Pemodelan. Skema pemodelan matematika

SKEMA MATEMATIKA UNTUK SISTEM PEMODELAN

PENDEKATAN DASAR PEMBANGUNAN MODEL SISTEM MATEMATIKA

Informasi awal dalam pembangunan model matematika dari proses fungsi sistem adalah data tentang tujuan dan kondisi operasi dari sistem yang diselidiki (dirancang). S... Informasi ini mendefinisikan tujuan utama dari pemodelan sistem. S dan memungkinkan Anda untuk merumuskan persyaratan untuk model matematika yang dikembangkan M. Selain itu, tingkat abstraksi tergantung pada kisaran pertanyaan-pertanyaan yang peneliti sistem ingin mendapatkan jawaban menggunakan model, dan sampai batas tertentu menentukan pilihan skema matematika.

Skema matematika. Pengenalan konsep skema matematika memungkinkan kita untuk mempertimbangkan matematika bukan sebagai metode perhitungan, tetapi sebagai metode berpikir, sebagai sarana merumuskan konsep, yang paling penting dalam transisi dari deskripsi verbal suatu sistem ke representasi formal dari proses fungsinya dalam bentuk beberapa model matematika (analitis atau imitasi). Saat menggunakan skema matematika, pertama-tama, peneliti sistem S harus tertarik pada pertanyaan tentang kecukupan pemetaan dalam bentuk skema spesifik dari proses nyata dalam sistem yang diteliti, dan bukan kemungkinan memperoleh jawaban (hasil solusi) untuk pertanyaan penelitian tertentu. Sebagai contoh, representasi dari proses berfungsinya sistem komputasi informasi kolektif dalam bentuk jaringan skema antrian memungkinkan untuk menggambarkan dengan baik proses yang terjadi dalam sistem, tetapi dengan hukum kompleks arus masuk dan arus layanan, itu tidak memungkinkan untuk memperoleh hasil dalam bentuk eksplisit.

Skema matematika dapat didefinisikan sebagai penghubung dalam transisi dari yang bermakna ke deskripsi formal tentang proses berfungsinya sistem dengan mempertimbangkan dampak lingkungan eksternal, yaitu, ada rantai "model deskriptif - skema matematis - matematis (analitis dan / atau imitasi) model".

Setiap sistem spesifik S dicirikan oleh seperangkat properti, yang dipahami sebagai nilai yang mencerminkan perilaku objek yang dimodelkan (sistem nyata) dan memperhitungkan kondisi fungsinya dalam interaksi dengan lingkungan eksternal (sistem) E. Saat membangun model matematis dari sistem, perlu untuk menyelesaikan masalah kelengkapannya. Kelengkapan model terutama diatur oleh pilihan batas "sistem S - lingkungan" E» . Juga, masalah penyederhanaan model harus diselesaikan, yang membantu menyoroti properti utama sistem, membuang properti sekunder. Selain itu, penetapan sifat-sifat sistem ke utama atau sekunder pada dasarnya tergantung pada tujuan pemodelan sistem (misalnya, analisis karakteristik probabilistik-temporal dari proses berfungsinya sistem, sintesis struktur sistem, dll).

Model formal objek. Model dari objek pemodelan, yaitu sistem S, dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan besaran yang menggambarkan proses berfungsinya sistem nyata dan umumnya membentuk himpunan bagian berikut: tindakan masukan per sistem

;

agregat pengaruh lingkungan

;

agregat internal, (sendiri) parameter sistem

;

agregat karakteristik keluaran sistem

Selain itu, dalam himpunan bagian yang terdaftar, variabel terkelola dan tidak terkelola dapat dibedakan. Secara umum , , , adalah elemen dari himpunan bagian yang terpisah dan mengandung komponen deterministik dan stokastik.

Saat memodelkan sistem S, tindakan input, efek dari lingkungan eksternal E dan parameter internal sistem adalah variabel bebas (eksogen), yang dalam bentuk vektor memiliki bentuk,,, dan karakteristik keluaran sistem adalah variabel dependen (endogen) dan dalam bentuk vektor memiliki bentuk).

Proses berfungsinya sistem S dijelaskan dalam waktu oleh operator F S , yang pada umumnya mengubah variabel eksogen menjadi variabel endogen sesuai dengan relasi bentuk

. (1)

Himpunan ketergantungan karakteristik keluaran sistem tepat waktu kamu J (T) untuk semua jenis
ditelepon lintasan keluaran
. Ketergantungan (1) disebut hukum fungsi sistemS dan dilambangkan F S . Dalam kasus umum, hukum fungsi sistem F S dapat ditentukan dalam bentuk fungsi, fungsi, kondisi logis, dalam bentuk algoritmik dan tabel, atau dalam bentuk aturan pencocokan verbal.

Sangat penting untuk deskripsi dan studi sistem S adalah konsepnya algoritma berfungsiA S , yang dipahami sebagai metode untuk memperoleh karakteristik keluaran dengan mempertimbangkan pengaruh masukan
, pengaruh lingkungan
dan parameter sendiri dari sistem
. Jelas bahwa hukum fungsi yang sama F S sistem S dapat diimplementasikan dengan berbagai cara, yaitu menggunakan banyak algoritma yang berbeda untuk berfungsi A S .

Hubungan (1) adalah deskripsi matematis dari perilaku objek (sistem) pemodelan dalam waktu T, yaitu, mereka mencerminkan sifat dinamisnya. Oleh karena itu, model matematika jenis ini biasanya disebut model dinamis(sistem).

Untuk model statis model matematika (1) adalah pemetaan antara dua himpunan bagian dari sifat-sifat objek yang dimodelkan kamu dan { x, V, H), yang dalam bentuk vektor dapat ditulis sebagai

. (2)

Hubungan (1) dan (2) dapat ditentukan dengan berbagai cara: secara analitis (menggunakan rumus), grafik, tabel, dll. Hubungan seperti itu dalam beberapa kasus dapat diperoleh melalui sifat-sifat sistem S pada waktu tertentu, yang disebut negara bagian. Keadaan sistem S dicirikan oleh vektor

dan
,

di mana
,
, …,
saat ini
;
,
, …,
saat ini
dll.,
.

Jika kita menganggap proses berfungsinya sistem S sebagai perubahan keadaan yang berurutan
, maka mereka dapat diartikan sebagai koordinat titik di Ke-ruang fase dimensi Selain itu, setiap implementasi proses akan sesuai dengan lintasan fase tertentu. Kumpulan semua kemungkinan nilai keadaan ditelepon ruang negara objek pemodelan Z, lebih-lebih lagi
.

Keadaan sistem S pada saat itu T 0 < T*T sepenuhnya ditentukan oleh kondisi awal
[di mana
,
, …,
], pengaruh masukan
, parameter sistem sendiri
dan pengaruh lingkungan
, yang terjadi dalam jangka waktu tertentu T*- T 0 , dengan menggunakan dua persamaan vektor

; (3)

. (4)

Persamaan pertama untuk keadaan awal dan variabel eksogen
mendefinisikan fungsi vektor
, dan yang kedua sesuai dengan nilai status yang diperoleh
- variabel endogen pada keluaran sistem
. Dengan demikian, rantai persamaan objek "input-state-output" memungkinkan Anda untuk menentukan karakteristik sistem

. (5)

Dalam kasus umum, waktu dalam model sistem S dapat dipertimbangkan pada interval pemodelan (0, T) kontinu dan diskrit, yaitu, terkuantisasi menjadi segmen-segmen panjang
satuan waktu masing-masing ketika
, di mana
- jumlah interval sampling.

Jadi, di bawah model matematika dari objek(sistem nyata) memahami subset variabel yang terbatas (
} bersama-sama dengan hubungan matematis antara mereka dan karakteristik
.

Jika deskripsi matematis objek pemodelan tidak mengandung unsur keacakan atau tidak diperhitungkan, yaitu, jika dapat diasumsikan bahwa dalam hal ini efek stokastik dari lingkungan eksternal
dan parameter internal stokastik
tidak ada, maka model tersebut disebut deterministik dalam arti bahwa karakteristik ditentukan secara unik oleh input deterministik

. (6)

Jelas, model deterministik adalah kasus khusus dari model stokastik.

Skema tipikal. Hubungan matematis yang diberikan mewakili skema matematika umum dan memungkinkan penggambaran kelas sistem yang luas. Namun, dalam praktik pemodelan objek di bidang rekayasa sistem dan analisis sistem pada tahap awal penelitian sistem, lebih rasional untuk digunakan. skema matematika khas: persamaan diferensial, automata berhingga dan probabilistik, sistem antrian, jaring Petri, dll.

Tidak memiliki tingkat keumuman seperti model yang dipertimbangkan, skema matematika tipikal memiliki keunggulan kesederhanaan dan kejelasan, tetapi dengan penyempitan kemungkinan aplikasi yang signifikan. Diferensial, integral, integro-diferensial dan persamaan lainnya digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi dalam waktu kontinu sebagai model deterministik, ketika faktor acak tidak diperhitungkan dalam penelitian, dan automata hingga dan skema perbedaan hingga digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi di waktu diskrit .... Automata probabilistik digunakan sebagai model stokastik (dengan mempertimbangkan faktor acak) untuk mewakili sistem dengan waktu diskrit, dan sistem antrian digunakan untuk mewakili sistem dengan waktu kontinu, dll.

Skema matematika khas yang terdaftar, tentu saja, tidak dapat berpura-pura untuk dapat menggambarkan berdasarkan mereka semua proses yang terjadi dalam sistem manajemen informasi yang besar. Untuk sistem seperti itu, dalam beberapa kasus, penggunaan model agregat lebih menjanjikan.

Model agregat (sistem) memungkinkan untuk menggambarkan berbagai objek penelitian dengan refleksi sifat sistemik dari objek tersebut. Dengan deskripsi agregat bahwa objek kompleks (sistem) dibagi menjadi sejumlah bagian (subsistem) yang terbatas, sambil mempertahankan koneksi yang memastikan interaksi bagian-bagian.

Jadi, ketika membangun model matematika dari proses fungsi sistem, pendekatan utama berikut dapat dibedakan: deterministik kontinu (misalnya, persamaan diferensial); diskrit-deterministik (otomatis terbatas); stokastik diskrit (probabilistik automata); continuous-stochastic (sistem antrian); umum atau universal (sistem agregat).

MODEL PENENTUAN LANJUT (SIRKUIT D)

Mari kita perhatikan ciri-ciri pendekatan deterministik kontinu pada contoh penggunaan persamaan diferensial sebagai model matematika. Persamaan Diferensial persamaan seperti itu disebut di mana fungsi dari satu atau beberapa variabel tidak diketahui, dan persamaan tersebut tidak hanya mencakup fungsi, tetapi juga turunannya dari berbagai ordo. Jika yang tidak diketahui merupakan fungsi dari beberapa variabel, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial parsial; jika tidak, jika mempertimbangkan fungsi hanya satu variabel bebas, persamaan tersebut disebut persamaan diferensial biasa.

Hubungan dasar. Biasanya, dalam model matematika seperti itu, waktu digunakan sebagai variabel bebas yang bergantung pada fungsi yang dicari yang tidak diketahui T. Maka hubungan matematis untuk sistem deterministik (6) dalam bentuk umum adalah

, (7)

di mana
,
dan
- NS-dimensi vektor;
- fungsi vektor, yang didefinisikan pada beberapa ( NS+1) -dimensi
ditetapkan dan kontinu.

Karena skema matematika jenis ini mencerminkan dinamika sistem yang dipelajari, yaitu perilakunya dalam waktu, mereka disebut D-skema(eng. dinamis).

Dalam kasus yang paling sederhana, persamaan diferensial biasa memiliki bentuk

. (8)

Aplikasi paling penting untuk rekayasa sistem D-skema sebagai alat matematika dalam teori kendali otomatis. Untuk mengilustrasikan fitur konstruksi dan penerapan sirkuit-D, mari kita pertimbangkan contoh paling sederhana untuk memformalkan proses berfungsinya dua sistem dasar dengan sifat fisik yang berbeda: mekanik S M (osilasi bandul, Gbr. 1, a) dan S K listrik (rangkaian osilasi, Gbr. 1, b).

Beras. 1. Sistem dasar

Proses osilasi kecil pendulum dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa

di mana
- massa dan panjang suspensi pendulum; G - percepatan jatuh bebas;
- sudut defleksi bandul pada saat waktu T.

Dari persamaan osilasi bebas pendulum ini, perkiraan karakteristik bunga dapat ditemukan. Misal, periode ayunan bandul

Demikian pula, proses dalam rangkaian osilasi listrik dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa

di mana L Ke , DENGAN Ke - induktansi dan kapasitansi kapasitor; Q(T) - muatan kapasitor pada waktu T.

Dari persamaan ini, Anda bisa mendapatkan berbagai perkiraan karakteristik proses dalam rangkaian osilasi. Misalnya, periode osilasi listrik

Jelas, memperkenalkan notasi
,
, ,
, kita memperoleh persamaan diferensial orde dua biasa yang menggambarkan perilaku sistem loop tertutup ini:

di mana
- parameter sistem; z(T) - keadaan sistem pada waktu T.

Dengan demikian, perilaku kedua objek ini dapat diselidiki berdasarkan model matematika umum (9). Selain itu, perlu dicatat bahwa perilaku salah satu sistem dapat dianalisis menggunakan yang lain. Misalnya, perilaku pendulum (sistem S M) dapat dipelajari menggunakan rangkaian osilasi listrik (sistem S K).

Jika sistem yang dipelajari S, yaitu pendulum atau kontur, berinteraksi dengan lingkungan eksternal E, kemudian tindakan input muncul NS(T) (gaya luar untuk bandul dan sumber energi untuk rangkaian) dan model deterministik kontinu dari sistem semacam itu akan memiliki bentuk

Dari sudut pandang skema umum model matematika NS(T) adalah tindakan input (kontrol), dan keadaan sistem S dalam hal ini dapat dianggap sebagai karakteristik keluaran, yaitu, asumsikan bahwa variabel keluaran bertepatan dengan keadaan sistem pada waktu tertentu y =z.

Kemungkinan aplikasi. Ketika memecahkan masalah rekayasa sistem, masalah pengelolaan sistem besar sangat penting. Perhatikan sistem kontrol otomatis- kasus khusus sistem dinamis dijelaskan D-skema dan disorot dalam kelas model yang terpisah karena kekhususan praktisnya.

Saat menjelaskan proses kontrol otomatis, mereka biasanya mematuhi presentasi objek nyata dalam bentuk dua sistem: kontrol dan terkontrol (objek kontrol). Struktur sistem kontrol otomatis multidimensi umum ditunjukkan pada Gambar. 2, dimana ditunjuk variabel endogen:
- vektor pengaruh input (master);
- vektor pengaruh yang mengganggu;
- vektor sinyal kesalahan;
- vektor tindakan kontrol; variabel eksogen:
- vektor keadaan sistem S;
adalah vektor variabel keluaran, biasanya
=
.

Beras. 2. Struktur sistem kontrol otomatis

Sistem kontrol modern adalah seperangkat perangkat lunak dan perangkat keras yang memastikan pencapaian tujuan tertentu oleh objek kontrol. Seberapa akurat objek kontrol mencapai tujuan tertentu dapat dinilai untuk sistem satu dimensi dengan koordinat keadaan pada (T). Perbedaan antara yang diberikan pada bagian belakang (T) dan sah pada (T) hukum perubahan variabel yang dikendalikan adalah kesalahan kontrol . Jika hukum perubahan yang ditentukan dari kuantitas yang dikendalikan sesuai dengan hukum perubahan tindakan input (master), yaitu.
, kemudian
.

Sistem yang mengontrol kesalahan
setiap saat disebut ideal. Dalam praktiknya, implementasi sistem yang ideal tidak mungkin dilakukan. Jadi kesalahan H"(T) - elemen kontrol otomatis yang diperlukan berdasarkan prinsip umpan balik negatif, karena untuk membawa variabel output ke dalam kesesuaian kamu(T) nilai yang ditentukan menggunakan informasi tentang penyimpangan di antara mereka. Tugas sistem kontrol otomatis adalah mengubah variabel kamu(T) menurut hukum yang diberikan dengan akurasi tertentu (dengan kesalahan yang dapat diterima). Saat merancang dan mengoperasikan sistem kontrol otomatis, perlu untuk memilih parameter sistem berikut: S, yang akan memberikan akurasi kontrol yang diperlukan, serta stabilitas sistem dalam proses transien.

Jika sistem stabil, maka perilaku sistem dalam waktu adalah kepentingan praktis, deviasi maksimum dari variabel yang dikendalikan adalah pada (T) dalam proses transien, waktu proses transien, dll. Kesimpulan tentang sifat-sifat sistem kontrol otomatis dari berbagai kelas dapat dibuat dalam bentuk persamaan diferensial yang kurang lebih menggambarkan proses dalam sistem. Urutan persamaan diferensial dan nilai koefisiennya sepenuhnya ditentukan oleh parameter statis dan dinamis sistem. S.

Jadi menggunakan D-skema memungkinkan untuk memformalkan proses berfungsinya sistem deterministik terus-menerus S dan mengevaluasi karakteristik utamanya menggunakan pendekatan analitik atau simulasi yang diimplementasikan dalam bentuk bahasa yang sesuai untuk memodelkan sistem kontinu atau menggunakan fasilitas komputasi analog dan hibrid.

Klasifikasi di bidang keahlian apa pun sangat penting. Ini memungkinkan Anda untuk menggeneralisasi akumulasi pengalaman, untuk merampingkan konsep area subjek. Pesatnya perkembangan metode pemodelan matematika dan berbagai bidang penerapannya menyebabkan munculnya sejumlah besar model dari berbagai jenis dan kebutuhan untuk mengklasifikasikan model ke dalam kategori yang universal untuk semua model atau diperlukan di lapangan. dari model yang dibangun, misalnya. Mari kita beri contoh beberapa kategori: area penggunaan; dengan mempertimbangkan faktor waktu (dinamika) dalam model; cabang pengetahuan; cara model disajikan; ada atau tidak adanya faktor acak (atau tidak pasti); jenis kriteria efisiensi dan pembatasan yang diberlakukan, dll.

Menganalisis literatur matematika, kami telah mengidentifikasi tanda-tanda klasifikasi yang paling umum:

1. Menurut metode implementasi (termasuk bahasa formal), semua model matematika dapat dibagi menjadi: analitis dan algoritmik.

Analytical - Model yang menggunakan bahasa matematika standar. Simulasi - model di mana bahasa pemodelan khusus atau bahasa pemrograman universal digunakan.

Model analitik dapat ditulis dalam bentuk ekspresi analitik, mis. dalam bentuk ekspresi yang berisi jumlah operasi aritmatika yang dapat dihitung dan transisi ke batas, misalnya:. Ekspresi aljabar adalah kasus khusus dari ekspresi analitik, ia memberikan makna yang tepat sebagai hasilnya. Ada juga konstruksi yang memungkinkan Anda menemukan nilai yang dihasilkan dengan akurasi tertentu (misalnya, perluasan fungsi dasar dalam deret pangkat). Model yang menggunakan teknik ini disebut perkiraan.

Pada gilirannya, model analitik dipecah menjadi: teoritis dan empiris model. Model teoretis mencerminkan struktur dan proses nyata dalam objek yang diteliti, yaitu didasarkan pada teori pekerjaan mereka. Model empiris dibangun atas dasar mempelajari reaksi suatu benda terhadap perubahan kondisi lingkungan. Dalam hal ini, teori operasi objek tidak dipertimbangkan, objek itu sendiri disebut "kotak hitam", dan modelnya adalah ketergantungan interpolasi tertentu. Model empiris dapat dibangun dari data eksperimen. Data ini diperoleh secara langsung pada objek yang diteliti atau dengan bantuan model fisiknya.

Jika suatu proses tidak dapat dideskripsikan dalam bentuk model analitik, maka proses tersebut dideskripsikan menggunakan algoritma atau program khusus. Model ini bersifat algoritmik. Saat membangun model algoritmik, pendekatan numerik atau simulasi digunakan. Dalam pendekatan numerik, himpunan hubungan matematis digantikan oleh analog berdimensi hingga (misalnya, transisi dari fungsi argumen kontinu ke fungsi argumen diskrit). Kemudian algoritma komputasi dibangun, yaitu urutan operasi aritmatika dan logika. Solusi yang ditemukan dari analog diskrit diambil sebagai solusi perkiraan untuk masalah aslinya. Dalam pendekatan simulasi, objek pemodelan itu sendiri didiskritisasi, dan model elemen individu dari sistem dibangun.

2. Menurut bentuk penyajian model matematika, ada:

1) Model invarian adalah model matematika yang diwakili oleh sistem persamaan (diferensial, aljabar) tanpa memperhitungkan metode penyelesaian persamaan tersebut.

2) Model aljabar - rasio model dikaitkan dengan metode solusi numerik yang dipilih dan ditulis dalam bentuk algoritma (urutan perhitungan).

3) Model analitik - adalah ketergantungan eksplisit dari variabel yang diinginkan pada nilai yang diberikan. Model tersebut diperoleh berdasarkan hukum fisika, atau sebagai hasil integrasi langsung dari persamaan diferensial asli menggunakan integral tabel. Mereka juga memasukkan model regresi yang diperoleh berdasarkan hasil eksperimen.

4) Model grafis disajikan dalam bentuk grafik, rangkaian ekivalen, diagram dan sejenisnya. Untuk menggunakan model grafik, harus ada aturan korespondensi yang jelas dari gambar bersyarat elemen grafik dan komponen model matematika invarian.

3. Tergantung pada jenis kriteria efisiensi dan pembatasan yang diberlakukan, model dibagi lagi menjadi: linier dan nonlinier. Dalam model linier, kriteria efisiensi dan kendala yang dikenakan adalah fungsi linier dari variabel model (jika tidak, model nonlinier). Asumsi tentang ketergantungan linier dari kriteria efisiensi dan himpunan kendala yang dikenakan pada variabel model cukup dapat diterima dalam praktiknya. Hal ini memungkinkan untuk menggunakan peralatan pemrograman linier yang dikembangkan dengan baik untuk membuat keputusan.

4. Dengan mempertimbangkan faktor waktu dan area penggunaan, mereka membedakan model statis dan dinamis... Jika semua besaran yang termasuk dalam model tidak bergantung pada waktu, maka kita memiliki model statis dari suatu objek atau proses (sepotong informasi satu kali pada suatu objek). Itu. model statis adalah model di mana waktu bukan variabel. Model dinamis memungkinkan Anda untuk melihat perubahan dalam suatu objek dari waktu ke waktu.

5. Tergantung pada jumlah pihak yang membuat keputusan, ada dua jenis model matematika: deskriptif dan normatif... Tidak ada pengambil keputusan dalam model deskriptif. Secara formal, jumlah sisi tersebut dalam model deskriptif adalah nol. Contoh khas dari model tersebut adalah model sistem antrian. Teori reliabilitas, teori graf, teori probabilitas, metode uji statistik (metode Monte Carlo) juga dapat digunakan untuk membangun model deskriptif.

Ada banyak aspek dari model normatif. Pada prinsipnya, dua jenis model normatif dapat dibedakan: model optimasi dan model teori permainan. Dalam model optimasi, tugas utama pengembangan solusi secara teknis dikurangi menjadi maksimalisasi ketat atau minimalisasi kriteria efisiensi, yaitu. nilai-nilai variabel terkontrol tersebut ditentukan di mana kriteria efisiensi mencapai nilai ekstrem (maksimum atau minimum).

Untuk mengembangkan solusi yang ditampilkan oleh model optimasi, bersama dengan metode variasi klasik dan baru (extremum search), metode pemrograman matematika (linier, nonlinier, dinamis) paling banyak digunakan. Model teori permainan dicirikan oleh banyaknya jumlah sisi (setidaknya dua). Jika ada dua pihak dengan kepentingan yang berlawanan, maka digunakan teori permainan, jika jumlah pihak lebih dari dua dan koalisi dan kompromi tidak mungkin di antara mereka, maka digunakan teori permainan non-koalisi. n orang.

6. Bergantung pada ada atau tidak adanya faktor acak (atau tidak pasti), ada: deterministik dan stokastik model matematika. Dalam model deterministik, semua hubungan, variabel, dan konstanta ditentukan secara tepat, yang mengarah pada definisi yang tidak ambigu dari fungsi yang dihasilkan. Model deterministik dibangun dalam kasus di mana faktor-faktor yang mempengaruhi hasil operasi memberikan pengukuran atau penilaian yang cukup akurat, dan faktor acak tidak ada atau dapat diabaikan.

Jika beberapa atau semua parameter yang termasuk dalam model menurut sifatnya adalah variabel acak atau fungsi acak, maka model tersebut termasuk dalam kelas model stokastik. Dalam model stokastik, hukum distribusi variabel acak ditetapkan, yang mengarah pada perkiraan probabilistik dari fungsi yang dihasilkan dan kenyataan ditampilkan sebagai proses acak tertentu, jalannya dan hasilnya dijelaskan oleh karakteristik tertentu dari variabel acak: ekspektasi matematis , varians, fungsi distribusi, dll. Konstruksi model seperti itu dimungkinkan jika ada bahan faktual yang cukup untuk menilai distribusi probabilitas yang diperlukan atau jika teori fenomena yang dipertimbangkan memungkinkan seseorang untuk menentukan distribusi ini secara teoritis (berdasarkan rumus teori probabilitas, teorema limit, dll. .).

7. Tergantung pada tujuan pemodelan, ada: deskriptif, optimasi dan manajemen model. Dalam model deskriptif (dari bahasa Latin descriptio - deskripsi), hukum perubahan parameter model diselidiki. Misalnya, model gerak titik material di bawah pengaruh gaya yang diterapkan berdasarkan hukum kedua Newton:. Dengan menentukan posisi dan percepatan suatu titik pada saat tertentu dalam waktu (parameter input), massa (parameter intrinsik) dan hukum variasi gaya yang diterapkan (pengaruh eksternal), dimungkinkan untuk menentukan koordinat titik dan kecepatan setiap saat (data keluaran).

Model optimasi digunakan untuk menentukan yang terbaik (optimal), berdasarkan kriteria tertentu, parameter objek simulasi atau metode pengendalian objek ini. Model optimasi dibangun dengan menggunakan satu atau lebih model deskriptif dan memiliki beberapa kriteria untuk menentukan optimalitas. Pembatasan dalam bentuk persamaan atau ketidaksetaraan yang terkait dengan fitur objek atau proses yang dipertimbangkan dapat dikenakan pada kisaran nilai parameter input. Contoh model optimasi adalah kompilasi ransum makanan dalam diet tertentu (kandungan kalori suatu produk, nilai harga biaya, dll., Bertindak sebagai data input).

Model manajemen digunakan untuk membuat keputusan di berbagai bidang aktivitas manusia yang bertujuan, ketika beberapa alternatif dipilih dari seluruh rangkaian alternatif dan proses pengambilan keputusan umum adalah urutan alternatif tersebut. Misalnya, pilihan laporan kenaikan pangkat dari beberapa yang disiapkan oleh mahasiswa. Kompleksitas masalah terletak baik pada ketidakpastian tentang input data (laporan disiapkan secara mandiri atau pekerjaan orang lain digunakan) dan tujuan (sifat ilmiah dari pekerjaan dan strukturnya, tingkat presentasi dan tingkat pelatihan karyawan). siswa, hasil percobaan dan kesimpulan yang diperoleh). Karena optimalitas keputusan yang dibuat dalam situasi yang sama dapat diinterpretasikan dengan cara yang berbeda, bentuk kriteria optimalitas dalam model manajemen tidak ditetapkan terlebih dahulu. Metode pembentukan kriteria optimalitas tergantung pada jenis ketidakpastian yang dipertimbangkan dalam teori pilihan dan pengambilan keputusan, berdasarkan teori permainan dan riset operasi.

8. Bedakan dengan metode penelitian analitis, numerik dan simulasi model. Model analitik adalah deskripsi formal dari sistem yang memungkinkan seseorang untuk mendapatkan solusi eksplisit untuk persamaan menggunakan peralatan matematika yang terkenal. Model numerik dicirikan oleh ketergantungan yang memungkinkan hanya solusi numerik parsial untuk kondisi awal tertentu dan parameter kuantitatif model. Model simulasi adalah seperangkat deskripsi sistem dan pengaruh eksternal, algoritma untuk fungsi sistem atau aturan untuk mengubah keadaan sistem di bawah pengaruh gangguan eksternal dan internal. Algoritma dan aturan ini tidak memungkinkan untuk menggunakan metode matematika yang tersedia dari solusi analitik dan numerik, tetapi mereka memungkinkan simulasi proses fungsi sistem dan memperbaiki karakteristik yang diinginkan. Selanjutnya, beberapa model analitik dan simulasi akan dipertimbangkan secara lebih rinci, studi tentang jenis model ini dikaitkan dengan kekhasan aktivitas profesional siswa dalam arah pelatihan yang ditunjukkan.

1.4. Representasi grafis dari model matematika

Dalam matematika, bentuk hubungan antar besaran dapat direpresentasikan dengan persamaan bentuk variabel bebas (argumen), kamu- variabel terikat (fungsi). Dalam teori pemodelan matematika, variabel bebas disebut faktor, dan variabel terikat disebut respon. Selain itu, tergantung pada bidang konstruksi model matematika, terminologinya agak dimodifikasi. Beberapa contoh definisi faktor dan respon, tergantung pada bidang studi, ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1. Beberapa definisi konsep "faktor" dan "respon"

Menyajikan model matematika secara grafis, kami akan mempertimbangkan faktor dan respons sebagai variabel, yang nilainya termasuk dalam himpunan bilangan real.

Representasi grafis dari model matematika adalah beberapa permukaan respons yang sesuai dengan pengaturan titik-titik di k- ruang faktor dimensi NS... Hanya permukaan respons satu dimensi dan dua dimensi yang dapat divisualisasikan. Dalam kasus pertama, ini adalah satu set titik pada bidang nyata, dan yang kedua, satu set titik yang membentuk permukaan dalam ruang (untuk mewakili titik-titik seperti itu, akan lebih mudah untuk menggunakan garis level - cara untuk mewakili relief permukaan ruang yang dibangun dalam ruang faktor dua dimensi NS(Gbr. 8).

Area di mana permukaan respons didefinisikan disebut domain definisi X *. Area ini biasanya hanya merupakan bagian dari total ruang faktor. NS(NS*Ì NS) dan dialokasikan menggunakan batasan yang dikenakan pada variabel kontrol x saya ditulis sebagai persamaan:

x i = C i , saya = 1,…, M;

f j(x) = C j, j = 1,…, aku

atau ketidaksetaraan:

x saya min £ x saya£ x saya maksimal, Saya= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Dalam hal ini, fungsi f j(x) dapat bergantung secara simultan pada semua variabel dan pada beberapa bagian dari variabel tersebut.

Kendala seperti ketidaksetaraan mencirikan kendala fisik pada proses dalam objek yang diteliti (misalnya, kendala suhu), atau kendala teknis yang terkait dengan kondisi operasi fasilitas (misalnya, kecepatan pemotongan yang membatasi, keterbatasan cadangan bahan baku) .

Kemungkinan mempelajari model pada dasarnya tergantung pada sifat (relief) dari permukaan respons, khususnya, pada jumlah "simpul" yang tersedia di atasnya dan kontrasnya. Jumlah puncak (lembah) menentukan pengandaian permukaan respon. Jika dalam domain definisi pada permukaan respon terdapat satu simpul (lembah), model tersebut disebut unimodal.

Sifat perubahan fungsi dalam hal ini bisa berbeda (Gbr. 9).

Model dapat memiliki break point jenis pertama (Gbr. 9 (a)), break point jenis kedua (Gbr. 9 (b)). Gambar 9 (c) menunjukkan model unimodal yang terdiferensiasi secara kontinu.

Untuk ketiga kasus yang disajikan pada Gambar 9, persyaratan umum unimodality terpenuhi:

jika W (x *) adalah ekstrem dari W, maka dari kondisi x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x *) mengikuti W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), jika ekstremnya minimum, yaitu dengan bertambahnya jarak dari titik ekstrem, nilai fungsi W (x) terus menurun (meningkat).

Seiring dengan model unimodal, model polimodal dipertimbangkan (Gbr. 10).

Sifat penting lain dari permukaan respons adalah kontrasnya, yang menunjukkan sensitivitas fungsi yang dihasilkan terhadap perubahan faktor. Kontras ditandai dengan nilai turunannya. Mari kita tunjukkan karakteristik kontras menggunakan contoh permukaan respons dua dimensi (Gbr. 11).

Titik A terletak pada "kemiringan" yang mencirikan kontras yang sama untuk semua variabel x saya (Saya= 1,2), titik B terletak di "jurang" di mana kontras yang berbeda untuk variabel yang berbeda (kami memiliki persyaratan fungsi yang buruk), titik dengan terletak di "dataran tinggi" di mana kontrasnya rendah untuk semua variabel x saya menunjukkan kedekatan ekstrem.

1.5. Metode dasar untuk membangun model matematika

Mari kita berikan klasifikasi metode representasi formal dari sistem yang dimodelkan Volkova V.N. dan Denisova AA. Para penulis menyoroti metode analitis, statistik, teori himpunan, linguistik, logis, grafik. Terminologi dasar, contoh teori yang berkembang berdasarkan kelas metode yang dijelaskan, serta ruang lingkup dan kemungkinan penerapannya diusulkan dalam Lampiran 1.

Dalam praktik pemodelan sistem, metode analitik dan statistik paling banyak digunakan.

1) Metode analisis untuk membangun model matematika.

Perangkat terminologi metode analisis untuk membangun model matematika didasarkan pada konsep matematika klasik (rumus, fungsi, persamaan dan sistem persamaan, pertidaksamaan, turunan, integral, dll.). Metode-metode tersebut dicirikan oleh kejelasan dan keabsahan terminologi yang menggunakan bahasa matematika klasik.

Atas dasar konsep analitis, teori matematika seperti analisis matematika klasik (misalnya, metode untuk mempelajari fungsi), dan dasar modern pemrograman matematika dan teori permainan telah muncul dan dikembangkan. Selain itu, pemrograman matematika (linier, nonlinier, dinamis, bilangan bulat, dll.) mengandung kedua cara untuk menetapkan masalah dan memperluas kemungkinan untuk membuktikan kecukupan model, berbeda dengan sejumlah bidang matematika lainnya. Gagasan pemrograman matematika yang optimal untuk memecahkan masalah ekonomi (khususnya, memecahkan masalah pemotongan optimal lembaran kayu lapis) diusulkan oleh L.V. Kantorovich.

Mari kita jelaskan fitur metode menggunakan contoh.

Contoh. Misalkan untuk produksi dua jenis produk A dan V Anda perlu menggunakan tiga jenis bahan baku. Pada saat yang sama, untuk pembuatan unit produksi jenis A 4 unit yang dikonsumsi. bahan baku tipe pertama, 2 unit. unit ke-2 dan ke-3 tipe ke-3. Untuk pembuatan satu unit produksi jenis V 2 unit dikonsumsi. bahan baku tipe 1, 5 unit. Tipe 2 dan 4 unit. 3 jenis bahan baku. Ada 35 unit di gudang pabrik. bahan baku tipe 1, 43 - dari 2, 40 - dari tipe ke-3. Dari penjualan satu unit produksi jenis A pabrik mendapat untung 5 ribu rubel, dan dari penjualan satu unit produksi formulir V keuntungan adalah 9 ribu rubel. Hal ini diperlukan untuk menyusun model matematika dari masalah, yang memberikan keuntungan maksimum.

Tingkat konsumsi setiap jenis bahan baku untuk pembuatan satu unit produk jenis ini diberikan dalam tabel. Ini juga menunjukkan keuntungan dari penjualan setiap jenis produk dan jumlah total bahan baku jenis ini yang dapat digunakan oleh perusahaan.

Mari kita tunjukkan dengan x 1 dan x 2 volume produk yang diproduksi A dan V masing-masing. Biaya bahan kelas satu untuk rencananya adalah 4x 1 + 2x 2, dan tidak boleh melebihi stok, mis. 35kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Pembatasan materi kelas dua serupa:

2x 1 + 5x 2 43,

dan pada materi kelas tiga

3x 1 + 4x 2 40.

Keuntungan dari penjualan x 1 unit produksi A dan x 2 unit produksi B adalah z = 5x 1+ 9x 2(fungsi objektif).

Kami mendapat model masalah:

Solusi grafis untuk masalah ini ditunjukkan pada Gambar 11.

Optimal (terbaik, yaitu fungsi maksimum z) solusi masalah ada di titik A (solusi dijelaskan di Bab 5).

Mengerti x 1=4,x 2= 7, nilai fungsi z di titik A:.

Dengan demikian, nilai keuntungan maksimum adalah 83 ribu rubel.

Selain metode grafis, ada juga sejumlah metode khusus untuk menyelesaikan masalah (misalnya, metode simpleks) atau paket perangkat lunak terapan yang mengimplementasikannya. Tergantung pada jenis fungsi tujuan, pemrograman linier dan nonlinier dibedakan, tergantung pada sifat variabel, pemrograman integer dibedakan.

Ciri-ciri umum pemrograman matematika dapat dibedakan:

1) pengenalan konsep fungsi tujuan dan kendala adalah sarana pengaturan masalah;

2) dimungkinkan untuk menggabungkan kriteria yang berbeda dalam satu model (dimensi yang berbeda, dalam contoh - stok bahan baku dan keuntungan);

3) model pemrograman matematika memungkinkan pergi ke batas kisaran nilai variabel yang diizinkan;

4) kemungkinan penerapan algoritma langkah demi langkah untuk memperoleh hasil (pendekatan langkah demi langkah ke solusi optimal);

5) kejelasan, dicapai melalui interpretasi geometris dari masalah, yang membantu dalam kasus-kasus di mana tidak mungkin untuk memecahkan masalah secara formal.

2) Metode statistik untuk membangun model matematika.

Metode statistik untuk membangun model matematika menjadi tersebar luas dan mulai digunakan secara luas dengan berkembangnya teori probabilitas pada abad ke-19. Mereka didasarkan pada hukum probabilistik peristiwa acak (stokastik), yang mencerminkan fenomena nyata. Istilah "stokastik" adalah klarifikasi dari konsep "acak", menunjukkan alasan yang telah ditentukan sebelumnya, yang mempengaruhi proses, dan konsep "acak" ditandai dengan kemandirian dari dampak atau tidak adanya alasan tersebut.

Pola statistik disajikan dalam bentuk variabel acak diskrit dan pola kemunculan nilainya atau dalam bentuk ketergantungan terus menerus dari distribusi peristiwa (proses). Landasan teoritis membangun model stokastik dijelaskan secara rinci dalam Bab 2.

Kontrol pertanyaan

1. Merumuskan masalah utama pemodelan matematika.

2. Berikan definisi model matematika.

3. Sebutkan kelemahan-kelemahan utama dari pendekatan eksperimental dalam penelitian ini.

4. Buat daftar tahapan utama membangun model.

5. Sebutkan jenis-jenis model matematika.

6. Berikan penjelasan singkat tentang jenis-jenis model.

7. Apa bentuk model matematika ketika disajikan secara geometris?

8. Bagaimana model matematika tipe analitik ditentukan?

tugas

1. Buatlah model matematika untuk menyelesaikan masalah dan klasifikasikan modelnya:

1) Tentukan kapasitas maksimum ember silinder, yang permukaannya (tanpa penutup) adalah S.

2) Perusahaan memastikan produksi reguler dengan pasokan komponen yang bebas masalah dari dua subkontraktor. Kemungkinan penolakan dalam pengiriman dari yang pertama dari subkontraktor -, dari yang kedua -. Temukan kemungkinan kegagalan perusahaan.

2. Model Malthus (1798) menggambarkan reproduksi populasi pada tingkat yang sebanding dengan ukurannya. Dalam bentuk diskrit, hukum ini merupakan deret ukur geometrik :; atau Hukum, yang ditulis dalam bentuk persamaan diferensial, adalah model pertumbuhan populasi eksponensial dan menggambarkan dengan baik pertumbuhan populasi sel tanpa adanya batasan:. Tetapkan kondisi awal dan tunjukkan cara kerja model.

Informasi awal dalam pembangunan MM dari proses berfungsinya sistem adalah data tentang tujuan dan kondisi operasi dari sistem yang diselidiki (diproyeksikan) S. Informasi ini menentukan tujuan utama pemodelan, persyaratan untuk MM, tingkat abstraksi , dan pilihan skema pemodelan matematika.

Konsep skema matematika memungkinkan kita untuk mempertimbangkan matematika bukan sebagai metode perhitungan, tetapi sebagai metode berpikir, sarana merumuskan konsep, yang paling penting dalam transisi dari deskripsi verbal ke representasi formal dari proses fungsinya dalam bentuk beberapa MM.

Saat menggunakan tikar. skema, pertama-tama, peneliti sistem harus tertarik pada pertanyaan kecukupan tampilan dalam bentuk skema spesifik dari proses nyata dalam sistem yang diteliti, dan bukan kemungkinan memperoleh jawaban (hasil solusi) untuk pertanyaan penelitian tertentu.

Sebagai contoh, representasi dari proses berfungsinya ICS untuk penggunaan kolektif dalam bentuk jaringan skema antrian memungkinkan untuk menggambarkan dengan baik proses yang terjadi dalam sistem, tetapi dengan hukum yang kompleks dari arus masuk dan arus layanan, itu tidak memungkinkan untuk memperoleh hasil dalam bentuk eksplisit.

Skema matematika dapat didefinisikan sebagai tautan dalam transisi dari deskripsi yang bermakna ke deskripsi formal tentang proses berfungsinya sistem, dengan mempertimbangkan dampak lingkungan eksternal. Itu. ada rantai: model deskriptif - skema matematika - model simulasi.

Setiap sistem spesifik S dicirikan oleh seperangkat properti, yang dipahami sebagai nilai yang mencerminkan perilaku objek yang dimodelkan (sistem nyata) dan kondisi fungsinya dalam interaksi dengan lingkungan eksternal (sistem) E.

Saat membangun MM dari sistem S, perlu untuk menyelesaikan pertanyaan tentang kelengkapannya. Kelengkapan pemodelan diatur terutama oleh pilihan batas "Sistem S - lingkungan E". Juga, masalah penyederhanaan MM harus diselesaikan, yang membantu menyoroti properti utama sistem, membuang tujuan sekunder pemodelan.

MM dari objek simulasi, mis. dari sistem S dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan besaran yang menggambarkan proses berfungsinya sistem nyata dan dalam kasus umum membentuk himpunan bagian berikut:

Satu set X - pengaruh input pada Sх i , i = 1… n x;

Totalitas pengaruh lingkungan eksternal v l V, l = 1… n v;

Himpunan parameter internal (intrinsik) sistem h k H, k = 1… n h;

Himpunan karakteristik keluaran sistem y j Y, j = 1… n y.

Dalam set yang terdaftar, jumlah terkontrol dan tidak terkontrol dapat dibedakan. Secara umum, X, V, H, Y adalah himpunan lepas yang mengandung komponen deterministik dan stokastik. Tindakan input E dan parameter internal S adalah variabel bebas (eksogen).Karakteristik keluaran - variabel terikat (endogen)... Proses operasi S dijelaskan oleh operator F S:

(1)

Lintasan keluaran F S - hukum fungsi S.F S dapat berupa fungsi, fungsional, kondisi logis, algoritma, tabel atau deskripsi verbal aturan.

Algoritma fungsi A S - metode untuk memperoleh karakteristik keluaran dengan mempertimbangkan pengaruh masukan Jelas, FS yang sama dapat diimplementasikan dengan cara yang berbeda, mis. menggunakan banyak A S yang berbeda.

Relasi (1) adalah deskripsi matematis dari perilaku pemodelan objek S dalam waktu t, yaitu. mencerminkannya sifat dinamis... (1) adalah model dinamis dari sistem S. Untuk kondisi statis MM ada pemetaan X, V, H ke Y, yaitu. (2)

Hubungan (1), (2) dapat ditentukan dengan rumus, tabel, dll.

Juga, hubungan dalam beberapa kasus dapat diperoleh melalui sifat-sifat sistem pada titik waktu tertentu, yang disebut keadaan.

Keadaan sistem S dicirikan oleh vektor:

dan , di mana pada saat t l (t 0, T)

pada waktu t ll (t 0, T), dst. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) adalah koordinat titik dalam ruang fase dimensi-k. Setiap implementasi proses akan sesuai dengan lintasan fase tertentu.

Himpunan semua nilai yang mungkin dari keadaan () disebut ruang keadaan dari objek pemodelan Z, dan z k Z.

Status sistem S dalam interval waktu t 0 , dimana input, parameter internal dan pengaruh lingkungan eksternal, yang berlangsung selama selang waktu t * - t 0 menggunakan 2 persamaan vektor:

; (3)

sebaliknya: . (5)

Waktu dalam mode. S dapat dipertimbangkan pada interval simulasi (t 0, T) baik kontinu maupun diskrit, yaitu. terkuantisasi pada segmen dengan panjang t.

Jadi, di bawah MM suatu objek yang kami maksud adalah sekumpulan variabel () yang terbatas bersama dengan hubungan matematis antara mereka dan karakteristik.

Pemodelan disebut deterministik jika operator F, bersifat deterministik, yaitu. untuk input tertentu, outputnya bersifat deterministik. Pemodelan deterministik adalah kasus khusus dari pemodelan stokastik. Dalam praktiknya, pemodelan objek di bidang analisis sistem pada tahap utama penelitian lebih rasional menggunakan skema matematika standar: diff. persamaan, automata terbatas dan probabilistik, QS, dll.

Tidak dimiliki. tingkat keumuman seperti model (3), (4), tipikal skema matematika memiliki keunggulan kesederhanaan dan kejelasan, tetapi dengan penyempitan ruang lingkup aplikasi yang signifikan.

Sebagai deterministik model, ketika fakta acak tidak diperhitungkan dalam penelitian, persamaan diferensial, integral dan lainnya digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi dalam waktu kontinu, dan skema otomata hingga dan perbedaan hingga digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi dalam waktu diskrit.

Pada awal model stokastik (dengan mempertimbangkan faktor acak), automata probabilistik digunakan untuk mewakili sistem dengan waktu diskrit, dan sistem antrian (QS) digunakan untuk mewakili sistem dengan waktu kontinu. Disebut agregat model.

Model agregat (sistem) memungkinkan untuk menggambarkan berbagai objek penelitian dengan refleksi sifat sistemik dari objek tersebut. Dengan deskripsi agregat, objek kompleks dibagi menjadi sejumlah bagian (subsistem) yang terbatas, sambil mempertahankan koneksi, memastikan interaksi bagian-bagian.

16 Skema matematika untuk sistem pemodelan.

Pendekatan utama untuk pembangunan model matematika dari sistem. Model deterministik terus menerus. Model deterministik diskrit. Model stokastik diskrit. Model stokastik kontinu. Model jaringan. Model gabungan.

Pendekatan utama untuk pembangunan model matematika dari sistem.

Informasi awal dalam pembangunan model matematika dari proses fungsi sistem adalah data tentang tujuan dan kondisi operasi dari sistem yang diselidiki (dirancang). S.

Skema matematika

Proses nyata ditampilkan dalam bentuk diagram tertentu. Tikar. skema - transisi dari deskripsi yang bermakna ke deskripsi formal sistem, dengan mempertimbangkan dampak lingkungan.

Model Objek Formal

Model objek simulasi,

yaitu sistem S, dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan besaran,

menggambarkan proses berfungsinya sistem nyata dan menghasilkan

secara umum himpunan bagian berikut:

Agregat tindakan masukan per sistem

NSSaya, mantan, (e-karakter milik)Saya=1; nx

Agregat pengaruh lingkungan

vakuVl = 1; nv

Agregat parameter internal (sendiri) sistem

hkeHk = 1; nh

Agregat karakteristik keluaran sistem

yJeYj = 1; ny

Anda dapat membedakan antara variabel terkelola dan tidak terkelola.

Saat memodelkan sistem, pengaruh input, pengaruh lingkungan, dan parameter internal mengandung komponen deterministik dan stokastik.

pengaruh masukan, pengaruh lingkungan E dan parameter internal sistem adalah variabel bebas (eksogen).

Proses operasi sistem S dijelaskan dalam waktu oleh operator Fs, yang pada umumnya mengubah variabel eksogen menjadi variabel endogen sesuai dengan relasi yang berbentuk:

kamu(t) = Fs (x, v, h, t) - semua dengan vektori.

Hukum fungsi sistem Fs dapat ditentukan dalam bentuk fungsi, fungsi, kondisi logis, dalam bentuk algoritmik dan tabel, atau dalam bentuk aturan korespondensi verbal.

Konsep algoritma berfungsi As - metode untuk memperoleh karakteristik keluaran dengan mempertimbangkan tindakan masukan, efek dari lingkungan eksternal dan parameter intrinsik sistem.

Status sistem juga diperkenalkan - properti sistem pada titik waktu tertentu.

Totalitas semua nilai keadaan yang mungkin merupakan ruang keadaan suatu objek.

Dengan demikian, rantai persamaan objek "input - status - output" memungkinkan Anda untuk menentukan karakteristik sistem:

Jadi, di bawah model matematika dari objek(sistem nyata) memahami subset variabel yang terbatas (x (t), v (t), h(t)) bersama-sama dengan hubungan matematis antara mereka dan karakteristik y (t).

Skema tipikal

Pada tahap awal penelitian, skema standar digunakan. : persamaan diferensial, automata berhingga dan probabilistik, sistem antrian, jaring Petri, dll.

Diferensial, integral, integro-diferensial dan persamaan lainnya digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi dalam waktu kontinu sebagai model deterministik, ketika faktor acak tidak diperhitungkan dalam penelitian, dan automata hingga dan skema perbedaan hingga digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi di waktu diskrit ....

Automata probabilistik digunakan sebagai model stokastik (dengan mempertimbangkan faktor acak) untuk mewakili sistem dengan waktu diskrit, dan sistem antrian digunakan untuk mewakili sistem dengan waktu kontinu, dll.

Model deterministik berkelanjutan

Mari kita pertimbangkan fitur dari pendekatan deterministik terus menerus menggunakan contoh, menggunakan Mat. model persamaan diferensial.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang fungsi dari satu variabel atau beberapa variabel tidak diketahui, dan persamaan tersebut tidak hanya mencakup fungsinya, tetapi juga turunannya dari berbagai orde.

Jika yang tidak diketahui adalah fungsi dari beberapa variabel, maka persamaannya disebut - persamaan diferensial parsial. Jika fungsi yang tidak diketahui dari satu variabel bebas, maka persamaan diferensial biasa.

Hubungan matematis umum untuk sistem deterministik:

Model deterministik diskrit.

DDM dapat ditinjau teori automata (TA)... TA adalah bagian dari sibernetika teoretis yang mempelajari perangkat yang memproses informasi diskrit dan mengubah status internalnya hanya pada waktu yang dapat diterima.

Mesin negara disebut otomat, di mana himpunan keadaan internal dan sinyal input (dan, akibatnya, himpunan sinyal output) adalah himpunan berhingga.

Mesin keadaan terbatas memiliki banyak keadaan internal dan sinyal input, yang merupakan himpunan berhingga. Mesin diberikan oleh skema-F: F = ,

di mana z, x, y masing-masing adalah himpunan berhingga dari sinyal input dan output (abjad) dan himpunan berhingga keadaan internal (alfabet). z0ÎZ - keadaan awal; j (z, x) - fungsi transisi; y (z, x) - fungsi keluar.

Otomat beroperasi dalam waktu otomat diskrit, momen-momen yang merupakan siklus, yaitu, berdekatan satu sama lain dengan interval waktu yang sama, yang masing-masing sesuai dengan nilai konstan dari input, sinyal output, dan keadaan internal. Sebuah robot abstrak memiliki satu masukan dan satu saluran keluaran.

Untuk mendefinisikan F - automaton, perlu untuk mendeskripsikan semua elemen dari himpunan F = , yaitu abjad input, internal dan output, serta fungsi transisi dan output. Untuk mengatur pekerjaan F - automata, metode tabel, grafik, dan matriks paling sering digunakan.

Dalam cara pengaturan tabel, tabel transisi dan output digunakan, baris yang sesuai dengan sinyal input otomat, dan kolom - ke statusnya.

Deskripsi pekerjaan F- Senapan mesin ringan Mil tabel transisi j dan output y diilustrasikan oleh tabel (1), dan deskripsi F - otomat Moore - diilustrasikan oleh tabel transisi (2).

Tabel 1



Transisi


…………………………………………………………



…………………………………………………………

Meja 2






…………………………………………………………

Contoh cara tabel untuk menentukan F - robot Mealy F1 dengan tiga status, dua sinyal input dan dua output, diberikan dalam tabel 3, dan untuk F - robot Moore F2 - pada tabel 4.

Tabel 3



Transisi

Tabel 4

Cara lain untuk mendefinisikan mesin keadaan hingga menggunakan konsep graf berarah. Graf otomat adalah sekumpulan simpul yang berkorespondensi dengan keadaan otomat yang berbeda dan menghubungkan simpul-simpul dari busur graf yang bersesuaian dengan transisi otomaton tertentu. Jika sinyal input xk menyebabkan transisi dari keadaan zi ke keadaan zj, maka pada graf otomat busur yang menghubungkan simpul zi dengan simpul zj dilambangkan dengan xk. Untuk mengatur fungsi transisi, busur grafik harus ditandai dengan sinyal keluaran yang sesuai.

Beras. 1. Grafik automata Mealy (a) dan Moore (b).

Saat memecahkan masalah pemodelan, definisi matriks dari mesin keadaan hingga seringkali merupakan bentuk yang lebih nyaman. Dalam hal ini, matriks koneksi otomat adalah matriks persegi C = || cij ||, baris-baris yang sesuai dengan keadaan awal, dan kolom-kolom yang menyatakan keadaan transisi.

Contoh. Untuk otomat Moore F2 yang sebelumnya dianggap, kami menulis matriks keadaan dan vektor output:

;

Model stokastik diskrit

Misalkan adalah himpunan semua pasangan yang mungkin dari bentuk (zk, yi), di mana i adalah elemen dari output

himpunan bagian Y. Kita mensyaratkan bahwa setiap elemen dari himpunan G menginduksi

pada himpunan beberapa hukum distribusi dengan bentuk berikut:

Elemen dari (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Jaringan informasi "href =" / teks / kategori / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> pemrosesan informasi komputer dari terminal jarak jauh, dll.

Pada saat yang sama, khas untuk

pengoperasian objek tersebut adalah penampilan acak dari aplikasi (persyaratan) untuk

layanan dan penghentian layanan secara acak,

yaitu, sifat stokastik dari proses fungsinya.

QS dipahami sebagai sistem dinamis yang dirancang untuk secara efisien melayani aliran acak aplikasi dengan sumber daya sistem yang terbatas. Struktur umum QS ditunjukkan pada Gambar 3.1.

Beras. 3.1. skema SMO.

Klaim homogen yang sampai pada input QS dibagi menjadi tipe-tipe, tergantung dari penyebab pembangkitnya, intensitas aliran klaim tipe i (i = 1 ... M) dilambangkan dengan li. Totalitas aplikasi semua jenis adalah aliran masuk QS.

Layanan aplikasi dilakukan M saluran.

Bedakan antara saluran layanan universal dan khusus. Untuk saluran universal tipe j, fungsi distribusi Fji (t) dari durasi pelayanan klaim tipe arbitrer dianggap diketahui. Untuk saluran khusus, fungsi distribusi untuk durasi layanan saluran jenis klaim tertentu tidak ditentukan, penugasan klaim ini ke saluran ini.

Q - sirkuit dapat diselidiki secara analitis dan dengan model simulasi. Yang terakhir memberikan keserbagunaan yang luar biasa.

Mari kita pertimbangkan konsep antrian.

Dalam setiap tindakan servis dasar, dua komponen utama dapat dibedakan: harapan layanan oleh klaim dan servis aktual dari klaim. Ini dapat ditampilkan dalam bentuk beberapa perangkat layanan ke-i Pi, yang terdiri dari akumulator klaim, di mana dapat secara bersamaan ada li = 0 ... klaim LiH, di mana LiH adalah kapasitas akumulator ke-i, dan saluran layanan klaim, ki.

Beras. 3.2. Diagram skema perangkat CMO

Setiap elemen perangkat servis Pi menerima aliran peristiwa: aliran klaim wi ke akumulator Hi, dan aliran servis ui ke saluran ki.

Dengan alur peristiwa(PS) adalah urutan peristiwa yang terjadi satu demi satu pada beberapa momen acak dalam waktu. Bedakan antara aliran peristiwa homogen dan heterogen. Homogen PS dicirikan hanya oleh momen-momen kedatangan peristiwa-peristiwa tersebut (momen-momen penyebab) dan diberikan oleh barisan (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), di mana tn adalah momen kedatangan ke-n peristiwa - bilangan real non-negatif. TSA juga dapat ditentukan sebagai urutan interval waktu antara kejadian ke-n dan ke-n-1 (tn).

Heterogen PS disebut barisan (tn, fn), di mana tn - momen penyebab; fn - satu set atribut acara. Misalnya, itu dapat ditetapkan ke satu atau beberapa sumber klaim, keberadaan prioritas, kemampuan untuk melayani satu atau beberapa jenis saluran, dll.

Klaim yang dilayani oleh saluran ki dan klaim yang meninggalkan server Pi karena berbagai alasan tidak dilayani dari aliran keluaran yiÎY.

Proses berfungsinya perangkat layanan Pi dapat direpresentasikan sebagai proses perubahan status elemen-elemennya dalam waktu Zi (t). Transisi ke status baru untuk Pi berarti perubahan jumlah permintaan yang ada di dalamnya (di saluran ki dan akumulator Hi). Itu. vektor status untuk Pi memiliki bentuk :, di mana status drive, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = " 28 "> = 1 - ada satu permintaan di penyimpanan ..., = - penyimpanan terisi penuh; - keadaan saluran ki (= 0 - saluran bebas, = 1 saluran sibuk).

Diagram-Q objek nyata dibentuk oleh komposisi banyak perangkat layanan dasar Pi. Jika ki perangkat layanan yang berbeda dihubungkan secara paralel, maka ada layanan multi-saluran (sirkuit Q multisaluran), dan jika perangkat Pi dan komposisi paralelnya dihubungkan secara seri, maka layanan multi-fase terjadi (multi-fase Q- sirkuit).

Untuk mendefinisikan skema-Q, juga perlu untuk menggambarkan algoritma untuk fungsinya, yang menentukan aturan untuk perilaku klaim dalam berbagai situasi ambigu.

Tergantung pada tempat terjadinya situasi seperti itu, ada algoritma (disiplin) untuk menunggu klaim di akumulator i dan untuk melayani klaim di saluran ki. Heterogenitas aliran aplikasi diperhitungkan dengan memperkenalkan kelas prioritas - prioritas relatif dan absolut.

Itu. Skema Q yang menggambarkan proses fungsi QS dengan kompleksitas apa pun secara unik didefinisikan sebagai satu set set: Q = .

Model jaringan.

Untuk deskripsi formal tentang struktur dan interaksi sistem dan proses paralel, serta untuk analisis hubungan sebab-akibat dalam sistem yang kompleks, digunakan Petri Nets, yang disebut skema-N.

Secara formal, skema-N diberikan oleh empat kali lipat dari bentuk

N = ,

di mana B adalah himpunan berhingga simbol yang disebut posisi, B O;

D adalah himpunan berhingga dari simbol-simbol yang disebut transisi D O,

B D O; I - fungsi input (fungsi kejadian langsung)

I: B × D → (0, 1); - fungsi keluaran (fungsi kejadian terbalik),

: B × D → (0, 1). Jadi, fungsi input I memetakan transisi dj ke

himpunan posisi input bj I (dj), dan fungsi output peta O

transisi dj ke himpunan posisi keluaran bj (dj). Untuk setiap transisi

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

saya = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Demikian pula, untuk setiap posisi bi B, definisi diperkenalkan

himpunan transisi input posisi I (bi) dan transisi output

posisi O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Jaring Petri adalah graf berarah bipartit yang terdiri dari dua jenis simpul - posisi dan transisi, dihubungkan oleh busur; simpul dari jenis yang sama tidak dapat dihubungkan secara langsung.

Contoh jaring petri. Lingkaran putih menunjukkan posisi, garis - transisi, lingkaran hitam - label.

Busur orientasi menghubungkan posisi dan transisi, dengan setiap busur diarahkan dari elemen satu set (posisi atau transisi) ke elemen set lain

(transisi atau posisi). Graf berdesain-N adalah multigraf, karena

mengakui adanya banyak busur dari satu simpul ke simpul lainnya.

Dekomposisi "href =" / teks / kategori / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> dekomposisi sistem yang kompleks direpresentasikan sebagai struktur bertingkat dari elemen yang saling berhubungan digabungkan menjadi subsistem dari berbagai tingkatan.

Agregat bertindak sebagai elemen diagram A, dan hubungan antara agregat (di dalam sistem S dan dengan lingkungan luar E) dilakukan dengan menggunakan operator konjugasi R.

Setiap unit dicirikan oleh himpunan berikut: kali T, sinyal input X dan output Y, menyatakan Z pada setiap momen waktu t. Keadaan unit pada waktu tT dilambangkan sebagai z (t) Z,

dan sinyal input dan output masing-masing sebagai x (t) X dan y (t) Y.

Kita akan berasumsi bahwa transisi agregat dari keadaan z (t1) ke keadaan z (t2) z (t1) terjadi dalam selang waktu yang singkat, yaitu ada lompatan δz.

Transisi unit dari keadaan z (t1) ke z (t2) ditentukan oleh parameter intrinsik (internal) dari unit itu sendiri h (t) H dan sinyal input x (t) X.

Pada saat awal t0, keadaan z memiliki nilai sama dengan z0, yaitu z0 = z (t0), diberikan oleh hukum distribusi proses z (t) pada waktu t0, yaitu J. Asumsikan bahwa proses fungsi unit dalam kasus sinyal input aksi xn dijelaskan oleh operator acak V. Kemudian, pada saat sinyal input tiba di unit tnT

xn Anda dapat menentukan keadaan

z (tn + 0) = V.

Kami menunjukkan interval paruh waktu t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 t< t2 как .

Kumpulan operator acak V dan U dianggap sebagai operator transisi agregat ke keadaan baru. Dalam hal ini, proses fungsi unit terdiri dari lompatan status z pada saat-saat kedatangan sinyal input x (operator V) dan perubahan status antara momen-momen tn dan tn + 1 (operator U). Tidak ada batasan yang dikenakan pada operator U; oleh karena itu, lompatan status δz pada waktu yang bukan saat kedatangan sinyal input x dapat diterima. Berikut ini, momen lompatan z akan disebut momen khusus waktu tδ, dan menyatakan z (tδ) - keadaan khusus skema-A. Untuk menggambarkan lompatan keadaan z pada waktu khusus t, kita akan menggunakan operator acak W, yang merupakan kasus khusus dari operator U, yaitu.

z (tδ + 0) = W.

Pada himpunan state Z, subset Z (Y) dibedakan sedemikian rupa sehingga jika z (tδ) mencapai Z (Y), maka state ini adalah momen mengeluarkan sinyal keluaran yang ditentukan oleh operator keluaran

y = G

Jadi, dengan agregat yang kami maksud adalah objek apa pun yang didefinisikan oleh kumpulan terurut dari himpunan yang dipertimbangkan T, X, Y, Z, Z (Y), H dan operator acak V, U, W, G.

Urutan sinyal input, diatur dalam urutan kedatangannya dalam skema-A, akan disebut pesan input atau pesan-x. Urutan sinyal keluaran, yang diurutkan sesuai dengan waktu dikeluarkannya, akan disebut pesan keluaran atau pesan-y.

JIKA SINGKAT

Model deterministik berkelanjutan (D-skema)

Mereka digunakan untuk mempelajari sistem yang beroperasi dalam waktu terus menerus. Diferensial, integral, persamaan integro-diferensial terutama digunakan untuk menggambarkan sistem tersebut. Dalam persamaan diferensial biasa, fungsi dari hanya satu variabel bebas dianggap, dan dalam persamaan diferensial parsial, fungsi dari beberapa variabel.

Sebagai contoh penerapan model-D, kita dapat mengutip studi tentang operasi pendulum mekanik atau rangkaian osilasi listrik. Dasar teknis model-D terdiri dari komputer analog (AVM) atau komputer hibrida (GVM) yang saat ini berkembang pesat. Seperti yang Anda ketahui, prinsip dasar penelitian di komputer adalah bahwa menurut persamaan yang diberikan, peneliti (pengguna AVM) merakit sirkuit dari node tipikal yang terpisah - penguat operasional dengan memasukkan sirkuit untuk penskalaan, redaman, perkiraan, dll.

Struktur ABM berubah sesuai dengan bentuk persamaan yang dapat direproduksi.

Dalam komputer digital, strukturnya tetap tidak berubah, tetapi urutan operasi node-nya berubah sesuai dengan program yang ditetapkan di dalamnya. Perbandingan AVM dan komputer digital jelas menunjukkan perbedaan antara simulasi dan pemodelan statistik.

ABM menerapkan model simulasi, tetapi, sebagai aturan, tidak menggunakan prinsip-prinsip pemodelan statistik. Dalam komputer digital, sebagian besar model simulasi didasarkan pada studi bilangan acak, proses, yaitu pada pemodelan statistik. Model deterministik kontinu banyak digunakan dalam teknik mesin dalam studi sistem kontrol otomatis, pilihan sistem redaman, identifikasi fenomena resonansi dan osilasi dalam teknologi.
dll.

Model deterministik diskrit (sirkuit-F)

Operasikan dengan waktu diskrit. Model-model ini adalah dasar untuk mempelajari pengoperasian kelas sistem automata diskrit yang sangat penting dan tersebar luas saat ini. Untuk tujuan penelitian mereka, perangkat matematika independen dari teori automata telah dikembangkan. Berdasarkan teori ini, sistem dianggap sebagai otomat yang memproses informasi dan perubahan diskrit, tergantung pada hasil pemrosesannya, keadaan internalnya.

Model ini didasarkan pada prinsip-prinsip meminimalkan jumlah elemen dan node dalam rangkaian, perangkat, optimasi perangkat secara keseluruhan dan urutan operasi node-nya. Seiring dengan sirkuit elektronik, perwakilan mencolok dari mesin yang dijelaskan oleh model ini adalah robot yang mengontrol (sesuai dengan program yang diberikan) proses teknologi dalam urutan deterministik tertentu.

Mesin kontrol numerik juga dijelaskan oleh model ini. Pemilihan urutan bagian-bagian pemrosesan pada mesin ini dilakukan dengan mengatur unit kendali (controller) yang menghasilkan sinyal-sinyal kendali pada titik-titik tertentu dalam waktu / 4 /.

Teori Automata menggunakan perangkat matematika fungsi Boolean yang beroperasi pada dua kemungkinan nilai sinyal, 0 dan 1.

Automata dibagi menjadi automata tanpa memori, automata dengan memori. Deskripsi pekerjaan mereka dilakukan dengan menggunakan tabel, matriks, grafik yang menampilkan transisi mesin dari satu keadaan ke keadaan lain. Evaluasi analitis untuk segala jenis deskripsi pengoperasian mesin sangat rumit dan bahkan dengan jumlah elemen yang relatif kecil, simpul yang membentuk perangkat, mereka praktis tidak dapat diterapkan. Oleh karena itu, studi tentang sirkuit kompleks automata, yang tidak diragukan lagi mencakup perangkat robot, dilakukan dengan menggunakan simulasi.

Model stokastik diskrit (P-skema)

Mereka digunakan untuk mempelajari pekerjaan automata probabilistik. Dalam otomata jenis ini, transisi dari satu keadaan ke keadaan lain dilakukan di bawah pengaruh sinyal eksternal dan dengan mempertimbangkan keadaan internal otomat. Namun, tidak seperti T-automata, transisi ini tidak sepenuhnya deterministik, tetapi dapat terjadi dengan probabilitas tertentu.

Contoh model seperti itu adalah rantai Markov diskrit dengan himpunan status berhingga. Analisis skema-F didasarkan pada pemrosesan dan transformasi matriks probabilitas transisi dan analisis grafik probabilitas. Sudah untuk analisis perangkat yang relatif sederhana, yang perilakunya dijelaskan oleh sirkuit-F, disarankan untuk menggunakan simulasi. Contoh simulasi seperti itu diberikan dalam klausa 2.4.

Model stokastik kontinu (skema-Q)

Mereka digunakan dalam analisis kelas sistem yang luas yang dianggap sebagai sistem antrian. Sebagai proses layanan, proses yang berbeda dalam sifat fisiknya dapat direpresentasikan: aliran pasokan produk ke perusahaan, aliran komponen dan produk yang dibuat khusus, aliran suku cadang pada jalur perakitan, aliran tindakan kontrol dari pusat kendali perusahaan. ACS ke tempat kerja dan mengembalikan permintaan untuk pemrosesan informasi di komputer, dll.

Biasanya, aliran ini bergantung pada banyak faktor dan situasi tertentu. Oleh karena itu, dalam kebanyakan kasus, aliran ini acak dalam waktu dengan kemungkinan perubahan setiap saat. Analisis skema tersebut didasarkan pada peralatan matematika dari teori antrian. Ini termasuk rantai Markov terus menerus. Terlepas dari kemajuan signifikan yang dibuat dalam pengembangan metode analitik, teori antrian, analisis skema-Q dengan metode analitik hanya dapat dilakukan dengan asumsi dan asumsi penyederhanaan yang signifikan. Sebuah studi rinci dari sebagian besar skema ini, terutama yang kompleks seperti sistem kontrol proses, sistem robot, hanya dapat dilakukan dengan menggunakan simulasi.

Model umum (A-diagram)

Berdasarkan deskripsi proses berfungsinya sistem apa pun berdasarkan metode agregat. Dengan deskripsi agregat, sistem dibagi menjadi subsistem yang terpisah, yang dapat dianggap nyaman untuk deskripsi matematis. Sebagai hasil dari pembagian (penguraian) seperti itu, sistem yang kompleks disajikan dalam bentuk sistem bertingkat, tingkat individu (agregat) yang dapat dianalisis. Berdasarkan analisis agregat individu dan dengan mempertimbangkan hukum interkoneksi agregat ini, dimungkinkan untuk melakukan studi komprehensif dari keseluruhan sistem.

, Sistem Yakovlev. edisi ke-4 - M.: SMA, 2005.-- S.45-82.

Skema matematika untuk sistem pemodelan

Pro dan kontra dari simulasi

utama harga diri simulasi dalam studi sistem yang kompleks:

· Kemampuan untuk mengeksplorasi fitur proses berfungsinya sistem S dalam kondisi apa pun;

· Karena penggunaan komputer, durasi tes berkurang secara signifikan dibandingkan dengan eksperimen skala penuh;

· Hasil tes skala penuh dari sistem nyata atau bagian-bagiannya dapat digunakan untuk simulasi;

· Fleksibilitas untuk memvariasikan struktur, algoritma, dan parameter sistem yang dimodelkan saat mencari versi sistem yang optimal;

· Untuk sistem yang kompleks - ini adalah satu-satunya metode yang dapat direalisasikan secara praktis untuk mempelajari proses fungsi sistem.

utama batasan pemodelan simulasi:

· Untuk analisis lengkap dari karakteristik proses fungsi sistem dan pencarian opsi optimal, diperlukan untuk mereproduksi percobaan simulasi berkali-kali, memvariasikan data awal masalah;

· Besar pengeluaran waktu komputer.

Efektivitas pemodelan mesin. Saat mensimulasikan, perlu untuk memastikan efisiensi maksimum dari model sistem. Efisiensi biasanya didefinisikan sebagai beberapa perbedaan antara beberapa ukuran nilai hasil yang diperoleh selama pengoperasian model dan biaya yang diinvestasikan dalam pengembangan dan pembuatannya.

Efektivitas pemodelan simulasi dapat dinilai dengan sejumlah kriteria:

Akurasi dan keandalan hasil simulasi,

Waktu membangun dan bekerja dengan model M,

Biaya sumber daya mesin (waktu dan memori),

· Biaya pengembangan dan pengoperasian model.

Ukuran efektivitas terbaik adalah perbandingan hasil yang diperoleh dengan studi nyata. Menggunakan pendekatan statistik, dengan tingkat akurasi tertentu (bergantung pada jumlah realisasi percobaan mesin), karakteristik rata-rata dari perilaku sistem diperoleh.

Total biaya waktu komputer terdiri dari waktu untuk input dan output untuk setiap algoritma simulasi, waktu untuk melakukan operasi komputasi, dengan mempertimbangkan akses ke RAM dan perangkat eksternal, serta kompleksitas setiap algoritma pemodelan dan perencanaan percobaan.

Skema matematika.Model matematika Adalah kumpulan objek matematika (angka, variabel, himpunan, vektor, matriks, dll.) dan hubungan di antara mereka, yang secara memadai mencerminkan sifat fisik dari objek teknis yang dibuat. Proses pembentukan model matematika dan menggunakannya untuk analisis dan sintesis disebut pemodelan matematika.

Saat membangun model matematis dari sistem, perlu untuk menyelesaikan masalah kelengkapannya. Kelengkapan model diatur terutama oleh pilihan "sistem" batas S- Rabu E". Juga, masalah penyederhanaan model harus diselesaikan, yang membantu menyoroti, tergantung pada tujuan pemodelan, sifat-sifat utama sistem, membuang yang sekunder.

Dalam transisi dari deskripsi yang bermakna ke deskripsi formal tentang proses berfungsinya sistem, dengan mempertimbangkan dampak lingkungan eksternal, terapkan skema matematika sebagai penghubung dalam rantai "model deskriptif - skema matematika - model matematika (analitis dan / atau simulasi)".

Model formal objek. Model objek (sistem S) dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan besaran yang menggambarkan proses berfungsinya sistem nyata:

Satu set input mempengaruhi sistem

x i = X,saya =;

Seperangkat pengaruh lingkungan

v J = V, J= ;

Satu set parameter internal (intrinsik) sistem

h k = H, k =;

Set karakteristik keluaran sistem

y j = Y, j =.

Secara umum x i, v j, h k, y j adalah elemen dari himpunan bagian yang terpisah dan mengandung komponen deterministik dan stokastik.

Pengaruh masukan, pengaruh lingkungan E dan parameter internal sistem adalah Mandiri (eksogen) variabel, yang dalam bentuk vektor masing-masing memiliki bentuk ( T) = (x 1 (T), x 2 (T), …, x nX(T)); (T) = (v 1 (T), v 2 (T), …, v nV(T)); (T) = (H 1 (T), H 2 (T), …, h nН(T)), dan karakteristik keluarannya adalah bergantung (endogen) variabel dan dalam bentuk vektor memiliki bentuk: ( T) = (pada 1 (T), pada 2 (T), …, di nY(T)). Anda dapat membedakan antara variabel terkelola dan tidak terkelola.

Proses operasi sistem S dijelaskan dalam waktu oleh operator F S, yang mengubah variabel eksogen menjadi variabel endogen sesuai dengan hubungan bentuk

(T) = F S(,,, T). (2.1)

Himpunan ketergantungan karakteristik keluaran sistem tepat waktu YJ(T) untuk semua jenis j = ditelepon lintasan keluaran (T). Ketergantungan (2.1) disebut hukum fungsi sistem F S, yang ditentukan dalam bentuk fungsi, fungsi, kondisi logis, dalam algoritme, bentuk tabel atau dalam bentuk aturan pencocokan verbal. Algoritma fungsi A S disebut metode untuk memperoleh karakteristik keluaran dengan mempertimbangkan pengaruh masukan ( T), pengaruh lingkungan ( T) dan parameter sistem itu sendiri ( T). Hukum fungsi yang sama F S sistem S dapat dilaksanakan dengan berbagai cara, yaitu menggunakan banyak algoritma fungsi yang berbeda SEBAGAI.

Model matematika disebut dinamis(2.1) jika hubungan matematis menggambarkan perilaku objek (sistem) pemodelan dalam waktu T, yaitu mencerminkan sifat dinamis.

Untuk statis model, model matematika adalah pemetaan antara dua himpunan bagian dari sifat-sifat objek yang dimodelkan kamu dan ( X, V, H) pada saat tertentu, yang dalam bentuk vektor dapat ditulis sebagai

= F(, , ). (2.2)

Hubungan (2.1) dan (2.2) dapat ditentukan dengan cara yang berbeda: analitis (menggunakan rumus), grafik, tabel, dll. Hubungan ini dapat diperoleh melalui sifat-sifat sistem S pada titik waktu tertentu, yang disebut keadaan. Keadaan sistem S dicirikan oleh vektor

" = (z" 1, z " 2, …, Z "k) dan "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

di mana z" 1 = z 1 (T "), z" 2 = z 2 (T "), …, z "k= z k(T ") pada saat ini T "Î ( T 0 , T); z "" 1 = z 1 (T ""), z "" 2 = z 2 (T ""), …, z "" k = z k(T "") pada saat ini T ""Î ( T 0 , T) dll. k =.

Jika kita mempertimbangkan proses berfungsinya sistem S sebagai perubahan sekuensial dari keadaan z 1 (T), z 2 (T), …, z k(T), maka mereka dapat diartikan sebagai koordinat titik di k-dimensi ruang fase... Selain itu, setiap implementasi proses akan sesuai dengan lintasan fase tertentu. Himpunan semua nilai yang mungkin dari keadaan () disebut ruang negara objek pemodelan Z, dan
z kÎ Z.

Status sistem S saat ini T 0 < T * £ T sepenuhnya ditentukan oleh kondisi awal 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [di mana z 0 1 = z 1 (T 0),
z 0 2 = z 2 (T 0), …, z 0 k = z k(T 0)], tindakan masukan ( T), parameter internal ( T) dan pengaruh lingkungan luar ( T) yang terjadi dalam selang waktu T * – T 0, menggunakan dua persamaan vektor

(T) = (0,,,, T); (2.3)

(T) = F(, T). (2.4)

Persamaan pertama untuk keadaan awal 0 dan variabel eksogen,, menentukan fungsi vektor ( T), dan yang kedua sesuai dengan nilai status yang diperoleh ( T) Merupakan variabel endogen pada keluaran sistem ( T). Dengan demikian, rantai persamaan objek "input - status - output" memungkinkan Anda untuk menentukan karakteristik sistem

(T) = F [Ф (0,,,, T)]. (2.5)

Secara umum, waktu dalam model sistem S dapat dipertimbangkan pada interval simulasi (0, T) baik kontinu dan diskrit, yaitu terkuantisasi menjadi segmen-segmen dengan panjang D T satuan waktu masing-masing ketika T = M D T, di mana M = - jumlah interval sampling.

Jadi, di bawah model matematika objek (sistem nyata) memahami subset variabel yang terbatas (( T), (T), (T)) bersama-sama dengan hubungan matematis antara mereka dan karakteristik ( T).

Jika deskripsi matematis objek pemodelan tidak mengandung elemen acak atau tidak diperhitungkan, mis. jika kita dapat mengasumsikan bahwa dalam hal ini pengaruh stokastik dari lingkungan eksternal ( T) dan parameter internal stokastik ( T) tidak ada, maka model tersebut disebut deterministik dalam arti bahwa karakteristik ditentukan secara unik oleh input deterministik

(T) = F(, T). (2.6)

Jelas, model deterministik adalah kasus khusus dari model stokastik.

Skema matematika yang khas. Dalam praktik pemodelan objek di bidang rekayasa sistem dan analisis sistem pada tahap awal penelitian sistem, lebih rasional untuk digunakan. skema matematika khas: persamaan diferensial, automata berhingga dan probabilistik, sistem antrian, jaring petri, sistem agregat, dll.

Skema matematika yang khas memiliki keunggulan kesederhanaan dan kejelasan. Diferensial, integral, integro-diferensial dan persamaan lainnya digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi dalam waktu kontinu sebagai model deterministik, ketika faktor acak tidak diperhitungkan dalam penelitian, dan automata hingga dan skema perbedaan hingga digunakan untuk mewakili sistem yang beroperasi di waktu diskrit. Automata probabilistik digunakan sebagai model stokastik (dengan mempertimbangkan faktor acak) untuk mewakili sistem dengan waktu diskrit, dan sistem antrian digunakan untuk mewakili sistem dengan waktu kontinu. Jaringan petri digunakan untuk menganalisis hubungan sebab-akibat dalam sistem yang kompleks, di mana beberapa proses terjadi secara bersamaan secara paralel. Untuk menggambarkan perilaku sistem kontinu dan diskrit, deterministik dan stokastik (misalnya, ASOIU), pendekatan umum (universal) berdasarkan sistem agregat dapat diterapkan. Dalam deskripsi agregat, objek kompleks (sistem) dibagi menjadi sejumlah bagian (subsistem) yang terbatas, sambil mempertahankan koneksi yang memastikan interaksi bagian-bagian.

Jadi, ketika membangun model matematika dari proses fungsi sistem, pendekatan utama berikut dapat dibedakan: deterministik kontinu ( D-skema); diskrit-deterministik ( F-skema); stokastik diskrit ( R-skema); stokastik kontinu ( Q-skema); jaringan ( n-skema); umum atau universal ( A-skema).

2.2. Model deterministik kontinu ( D-skema)

Hubungan dasar... Mari kita perhatikan ciri-ciri pendekatan deterministik kontinu pada contoh penggunaan persamaan diferensial sebagai model matematika. Persamaan Diferensial disebut persamaan di mana fungsi dari satu atau beberapa variabel tidak diketahui, dan persamaan tersebut tidak hanya mencakup fungsi, tetapi juga turunannya dari berbagai orde. Jika fungsi beberapa variabel tidak diketahui, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial parsial, jika tidak, ketika mempertimbangkan fungsi dari satu variabel independen, persamaan disebut persamaan diferensial biasa.

Hubungan matematis umum untuk sistem deterministik (2.6) akan menjadi

" (T) = (, T); (T 0) = 0 , (2.7)

di mana " = D/dt, = (kamu 1 , kamu 2 , …, y n) dan = ( F 1 , F 2 , …, f n) – n-dimensi vektor; (, T) Merupakan fungsi vektor yang terdefinisi pada beberapa ( n+1) -dimensi (, T) ditetapkan dan kontinu.

Skema matematika semacam ini disebut D-sirkuit(eng. dinamis), mereka mencerminkan dinamika sistem yang sedang dipelajari, dan waktu biasanya berfungsi sebagai variabel independen yang bergantung pada fungsi yang tidak diketahui yang tidak diketahui. T.

Dalam kasus paling sederhana, persamaan diferensial biasa memiliki bentuk:

k"(T) = F(kamu, T). (2.8)

Pertimbangkan contoh paling sederhana untuk memformalkan proses berfungsinya dua sirkuit dasar yang sifatnya berbeda: mekanis S M (ayunan bandul, gbr. 2.1, A) dan listrik S K (sirkuit osilasi, Gambar 2.1, B).

Beras. 2.1. Sistem dasar

Proses osilasi kecil pendulum dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa

M M aku M2 ( D 2 F(T)/ dt 2) + saya M gl M F(T) = 0,

di mana M M, aku M adalah massa dan panjang suspensi pendulum; G- percepatan gravitasi; F(T) Apakah sudut pembelokan bandul pada momen waktu T.

Dari persamaan osilasi bebas pendulum ini, perkiraan karakteristik bunga dapat ditemukan. Misal, periode ayunan bandul

T M = 2 hal.

Demikian pula, proses dalam rangkaian osilasi listrik dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa

L K ( D 2 Q(T)/dt 2) + (Q(T)/C K) = 0,

di mana L K, C K - induktansi dan kapasitansi kapasitor; Q(T) Apakah muatan kapasitor pada saat itu? T.

Dari persamaan ini, Anda bisa mendapatkan berbagai perkiraan karakteristik proses dalam rangkaian osilasi. Misalnya, periode osilasi listrik

T M = 2 hal.

Jelas, memperkenalkan notasi H 2 = M M aku M2 = L K, H 1 = 0,
H 0 = M M gl M = 1 / C K, F(T) = Q(T) = z(T), kita memperoleh persamaan diferensial orde dua biasa yang menggambarkan perilaku sistem loop tertutup ini:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (dz(T)/dt) + H 0 z(T) = 0, (2.9)

di mana H 0 , H 1 , H 2 - parameter sistem; z(T) Apakah keadaan sistem saat ini?
waktu T.

Dengan demikian, perilaku kedua objek ini dapat diselidiki berdasarkan model matematika umum (2.9). Selain itu, perlu diperhatikan bahwa perilaku bandul (sistem S M) dapat dipelajari menggunakan rangkaian osilasi listrik (sistem S KE).

Jika sistem yang dipelajari S(pendulum atau kontur) berinteraksi dengan lingkungan eksternal E, maka tindakan input muncul x(T) (gaya luar untuk bandul dan sumber energi untuk rangkaian), dan model deterministik kontinu dari sistem seperti itu akan memiliki bentuk:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (dz(T)/dt) + H 0 z(T) = x(T). (2.10)

Dari sudut pandang model matematika umum (lihat klausa 2.1) x(T) adalah tindakan input (kontrol), dan status sistem S dalam hal ini, dapat dianggap sebagai karakteristik keluaran, yaitu. variabel output cocok dengan keadaan sistem pada waktu tertentu kamu = z.

Kemungkinan aplikasi D-skema... Untuk menggambarkan sistem kontrol linier, seperti sistem dinamis lainnya, persamaan diferensial tidak homogen memiliki koefisien konstan

di mana,,…, - fungsi waktu yang tidak diketahui dan turunannya; dan merupakan fungsi yang diketahui.

Menggunakan, misalnya, paket perangkat lunak VisSim yang dirancang untuk simulasi proses dalam sistem kontrol yang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial, kami mensimulasikan solusi persamaan diferensial biasa yang tidak homogen.

di mana beberapa fungsi waktu yang diperlukan pada interval dengan kondisi awal nol, kita ambil H 3 =1, H 2 =3, H 1 =1, H 0 =3:

Mewakili persamaan yang diberikan sehubungan dengan turunan tertinggi, kita memperoleh persamaan

yang dapat dimodelkan menggunakan satu set blok penyusun paket VisSim: blok aritmatika - Keuntungan (perkalian dengan konstanta), Summing-Junction (penambah); blok integrasi - Integrator (integrasi numerik), Fungsi Transfer (mengatur persamaan yang direpresentasikan sebagai fungsi transfer); blok untuk mengatur sinyal - Const (konstan), Step (fungsi unit dalam bentuk "langkah"), Ramp (sinyal yang meningkat secara linier); blok-penerima sinyal - Plot (tampilan dalam domain waktu sinyal yang dianalisis oleh peneliti selama simulasi).

dalam gambar. 2.2 menunjukkan representasi grafis dari persamaan diferensial ini. Masukan dari integrator paling kiri sesuai dengan variabel, masukan dari integrator tengah -, dan masukan dari integrator paling kanan -. Output dari integrator paling kanan sesuai dengan variabel kamu.

Kasus tertentu dari sistem dinamis dijelaskan D-skema adalah sistem kontrol otomatis(SPG)dan regulasi(SAR). Objek nyata disajikan dalam bentuk dua sistem: kontrol dan terkontrol (objek kontrol). Struktur sistem kontrol otomatis multidimensi umum ditunjukkan pada Gambar. 2.3, di mana ditunjukkan endogen variabel: ( T) Apakah vektor pengaruh input (master); ( T) Apakah vektor pengaruh yang mengganggu; " (T) Apakah vektor sinyal kesalahan; "" (T) - vektor tindakan kontrol; eksogen variabel: ( T) Adalah vektor keadaan sistem S; (T) Merupakan vektor dari variabel keluaran, biasanya ( T) = (T).

Beras. 2.2. Representasi grafis dari persamaan

Sistem kontrol adalah seperangkat perangkat lunak dan perangkat keras yang memastikan pencapaian tujuan tertentu oleh objek kontrol. Seberapa akurat suatu objek mencapai tujuan tertentu dapat dinilai (untuk sistem satu dimensi) dengan koordinat keadaan kamu(T). Perbedaan antara yang diberikan kamu pantat ( T) dan sah kamu(T) hukum perubahan variabel yang dikendalikan adalah kesalahan kontrol " (T) = kamu pantat ( T) – kamu(T). Jika hukum perubahan yang ditentukan dari kuantitas yang dikendalikan sesuai dengan hukum perubahan tindakan input (master), yaitu. x(T) = kamu pantat ( T), kemudian " (T) = x(T) – kamu(T).

Sistem yang mengontrol kesalahan " (T) = 0 setiap saat disebut ideal... Dalam praktiknya, implementasi sistem yang ideal tidak mungkin dilakukan. Tugas sistem kontrol otomatis adalah mengubah variabel kamu(T) menurut hukum yang diberikan dengan akurasi tertentu (dengan kesalahan yang dapat diterima). Parameter sistem harus memastikan akurasi kontrol yang diperlukan, serta stabilitas sistem dalam proses transien. Jika sistem stabil, maka analisis perilaku sistem dalam waktu, deviasi maksimum dari variabel yang dikendalikan kamu(T) dalam proses sementara, waktu proses sementara, dll. Urutan persamaan diferensial dan nilai koefisiennya sepenuhnya ditentukan oleh parameter statis dan dinamis sistem.

Beras. 2.3. Struktur sistem kontrol otomatis:

C - sistem kontrol; OU - objek kontrol

Jadi menggunakan D-skema memungkinkan Anda untuk memformalkan proses berfungsinya sistem deterministik berkelanjutan S dan mengevaluasi karakteristik utamanya menggunakan pendekatan analitik atau simulasi yang diimplementasikan dalam bentuk bahasa yang sesuai untuk memodelkan sistem kontinu atau menggunakan fasilitas komputasi analog dan hibrid.

2.3. Model deterministik diskrit ( F-skema)

Hubungan dasar... Mari kita pertimbangkan fitur-fitur pendekatan deterministik diskrit pada contoh penggunaan teori automata sebagai peralatan matematika. Sistem direpresentasikan dalam bentuk otomat sebagai perangkat dengan sinyal input dan output yang memproses informasi diskrit dan mengubah keadaan internalnya hanya pada waktu yang dapat diterima. Mesin negara sebuah otomat disebut, di mana himpunan keadaan internal, sinyal input dan output adalah himpunan berhingga.

Automata yang terbatas secara abstrak dapat direpresentasikan sebagai skema matematika ( F-skema), dicirikan oleh enam elemen: himpunan berhingga NS sinyal masukan (abjad masukan); himpunan terbatas kamu sinyal keluaran (abjad keluaran); himpunan terbatas Z keadaan internal (abjad internal atau alfabet keadaan); keadaan awal z 0 , z 0 Î Z; fungsi transisi j ( z, x); fungsi keluaran y ( z, x). Set mesin otomatis F-skema: F = á Z, x, kamu, YJ, z 0 , beroperasi dalam waktu diskrit, momennya adalah jam, yang masing-masing sesuai dengan nilai konstan dari sinyal input dan output dan keadaan internal. Kami menunjukkan keadaan, serta sinyal input dan output yang sesuai dengan T-jam ke T= 0, 1, 2, ..., melalui z(T), x(T), kamu(T). Apalagi dengan kondisi z(0) = z 0, dan z(T)Î Z, x(T)Î x, kamu(T)Î kamu.

Sebuah mesin keadaan abstrak memiliki satu masukan dan satu saluran keluaran. Setiap saat T= 0, 1, 2, ... waktu diskrit F-mesin dalam keadaan tertentu z(T) dari himpunan Z keadaan otomat, dan pada saat awal waktu T= 0 selalu dalam keadaan awal z(0) = z 0. Saat ini T mampu z(T), otomat dapat melihat sinyal pada saluran input x(T)Î x dan keluaran sinyal pada saluran keluaran kamu(T) = y [ z(T),x(T)], meneruskan ke keadaan z ( T+1) = J [ z(T), x(T)], z(T)Î Z, kamu(T)Î kamu... Mesin keadaan terbatas abstrak mengimplementasikan beberapa pemetaan himpunan kata dari alfabet input x pada banyak kata akhir pekan
alfabet kamu... Dengan kata lain, jika input dari state machine diatur ke state awal z 0, berikan huruf alfabet input dalam urutan tertentu x(0), x(1), x(2), ..., yaitu input kata, maka huruf-huruf alfabet output akan muncul secara berurutan pada output mesin kamu(0), kamu(1), kamu(2),…, membentuk kata keluaran.

Dengan demikian, pekerjaan mesin negara terjadi sesuai dengan skema berikut: di masing-masing T-Jam ke input mesin di negara bagian z(T), beberapa sinyal diberikan x(T), yang bereaksi dengan transisi ( T+1) dari jam ke keadaan baru z(T+1) dan memberikan beberapa sinyal keluaran. Hal di atas dapat dijelaskan dengan persamaan berikut: untuk F-otomat jenis pertama, juga disebut Mil otomatis,

z(T+1) = j [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.15)

kamu(T) = y [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.16)

untuk F-otomatis jenis kedua

z(T+1) = j [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.17)

kamu(T) = y [ z(T), x(T - 1)], T= 1, 2, 3,…. (2.18)

Sebuah robot dari jenis kedua, yang

kamu(T) = y [ z(T)], T= 0, 1, 2, …, (2.19)

itu. fungsi keluar tidak tergantung pada variabel input x(T) disebut Senapan serbu Moore.

Jadi, persamaan (2.15) - (2.19), yang secara lengkap mendefinisikan
F-automaton adalah kasus khusus persamaan (2.3) dan (2.4), ketika
sistem S- deterministik dan sinyal diskrit tiba pada satu-satunya inputnya x.

Dengan jumlah negara, mesin negara hingga dengan memori dan tanpa memori dibedakan. Automata dengan memori memiliki lebih dari satu status, dan automata tanpa memori (rangkaian kombinasi atau logika) hanya memiliki satu status. Dalam hal ini, menurut (2.16), operasi rangkaian kombinasional adalah bahwa ia menetapkan untuk setiap sinyal input x(T) sinyal keluaran tertentu kamu(T), yaitu mengimplementasikan fungsi logis dari bentuk

kamu(T) = y [ x(T)], T= 0, 1, 2, … .

Fungsi ini disebut boolean jika alfabet x dan kamu yang menjadi milik nilai sinyal x dan kamu, terdiri dari dua huruf.

Berdasarkan sifat penghitungan waktu diskrit, mesin keadaan hingga dibagi menjadi sinkron dan asinkron. Secara sinkron F-otomatis waktu di mana robot "membaca" sinyal input ditentukan oleh sinyal sinkronisasi wajib. Setelah sinyal sinkronisasi berikutnya, dengan mempertimbangkan "baca" dan sesuai dengan persamaan (2.15) - (2.19), transisi ke keadaan baru terjadi dan sinyal dikeluarkan pada output, setelah itu mesin dapat merasakan nilai berikutnya dari sinyal masukan. Dengan demikian, reaksi mesin terhadap setiap nilai sinyal input berakhir dalam satu siklus, yang durasinya ditentukan oleh interval antara sinyal sinkronisasi yang berdekatan. Tidak sinkron F- mesin membaca sinyal input secara terus-menerus dan oleh karena itu, merespons sinyal input yang cukup panjang dengan nilai konstan x, ia dapat, sebagai berikut dari (2.15) - (2.19), mengubah keadaan beberapa kali, memberikan jumlah sinyal keluaran yang sesuai, hingga menjadi stabil, yang tidak dapat lagi diubah oleh sinyal masukan ini.

Kemungkinan aplikasi F-skema. Untuk mengatur final F-automaton, perlu untuk menggambarkan semua elemen set F= <Z, x, kamu, YJ, z 0>, yaitu abjad input, internal dan output, serta fungsi transisi dan output, dan di antara kumpulan status, perlu untuk memilih status z 0, di mana robot berada dalam keadaan T= 0. Ada beberapa cara untuk mengatur pekerjaan F-otomat, tetapi yang paling umum digunakan adalah tabular, grafis dan matriks.

Dalam metode tabular, tabel transisi dan output ditetapkan, baris yang sesuai dengan sinyal input otomat, dan kolom - ke statusnya. Kolom pertama di sebelah kiri sesuai dengan keadaan awal z 0. Di persimpangan Saya garis ke-th dan k kolom -th dari tabel transisi, nilai yang sesuai j ( z k, x saya) fungsi transisi, dan dalam tabel keluaran - nilai yang sesuai dari y ( z k, x i) fungsi keluaran. Untuk F- Otomat Moore kedua tabel dapat digabungkan.

Deskripsi pekerjaan F-automaton Miles dengan tabel transisi j dan output y diilustrasikan pada Tabel. 2.1, dan deskripsi F-Otomat lainnya - dengan tabel transisi (Tabel 2.2).

Tabel 2.1

X saya	z k
z 0	z 1	…	z k
Transisi
x 1	J ( z 0 , x 1)	J ( z 1 , x 1)	…	J ( z k,x 1)
x 2	J ( z 0 , x 2)	J ( z 1 , x 2)	…	J ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x saya	J ( z 0 , x saya)	J ( z 1 , x saya)	…	J ( z k,x saya)
Keluaran
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x saya	y ( z 0 , x saya)	y ( z 1 , x saya)	…	y ( z k, x saya)

Tabel 2.2

x saya	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	J ( z 0 , x 1)	J ( z 1 , x 1)	…	J ( z k, x 1)
x 2	J ( z 0 , x 2)	J ( z 1 , x 2)	…	J ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x saya	J ( z 0 , x saya)	J ( z 1 , x saya)	…	J ( z k, x saya)

Contoh cara pengaturan tabel F-Mil otomatis F 1 diberikan dalam tabel. 2.3, dan untuk F-mesin moore F 2 - dalam tabel. 2.4.

Tabel 2.3

x saya	z k
z 0	z 1	z 2
Transisi
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Keluaran
x 1	kamu 1	kamu 1	kamu 2
x 2	kamu 1	kamu 2	kamu 1

Tabel 2.4

	kamu
x saya	kamu 1	kamu 1	kamu 3	kamu 2	kamu 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

Dalam cara grafis untuk mendefinisikan mesin keadaan hingga, konsep grafik berarah digunakan. Graf otomat adalah sekumpulan simpul yang berkorespondensi dengan keadaan otomat yang berbeda dan menghubungkan simpul-simpul dari busur graf yang bersesuaian dengan transisi otomaton tertentu. Jika sinyal masukan x k menyebabkan transisi dari keadaan z saya dalam sebuah keadaan z j, maka pada grafik otomat terdapat busur yang menghubungkan simpul tersebut z saya dengan atasan z j, dilambangkan x k... Untuk mengatur fungsi output, busur grafik harus ditandai dengan sinyal output yang sesuai. Untuk mesin Miles, penandaan ini dilakukan sebagai berikut: jika sinyal input x k bertindak atas negara z saya, maka kita mendapatkan busur keluar dari z saya dan ditandai x k; busur ini juga ditandai dengan sinyal keluaran kamu= y ( z saya, x k). Untuk otomat Moore, penandaan grafik yang serupa adalah sebagai berikut: jika sinyal input x k, yang bekerja pada keadaan otomat tertentu, menyebabkan transisi ke keadaan z j, maka busur diarahkan ke z saya dan ditandai x k, selain itu merayakan akhir pekan
sinyal kamu= y ( z j, x k).

dalam gambar. 2.4. A, B diberikan sebelumnya dalam tabel F-Mesin mil F 1 dan Moore F 2 masing-masing.

Beras. 2.4. Grafik Automata a - Mil dan b - Moore

Untuk penetapan matriks otomat hingga, matriks koneksi otomat adalah persegi DENGAN=||dengan ij||, baris sesuai dengan status awal dan kolom sesuai dengan status transisi. Elemen dengan ij = x k/y s berdiri di persimpangan
Saya garis ke-th dan J kolom -th, dalam kasus otomat Miles sesuai dengan sinyal input x k menyebabkan transisi dari keadaan z saya dalam sebuah keadaan z j, dan sinyal keluaran y s dihasilkan oleh transisi ini. Untuk mesin Miles F 1, dipertimbangkan di atas, matriks senyawa memiliki bentuk:

x 2 /kamu 1 – x 1 /kamu 1

C 1 = x 1 /kamu 1 – x 2 /kamu 2 .

x 1 /kamu 2 x 2 /kamu 1 –

Jika transisi dari keadaan z saya dalam sebuah keadaan z j terjadi di bawah aksi beberapa sinyal, elemen matriks c ij adalah satu set pasangan input-output untuk transisi ini, dihubungkan oleh tanda disjungsi.

Untuk F-elemen mesin moore dengan ij sama dengan himpunan sinyal input pada transisi ( z saya, z j), dan output dijelaskan oleh vektor output

= y ( z k) ,

Saya-komponen yang merupakan sinyal keluaran yang menunjukkan keadaan z saya.

Untuk di atas F-mesin moore F2 matriks koneksi dan vektor output berbentuk:

–x 1 –x 2 –pada 1

–x 2 – –x 1 pada 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –pada 2

x 2 –x 1 – –pada 3

Untuk otomata deterministik, kondisi keunikan transisi terpenuhi: otomaton dalam keadaan tertentu tidak dapat melewati lebih dari satu keadaan di bawah aksi sinyal input apa pun. Diterapkan pada cara pengaturan grafis F-automaton, ini berarti bahwa pada graf automaton, dua atau lebih edge yang ditandai dengan sinyal input yang sama tidak dapat keluar dari sembarang vertex. Dan dalam matriks koneksi mesin DENGAN setiap sinyal input tidak boleh muncul lebih dari satu kali pada setiap saluran.

Untuk F-kondisi otomatis z k ditelepon berkelanjutan, jika untuk setiap masukan x saya X untuk yang j ( z k, x saya) = zk, J ( z k,x saya) = y k. F-mesin itu disebut asinkron, jika setiap negara bagian z k Z stabil.

Dengan demikian, konsep dalam pendekatan deterministik diskrit untuk mempelajari sifat-sifat objek pada model adalah abstraksi matematis, yang sesuai untuk menggambarkan kelas yang luas dari proses fungsi objek nyata dalam sistem kontrol otomatis. Dengan menggunakan F- dari sebuah otomat, dimungkinkan untuk menggambarkan objek yang dicirikan oleh keberadaan keadaan diskrit, dan sifat kerja diskrit dalam waktu - ini adalah elemen dan simpul komputer, kontrol, perangkat regulasi dan kontrol, sistem waktu dan ruang beralih dalam teknologi pertukaran informasi, dll.

2.4. Model stokastik diskrit ( R-skema)

Hubungan dasar... Mari kita perhatikan fitur membangun skema matematika dengan pendekatan stokastik diskrit pada automata probabilistik (stokastik). Secara umum otomat probabilistik
R-skema(bahasa Inggris probabijistic automat) dapat didefinisikan sebagai pengubah informasi baris-ke-baris diskrit dengan memori, yang fungsinya dalam setiap siklus hanya bergantung pada keadaan memori di dalamnya, dan dapat dijelaskan secara statistik.

Mari kita perkenalkan konsep matematika R-automaton, menggunakan konsep yang diperkenalkan untuk F-otomat. Pertimbangkan himpunan G, yang elemen-elemennya adalah semua pasangan yang mungkin ( x i, z s), di mana x saya dan z s- elemen dari subset input NS dan himpunan bagian dari negara bagian Z, masing-masing. Jika ada dua fungsi j dan y yang digunakan untuk melakukan pemetaan G®Z dan G®Y, lalu mereka mengatakan itu F = X, Y, j, y> mendefinisikan otomat tipe deterministik.

Mari kita pertimbangkan skema matematika yang lebih umum. Biarlah
- himpunan semua kemungkinan pasangan bentuk ( z k, y i), di mana Saya- elemen dari subset keluaran kamu... Kami mengharuskan setiap elemen dari himpunan G diinduksi pada himpunan beberapa hukum distribusi dari bentuk berikut:

Di mana b kj= 1, dimana b kj- probabilitas transisi otomat ke keadaan z k dan munculnya sinyal pada output YJ jika dia mampu z s dan pada inputnya pada saat ini sinyal diterima x saya... Banyaknya distribusi seperti itu yang disajikan dalam bentuk tabel sama dengan jumlah elemen himpunan G... Kami menyatakan himpunan tabel ini dengan B. Kemudian empat elemen P = disebut otomat probabilistik
(R-otomatis).

Kemungkinan aplikasi P-skema. Biarkan elemen himpunan G menginduksi beberapa hukum distribusi pada himpunan bagian kamu dan Z, yang masing-masing dapat diwakili dalam bentuk:

Di mana z k = 1 dan qj = 1, dimana z k dan qj - probabilitas transisi
R-mesin otomatis dalam keadaan z k dan penampilan sinyal keluaran y k dengan ketentuan
R z s dan inputnya menerima sinyal input x saya.

Jika untuk semua orang k dan J hubungan itu berlaku q j z k = b kj, lalu seperti itu
R-mesin itu disebut Otomat probabilistik Miles... Persyaratan ini berarti terpenuhinya kondisi kemandirian distribusi bagi negara baru R-perangkat otomatis dan sinyal outputnya.

Sekarang biarkan definisi sinyal output R- otomat hanya bergantung pada keadaan di mana otomat berada dalam siklus kerja tertentu. Dengan kata lain, biarkan setiap elemen dari himpunan bagian keluaran kamu menginduksi distribusi probabilitas output yang memiliki bentuk berikut:

Di Sini s saya = 1, dimana aku- kemungkinan munculnya sinyal keluaran y saya pada pada kata-kata dan itu R-mesin dalam keadaan z k.

Jika untuk semua orang k dan Saya hubungan itu berlaku z k s saya =b ki lalu seperti itu
R-mesin itu disebut Otomat probabilistik Moore. Konsep
R-Otomata Miley dan Moore diperkenalkan dengan analogi dengan deterministik
F-otomat. Kasus tertentu R- otomat didefinisikan sebagai P=X, Y, B> adalah automata di mana transisi ke keadaan baru atau sinyal keluaran ditentukan secara deterministik. Jika sinyal keluaran
R-automaton ditentukan secara deterministik, maka robot seperti itu disebut
kamu-... Juga,
Z-otomat probabilistik deterministik ditelepon R- sebuah robot di mana pilihan negara baru bersifat deterministik.

Contoh 2.1. Biar dikasih kamu-deterministik P-mesin

dalam gambar. 2.5 menunjukkan grafik transisi terarah dari robot ini. Simpul dari grafik dikaitkan dengan keadaan otomat, dan busur dikaitkan dengan kemungkinan transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Busur memiliki bobot yang sesuai dengan probabilitas transisi p ij, dan nilai sinyal keluaran yang diinduksi oleh keadaan ini ditulis di dekat simpul grafik. Diperlukan untuk memperkirakan total probabilitas akhir dari tinggal ini P-otomatis di negara bagian z 2 dan z 3 .

Beras. 2.5. Grafik otomat probabilitas

Dengan menggunakan pendekatan analitis, seseorang dapat menuliskan hubungan yang diketahui dari teori rantai Markov dan memperoleh sistem persamaan untuk menentukan probabilitas akhir. Dalam hal ini, keadaan awal z 0 dapat diabaikan, karena distribusi awal tidak mempengaruhi nilai probabilitas akhir. Lalu kita punya

di mana dengan k- probabilitas akhir untuk tinggal R-Perangkat otomatis dalam keadaan z k.

Kami mendapatkan sistem persamaan

Kami menambahkan persamaan ini kondisi normalisasi dengan 1 + dengan 2 + dengan 3 + dengan 4 = 1. Kemudian, memecahkan sistem persamaan, kita memperoleh dengan 1 = 5/23, dengan 2 = 8/23, dengan 3 = 5/23,
dengan 4 = 5/23. Dengan demikian, dengan 2 + dengan 3 = 13/23 = 0,5652. Dengan kata lain, dengan pekerjaan tanpa akhir yang diberikan dalam contoh ini kamu-deterministik
R-automaton pada outputnya urutan biner terbentuk dengan probabilitas terjadinya satu sama dengan 0,5652.

Serupa R-otomat dapat digunakan sebagai generator urutan Markov, yang diperlukan dalam konstruksi dan implementasi proses untuk berfungsinya sistem S atau pengaruh lingkungan E.

2.5. Model stokastik kontinu ( Q-skema)

Hubungan dasar... Kami akan mempertimbangkan fitur dari pendekatan stokastik kontinu menggunakan contoh matematika khas Q- skema - sistem antrian(Sistem antrian bahasa Inggris).

Sebagai suatu proses jasa, berbagai dalam sifat fisiknya proses fungsi ekonomi, produksi, teknis dan sistem lainnya dapat diwakili, misalnya: aliran pasokan produk ke perusahaan tertentu, aliran suku cadang dan komponen pada jalur perakitan suatu bengkel, permintaan untuk memproses informasi komputer dari terminal jarak jauh dan lain-lain. Dalam hal ini, fitur karakteristik dari pengoperasian objek tersebut adalah munculnya klaim (persyaratan) acak untuk servis dan penyelesaian servis pada waktu yang acak, mis. sifat stokastik dari proses fungsinya.

Dengan alur peristiwa disebut urutan peristiwa yang terjadi satu demi satu pada beberapa momen acak dalam waktu. Bedakan antara aliran peristiwa homogen dan heterogen. Aliran acara ditelepon homogen, jika hanya dicirikan oleh momen-momen kedatangan peristiwa-peristiwa tersebut (momen-momen penyebab) dan diberikan oleh urutan ( t n} = {0 £ T£ 1 T 2 ... £ t n£ … }, di mana t n - saat kedatangan NS- kejadian ke- merupakan bilangan real non-negatif. Aliran peristiwa yang homogen juga dapat ditentukan sebagai urutan interval waktu antara NS- M dan kejadian ke (n - 1) (t n), yang jelas terkait dengan urutan momen yang menantang ( t n} , dimana t n = t n– t n -1 ,NS 1, T 0 = 0, itu. t 1 = t 1 . Aliran peristiwa yang heterogen disebut barisan ( t n, f n} , di mana t n - saat-saat yang menantang; f n - kumpulan tanda peristiwa Misalnya, dalam kaitannya dengan proses layanan untuk aliran klaim yang tidak seragam, dapat ditetapkan milik sumber klaim tertentu, keberadaan prioritas, kemampuan untuk melayani satu jenis saluran atau lainnya.

Dalam setiap tindakan servis dasar, dua komponen utama dapat dibedakan: harapan layanan oleh klaim dan servis aktual dari klaim. Hal ini dapat digambarkan dalam bentuk beberapa Saya-perangkat layanan P saya(Gbr. 2.6), terdiri dari akumulator pesanan Hai, yang sekaligus dapat Ji= aplikasi dimana L i H– kapasitas
Saya penyimpanan -go, dan saluran untuk permintaan servis (atau hanya saluran) K saya Untuk setiap elemen perangkat layanan P saya aliran acara tiba: ke drive Hai aliran aplikasi saya, per saluran K aku - aliran layanan dan saya.

Beras. 2.6. Perangkat layanan aplikasi

Aplikasi dilayani oleh saluran aku, dan permintaan yang meninggalkan perangkat P saya tidak dilayani karena berbagai alasan (misalnya, karena drive yang meluap Hai), membentuk aliran keluaran y saya Y, itu. interval waktu antara saat-saat keluarnya pesanan membentuk subset dari variabel output.

Biasanya, alur aplikasi w saya W, itu. interval waktu antara saat-saat munculnya pesanan di pintu masuk K aku, membentuk subset dari variabel yang tidak dikelola, dan aliran layanan kamu aku U, itu. interval waktu antara awal dan akhir pelayanan klaim, membentuk subset dari variabel terkontrol.

Proses operasi perangkat layanan P saya dapat direpresentasikan sebagai proses perubahan keadaan elemen-elemen waktunya z saya(T). Transisi ke keadaan baru untuk P saya berarti perubahan jumlah aplikasi yang ada di dalamnya (dalam saluran K aku dan dalam berkendara Hai). Jadi, vektor keadaan untuk P saya seperti: , di mana z saya H- keadaan mengemudi Hai (z saya H= 0 - drive kosong, z saya H= 1 - ada satu permintaan di penyimpanan, ..., z saya H = L i H – drive benar-benar penuh); L i H - kapasitas penyimpanan Hai, diukur dengan jumlah aplikasi yang dapat ditampung di dalamnya; z saya k - status saluran K aku(z saya k = 0 – salurannya gratis, z saya k= 1 - saluran sedang sibuk).

Kemungkinan aplikasi Q- skema. Dalam praktik pemodelan sistem dengan hubungan struktural dan algoritme perilaku yang lebih kompleks, untuk formalisasi, bukan perangkat layanan terpisah yang digunakan, tetapi
Q- skema , dibentuk oleh komposisi banyak perangkat layanan dasar P saya Jika saluran K aku perangkat layanan yang berbeda terhubung secara paralel, maka layanan multichannel terjadi ( multisaluran Q- skema) , dan jika perangkat P saya dan komposisi paralelnya dihubungkan secara seri, maka ada layanan multifase ( multifase Q- skema) . Jadi untuk pekerjaan itu Q- skema harus menggunakan operator konjugasi R, yang mencerminkan interkoneksi elemen struktur (saluran dan perangkat penyimpanan) satu sama lain.