistansi ii mewakili jumlah resistansi yang termasuk dalam kontur ke-i Resistansi i adalah bagian dari resistansi dari i-th 33 Gambar. Contoh kontur independen

8 Persamaan rangkaian ke-m akan berbentuk: rangkaian yang juga termasuk rangkaian ke-th Jelaslah bahwa untuk rangkaian pasif persamaan i = i benar Perhatikan bagaimana persamaan arus rangkaian untuk rangkaian aktif yang mengandung transistor dimodifikasi, fig mi mi mn I n Em I i Memindahkan suku kedua dari ruas kanan ke ruas kiri, kita ubah persamaan ini sebagai berikut: mi mi I i mn I n Em tidak diketahui, potensial nodal adalah juga digunakan, dihitung dari potensi salah satu node, diambil sebagai nol. Y yang dapat ditulis ulang sebagai berikut: di mana Gambar Rangkaian ekivalen transistor dalam rangkaian kompleks U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sistem persamaan potensial nodal berbentuk Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n In yang berisi sumber arus dependen Mari kita perhatikan solusi persamaan rangkaian Solusi sistem persamaan arus loop memiliki bentuk untuk arus ke-: I, di mana determinan utama sistem adalah determinan yang sama di mana kolom ke-i digantikan oleh gaya gerak listrik dari sisi kanan E, E, E n Misalkan hanya ada satu EMF E di sirkuit, termasuk dalam sirkuit input, yang nomor pertama ditetapkan. persamaan harus disusun sehingga hanya satu arus rangkaian yang melewati cabang yang kita minati, Gambar 4 Maka arus input sama dengan IE, di mana determinan komplemen aljabar yang sesuai i Gambar 4 Rangkaian dengan EMF di rangkaian input 35

10 Rasio EI disebut resistansi input. Sebaliknya, resistansi ini memperhitungkan pengaruh semua rangkaian Untuk rangkaian keluaran kedua, kita akan memiliki I 36 E, di mana penambahan aljabar yang sesuai Hubungan TIE disebut resistansi transmisi dari rangkaian pertama ke rangkaian kedua 5 Gambar 5 Rangkaian dengan sumber arus pada input "UI" I, Y "Y" dan konduktansi transmisi dari simpul pertama ke simpul kedua: U "I" IYT, YT "" di mana I adalah arus yang disuplai ke simpul pertama, tegangan U dan U, diperoleh pada simpul pertama dan kedua, "adalah penentu utama sistem persamaan potensial simpul, dan" i adalah komplemen aljabar yang sesuai Antara dan Y di sana adalah relasi Y Untuk rantai pasif, kita memiliki = Oleh karena itu, determinan utama sistem adalah simetris Oleh karena itu komplemen aljabar adalah sama: = Oleh karena itu, adalah sama dan hambatan transmisi T = T Sifat ini disebut sifat timbal balik. Ini, seperti yang dapat kita lihat, adalah simetri matriks resistansi. Sifat timbal balik dirumuskan sebagai berikut pada Gambar. 6: jika EMF yang terletak di sirkuit input menyebabkan beberapa arus di sirkuit output, maka EMF yang sama termasuk dalam rangkaian output akan menyebabkan pada rangkaian input,

11 arus ulang dengan nilai yang sama Secara singkat, sifat ini kadang-kadang dirumuskan sebagai berikut: EMF pada rangkaian masukan dan ammeter pada rangkaian keluaran dapat dipertukarkan, sedangkan pembacaan ammeter tidak akan berubah Gambar 6 Perilaku rangkaian dengan sifat resiprositas 7 UE Gambar 7 Koefisien transfer tegangan maka Sebagai berikut dari diagram pada Gambar 7: UUI n; ; K n E T E; I T U n Demikian pula, rasio transfer saat ini dapat ditentukan I K I Gambar. 8: I Oleh karena itu I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Gambar 8 Rasio transfer arus Yn Y T T 37

12 3 Lebih lanjut tentang sifat umum fungsi rangkaian Fungsi rangkaian adalah fungsi dari variabel yang diperoleh dengan memecahkan persamaan, misalnya, resistansi konduktivitas input, resistansi konduktivitas transmisi, dll. Untuk sirkuit dengan parameter yang disamakan, fungsi rangkaian apa pun adalah rasional sehubungan dengan variabel dan merupakan pecahan m B bnmnbmmnn 38 bb dan koefisiennya real Jika tidak, dapat direpresentasikan dalam bentuk bmnm, "" "di mana, m,", "," n akar persamaan mbnmnbmnm, nbb Nilai =, m disebut nol dari fungsi , dan nilai = ",", "n disebut kutub Jelas, dua fungsi rasional, yang nol dan kutubnya bertepatan, hanya dapat berbeda dengan faktor konstan. dengan kata lain, sifat ketergantungan parameter rantai pada frekuensi sepenuhnya ditentukan oleh nol dan kutub dari fungsi rantai.polinomial memperoleh nilai konjugasi * = * dan B * = B * Maka jika polinomial dia Jika ada akar kompleks, maka itu juga akan menjadi akar Jadi, nol dan kutub dari fungsi rantai dapat berupa pasangan konjugat nyata atau bentuk kompleks Biarkan adalah fungsi rantai Pertimbangkan nilainya di =: Karena koefisien pembilang dan penyebut real, maka n,

13 Tidak Ф Ф, Ф Ф Membandingkan persamaan ini dengan memperhatikan persamaan yang diberikan di atas, kita memperoleh bahwa , , yaitu, bagian riil dari fungsi rangkaian adalah fungsi frekuensi genap, dan fungsi ganjil imajiner fungsi frekuensi 3 Stabilitas dan kelayakan fisik Pertimbangkan kesetaraan yang menentukan arus dalam resistansi input yang disebabkan oleh tegangan U: UIB Biarkan U menjadi langkah satuan, dan Kemudian I, B di mana dan B adalah polinomial dari Menggunakan rumus ekspansi, Anda bisa mendapatkan i BB "di mana nol dari polinomial B dan, oleh karena itu, nol dari fungsi resistansi dan nol dari determinan utama: = Jika setidaknya satu nol memiliki bagian real positif, maka i akan meningkat tanpa batas. Jadi, resistansi, setidaknya satu nol di antaranya berada di setengah bidang kanan, sesuai dengan sistem yang tidak stabil, 39

14 me Kesimpulan yang sama dapat dibuat mengenai resistansi transmisi T, konduktivitas input Y, konduktivitas transmisi YT Definisi Fungsi sirkuit disebut layak secara fisik jika sesuai dengan sirkuit yang terdiri dari elemen nyata, dan tidak ada getaran alami yang memiliki amplitudo yang meningkat tanpa batas dengan Rantai yang ditentukan dalam definisi disebut stabil Nol dari penentu utama fungsi stabil yang dapat direalisasikan secara fisik dari rantai dan, oleh karena itu, nol dari fungsi resistansi dan konduktivitas harus ditempatkan hanya di sebelah kiri setengah bidang variabel atau pada sumbu frekuensi nyata Jika dua atau lebih nol bertepatan dengan banyak akar, maka solusi yang sesuai memiliki bentuk: M, di mana M adalah polinomial derajat m, m adalah multiplisitas akar Jika, pada saat yang sama, =, dan m>, maka solusi yang sesuai meningkat tanpa batas o koefisien e transmisi, maka semua yang dikatakan di atas tidak mengacu pada nol, tetapi pada kutub fungsi dari rangkaian koefisien transmisi.Faktanya: n K Nol dari T adalah kutub fungsi K, dan resistansi beban pasif; nolnya pasti terletak di bidang yang benar.Dari atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi rantai yang dapat direalisasikan secara fisik memiliki sifat-sifat berikut: sedangkan nol dan kutub dari fungsi rantai adalah pasangan konjugat nyata atau bentuk kompleks; b bagian nyata dan imajiner dari fungsi rantai, pada frekuensi nyata, masing-masing adalah fungsi frekuensi genap dan ganjil; di nol dari penentu utama, dan, akibatnya, resistansi konduktivitas dan resistansi konduktivitas transmisi tidak dapat terletak di setengah bidang kanan, dan beberapa nol baik di setengah bidang kanan maupun pada sumbu frekuensi nyata T 4

15 3 Proses transien dalam amplifier Menyelesaikan sistem persamaan rangkaian memberikan gambaran sinyal keluaran untuk masukan yang diberikan U = KE Fungsi rangkaian dalam domain waktu dapat ditemukan dengan menggunakan invers Transformasi Laplace u L (KE) Yang paling menarik adalah proses transien dengan sinyal input dalam bentuk langkah Reaksi Respon sistem untuk satu langkah disebut fungsi transisi Mengetahui fungsi transisi, seseorang dapat menemukan respons sistem terhadap sinyal input arbitrer shape.Gambar satu langkah memiliki bentuk, oleh karena itu, respons sistem terhadap satu langkah adalah: K h L Transformasi Laplace terbalik dapat ditulis sebagai: h LKK 4 d Pada saat yang sama>, karena lintasan integrasi harus terletak di sebelah kanan kutub = Yang sangat menarik adalah definisi Gambar 3 Kontur fungsi transien penguat berdasarkan jenis integrasinya dengan respons frekuensi Untuk ini, jalur penghitungan integrasi transien harus dikombinasikan dengan sumbu fungsi frekuensi nyata = Kutub di t titik = dalam hal ini, Anda harus mengitari lingkaran dengan jari-jari kecil r Gambar 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Mari kita pergi ke limit r Kemudian kita memiliki d KVKK d KV h Di sini, ekspresi V dengan integral berarti nilai utama integral ini Rumus yang dihasilkan memungkinkan Anda untuk menemukan fungsi transisi melalui respons frekuensi gain Pada Berdasarkan rumus ini, beberapa kesimpulan umum dapat ditarik.Ganti variabel di h dengan: d KVK h Tapi h, sebagai berikut dari prinsip kausalitas, karena sinyal muncul di> Fungsi gain K kompleks dan dapat direpresentasikan sebagai jumlah bagian real dan imajiner: K = K + K r Substitusi ke ekspresi untuk h, kita peroleh d KKVK r Diferensiasi terhadap, kita peroleh d KK r atau cos sin sin cos d KKKK rr

17 Bagian imajiner dari integral adalah fungsi frekuensi ganjil, oleh karena itu integralnya sama dengan nol. Karena bagian real adalah fungsi frekuensi genap, syarat yang harus dipenuhi oleh koefisien transfer yang dapat direalisasikan secara fisik berbentuk: K cos K sin dr at Kondisi ini, seperti yang telah kita lihat, mengikuti prinsip kausalitas. Dapat ditunjukkan bahwa sistem yang koefisien transmisinya dapat ditulis sebagai rasio polinomial K, B stabil dalam arti bahwa semua nol dari polinomial B terletak di setengah bidang kiri, memenuhi prinsip kausalitas. Untuk melakukan ini, kami menyelidiki integral K hd untuk< и >Mari kita perkenalkan dua kontur tertutup dan B, ditunjukkan pada Gambar. 3 Gambar. 3 Kontur integrasi: di< ; B при > 43

18 44 Pertimbangkan fungsi di mana integral diambil alih kontur tertutup Karena teorema integral Cauchy, integralnya sama dengan nol, karena di setengah bidang kanan integran analitik dengan kondisi. Integral dapat ditulis sebagai jumlah integral pada setiap bagian dari kontur integrasi: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Karena cos> di /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >memegang h B h untuk R Jadi: R h, for>

19 Residu sehubungan dengan tiang sederhana sama dengan RB "yang telah kita miliki sebelumnya K lim, 45 lim B Contoh Pertimbangkan skema rantai integrasi yang ditunjukkan pada Gambar. 33 Untuk rantai ini, koefisien transfer dan imajiner dan realnya bagian-bagiannya berbentuk: K; K; K r, dimana RC Mari kita buktikan bahwa menurut kondisi kausalitas yang diberikan di atas, persamaan harus dipenuhi Persamaan diketahui cos sin d cos d Bedakan ruas kanan dan kiri dengan: sin d Mengalikan sisi kiri dan kanan persamaan ini dengan, kita mendapatkan: sin d, Gambar 33 Skema rangkaian integrasi yang mengikuti persamaan yang diperlukan untuk membuktikan Memiliki fungsi transien sistem, seseorang dapat menemukan responsnya terhadap input apa pun sinyal Untuk ini, kami kira-kira mewakili sinyal input sebagai jumlah dari langkah-langkah unit Gambar. 34

20 Gambar 34 Representasi sinyal input Representasi ini dapat ditulis sebagai: uuu Next uu "Respons terhadap langkah satuan akan sama dengan h Oleh karena itu, sinyal output dapat direpresentasikan sebagai: uuhu" h Melewati batas di , alih-alih jumlah, kita memperoleh integral uuhu "hd Ini salah satu bentuk integral Duhamel Dengan mengintegrasikan bagian, kita dapat memperoleh bentuk lain dari integral Duhamel: uuhuh "d Dan, akhirnya, dengan mengubah variabel =" , kita dapat memperoleh dua bentuk lagi integral Duhamel: uuhu "hd; u h u h "d 46

21 4 Beberapa sifat dari rangkaian dua kutub 4 Sifat umum dari fungsi resistansi konduksi input Jaringan dua terminal sepenuhnya dicirikan oleh fungsi resistansi konduksi input Fungsi ini tidak dapat memiliki nol di setengah bidang kanan, serta beberapa nol pada sumbu frekuensi nyata Karena Y, maka nol dari Y sesuai dengan kutub dan sebaliknya.fungsi resistansi konduksi input tidak dapat memiliki kutub di setengah bidang kanan dan beberapa kutub pada sumbu frekuensi nyata.berikut persamaan asimtotik berlaku: bm mn Karena tidak boleh ada kelipatan nol dan kutub pada sumbu frekuensi nyata, maka mn te pangkat polinomial pembilang dan penyebut tidak boleh berbeda lebih dari satu. lisi = sama, dapat ditunjukkan bahwa pangkat terkecil dari pembilang dan penyebut tidak boleh berbeda lebih dari satu. Arti fisik dari pernyataan ini adalah bahwa pada frekuensi yang sangat tinggi dan sangat rendah, perangkat dua kutub pasif harus berperilaku seperti kapasitansi atau induktansi atau resistansi aktif n, 4 Fungsi energi dari jaringan dua terminal Misalkan jaringan dua terminal adalah rangkaian kompleks yang mengandung resistansi aktif, kapasitansi dan induktif

Jika tegangan sinusoidal diterapkan ke terminal dua terminal, maka beberapa daya dihamburkan di dua terminal, nilai rata-rata yang P mencirikan disipasi energi Energi listrik dan magnet disimpan dalam kapasitor dan induktor, rata-rata nilai yang akan dilambangkan dengan WE dan WH Kami menghitung nilai-nilai ini menggunakan persamaan arus loop Kami menulis langsung ekspresi untuk jumlah di atas dengan analogi dengan kasus paling sederhana Jadi, untuk resistansi R, daya disipasi rata-rata sama dengan PRII Demikian pula, untuk rangkaian yang berisi beberapa cabang, daya rata-rata dapat dinyatakan melalui arus loop: P i R i I i I Energi rata-rata yang tersimpan dalam induktansi, sama dengan WHLII Untuk rangkaian kompleks, kami menyatakan nilai ini melalui arus loop: WH 4 i L i I Energi rata-rata yang tersimpan dalam kapasitor adalah Tapi Oleh karena itu, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Berdasarkan rasio ini, Anda dapat menulis ekspresi untuk energi listrik rata-rata total: WE 4 Ii I i Ci Mari kita cari tahu bagaimana jumlah ini terkait dengan tegangan dan arus input Untuk melakukannya, tuliskan persamaan arus loop IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Kalikan masing-masing persamaan dengan arus yang sesuai 49 Ii dan tambahkan semua I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i Ci Jika R i = R i; L i = L i; C i = C i, yaitu, rangkaian memenuhi prinsip timbal balik, dan tidak ada elemen aktif, maka: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Substitusi ke persamaan di atas, kita peroleh fungsi E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE

24 Teorema Telledzhen memungkinkan Anda untuk menemukan ekspresi untuk resistansi dan konduktivitas Y dalam hal fungsi energi: EIEIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Beberapa kesimpulan dapat ditarik dari ekspresi yang diperoleh untuk dan Y dalam hal fungsi energi.Resistensi input dan konduktansi dari rangkaian pasif memiliki bagian nyata non-negatif pada sumbu frekuensi nyata Identik adalah nol hanya jika tidak ada kehilangan energi di rangkaian Kondisi stabilitas mengharuskan Y juga tidak memiliki nol dan kutub di bagian kanan- bidang Tidak adanya kutub berarti Y adalah fungsi analitik pada setengah bidang kanan.bahwa jika suatu fungsi analitik di suatu wilayah, maka bagian real dan imajinernya mencapai nilai terkecil dan terbesarnya pada batas wilayah.Sejak fungsi resistansi input dan konduktivitas adalah analitik di setengah bidang kanan, bagian nyatanya di batas daerah ini pada sumbu frekuensi nyata mencapai nilai terkecil Tetapi pada sumbu frekuensi nyata bagian nyata tidak negatif, oleh karena itu, positif di seluruh setengah bidang kanan.Selain itu, fungsi dan Y mengambil nilai nyata​ untuk nilai real, karena merupakan hasil bagi pembagian polinomial dengan koefisien real Fungsi yang mengambil nilai real untuk real dan memiliki bagian real positif pada setengah bidang kanan disebut fungsi real positif. dan fungsi konduktansi adalah fungsi real positif.fungsi adalah fungsi real positif 3 Bagian imajiner pada sumbu frekuensi nyata sama dengan nol jika perangkat dua terminal tidak mengandung elemen reaktif atau cadangan rata-rata magnetik dan EE;

25 energi listrik dalam jaringan dua terminal adalah sama Hal ini terjadi pada resonansi; frekuensi di mana ini terjadi disebut frekuensi resonansi. Perlu dicatat bahwa ketika menurunkan rasio energi untuk dan Y, sifat timbal balik dari tidak adanya sumber dependen pada dasarnya digunakan. Untuk rangkaian yang tidak memenuhi prinsip timbal balik dan mengandung sumber dependen, rumus ini mungkin salah. Gambar 4 menunjukkan diagram rangkaian resonansi seri Mari kita lihat apa yang diberikan rumus energi dalam kasus paling sederhana ini. Daya yang dihamburkan dalam resistansi R ketika arus I mengalir sama dengan PIR Cadangan rata-rata energi listrik dan magnet adalah sama: WHLICU; W E Tegangan U melintasi kapasitor ketika arus I mengalir Dari sini W E I U C I C Mensubstitusi ke dalam rumus energi untuk, kita mendapatkan L I I R I

26 Di sini E E C S I S E R R RC RC C C Biarkan, S >> C sehingga suku pertama dalam kurung dapat diabaikan S kemiringan lampu Maka impedansi inputnya adalah S I E RC E RC I S S RC di mana Req; Leq SS Gambar 4 Resistansi elektronik RC SR eq L eq, Jelas bahwa perhitungan resistansi input menggunakan fungsi energi dalam hal ini akan memberikan hasil yang salah Memang, tidak ada cadangan energi magnetik di sirkuit ini, yang menentukan induktansi. alasan ketidaksesuaian rumus energi untuk rangkaian ini adalah adanya dalam rangkaian sumber dependen Dengan memilih pergeseran fasa yang diperlukan dalam rangkaian kisi kontrol lampu, dimungkinkan untuk memperoleh pergeseran fasa induktif atau kapasitif antara tegangan dan arus pada input dan, dengan demikian, sifat induktif atau kapasitif dari resistansi input Resistansi atau konduktivitas rangkaian pasif adalah non-negatif pada sumbu frekuensi nyata Dapat sama dengan nol secara identik untuk frekuensi apa pun hanya jika semua elemen rangkaian tidak mengalami rugi-rugi, yaitu reaktif murni. Tetapi bahkan dengan adanya rugi-rugi, bagian nyata dari resistansi atau konduktivitas dapat menghilang pada beberapa frekuensi 5

27 Jika tidak menghilang di mana pun pada sumbu imajiner, maka nilai konstanta dapat dikurangkan dari fungsi resistansi atau konduktivitas tanpa melanggar kondisi kelayakan fisik sehingga bagian nyata, yang tetap non-negatif, berubah menjadi nol pada frekuensi tertentu .. kutub di setengah bidang kanan variabel, yaitu analitik di wilayah ini, maka bagian realnya memiliki nilai minimum pada batasnya, yaitu pada sumbu imajiner Oleh karena itu, mengurangkan nilai minimum ini meninggalkan bagian nyata positif di setengah bidang kanan.Fungsi resistansi konduksi input disebut fungsi dari jenis minimum - resistansi aktif konduksi, jika bagian realnya menghilang pada sumbu frekuensi nyata, sehingga penurunan ini komponen tidak mungkin tanpa melanggar kondisi kepasifan. maka nol dari bagian nyata pada sumbu frekuensi nyata memiliki multiplisitas setidaknya , c dan tipe aktif non-minimal d Pada Gambar. 43, dan rangkaian memiliki resistansi input dari tipe aktif non-minimal, karena bagian nyata dari hambatan tidak hilang pada setiap frekuensi nyata Pada saat yang sama, bagian nyata dari konduktivitas menghilang pada frekuensi = Oleh karena itu, rangkaian adalah rangkaian konduktivitas aktif minimum Pada Gambar. 43, b, rangkaian adalah rangkaian resistansi aktif minimum, karena bagian nyata dari resistansi menghilang pada frekuensi tak terbatas 53

28 Pada Gambar 43, rangkaian adalah rangkaian resistansi aktif minimum R = pada frekuensi resonansi rangkaian seri.rangkaian pada rangkaian ke-3 memiliki resistansi terbatas pada frekuensi resonansi 44 Resistansi konduktivitas input jaringan dua terminal aktif Gbr. 44 Perangkat dua terminal: a dengan sumber EMF, b dengan penambahan resistansi R Resistansi konduktivitas input aktif, tidak seperti perangkat dua terminal pasif, bukan fungsi positif, dan oleh karena itu jaringan dua terminal dalam kondisi tertentu dapat menjadi tidak stabil. Pertimbangkan kemungkinan yang tersedia di sini. Resistansi memiliki nol di setengah bidang kanan variabel, tetapi tidak memiliki kutub di sana. Pertimbangkan rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 44, dan tempatkan solusi yang meningkat secara eksponensial, yaitu dua kutub nick tidak stabil ketika diberi daya dari sumber EMF, atau, jika tidak, ketika terminalnya dihubung pendek. Di sisi lain, karena tidak memiliki kutub di setengah bidang kanan, ini adalah fungsi analitik di setengah bidang ini. berikut bahwa bagian nyata mencapai minimum pada batas setengah bidang kanan , yaitu sumbu frekuensi nyata Minimum ini negatif, karena dalam kasus yang berlawanan itu akan menjadi fungsi nyata positif dan tidak dapat memiliki nol di kanan setengah bidang. Minimum bagian nyata pada sumbu frekuensi nyata dapat ditingkatkan menjadi nol dengan menambahkan resistansi nyata positif Dalam hal ini, fungsi + R menjadi fungsi nyata positif Oleh karena itu, jaringan dua terminal dengan penambahan hambatan R akan stabil selama hubung singkat Gambar 44, b.

29 Konduktivitas Y memiliki nol di setengah bidang kanan, tetapi tidak memiliki kutub di sana. Ini adalah kebalikan dari yang sebelumnya, karena itu berarti = / Y memiliki kutub di setengah bidang kanan, tetapi tidak memiliki nol di sana Dalam hal ini, stabilitas diselidiki dalam rangkaian dengan sumber arus Gambar 45, a Jika Y memiliki nol di setengah bidang kanan, maka jaringan dua terminal tidak stabil selama operasi tanpa beban.Selanjutnya, kita dapat menerapkan argumen yang disajikan di atas Karena Y tidak memiliki kutub di setengah bidang kanan, fungsi Y dapat dibuat menjadi fungsi positif nyata dengan menambahkan konduktivitas nyata positif G Gmin Jadi cara perangkat dua terminal, di mana konduktivitas Y memiliki nol di setengah bidang kanan, tetapi tidak memiliki kutub di sana, dapat dibuat stabil dengan menambahkan konduktivitas nyata yang cukup besar. dari sumber tegangan 3 Fungsi memiliki nol dan kutub di setengah bidang kanan. Dalam hal ini, untuk memecahkan masalah stabilitas memerlukan pertimbangan khusus Jadi, kita dapat menarik kesimpulan berikut: jika jaringan dua terminal yang aktif stabil ketika ditenagai dari sumber arus, ia tidak memiliki kutub di setengah bidang kanan, maka dapat dibuat stabil ketika ditenagai dari sumber tegangan dengan menghubungkan secara seri beberapa resistansi material positif; jika perangkat dua terminal aktif stabil ketika ditenagai dari sumber tegangan Y tidak memiliki kutub di setengah bidang kanan, maka itu dapat dibuat stabil ketika diberi daya dari sumber arus dengan menghubungkan konduktivitas nyata yang cukup besar secara paralel Contoh Pertimbangkan koneksi paralel dari resistansi negatif R dengan kapasitansi C Gambar 46 RCR Di Sini R RC CI 55 Y b G Gambar 45 Jaringan dua kutub: a dengan sumber arus; b dengan penambahan konduktivitas Y Y Gambar 46 Dua kutub dengan resistansi negatif I

30 Seperti yang Anda lihat, ia tidak memiliki nol di setengah bidang kanan, oleh karena itu rangkaian seperti itu stabil ketika ditenagai dari sumber tegangan Tetapi tidak stabil pada tanpa beban Mari kita tambahkan induktansi L secara seri Kemudian Gambar. 47 Rangkaian ekivalen dari dioda terowongan RRL LCR L RC RC Fungsi ini memiliki nol di setengah bidang kanan: , RC 4 RC LC Oleh karena itu, rangkaian tidak stabil ketika ditenagai dari sumber tegangan Tetapi juga memiliki kutub di setengah bidang kanan Mari coba stabilkan dengan menambahkan beberapa hambatan pada seri R Gambar 47 Kemudian R LCR RRC LRRLR RC RC Kondisi stabilitas terdiri dari tidak adanya nol pembilang di setengah bidang kanan Untuk ini, semua koefisien trinomial di pembilang harus positif: RR CL; RR Kedua pertidaksamaan ini dapat ditulis sebagai: L CR RR Jelas, pertidaksamaan tersebut mungkin terjadi jika LLR atau R RC CR dalam kondisi R Rangkaian pada Gambar 47 ekuivalen dengan rangkaian C dioda terowongan.

31 kemungkinan menstabilkan mode operasi dioda terowongan menggunakan resistansi eksternal Contoh Pertimbangkan rangkaian LC dengan resistansi negatif terhubung paralel Gambar 48 Temukan kondisi stabilitas rangkaian tanpa beban Untuk melakukan ini, hitung konduktivitas: th R atau R > R o Ketika pertidaksamaan terbalik terpenuhi, osilasi diri dieksitasi dalam rangkaian pada frekuensi rangkaian resonansi 45 batas-batas tertentu tanpa melanggar kondisi kepasifan Secara fisik, perubahan komponen real ini dengan nilai konstan berarti penambahan atau pengecualian resistansi aktif nyata, idealnya tidak tergantung pada frekuensi Perubahan komponen reaktif dari fungsi resistansi n konduktivitas dengan nilai konstan tidak dapat diterima, karena ini melanggar kondisi realisasi fisik keanehan komponen imajiner dari fungsi rangkaian Secara fisik, ini dijelaskan oleh fakta bahwa tidak ada elemen dengan resistansi konduktivitas independen frekuensi murni reaktif.Namun, perubahan komponen reaktif tanpa perubahan komponen aktif dimungkinkan dalam kasus ketika resistansi konduktivitas memiliki kutub pada sumbu frekuensi nyata Karena kondisi kelayakan fisik, kutub tersebut harus konjugasi sederhana dan kompleks

32 Biarkan resistansi memiliki kutub pada frekuensi Kemudian kita dapat membedakan pecahan sederhana MNBB Sangat mudah untuk melihat bahwa NNMMN r MB r 58 B * M, MM Pertimbangkan perilaku salah satu pecahan, misalnya, M / dekat = Kemudian MMM r M r M Dekat frekuensi, komponen real berubah tanda, yang bertentangan dengan kondisi realisasi fisik Oleh karena itu, M r = N r = Kemudian M = N Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa M = N> Memang, kita menempatkan = +, dan> Kemudian pecahan tersebut mengambil nilai M /, yang harus lebih besar dari nol, karena pecahan tersebut harus berada di setengah bidang kanan fungsi positif nyata Jadi, M = N> Jadi, jika memiliki kompleks-konjugasi kutub pada sumbu frekuensi nyata, maka dapat direpresentasikan dalam bentuk: MM, B dan memenuhi kondisi kelayakan fisik jika dipenuhi Sungguh , tidak memiliki kutub di setengah bidang kanan, karena tidak memiliki kutub di sana .Oleh karena itu, ini adalah fungsi analitik di setengah bidang kanan. Di sisi lain, suku pertama mengambil Sumbu frekuensi nyata adalah nilai imajiner murni Oleh karena itu, mereka memiliki bagian nyata yang sama pada sumbu frekuensi nyata Pemisahan suku pertama tidak mempengaruhi bagian nyata pada sumbu frekuensi nyata Oleh karena itu di bagian kanan- bidang juga merupakan fungsi positif r

33 Selain itu, dibutuhkan nilai nyata nyata di setengah bidang kanan untuk nilai nyata Akibatnya, itu adalah fungsi positif nyata M Resistansi dimiliki oleh rangkaian resonansi paralel tanpa kerugian: LCCC, LC LC dan LC dan MC : M "Y, YM" di mana ekspresi mewakili konduktivitas rangkaian resonansi seri: YCLLCL Selain kutub pada titik ±, yaitu, pada frekuensi terbatas, kutub dimungkinkan pada frekuensi nol dan tak terbatas. Kutub-kutub ini sesuai dengan istilah :, L, Y, YC, CL t tidak sesuai dengan kapasitansi atau induktansi Pernyataan berikut ini benar Impedansi masukan Konduktansi rangkaian pasif terus memenuhi kondisi kelayakan fisik jika 59

34 kurangi dari itu reaktansi konduktivitas yang sesuai dengan kutub yang terletak pada sumbu frekuensi nyata kutub resistansi dan konduktivitas tanpa frekuensi nyata Kehadiran kutub seperti itu berarti kemungkinan adanya osilasi bebas di dalamnya tanpa redaman kasus, dengan pendekatan yang baik, kerugian dalam elemen reaktif dapat diabaikan 46 Sifat rangkaian yang terdiri dari elemen reaktif murni Sering terjadi bahwa rangkaian terdiri dari elemen dengan kerugian kecil Dalam hal ini, pengaruh kerugian terkadang dapat diabaikan. yang menarik untuk mengetahui sifat-sifat rangkaian tanpa rugi-rugi, serta untuk mengetahui dalam kondisi apa rugi-rugi dapat diabaikan Asumsikan bahwa semua elemen rangkaian adalah reaktif murni Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa dalam hal ini pada sumbu frekuensi nyata resistansi dan konduktivitas Y mengambil nilai imajiner Memang, dalam hal ini kekuatan kerugian sama dengan nol, oleh karena itu: W I 6 H WE W Y E WE; Karena bagian imajiner dari resistansi atau konduktivitas adalah fungsi ganjil dari rangkaian, maka dalam kasus ini = Oleh karena itu, dalam kasus yang lebih umum = Kondisi kelayakan fisik mengharuskan tidak ada nol dan kutub di setengah bidang kanan Tetapi karena =, maka seharusnya juga tidak ada nol dan kutub di setengah bidang kiri Oleh karena itu, H

35 fungsi dan Y dapat memiliki nol dan kutub hanya pada sumbu frekuensi nyata. Secara fisik, ini dapat dimengerti, karena dalam rangkaian tanpa rugi-rugi, osilasi bebas tidak lembab. Oleh karena itu, menggunakan metode identifikasi kutub yang terletak pada sumbu frekuensi nyata, adalah mungkin untuk mengurangi fungsi dan Y ke bentuk berikut: bnbnb Y Dengan kata lain, perangkat dua kutub dengan resistansi dapat direpresentasikan sebagai diagram berikut pada Gambar 49 bentuk Foster:; Gambar 49 Bentuk Foster pertama Dengan demikian, Y dapat direpresentasikan dalam bentuk bentuk Foster ke-Gbr. 4 Gambar 4 Bentuk Foster kedua Dapat ditunjukkan bahwa nol dan kutub pada sumbu frekuensi nyata harus bergantian hanya sederhana, maka fungsi yang mendekati nol dapat direpresentasikan dalam bentuk M o, di mana o adalah kuantitas dengan orde terkecil yang lebih tinggi dibandingkan dengan Near di setengah bidang kanan, kuantitas sebenarnya harus positif, dan ini hanya mungkin jika M itu nyata 6

36 adalah besaran, dan M> Oleh karena itu, mendekati nol = komponen imajiner hanya dapat berubah dengan turunan positif, mengubah tanda dari "+" harus ada diskontinuitas, yang untuk rangkaian dengan elemen yang disamakan hanya dapat menjadi kutub Semua yang telah dikatakan juga berlaku untuk konduktivitas Y Nol disebut titik resonansi, kutub disebut titik antiresonansi Oleh karena itu, resonansi selalu bergantian dengan antiresonansi Untuk konduktivitas Y, resonansi sesuai dengan kutub, dan antiresonansi dengan nol Sangat mudah untuk melihat , bahwa keduanya pada titik-titik resonansi dan pada titik-titik antiresonansi, rata-rata cadangan energi listrik dan magnet adalah sama satu sama lain Memang, pada titik-titik resonansi =, yaitu WHWE = Pada titik-titik antiresonansi Y =, oleh karena itu, WEWH = Biarkan kami sekarang menunjukkan bahwa dalam kasus sirkuit tanpa kerugian, rumus berikut terjadi, saya berikan: ketergantungan resistansi dan konduktivitas pada frekuensi Mari kita nyatakan resistansi dan konduktivitas dalam bentuk: X, Y B Kemudian: dx WH W d I db WH WE d E Sebagai bukti, perhatikan definisi resistansi E I 6 E; Misal E = kontra Mari kita bedakan berdasarkan frekuensi: d E di d I d Misalkan E adalah nilai riil Maka untuk suatu rangkaian tanpa rugi-rugi I adalah nilai imajiner murni Dalam hal ini d E d I di d I dan

37 Sekarang mari kita beralih ke sistem persamaan untuk arus loop n 4: I Li I Ei, i, n C Dengan asumsi bahwa hanya E, kita mengalikan setiap persamaan dengan dan menambahkan semua persamaan: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Selanjutnya, kita beralih ke hubungan yang diperoleh juga di p 4 untuk rangkaian lossless: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferensiasi dengan frekuensi pada E = kontra, kita mendapatkan: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di IL di IE di CC iiiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , karena E adalah nilai riil dengan asumsi Ini juga mengikuti dari atas bahwa: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Mensubstitusikan ke total, kita mendapatkan: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Mengurangi suku yang serupa di kiri dan kanan, kami menemukan: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E adalah ditemukan di bagian n 4, sama dengan i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Substitusikan ke dalam ekspresi untuk turunan fungsi resistansi, kita dapatkan: d E di WH W d I d I Demikian pula, Anda dapat membuktikan persamaan kedua dy W d E WE Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa dengan meningkatnya frekuensi, reaktansi dan konduktivitas rangkaian elemen reaktif murni hanya dapat meningkat. Bergantung pada keberadaan nol dan kutub pada frekuensi nol dan tak terbatas, grafik ketergantungan X dan B dapat memiliki salah satu dari jenis berikut, ditunjukkan pada Gambar. 4 Akhirnya, kami akan mencoba mencari tahu bagaimana adanya kerugian kecil mempengaruhi resistansi rangkaian yang terdiri dari elemen reaktif.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Atenuasi dapat berbeda untuk kutub yang berbeda Oleh karena itu, disarankan untuk mempertimbangkan perilaku fungsi resistansi di dekat salah satu kutub.

40 Karena kita tertarik pada nilai pada sumbu frekuensi nyata, itu harus diganti dengan Dalam pembilang, kita dapat membuang, kecil dibandingkan dengan kondisi: Ekspresi ini dapat ditransformasikan sebagai berikut :, Qx "di mana ; Q; x; Kuantitas Q >> disebut faktor kualitas, kuantitas x disebut detuning relatif Resonansi dekat Selain itu, kita memiliki: Nilai C x QQ;; QQCC disebut impedansi karakteristik dari rangkaian resonansi. Pertimbangkan bagaimana bagian nyata dan imajiner dari resistansi dekat resonansi bergantung pada frekuensi: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Resonansi dekat Im meningkat, tetapi pada resonansi ia melewati nol dengan turunan negatif Bagian nyata dari R pada resonansi memiliki maksimum Grafik Im dan R tergantung pada frekuensi ditunjukkan pada Gambar. 4. berbicara, area di bawah kurva resonansi R tidak bergantung pada faktor Q. Dengan bertambahnya faktor Q, lebar kurva berkurang, tetapi tingginya bertambah, sehingga luas tetap tidak berubah. Qx >>, bagian nyata berkurang dengan cepat, dan bagian imajiner adalah sama dengan Im x 67, yaitu, ia berubah dengan cara yang sama seperti dalam kasus kontur lossless

42 Jadi, ketergantungan pada frekuensi dengan pengenalan kerugian kecil berubah sedikit pada frekuensi yang berjarak dari frekuensi resonansi sebesar >>. Dekat frekuensi, arahnya berubah secara signifikan. Kutub konduksi Y, yaitu konduktivitas rangkaian resonansi seri sesuai dengan relasi yang mirip dengan kutub: di mana Q; gq Y, Qx g konduktivitas karakteristik; L x Nol sesuai dengan kutub konduksi Y Dekat nol, oleh karena itu, resistansi dapat direpresentasikan pada sumbu frekuensi nyata sebagai berikut: Qx x, Y gq Q di mana = / g berubah mendekati nol dengan cara yang sama seperti sebelumnya 68

43 5 Kuadrupol 5 Persamaan dasar dari sebuah kuadripol Sebuah kuadrupol adalah sirkuit yang memiliki dua pasang terminal: input yang menghubungkan sumber sinyal dan output yang terhubung dengan beban Resistansi transmisi Dalam kondisi ini, resistansi dari sumber sinyal n dan resistansi beban n termasuk dalam T Ketika mereka berubah, dan T berubah Hal ini diinginkan untuk memiliki persamaan dan parameter yang mencirikan jaringan empat port itu sendiri Koefisien adalah kebalikan dari konduktivitas transmisi saat idle pada output sepasang terminal: 69 II; Gambar 5 Menghidupkan jaringan empat port I Di sini U dan U adalah tegangan pada terminal input dan output, I dan I adalah arus yang mengalir melalui terminal input dan output menuju jaringan empat port, lihat Gambar 5 Koefisien sistem persamaan yang menghubungkan tegangan dan arus memiliki arti yang sederhana. Nilai adalah koefisien proporsionalitas antara I dan U pada arus pada terminal keluaran I =, yaitu pada terminal keluaran tanpa beban; dengan kata lain, ini adalah resistansi input tanpa beban pada output = x Demikian pula, ini adalah resistansi input dari sisi terminal output tanpa beban pada pasangan terminal pertama = x Koefisien memiliki arti nilai yang berlawanan dengan konduktansi transmisi saat idle pada pasangan terminal pertama, yaitu pada terminal input arus nol U dan IYT x YT x

44 Aku U; YT x YT x Perhatikan bahwa untuk jaringan empat port pasif, kedua konduktivitas transmisi sama satu sama lain karena prinsip timbal balik.Oleh karena itu, = = / Y Tx Sistem persamaan yang diberikan di atas dapat ditulis sebagai: IU x I ; YT x IU x I YT x I, karena arus dalam kasus ini diarahkan dari jaringan empat port, yaitu, dalam arah yang berlawanan dibandingkan dengan yang diadopsi di atas. Mengganti U ke persamaan kedua, kita dapatkan dari mana I, I n I x I YTx IY x Tx Mensubstitusi I ke persamaan pertama, kita mendapatkan UI x Y Tx n Dari sini kita menemukan impedansi input di nx U x IY Dengan analogi, Anda juga dapat menulis ekspresi untuk resistansi output, menukar indeks dan: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Parameter karakteristik perangkat empat kutub Yang cukup menarik adalah kasus ketika generator dan beban secara bersamaan dicocokkan, yaitu, ketika n = c dan n = c, hubungan in = c dan out = c berlangsung Mengganti ekspresi untuk masuk dan keluar , kita mendapatkan persamaan yang memungkinkan kita untuk menemukan c dan c: cc x x YT x YT x 7 cc Sistem ini diselesaikan sebagai berikut Dari persamaan pertama kita menemukan: dari mana cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Perhatikan bahwa hubung singkat dan hubung singkat masing-masing adalah resistansi masukan dari sisi pasangan terminal pertama dan kedua, dalam kasus hubung singkat pada pasangan terminal lainnya. Beban yang sama dengan impedansi karakteristik c disebut serasi Dengan sejumlah jaringan empat port yang diaktifkan dengan cara ini, pencocokan dipertahankan di setiap penampang. UI c I c ln I c U cg ln U Bagian nyata dari koefisien transmisi karakteristik untuk frekuensi nyata disebut redaman karakteristik, dan bagian imajiner disebut konstanta fase karakteristik. Dapatkan juga rasio: I g I; U c g U U I I

47 Koefisien transfer karakteristik nyaman karena, dengan koneksi kaskade yang cocok dari jaringan dua port, koefisien transfer yang dihasilkan sama dengan jumlah koefisien transfer dari jaringan empat port individu. Koefisien transfer karakteristik dapat ditemukan dari hubungan berikut: Impedansi karakteristik c dan c, secara umum, tergantung pada frekuensi Oleh karena itu, penggunaan parameter karakteristik tidak selalu nyaman untuk mewakili resistansi transmisi T. jaringan empat terminal ke beban nyata konstan R dengan resistansi aktif murni generator R Gambar 53 Dalam hal ini, transmisi ditentukan menggunakan koefisien transmisi operasi UI ln, UI di mana U "dan I" adalah dan arus yang mampu dikembangkan oleh generator pada resistansi yang sama dengan resistansi internal generator, yaitu: EU, IE, R 73 EUI, 4R U dan I tegangan dan arus beban Dalam hal ini, U = IR Substitusi, kita dapatkan untuk koefisien transmisi operasi ln Dari sini kita dapatkan 4R ERI ln ERRTIRR

48 Nilai adalah fungsi dari variabel kompleks Untuk frekuensi nyata =: = + B, di mana redaman operasi, B adalah konstanta fasa Redaman operasi sama dengan ln TRR 74 ln PP mx, karena P mx adalah daya maksimum yang generator dapat memberikan input dari jaringan empat port, dan P adalah daya, dialokasikan pada beban RP mx EPIR 4R Mari kita tunjukkan bahwa fungsi positif nyata Memang, karena T tidak memiliki nol di setengah bidang kanan, fungsi analitik pada setengah bidang kanan.Oleh karena itu, fungsi analitik sebanding dengannya juga pada setengah bidang kanan.analitik, dalam hal ini pada sumbu frekuensi nyata Nilai kebalikan mencapai nilai terkecil pada sumbu ini Untuk empat port pasif pada sumbu frekuensi nyata, oleh karena itu R> di seluruh setengah bidang kanan Lebih lanjut T ln 4R R Fungsi T adalah hasil bagi dari membagi dua polinomial dengan koefisien nyata, dan T mengambil positif nyata nilai e nyata Oleh karena itu, ini juga nyata untuk nilai nyata Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi positif nyata Masalah sintesis jaringan empat port dengan koefisien transmisi operasi yang diberikan dalam kasus umum paling baik diselesaikan dengan bantuan apa yang disebut jaringan empat port bersilangan, yang dalam kondisi tertentu memiliki T

4.11. Sifat transformasi Laplace. 1) Korespondensi satu-satu: s (S (2) Linearitas transformasi Laplace: s () 1 (s2 (S1 S2 (dan juga 3) Analisis S (): jika s (memenuhi

4 Kuliah 5 ANALISIS RANGKAIAN DINAMIS Rencana Persamaan keadaan rangkaian listrik Algoritma pembentukan persamaan keadaan 3 Contoh penyusunan persamaan keadaan 4 Kesimpulan Persamaan keadaan listrik

4 .. Sifat-sifat Transformasi Laplace.) Korespondensi satu-satu: S () 2) Linearitas Transformasi Laplace: s (s () И () 2 S S2 (), dan juga 3) Analisis S (): jika memenuhi kondisi

64 Kuliah 6 METODE OPERASIONAL ANALISIS RANGKAIAN LISTRIK Rencana Transformasi Laplace Sifat-sifat Transformasi Laplace 3 Metode operator menganalisis rangkaian listrik 4 Penentuan asal dengan diketahui

2.2. Metode operator untuk menghitung transien. Informasi teoritis. Perhitungan proses transien dalam rangkaian kompleks dengan metode klasik seringkali sulit untuk menemukan konstanta integrasi.

70 Kuliah 7 FUNGSI OPERATOR RANGKAIAN Rencana Fungsi input dan transfer operator Fungsi rangkaian kutub dan nol 3 Kesimpulan Operator fungsi input dan transfer Fungsi operator dari rangkaian disebut

Arus sinusoidal "di telapak tangan Anda" Sebagian besar energi listrik dihasilkan dalam bentuk EMF, yang berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum fungsi harmonik (sinusoidal). Sumber EMF harmonik adalah:

4 Kuliah KARAKTERISTIK FREKUENSI RESONANSI RANGKAIAN LISTRIK Resonansi dan signifikansinya dalam elektronika radio Fungsi alih yang kompleks 3 Karakteristik frekuensi logaritmik 4 Kesimpulan Resonansi dan

Proses sementara "di telapak tangan Anda". Anda sudah mengetahui metode untuk menghitung rangkaian yang berada dalam keadaan tunak, yaitu, dalam keadaan ketika arus, seperti tegangan turun pada elemen individu, konstan dari waktu ke waktu.

Resonansi di telapak tangan Anda. Resonansi adalah mode jaringan dua terminal pasif yang mengandung elemen induktif dan kapasitif, di mana reaktansinya nol. Kondisi resonansi

Getaran listrik paksa. Arus bolak-balik Pertimbangkan osilasi listrik yang terjadi ketika ada generator di sirkuit, gaya gerak listrik yang berubah secara berkala.

Bab 3 Arus bolak-balik Informasi teoretis Sebagian besar energi listrik dihasilkan dalam bentuk EMF, yang berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum fungsi harmonik (sinusoidal).

Kuliah 3. Deduksi. Teorema utama residu Residu fungsi f () pada titik singular terisolasi a adalah bilangan kompleks yang sama dengan nilai integral f () 2 yang diambil dalam arah positif i sepanjang lingkaran

Osilasi elektromagnetik Arus kuasi-stasioner Proses dalam rangkaian osilasi Rangkaian osilasi rangkaian yang terdiri dari kumparan induktansi yang dihubungkan seri, kapasitor kapasitansi C dan resistor

1 5 Osilasi listrik 51 Rangkaian osilasi Osilasi dalam fisika disebut tidak hanya gerakan periodik benda tetapi juga setiap proses periodik atau hampir periodik di mana nilai satu atau

Sirkuit pasif Pendahuluan Masalah mempertimbangkan perhitungan frekuensi amplitudo, frekuensi fase dan karakteristik transien di sirkuit pasif. Untuk menghitung karakteristik bernama, Anda perlu tahu

KAJIAN GETARAN BEBAS DAN PAKSA PADA SIRKUIT Osilasi Getaran listrik bebas dalam rangkaian osilasi Pertimbangkan rangkaian osilasi yang terdiri dari kapasitor yang dihubungkan seri

Kuliah 3 Topik Sistem osilasi Rangkaian osilasi berurutan. Resonansi tegangan Rangkaian osilasi seri adalah rangkaian di mana kumparan dan kapasitor dihubungkan secara seri

Universitas Negeri Moskow M.V. Lomonosov Fakultas Fisika Departemen Fisika Umum

Bahan untuk belajar mandiri dalam disiplin "Teori rangkaian listrik" untuk siswa spesialisasi: -6 4 s "Elektronik industri" (bagian), -9 s "Pemodelan dan desain komputer

Metode amplitudo kompleks Fluktuasi tegangan harmonik pada terminal elemen R atau menyebabkan aliran arus harmonik dengan frekuensi yang sama. Diferensiasi, integrasi, dan penambahan fungsi

Lampiran 4 Osilasi listrik paksa Arus bolak-balik Informasi teoritis berikut mungkin berguna dalam persiapan untuk pekerjaan laboratorium 6, 7, 8 di laboratorium "Listrik dan Magnetisme"

54 Kuliah 5 Transformasi Fourier dan metode spektral untuk analisis rangkaian listrik Rencana Spektra fungsi aperiodik dan transformasi Fourier Beberapa sifat transformasi Fourier 3 Metode spektrum

Ujian Resonansi Tegangan (lanjutan) i iω K = K = = = => r + iω + r + i ω iω r + K = r + Penyebutnya minimal pada frekuensi 0, sehingga ω0 = 0 => 0 0 = frekuensi ini disebut resonansi

Bab 2. Metode untuk menghitung proses transien. 2.1. Metode perhitungan klasik. Informasi teoritis. Pada bab pertama, metode untuk menghitung sirkuit dalam keadaan tunak dipertimbangkan, yaitu:

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Fungsi skematis Peralatan fungsi rangkaian dapat diterapkan baik untuk analisis rangkaian pada arus searah dan harmonik dan untuk jenis pengaruh yang berubah-ubah Dalam keadaan tunak

4.9. Respons sementara dari rangkaian, hubungannya dengan respons impuls. Pertimbangkan fungsi K j K j j> S j j K j S 2 Misalkan K jω memiliki Transformasi Fourier h K j Jika ada IH k K j, maka

Kuliah 9 Linearisasi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Linier Orde Tinggi Persamaan Homogen Sifat Solusinya Sifat Solusi Persamaan Tidak Homogen Definisi 9 Linier

Pengembangan metodis Pemecahan masalah dengan TFKP Bilangan kompleks Operasi pada bilangan kompleks Bidang kompleks Sebuah bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam eksponensial aljabar dan trigonometri

Daftar Isi PENDAHULUAN Bagian METODE KLASIK UNTUK PERHITUNGAN TRANSIEN Bagian PERHITUNGAN TRANSIEN DENGAN INPUT RANDOM MENGGUNAKAN OVERLAY INTEGRALS 9 MASALAH KONTROL7

4 GETARAN DAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK Sirkuit osilasi adalah sirkuit listrik yang terdiri dari kapasitor dan kumparan di mana proses osilasi pengisian kapasitor dimungkinkan.

3.5. Sirkuit osilasi paralel kompleks I Sirkuit di mana setidaknya satu cabang paralel mengandung reaktivitas dari kedua tanda. I I I Tidak ada hubungan magnetis antara dan. Kondisi resonansi

KULIAH N38. Perilaku fungsi analitik di tak hingga. Poin khusus. Residu suatu fungsi ... lingkungan dari titik yang jauh tak terhingga ... ekspansi Laurent di lingkungan dari titik yang jauh tak terhingga .... 3. Perilaku

4 Kuliah 3 KARAKTERISTIK FREKUENSI RANGKAIAN LISTRIK Fungsi alih kompleks Karakteristik frekuensi logaritma 3 Kesimpulan Fungsi alih kompleks (karakteristik frekuensi kompleks)

Fluktuasi. Kuliah 3 Alternator Untuk menjelaskan prinsip pengoperasian alternator, pertama-tama marilah kita perhatikan apa yang terjadi jika sebuah lilitan datar dari sebuah kawat berputar dalam medan magnet yang seragam.

PERSAMAAN DIFERENSIAL Konsep umum

Perhitungan sumber osilasi harmonik (GCI) Sediakan rangkaian awal GCI relatif terhadap belitan primer transformator dengan sumber tegangan ekivalen Tentukan parameternya (EMF dan internal

Kerja 11 STUDI GETARAN PAKSA DAN FENOMENA RESONANSI PADA SIRKUIT ULANG Dalam rangkaian yang berisi induktor dan kapasitor, osilasi listrik dapat terjadi. Kerja itu belajar

Topik 4 .. Rangkaian AC Topik pertanyaan .. Rangkaian AC dengan induktansi .. Rangkaian AC dengan induktansi dan resistansi aktif. 3. Rangkaian AC dengan kapasitas. 4. Variabel rantai

4 Kuliah ANALISIS RANGKAIAN RESISTIF Rencana Tugas menganalisis rangkaian listrik Hukum Kirchhoff Contoh menganalisis rangkaian resistif 3 Transformasi Setara suatu rangkaian bagian 4 Kesimpulan Tugas menganalisis listrik

Varian 708 Sebuah sumber EMF sinusoidal e (ωt) sin (ωt ) beroperasi pada rangkaian listrik. Diagram rangkaian ditunjukkan pada Gambar .. Nilai efektif sumber EMF E, fase awal dan nilai parameter rangkaian

Data awal R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Hukum Kirgoff (tegangan konstan) 1. Mencari Node Node titik , di mana tiga (atau lebih) konduktor terhubung

KULIAH Osilasi. Osilasi paksa Gambar. Sumber osilasi M athcale mengumpankan rangkaian osilasi seri yang terdiri dari resistansi R, induktor L dan kapasitor dengan kapasitansi

Ujian Resonansi tegangan (lanjutan) Kita akan mengasumsikan bahwa tegangan pada satu rangkaian adalah tegangan pada seluruh rangkaian osilasi, dan tegangan pada keluaran rangkaian adalah tegangan pada kapasitor. Kemudian Amplitudo

Semester musim gugur tahun akademik Topik 3 ANALISIS HARMONIS SINYAL NON-PERIODIK Transformasi Fourier langsung dan terbalik Karakteristik spektral sinyal Spektrum frekuensi-amplitudo dan frekuensi-fase

Kuliah 6. Klasifikasi titik istirahat sistem linear dua persamaan dengan koefisien real konstan. Pertimbangkan sistem dua persamaan diferensial linier dengan real konstan

54 Kuliah 5 Transformasi Fourier dan metode spektral untuk analisis rangkaian listrik Rencana Spektra fungsi aperiodik dan transformasi Fourier 2 Beberapa sifat Transformasi Fourier 3 Metode spektrum

Topik: Hukum arus bolak-balik Arus listrik adalah gerakan teratur partikel bermuatan atau benda makroskopik. Variabel adalah arus yang berubah nilainya dari waktu ke waktu

Ujian Impedansi Impedansi Impedansi atau impedansi kompleks secara definisi sama dengan rasio tegangan kompleks terhadap arus kompleks: Z Perhatikan bahwa impedansi juga sama dengan rasio

Daftar isi Pendahuluan. Konsep dasar .... 4 1. Persamaan integral Volterra ... 5 Varian pekerjaan rumah .... 8 2. Pelarut dari persamaan integral Volterra. 10 Pilihan pekerjaan rumah ... 11

Bab II Integral Fungsi antiturunan dan sifat-sifatnya Fungsi F() disebut antiturunan dari fungsi kontinu f() pada interval a b, jika F() f(), a; b (;) Misalnya, untuk fungsi f () antiturunan

Metode klasik. Gambar 1- diagram awal rangkaian listrik Parameter rangkaian: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reaktansi induktansi:

Metode untuk menghitung rangkaian listrik linier kompleks Dasar: kemampuan untuk menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier - dikompilasi baik untuk rangkaian arus searah, atau setelah simbolisasi

INTEGRAL KHUSUS. Jumlah Integral dan Integral Tertentu Misalkan diberikan fungsi y = f () yang didefinisikan pada interval [, b], di mana< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Kuliah 7 FUNGSI OPERATOR SIRKUIT Fungsi input dan transfer operator Fungsi rangkaian kutub dan nol 3 Kesimpulan Fungsi input dan transfer operator Fungsi operator dari rantai adalah relasi

68 Kuliah 7 PROSES TRANSISI PADA RANGKAIAN ORDER PERTAMA Rencana 1 Proses transien pada rangkaian RC orde pertama 2 Proses transien pada rangkaian R orde pertama 3 Contoh perhitungan proses transien pada rangkaian

4 LINIER SIRKUIT LISTRIK ARUS AC SINUSOIDAL DAN METODE PERHITUNGANNYA 4.1 MESIN LISTRIK. PRINSIP PEMBANGKIT ARUS SINUSOIDAL 4.1.012. Arus sinusoidal disebut sesaat

Badan Federal Pendidikan Lembaga Pendidikan Tinggi Profesi Perguruan Tinggi Negeri "UNVERSITAS NEGERI KUBAN" Fakultas Fisika dan Teknologi Jurusan Optoelektronika

~ ~ FKP Turunan dari fungsi variabel kompleks FKP dari Cauchy - Riemann mengkondisikan konsep keteraturan FKP Gambar dan bentuk bilangan kompleks Bentuk FKP: dimana fungsi real dari dua variabel adalah nyata

Ini adalah nama jenis lain dari transformasi integral, yang, bersama dengan transformasi Fourier, banyak digunakan dalam teknik radio untuk memecahkan berbagai macam masalah yang berkaitan dengan studi sinyal.

Konsep frekuensi kompleks.

Metode spektral, seperti yang telah diketahui, didasarkan pada fakta bahwa sinyal yang diselidiki direpresentasikan sebagai jumlah dari sejumlah besar suku dasar yang tak terhingga, yang masing-masing secara berkala berubah dalam waktu sesuai dengan hukum.

Generalisasi alami dari prinsip ini terletak pada kenyataan bahwa alih-alih sinyal eksponensial kompleks dengan indikator imajiner murni, sinyal eksponensial dari bentuk dimasukkan ke dalam pertimbangan, di mana merupakan bilangan kompleks: disebut frekuensi kompleks.

Dua sinyal kompleks tersebut dapat digunakan untuk membuat sinyal nyata, misalnya, menurut aturan berikut:

di mana adalah nilai konjugasi kompleks.

Memang, dalam hal ini

Tergantung pada pilihan bagian nyata dan imajiner dari frekuensi kompleks, berbagai sinyal nyata dapat diperoleh. Jadi, jika, tetapi Anda mendapatkan osilasi harmonik biasa dari bentuk Jika, maka, tergantung pada tandanya, Anda mendapatkan osilasi eksponensial yang meningkat atau menurun dalam waktu. Sinyal tersebut memperoleh bentuk yang lebih kompleks ketika. Di sini, pengganda menjelaskan amplop yang berubah secara eksponensial dari waktu ke waktu. Beberapa sinyal khas ditunjukkan pada gambar. 2.10.

Konsep frekuensi kompleks ternyata sangat berguna, pertama-tama, karena memungkinkan, tanpa menggunakan fungsi umum, untuk memperoleh representasi spektral dari sinyal yang model matematisnya tidak dapat diintegrasikan.

Beras. 2.10. Sinyal nyata yang sesuai dengan nilai yang berbeda dari frekuensi kompleks

Pertimbangan lain juga penting: sinyal eksponensial dari bentuk (2.53) berfungsi sebagai sarana "alami" untuk mempelajari osilasi dalam berbagai sistem linier. Pertanyaan-pertanyaan ini akan dieksplorasi dalam Bab. delapan.

Perlu dicatat bahwa frekuensi fisik sebenarnya adalah bagian imajiner dari frekuensi kompleks. Tidak ada istilah khusus untuk bagian nyata dari frekuensi kompleks.

Hubungan dasar.

Membiarkan menjadi beberapa sinyal, nyata atau kompleks, didefinisikan pada t> 0 dan sama dengan nol pada nilai waktu negatif. Transformasi Laplace dari sinyal ini adalah fungsi dari variabel kompleks yang diberikan oleh integral:

Sinyal disebut asli, dan fungsinya disebut gambar Laplace (singkatnya, hanya gambar).

Kondisi yang memastikan keberadaan integral (2,54) adalah sebagai berikut: sinyal harus memiliki laju pertumbuhan eksponensial tidak lebih, yaitu harus memenuhi pertidaksamaan di mana adalah bilangan positif.

Jika pertidaksamaan ini dipenuhi, fungsi tersebut ada dalam pengertian bahwa integral (2.54) konvergen mutlak untuk semua bilangan kompleks yang bilangan a disebut absis konvergensi absolut.

Variabel dalam rumus utama (2,54) dapat diidentifikasi dengan frekuensi kompleks Memang, pada frekuensi kompleks imajiner murni, ketika rumus (2,54) berubah menjadi rumus (2,16), yang menentukan transformasi Fourier dari sinyal, yang nol pada Dengan demikian, transformasi Laplace dapat dipertimbangkan

Seperti yang dilakukan dalam teori transformasi Fourier, adalah mungkin, mengetahui gambar, untuk mengembalikan aslinya. Untuk ini, dalam rumus transformasi Fourier terbalik

kelanjutan analitis harus dilakukan, berpindah dari variabel imajiner ke argumen kompleks A. Pada bidang frekuensi kompleks, integrasi dilakukan sepanjang sumbu vertikal panjang tak terhingga yang terletak di sebelah kanan absis konvergensi absolut. Karena di adalah diferensial, rumus untuk invers transformasi Laplace mengambil bentuk

Dalam teori fungsi variabel kompleks, terbukti bahwa gambar Laplace memiliki sifat "baik" dari sudut pandang kehalusan: gambar seperti itu di semua titik bidang kompleks, dengan pengecualian himpunan yang dapat dihitung dari apa yang disebut titik tunggal, adalah fungsi analitik. Titik singular, sebagai suatu peraturan, adalah kutub, tunggal atau ganda. Oleh karena itu, untuk menghitung integral bentuk (2.55), seseorang dapat menggunakan metode fleksibel dari teori residu.

Dalam praktiknya, tabel transformasi Laplace banyak digunakan, yang mengumpulkan informasi tentang korespondensi antara aslinya. dan gambar. Kehadiran tabel membuat metode transformasi Laplace populer baik dalam studi teoritis maupun dalam perhitungan teknik perangkat dan sistem teknik radio. Di Lampiran ada tabel yang memungkinkan Anda untuk memecahkan berbagai masalah yang cukup luas.

Contoh menghitung transformasi Laplace.

Metode komputasi citra memiliki banyak kesamaan dengan apa yang telah dipelajari dalam kaitannya dengan transformasi Fourier. Mari kita pertimbangkan kasus yang paling umum.

Contoh 2.4, Gambar momentum eksponensial umum.

Membiarkan, di mana adalah bilangan kompleks tetap. Kehadiran -fungsi menentukan kesetaraan pada Menggunakan rumus (2.54), kami memiliki

Jika maka pembilangnya akan hilang ketika batas atas diganti. Akibatnya, kami mendapatkan korespondensi

Sebagai kasus khusus rumus (2.56), Anda dapat menemukan gambar pulsa video eksponensial nyata:

dan sinyal eksponensial kompleks:

Akhirnya, dengan memasukkan (2.57), kami menemukan gambar fungsi Heaviside:

Contoh 2.5. Gambar fungsi delta.

Sebelumnya kita telah mempertimbangkan transformasi Fourier integral dengan kernel K (t, = е Transformasi Fourier tidak nyaman karena kondisi integrabilitas absolut dari fungsi f (t) pada seluruh sumbu t harus dipenuhi. Transformasi Laplace memungkinkan kita untuk menghilangkan batasan ini Definisi 1. Fungsi orisinal akan berarti fungsi bernilai kompleks apa pun f (t) dari argumen nyata t, yang memenuhi kondisi berikut: interval sumbu yang berhingga * dari titik-titik tersebut hanya dapat berupa bilangan berhingga ; 2.fungsi f (t) sama dengan nol untuk nilai negatif t, f (t) = 0 untuk 3. saat t meningkat, modulus f (t) meningkat tidak lebih cepat dari fungsi eksponensial, yaitu, ada ada bilangan M> 0 dan s sehingga untuk semua t Jelas bahwa jika pertidaksamaan (1) berlaku untuk beberapa s = aj, maka pertidaksamaan juga berlaku untuk APAPUN 82 > 8]. = infs untuk pertidaksamaan (1) , disebut laju pertumbuhan fungsi f (t). Komentar. Dalam kasus umum, pertidaksamaan tidak berlaku, tetapi perkiraannya valid di mana e> 0 adalah sembarang. Jadi, fungsi tersebut memiliki eksponen pertumbuhan 0 = Untuk itu, pertidaksamaan \ t \ ^ M V * ^ 0 tidak berlaku, tetapi pertidaksamaan | f | ^ Mei. Kondisi (1) jauh lebih membatasi daripada kondisi (*). Contoh 1. fungsi tidak memenuhi kondisi ("), tetapi kondisi (1) terpenuhi untuk setiap s> I dan A /> I; laju pertumbuhan 5o = Jadi ini adalah fungsi aslinya. Di sisi lain, fungsi tersebut bukan fungsi asli: ia memiliki orde pertumbuhan tak terhingga, “o = + oo. Fungsi asal yang paling sederhana disebut fungsi satuan.Jika beberapa fungsi memenuhi kondisi 1 dan 3 dari Definisi 1, tetapi tidak memenuhi kondisi 2, maka hasil kali sudah merupakan fungsi asli. Untuk menyederhanakan notasi, kita akan, sebagai aturan, menghilangkan faktor rj (t), setelah menyetujui bahwa semua fungsi yang akan kita pertimbangkan sama dengan nol untuk t negatif, jadi jika kita berbicara tentang beberapa fungsi f (t), misalnya o sin ty cos t, el, dst, maka fungsi berikut selalu tersirat (Gbr. 2): n = n (0 Gbr. 1 Definisi 2. Misalkan f (t) adalah fungsi asal. Gambar dari fungsi f (t ) oleh Laplace adalah fungsi F (p) dari variabel kompleks yang didefinisikan oleh rumus LAPLACE TRANSFORM Definisi dasar Properti Konvolusi fungsi Teorema perkalian Menemukan yang asli dari gambar Menggunakan teorema inversi untuk kalkulus operasional Rumus Duhamel Integrasi sistem persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan Solusi persamaan integral di mana integral diambil alih semisumbu positif t. Fungsi F(p) disebut juga transformasi Laplace dari fungsi / (/); inti dari transformasi K (t) p) = e ~ pt. Fakta bahwa fungsi tersebut memiliki bayangannya F (p), kita akan menulis Contoh 2. Carilah bayangan dari fungsi satuan r) (t). Fungsi tersebut merupakan fungsi asal dengan laju pertumbuhan 0 - 0. Berdasarkan rumus (2), bayangan fungsi rj (t) akan menjadi fungsi Jika maka untuk, integral di ruas kanan persamaan terakhir akan konvergen, dan kita akan mendapatkan sehingga gambar fungsi rj (t) akan menjadi fungsi £. Seperti yang kita sepakati, kita akan menulis bahwa rj (t) = 1, dan kemudian hasil yang diperoleh akan ditulis sebagai berikut: Teorema 1. Untuk setiap fungsi asli f (t) dengan eksponen pertumbuhan z0, bayangan F (p) didefinisikan pada setengah bidang R ep = s > s0 dan merupakan fungsi analitik pada setengah bidang ini (Gbr. 3). Biarkan Untuk membuktikan keberadaan gambar F (p) pada setengah bidang yang ditunjukkan, cukup untuk menetapkan bahwa integral tak wajar (2) konvergen mutlak untuk a > Dengan menggunakan (3), kita peroleh yang membuktikan konvergensi absolut dari integral (2). Pada saat yang sama, kami memperoleh estimasi untuk transformasi Laplace F (p) di setengah bidang konvergensi Ekspresi diferensial (2) secara formal di bawah tanda integral terhadap p, kami menemukan bahwa keberadaan integral (5) adalah didirikan dengan cara yang sama seperti keberadaan integral (2) didirikan. Menerapkan integrasi dengan bagian untuk F "(p), kami memperoleh perkiraan yang menyiratkan konvergensi mutlak integral (5). (Suku non-integral, 0, - memiliki batas nol untuk t + oo). integral ( 5) konvergen beraturan terhadap p, karena diutamakan oleh integral konvergen independen dari p. Akibatnya, diferensiasi terhadap p adalah sah dan persamaan (5) adalah valid. Karena turunan F "(p) ada, Laplace transformasi F (p) di mana-mana di setengah bidang Rep = 5> 5о adalah fungsi analitik. Ketimpangan (4) menyiratkan Wajar. Jika p tipis cenderung tak hingga sehingga Re p = s meningkat tanpa batas, maka Contoh 3. Mari kita juga mencari gambar fungsi bilangan kompleks apa pun. Eksponen fungsi f (() sama dengan a. > a, tetapi juga di semua titik p, kecuali titik p = a, di mana gambar ini memiliki kutub sederhana. Di masa depan, kita akan bertemu lebih dari satu kali situasi yang sama ketika gambar F (p) adalah fungsi analitik di seluruh bidang variabel kompleks p, untuk mengecualikan titik singular yang terisolasi. Tidak ada kontradiksi dengan Teorema 1. Yang terakhir hanya menegaskan bahwa dalam setengah bidang Rep> «o fungsi F (p) tidak memiliki titik tunggal: mereka semua ternyata terletak di sebelah kiri garis Rep = begitu, atau pada garis ini sendiri. Perhatikan tidak. Dalam kalkulus operasional, gambar Heaviside dari fungsi f (f) kadang-kadang digunakan, yang didefinisikan oleh kesetaraan dan berbeda dari gambar Laplace dengan faktor p. 2. Sifat-sifat Transformasi Laplace Berikut ini kita akan menunjukkan fungsi asli, dan melalui - gambarnya menurut Laplace. £ biw dee adalah fungsi kontinu) memiliki gambar yang sama, maka keduanya identik sama. Teopewa 3 (n "yeyiost * mengubah Laplace). Jika fungsinya asli, maka untuk setiap konstanta kompleks udara Validitas pernyataan berikut dari properti linearitas integral yang menentukan gambar :, adalah laju pertumbuhan fungsi, masing-masing). Berdasarkan properti ini, kami memperoleh Demikian pula, kami menemukan bahwa dan, lebih lanjut, Teorema 4 (persamaan). Jika f (t) adalah fungsi asli dan F (p) adalah gambar Laplace-nya, maka untuk sembarang konstanta a> 0 Puting pada = m, kita menggunakan teorema ini, dari rumus (5) dan (6) kita memperoleh Teorema 5 (pada diferensiasi aslinya). Membiarkan menjadi fungsi asli dengan gambar F (p) dan membiarkan - juga menjadi fungsi asli, dan di mana adalah laju pertumbuhan fungsi Kemudian dan secara umum Di sini, yang kami maksud adalah nilai pembatas yang tepat Biarkan. Mari kita cari gambar Kita memiliki Integrasi dengan bagian, kita memperoleh Suku tak integral di ruas kanan (10) hilang di k Untuk Rc p = s> h, kita memiliki substitusi t = Odet - / ( 0). Suku kedua di sebelah kanan (10) sama dengan pF (p). Dengan demikian, relasi (10) mengambil bentuk dan rumus (8) terbukti. Secara khusus, jika Untuk mencari gambar f (n \ t) kita tulis dari mana, dengan mengintegrasikan n kali bagian, kita mendapatkan Contoh 4. Dengan menggunakan teorema pada diferensiasi aslinya, carilah gambar fungsi f (t) = dosa2 t. Biarkan Oleh karena itu, Teorema 5 menetapkan properti yang luar biasa dari transformasi integral Laplace: itu (seperti transformasi Fourier) mengubah operasi diferensiasi menjadi operasi aljabar perkalian dengan p. rumus inklusi. Jika mereka adalah fungsi asli, maka Memang, Berdasarkan akibat wajar Teorema 1, setiap gambar cenderung nol sebagai. Oleh karena itu, dari mana rumus inklusi mengikuti (Teorema 6 (tentang diferensiasi bayangan) Diferensiasi gambar direduksi menjadi perkalian dengan aslinya, Karena fungsi F (p) pada setengah bidang jadi bersifat analitik, dapat dibedakan sehubungan dengan p. Kami memiliki yang terakhir hanya berarti Contoh 5. Menggunakan Teorema 6, temukan gambar fungsi 4 Seperti yang Anda ketahui, Oleh karena itu (Sekali lagi menerapkan Teorema 6, kami menemukan, secara umum, Teorema 7 (integrasi yang asli). direduksi menjadi membagi gambar dengan itu jika ada fungsi asli, maka itu akan menjadi fungsi asli, apalagi Membiarkan Berdasarkan sehingga Di sisi lain, di mana F = Yang terakhir setara dengan hubungan terbukti (13 ). Contoh 6. Tentukan bayangan fungsi M Dalam hal ini, sehingga Teorema 8 (integrasi gambar) .Jika integral juga konvergen, maka berfungsi sebagai gambar fungsi ^: TRANSFORM LAPLACE Definisi dasar Properti Konvolusi dari fungsi Teorema perkalian Menemukan yang asli berdasarkan gambar Menggunakan teorema kebalikan dari kalkulus operasional Rumus Duhamel Integrasi sistem persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan Solusi persamaan integral Memang, dengan asumsi bahwa jalur integral terletak pada setengah bidang sehingga, kita dapat mengubah urutan integrasi Persamaan terakhir berarti bahwa itu adalah gambar dari suatu fungsi Contoh 7. Cari gambar dari suatu fungsi M Seperti diketahui,. Oleh karena itu, karena kami menempatkan, kami memperoleh £ = 0, untuk. Oleh karena itu, relasi (16) mengambil bentuk Contoh. Temukan gambar fungsi f (t), yang diberikan secara grafis (Gbr. 5). Mari kita tulis ekspresi untuk fungsi f (t) sebagai berikut: Ekspresi ini dapat diperoleh sebagai berikut. Pertimbangkan fungsi dan kurangi fungsi darinya.Perbedaannya akan sama dengan satu untuk. Kami menambahkan fungsi ke perbedaan yang dihasilkan.Sebagai hasilnya, kami memperoleh fungsi f (t) (Gbr. 6c), sehingga Dari sini, dengan menggunakan teorema penundaan, kami menemukan Teorema 10 (perpindahan). kemudian untuk bilangan kompleks p0 Memang, teorema memungkinkan, dari gambar fungsi yang diketahui, untuk menemukan gambar dari fungsi yang sama dikalikan dengan fungsi eksponensial, misalnya, 2.1. Konvolusi fungsi. Teorema perkalian Biarkan fungsi f (t) u didefinisikan dan kontinu untuk semua t. Konvolusi dari fungsi-fungsi ini adalah fungsi baru dari t yang didefinisikan oleh persamaan (jika integral ini ada). Untuk fungsi asli, operasi selalu dapat dilipat, dan (17) 4 Memang, produk dari fungsi asli sebagai fungsi dari m adalah fungsi hingga, yaitu. menghilang di luar beberapa interval hingga (dalam hal ini, di luar interval. Untuk fungsi kontinu hingga, operasi konvolusi terpenuhi, dan kami memperoleh rumus Mudah untuk memverifikasi bahwa operasi konvolusi adalah komutatif, Teorema 11 (perkalian). Jika, maka konvolusi t) memiliki gambar Sangat mudah untuk memeriksa bahwa konvolusi (fungsi asli adalah fungsi asli dengan indeks pertumbuhan "di mana, adalah indeks pertumbuhan fungsi, masing-masing. operasi seperti itu legal) dan menerapkan teorema lagging, kita memperoleh Jadi, dari (18) dan (19) kita menemukan bahwa perkalian gambar sesuai dengan lipatan asli, Prter 9. Cari gambar fungsi A fungsi V (0 adalah konvolusi dari fungsi Berdasarkan teorema perkalian Soal Misalkan f (t) adalah fungsi periodik dengan periode T. Tunjukkan bahwa gambar Laplace-nya F (p) diberikan oleh rumus 3. Menemukan yang asli dari gambar Masalah diajukan sebagai berikut : diberikan fungsi F (p), kita perlu mencari fungsi / (<)>yang bayangannya adalah F (p). Mari kita merumuskan kondisi yang cukup untuk fungsi F (p) dari variabel kompleks p untuk berfungsi sebagai gambar. Teorema 12. Jika suatu fungsi F (p) 1) analitik pada setengah bidang maka cenderung nol untuk setiap setengah bidang R s0 seragam terhadap arg p; 2) integral konvergen mutlak, maka F (p) adalah gambar dari beberapa fungsi asli Soal. Bisakah fungsi F (p) = berfungsi sebagai gambar dari beberapa fungsi asli? Berikut adalah beberapa cara untuk menemukan yang asli dari gambar. 3.1. Menemukan yang asli menggunakan tabel gambar Pertama-tama, ada baiknya membawa fungsi F (p) ke bentuk "tabular" yang lebih sederhana. Misalnya, dalam kasus ketika F (p) adalah fungsi rasional pecahan dari argumen p, itu didekomposisi menjadi pecahan elementer dan sifat yang sesuai dari transformasi Laplace digunakan. Contoh 1. Tentukan asal untuk Mari kita tulis fungsi F (p) dalam bentuk Dengan menggunakan teorema perpindahan dan sifat linearitas dari Transformasi Laplace, kita memperoleh Contoh 2. Temukan yang asli untuk fungsi 4 Mari kita tulis F (p ) sebagai Oleh karena itu 3.2. Penggunaan teorema inversi dan konsekuensinya Teorema 13 (inversi). Jika fungsi fit) adalah fungsi asli dengan eksponen pertumbuhan s0 dan F (p) adalah bayangannya, maka pada sembarang titik kontinuitas fungsi f (t) hubungan berlaku di mana integral diambil sepanjang garis lurus dan dipahami dalam arti nilai pokok, yaitu sebagai Rumus (1) disebut rumus inversi transformasi Laplace, atau rumus Mellin. Memang, anggaplah, misalnya, f (t) mulus sedikit demi sedikit pada setiap segmen hingga (\ gaya tampilan F (s) = \ varphi), jadi (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analitik tentang masing-masing z k (\ gaya tampilan z_ (k)) dan sama dengan nol untuk z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ gaya tampilan z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), dan F k (s) = L (fk (x)) (σ> ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ titik dua k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), maka transformasi terbalik ada dan transformasi maju yang sesuai memiliki absis konvergensi absolut.

Catatan: ini adalah kondisi yang cukup untuk keberadaan.

• teorema konvolusi

Artikel utama: teorema konvolusi

• Membedakan dan mengintegrasikan yang asli

Gambar Laplace dari turunan pertama dari yang asli sehubungan dengan argumen adalah produk dari gambar dengan argumen yang terakhir dikurangi yang asli di nol di sebelah kanan:

L (f (x)) = s F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Teorema nilai awal dan akhir (teorema limit):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ gaya tampilan f (\ infty) = \ lim _ (s \ hingga 0) sF (s)) jika semua kutub fungsi s F (s) (\ gaya tampilan sF (s)) berada di setengah bidang kiri.

Teorema nilai hingga sangat berguna karena menggambarkan perilaku asli di tak hingga menggunakan hubungan sederhana. Ini, misalnya, digunakan untuk menganalisis stabilitas lintasan sistem dinamis.

• Properti lainnya

Linearitas:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Perkalian dengan angka:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ kiri ((\ frac (s) (a)) \ kanan).)

Transformasi Laplace langsung dan terbalik dari beberapa fungsi

Di bawah ini adalah tabel transformasi Laplace untuk beberapa fungsi.

№	Fungsi	Domain waktu x (t) = L - 1 (X (s)) (\ gaya tampilan x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Domain frekuensi X (s) = L (x (t)) (\ gaya tampilan X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Daerah konvergensi untuk sistem kausal
1	lag sempurna	(t - ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - s (\ gaya tampilan e ^ (- \ tau s) \)
1a	impuls tunggal	(t) (\ gaya tampilan \ delta (t) \)	1 (\ gaya tampilan 1 \)	s (\ gaya tampilan \ untuk semua s \)
2	ketinggalan n (\ gaya tampilan n)	(t - ) n n! e - (t - ) H (t - ) (\ gaya tampilan (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - s (s + ) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1)))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2a	tenang n (\ gaya tampilan n)-urutan ke-	t n n! H (t) (\ gaya tampilan (\ frac (t ^ (n))) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1)))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2a.1	tenang q (\ gaya tampilan q)-urutan ke-	t q (q + 1) ⋅ H (t) (\ gaya tampilan (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2a.2	fungsi satuan	H (t) (\ gaya tampilan H (t) \)	1 d (\ gaya tampilan (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2b	fungsi satuan lag	H (t - ) (\ gaya tampilan H (t- \ tau) \)	e - s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2c	Langkah kecepatan	t H (t) (\ gaya tampilan t \ cdot H (t) \)	1 d 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
2d	n (\ gaya tampilan n)-urutan dengan pergeseran frekuensi	t n n! e - t ⋅ H (t) (\ gaya tampilan (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + ) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1)))))	s> - (\ gaya tampilan s> - \ alpha)
2d.1	peluruhan eksponensial	e - t ⋅ H (t) (\ gaya tampilan e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha))))	s> - (\ gaya tampilan s> - \ alpha \)
3	pendekatan eksponensial	(1 - e - t) H (t) (\ gaya tampilan (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	s (s + ) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha)))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0 \)
4	sinus	sin (ω t) H (t) (\ gaya tampilan \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s 2 + 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0 \)
5	kosinus	cos (ω t) H (t) (\ gaya tampilan \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0 \)
6	sinus hiperbolik	s h (α t) H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s 2 - 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | | (\ gaya tampilan s> | \ alfa | \)
7	kosinus hiperbolik	c h (α t) H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | | (\ gaya tampilan s> | \ alfa | \)
8	peluruhan eksponensial sinus	e - t sin (ω t) H (t) (\ gaya tampilan e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	(s + ) 2 + 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - (\ gaya tampilan s> - \ alpha \)
9	peluruhan eksponensial kosinus	e - t cos (ω t) H (t) (\ gaya tampilan e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + (s + ) 2 + 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - (\ gaya tampilan s> - \ alpha \)
10	akar n (\ gaya tampilan n)-urutan ke-	t n ⋅ H (t) (\ gaya tampilan (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ kiri (1 + (\ frac (1) (n) ) \ Baik))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
11	logaritma natural	ln (t t 0) H (t) (\ gaya tampilan \ ln \ kiri ((\ frac (t) (t_ (0))) \ kanan) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln (t 0 s) + ] (\ gaya tampilan - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
12	Fungsi Bessel jenis pertama memesan n (\ gaya tampilan n)	J n (ω t) H (t) (\ gaya tampilan J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ kiri (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2 ) )) \ kanan) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0 \) (n> - 1) (\ gaya tampilan (n> -1) \)
13	jenis pertama memesan n (\ gaya tampilan n)	I n (ω t) H (t) (\ gaya tampilan I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	n (s + s 2 - 2) - ns 2 - 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ kiri (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2 ) )) \ kanan) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2))))))	s> | | (\ gaya tampilan s> | \ omega | \)
14	Fungsi Bessel jenis kedua urutan nol	Y 0 (α t) H (t) (\ gaya tampilan Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / ) s 2 + 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2)))))))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0 \)
15	fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua, urutan nol	K 0 (α t) H (t) (\ gaya tampilan K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	fungsi kesalahan	e r f (t) H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ gaya tampilan s> 0)
Catatan untuk tabel: H (t) (\ gaya tampilan H (t) \); (\ gaya tampilan \ alfa \), (\ gaya tampilan \ beta \), (\ gaya tampilan \ tau \) dan (\ gaya tampilan \ omega \) - Hubungan dengan transformasi lain Koneksi mendasar Transformasi Mellin Transformasi Mellin dan transformasi Mellin terbalik terkait dengan transformasi Laplace dua sisi dengan perubahan variabel yang sederhana. Jika dalam transformasi Mellin G (s) = M (g (θ)) = 0 sg (θ) d θ (\ gaya tampilan G (s) = (\ mathcal (M)) \ kiri \ (g (\ theta) \ kanan \) = \ int \ batas _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) taruh = e - x (\ displaystyle \ theta = e ^ (- x)), maka kita mendapatkan transformasi Laplace dua sisi. transformasi-Z Z (\ gaya tampilan Z)-transform adalah transformasi Laplace dari fungsi kisi, yang dihasilkan dengan mengubah variabel: z e s T, (\ gaya tampilan z \ equiv e ^ (sT),) Transformasi bor Bentuk integral dari transformasi Borel identik dengan transformasi Laplace, ada juga transformasi Borel yang digeneralisasi, yang dengannya penggunaan transformasi Laplace diperluas ke kelas fungsi yang lebih luas. Bibliografi Van der Pol B., Bremer H. Kalkulus operasional berdasarkan transformasi Laplace dua sisi. - M.: Penerbitan sastra asing, 1952. - 507 hal. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Transformasi integral dan kalkulus operasional. - M.: Edisi utama literatur fisik dan matematika dari penerbit "Nauka", 1974. - 544 hal. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Buku Pegangan Kalkulus Operasional: Dasar-dasar Teori dan Tabel Rumus. - M.: Penerbitan negara bagian literatur teknis dan teoretis, 1951. - 256 hal. Carslow H., Jaeger D. Metode Operasional dalam Matematika Terapan. - M.: Rumah Penerbitan Sastra Asing, 1948. - 294 hlm. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Deret Fourier dan integral. Teori medan. Fungsi analitis dan khusus. Transformasi Laplace. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 hal. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Kalkulus operasional. Stabilitas gerakan. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 hal. Mikusinsky Y. Kalkulus operator. - M.: Penerbitan sastra asing, 1956. - 367 hal. Romanovsky P.I. seri Fourier. Teori medan. Fungsi analitis dan khusus. Transformasi Laplace. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 hal.