V srdci fuzzy logika leží teória fuzzy množín, predstavená v sérii diel L. Zadeha v rokoch 1965-1973. Fuzzy množiny a fuzzy logika sú zovšeobecneniami klasickej teórie množín a klasickej formálnej logiky. Hlavným dôvodom vzniku novej teórie bola prítomnosť fuzzy a približného uvažovania, keď človek opisuje procesy, systémy, objekty.

L. Zadeh, formulujúci túto hlavnú vlastnosť fuzzy množín, vychádzal z diel svojich predchodcov. Začiatkom 20. rokov 20. storočia poľský matematik Lukaševič pracoval na princípoch viachodnotovej matematickej logiky, v ktorej hodnoty predikátov mohli byť viac než len „pravdivé“ alebo „nepravdivé“. V roku 1937 ďalší americký vedec M. Black prvýkrát aplikoval Lukaševičovu logiku s viacerými hodnotami na zoznamy ako súbory objektov a nazval tieto sady neurčitými.

Fuzzy logiku ako vedecký smer nebolo ľahké vyvinúť a neobišla ani obvinenia z pseudovedy. Dokonca aj v roku 1989, keď existovali desiatky príkladov úspešného uplatnenia fuzzy logiky v obrane, priemysle a obchode, diskutovala americká národná vedecká spoločnosť o otázke vylúčenia materiálov o fuzzy množinách z učebníc inštitútu.

Prvé obdobie vývoja fuzzy systémov (koniec 60. - začiatok 70. rokov) je charakterizované vývojom teoretického aparátu fuzzy množín. V roku 1970 vyvinul Bellman spolu so Zadehom teóriu rozhodovania vo fuzzy podmienkach.

V 70.-80. rokoch (druhé obdobie) sa objavili prvé praktické výsledky v oblasti fuzzy riadenia zložitých technických systémov (parný generátor s fuzzy riadením). I. Mamdani v roku 1975 navrhol prvý regulátor pracujúci na základe Zadeovej algebry na ovládanie parnej turbíny. Súčasne sa začala venovať pozornosť vytváraniu expertných systémov založených na fuzzy logike, vývoju fuzzy regulátorov. Fuzzy expertné systémy pre podporu rozhodovania našli široké uplatnenie v medicíne a ekonomike.

Nakoniec, v treťom období, ktoré trvá od konca 80. rokov a pokračuje v súčasnej dobe, sa objavujú softvérové ​​balíky na výstavbu fuzzy expertných systémov a polia aplikácie fuzzy logiky sa výrazne rozširujú. Používa sa v automobilovom, leteckom a dopravnom priemysle, domácich spotrebičoch, financiách, analýze a rozhodovaní manažmentu a mnohých ďalších. Okrem toho významnú úlohu vo vývoji fuzzy logiky zohral dôkaz známej FAT (Fuzzy Approximation Theorem) od B. Cosca, ktorý uviedol, že akýkoľvek matematický systém je možné aproximovať systémom založeným na fuzzy logike.

Nazývajú sa informačné systémy založené na fuzzy množinách a fuzzy logike fuzzy systémy.

Výhody fuzzy systémy:

· Funguje v podmienkach neistoty;

· Prevádzka s kvalitatívnymi a kvantitatívnymi údajmi;

· Využívanie odborných znalostí v manažmente;

· Konštrukcia modelov približného uvažovania osoby;

· Stabilita pri všetkých možných poruchách pôsobiacich na systém.

Nevýhody Fuzzy systémy sú:

· Absencia štandardnej metodiky pre navrhovanie fuzzy systémov;

· Nemožnosť matematickej analýzy fuzzy systémov existujúcimi metódami;

· Použitie fuzzy prístupu v porovnaní s pravdepodobnostným prístupom nevedie k zvýšeniu presnosti výpočtov.

Teória fuzzy množín. Hlavný rozdiel medzi teóriou fuzzy množín a klasickou teóriou jasných množín spočíva v tom, že ak pre ostré množiny môžu byť výsledkom výpočtu charakteristickej funkcie iba dve hodnoty- 0 alebo 1, potom pre fuzzy množiny je toto číslo nekonečné, ale obmedzený rozsahom od nuly do jednej.

Fuzzy sada. Nech U je takzvaná univerzálna množina, z prvkov ktorej sú vytvorené všetky ostatné množiny uvažované v danej triede problémov, napríklad množina všetkých celých čísel, množina všetkých hladkých funkcií atď. Charakteristickou funkciou množiny je funkcia, ktorej hodnoty naznačujú, či ide o prvok množiny A:

V teórii fuzzy množín sa charakteristická funkcia nazýva členská funkcia a jej hodnota je stupeň členstva prvku x vo fuzzy množine A.

Presnejšie: fuzzy množina A je zbierka párov

kde je funkcia členstva?

Nech je napríklad U = (a, b, c, d, e) ,. Potom prvok a nepatrí do množiny A, prvok b k nemu v malej miere patrí, prvok c viac -menej patrí, prvok d patrí do značnej miery, e je prvok množiny A.

Príklad. Nech je vesmír U množinou skutočných čísel. Fuzzy množinu A, označujúcu množinu čísel blízkych 10, možno určiť nasledujúcou funkciou členstva (obr. 21.1):

,

Príklad „Horúci čaj“ X = 0 CC; C = 0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0, 90/70; 1/80; 1/90; 1/100.

Priesečník dvoch fuzzy množín (fuzzy "AND"): MF AB (x) = min (MF A (x), MF B (x)). Spojenie dvoch fuzzy množín (fuzzy „ALEBO“): MF AB (x) = max (MF A (x), MF B (x)).

Podľa Lotfi Zadeha je lingvistická premenná premenná, ktorej hodnoty sú slová alebo vety prirodzeného alebo umelého jazyka. Hodnoty jazykovej premennej môžu byť fuzzy premenné, t.j. lingvistická premenná je na vyššej úrovni ako fuzzy premenná.

Každá jazyková premenná pozostáva z: názvu; množina jeho hodnôt, ktorá sa nazýva aj množina základných pojmov T. Prvkami súboru základných pojmov sú názvy fuzzy premenných; univerzálna sada X; syntaktické pravidlo G, podľa ktorého sa nové výrazy generujú pomocou slov prirodzeného alebo formálneho jazyka; sémantické pravidlo P, ktoré každej hodnote lingvistickej premennej priradí fuzzy podmnožinu množiny X.

Opis lingvistickej premennej „Cena akcie“ X = Základná sada termínov: „Nízka“, „Stredná“, „Vysoká“

Opis lingvistickej premennej „Vek“

Fuzzy logika mäkkých počítačov, umelé neurónové siete, pravdepodobnostné uvažovanie, evolučné algoritmy

Budovanie siete (po výbere vstupných premenných) Vyberte počiatočnú konfiguráciu siete Vykonajte sériu experimentov s rôznymi konfiguráciami, pričom si zapamätajte najlepšiu sieť (v zmysle chyby pri pokladni). Pre každú konfiguráciu by sa malo vykonať niekoľko experimentov. Ak v nasledujúcom experimente dôjde k nedostatočnému prispôsobeniu (sieť neposkytuje výsledok prijateľnej kvality), skúste do medzivrstvy (vrstiev) pridať ďalšie neuróny. Ak to nefunguje, skúste pridať novú medzivrstvu. Ak dôjde k nadmernému vybaveniu (chyba ovládania začala narastať), skúste odstrániť niekoľko skrytých prvkov (a možno aj vrstiev).

Problémy s ťažbou dát vyriešené pomocou klasifikácie neurónových sietí (učenie pod dohľadom) Predikcia Zhlukovanie (učenie bez dozoru) rozpoznávanie textu, rozpoznávanie reči, identifikácia osobnosti nájsť najlepšiu aproximáciu funkcie danej konečným súborom vstupných hodnôt (príklady školení, problém kompresia informácií znížením dátovej dimenzie

Úloha „Či vydať pôžičku klientovi“ v analytickom balíku Deductor (BaseGroup) Tréningová sada - databáza obsahujúca informácie o klientoch: - výška pôžičky, - doba pôžičky, - účel pôžičky, - vek, - pohlavie, - vzdelávanie , - Súkromný majetok, - Byt, - Plocha bytu. Je potrebné vybudovať model, ktorý bude schopný dať odpoveď, či je klient, ktorý chce získať pôžičku, v rizikovej skupine zlyhania pôžičky, t.j. používateľ by mal dostať odpoveď na otázku „Mám poskytnúť pôžičku?“ Úloha patrí do skupiny klasifikačných úloh, t.j. učenie s učiteľom.

Uvažujme o niektorých metódach „mäkkého“ výpočtu, ktoré sa v podnikaní zatiaľ veľmi nepoužívajú. Algoritmy a parametre týchto metód sú oveľa menej deterministické ako tradičné. Vznik konceptov „mäkkých“ počítačov bol spôsobený pokusmi o zjednodušené modelovanie intelektuálnych a prírodných procesov, ktoré sú do značnej miery náhodné.

Neurónové siete využívajú moderné chápanie štruktúry a fungovania mozgu. Verí sa, že mozog pozostáva z jednoduchých prvkov - neurónov, spojených synapsami, prostredníctvom ktorých si vymieňajú signály.

Hlavnou výhodou neurónových sietí je schopnosť učiť sa príkladom. Učenie je vo väčšine prípadov proces zmeny váhových koeficientov synapsií podľa konkrétneho algoritmu. To si spravidla vyžaduje mnoho príkladov a mnoho tréningových cyklov. Tu môžete nakresliť analógiu s reflexmi Pavlovovho psa, v ktorých sa tiež okamžite nezačalo objavovať slinenie na zavolanie. Poznamenávame len, že najkomplexnejšie modely neurónových sietí sú o mnoho rádov jednoduchšie ako mozog psa; a je potrebných oveľa viac tréningových cyklov.

Použitie neurónových sietí je odôvodnené, ak nie je možné vytvoriť presný matematický model skúmaného objektu alebo javu. Napríklad tržby v decembri sú zvyčajne vyššie ako v novembri, ale neexistuje žiadny vzorec, podľa ktorého by sa dalo vypočítať, o koľko ich bude tento rok viac; na predpovedanie objemu predaja môžete trénovať neurónovú sieť pomocou príkladov z predchádzajúcich rokov.

Medzi nevýhody neurónových sietí patrí: dlhý čas školenia, tendencia prispôsobiť sa tréningovým údajom a pokles zovšeobecňujúcich schopností s rastúcim časom školenia. Navyše nie je možné vysvetliť, ako sieť prichádza k tomu alebo onomu riešeniu problému, to znamená, že neurónové siete sú systémy čiernej skrinky, pretože funkcie neurónov a váhy synapsií nemajú skutočnú interpretáciu. Napriek tomu existuje veľa algoritmov neurónových sietí, v ktorých sú tieto a ďalšie nevýhody nejakým spôsobom vyrovnané.

Pri prognózovaní sa neurónové siete používajú najčastejšie podľa najjednoduchšej schémy: ako vstupné údaje sa do siete dodávajú predspracované informácie o hodnotách predpovedaného parametra za niekoľko predchádzajúcich období, na výstupe sieť vydá predpoveď pre ďalšie obdobia - ako vo vyššie uvedenom príklade s tržbami. Existujú aj menej triviálne spôsoby, ako získať predpoveď; Neurónové siete sú veľmi flexibilným nástrojom, preto existuje mnoho konečných modelov samotných sietí a ich aplikácií.

Ďalšou metódou sú genetické algoritmy. Sú založené na riadenom náhodnom vyhľadávaní, to znamená na pokuse simulovať evolučné procesy v prírode. V základnej verzii genetické algoritmy fungujú takto:

1. Riešenie problému je prezentované vo forme chromozómu.

2. Vytvorí sa náhodný súbor chromozómov - toto je počiatočná generácia riešení.

3. Spracovávajú ich špeciálni operátori reprodukcie a mutácie.

4. Riešenia sa vyhodnotia a vyberú na základe funkcie vhodnosti.

5. Zobrazí sa nová generácia riešení a cyklus sa zopakuje.

Výsledkom je, že s každou epochou evolúcie sa nachádzajú dokonalejšie riešenia.

Pri použití genetických algoritmov analytik nepotrebuje a priori informácie o povahe počiatočných údajov, o ich štruktúre atď. Analógia je tu transparentná - farba očí, tvar nosa a hrúbka vlasovej línie. na nohách sú v našich génoch kódované rovnakými nukleotidmi.

Pri prognózovaní sa genetické algoritmy len zriedka používajú priamo, pretože je ťažké prísť s kritériom na vyhodnotenie prognózy, tj. S kritériom pre výber rozhodnutí - pri narodení nie je možné určiť, kto sa stane - astronautom alebo alkonaut. Genetické algoritmy preto zvyčajne slúžia ako pomocná metóda - napríklad pri výcviku neurónovej siete s neštandardnými aktivačnými funkciami, v ktorých nie je možné použiť gradientové algoritmy. Tu ako príklad môžeme pomenovať siete MIP, ktoré úspešne predpovedajú zdanlivo náhodné javy - počet škvŕn na slnku a intenzitu laseru.

Ďalšou metódou je fuzzy logika, ktorá simuluje procesy myslenia. Na rozdiel od binárnej logiky, ktorá vyžaduje presné a jednoznačné formulácie, fuzzy ponúka inú úroveň myslenia. Formalizácia vyhlásenia „predaje za posledný mesiac boli nízke“ v rámci tradičnej binárnej alebo „booleovskej“ logiky vyžaduje jasné rozlíšenie medzi nízkymi (0) a vysokými (1) tržbami. Napríklad tržby rovné alebo vyššie ako 1 milión šekelov sú vysoké, nižšie tržby sú nízke.

Vynára sa otázka: prečo sú tržby na úrovni 999 999 šeklov už považované za nízke? Očividne to nie je úplne správne tvrdenie. Fuzzy logika funguje s mäkšími konceptmi. Napríklad predaj 900 000 NIS by bol považovaný za vysoký s hodnotením 0,9 a nízky s hodnotením 0,1.

Vo fuzzy logike sú úlohy formulované podľa pravidiel pozostávajúcich zo súborov podmienok a výsledkov. Príklady najjednoduchších pravidiel: „Ak zákazníci dostali skromnú pôžičku, potom bude predaj taký nízky“, „Ak sa zákazníkom ponúkne slušná zľava, potom bude predaj dobrý“.

Po nastavení problému z hľadiska pravidiel sa jasné hodnoty podmienok (doba pôžičky v dňoch a výška zľavy v percentách) prevedú na fuzzy formu (veľkú, malú atď.). Potom sú spracované pomocou logických operácií a inverznej transformácie na číselné premenné (predpokladaná úroveň tržieb v jednotkách výroby).

V porovnaní s pravdepodobnostnými metódami môžu fuzzy drasticky znížiť množstvo vykonaných výpočtov, ale spravidla nezvyšujú ich presnosť. Medzi nedostatky týchto systémov možno uviesť absenciu štandardnej metodiky návrhu, nemožnosť matematickej analýzy tradičnými metódami. Navyše v klasických fuzzy systémoch zvýšenie počtu vstupných veličín vedie k exponenciálnemu zvýšeniu počtu pravidiel. Na prekonanie týchto a ďalších nevýhod, ako v prípade neurónových sietí, existuje mnoho modifikácií fuzzy-logických systémov.

V rámci metód mäkkých výpočtov je možné rozlíšiť takzvané hybridné algoritmy, ktoré obsahujú niekoľko rôznych komponentov. Napríklad fuzzy-logické siete, alebo už spomínané neurónové siete s genetickým učením.

V hybridných algoritmoch spravidla existuje synergický efekt, v ktorom sú nevýhody jednej metódy kompenzované výhodami ostatných a konečný systém ukazuje výsledok, ktorý je pre každú zo zložiek nedostupný samostatne.

Názov: Fuzzy logika a umelé neurónové siete.

Ako viete, aparát fuzzy množín a fuzzy logiky sa úspešne používa už nejaký čas (viac ako 10 rokov) na riešenie problémov, v ktorých sú počiatočné údaje nespoľahlivé a zle formalizované. Silné stránky tohto prístupu:
-popis podmienok a spôsobu riešenia problému jazykom blízkym prirodzenému;
-univerzita: podľa známej FAT (Fuzzy Aproximation Theorem), ktorú dokázal B.Kosko v roku 1993, akýkoľvek matematický systém je možné aproximovať systémom založeným na fuzzy logike;

Pre fuzzy expertné a riadiace systémy sú zároveň charakteristické určité nevýhody:
1) počiatočný súbor postulovaných fuzzy pravidiel formuloval ľudský odborník a môže sa ukázať ako neúplný alebo protirečivý;
2) typ a parametre funkcií členstva popisujúce vstupné a výstupné premenné systému sú zvolené subjektívne a nemusia úplne odrážať realitu.
Aby sa aspoň čiastočne odstránili naznačené nedostatky, niekoľko autorov navrhlo implementovať fuzzy expertné a riadiace systémy s adaptívnymi - upravovaním pravidiel a parametrov funkcií členstva tak, ako systém funguje. Medzi niekoľkými variantmi takejto adaptácie je jednou z najúspešnejších metóda takzvaných hybridných neurónových sietí.
Hybridná neurónová sieť má formálne rovnakú štruktúru ako viacvrstvová neurónová sieť so školením, napríklad podľa algoritmu spätnej propagácie chýb, ale skryté vrstvy v nej zodpovedajú fázam fungovania fuzzy systému. Takže:
1. vrstva neurónov plní funkciu zavedenia fuzzy na základe daných funkcií členstva vstupov;
Druhá vrstva zobrazuje sadu fuzzy pravidiel;
- 3. vrstva má funkciu zaostrovania.
Každá z týchto vrstiev sa vyznačuje sadou parametrov (parametre funkcií členstva, pravidlá fuzzy rozhodovania, aktívne
funkcie, hmotnosti spojení), ktorých úprava sa v zásade vykonáva rovnakým spôsobom ako pre konvenčné neurónové siete.
Kniha sa zaoberá teoretickými aspektmi komponentov týchto sietí, konkrétne aparátu fuzzy logiky, základov teórie umelých neurónových sietí a hybridných sietí vlastných vo vzťahu k problémom riadenia a rozhodovania v podmienkach neistoty.
Osobitná pozornosť sa venuje softvérovej implementácii modelov týchto prístupov pomocou nástrojov matematického systému MATLAB 5.2 / 5.3.

Predchádzajúce články:

Fuzzy množiny a fuzzy logika sú zovšeobecneniami klasickej teórie množín a klasickej formálnej logiky. Tieto koncepty prvýkrát navrhol americký vedec Lotfi Zadeh v roku 1965. Hlavným dôvodom vzniku novej teórie bola prítomnosť fuzzy a približného uvažovania, keď človek opisuje procesy, systémy, objekty.

Predtým, ako bol fuzzy prístup k modelovaniu komplexných systémov uznaný po celom svete, trvalo viac ako desať rokov od vzniku teórie fuzzy množín. A na tejto ceste vývoja fuzzy systémov je zvykom rozlišovať tri obdobia.

Prvé obdobie (koniec 60. - začiatok 70. rokov) je charakterizované vývojom teoretického aparátu fuzzy množín (L. Zade, E. Mamdani, Bellman). V druhom období (70-80. roky) sa objavili prvé praktické výsledky v oblasti fuzzy riadenia komplexných technických systémov (parný generátor s fuzzy riadením). Súčasne sa začala venovať pozornosť problémom konštrukcie expertných systémov založených na fuzzy logike, vývoju fuzzy regulátorov. Fuzzy expertné systémy na podporu rozhodovania sa široko používajú v medicíne a ekonomike. Nakoniec, v treťom období, ktoré trvá od konca 80. rokov a pokračuje v súčasnej dobe, sa objavujú softvérové ​​balíky na výstavbu fuzzy expertných systémov a polia aplikácie fuzzy logiky sa výrazne rozširujú. Používa sa v automobilovom, leteckom a dopravnom priemysle, domácich spotrebičoch, financiách, analýze a rozhodovaní manažmentu a mnohých ďalších.

Triumfálny pochod fuzzy logiky po celom svete sa začal po tom, čo Bartolomej Kosco koncom 80. rokov dokázal známu FAT (Fuzzy Aproximation Theorem). V obchode a financiách získala fuzzy logika prijatie potom, čo v roku 1988 expertný systém na predpovedanie finančných ukazovateľov založený na fuzzy pravidlách bol jediným, ktorý predpovedal pád akciového trhu. A počet úspešných fuzzy aplikácií sa v súčasnosti pohybuje v tisícoch.

Matematický aparát

Charakteristikou fuzzy sady je funkcia členstva. Označujeme MF c (x) - stupeň členstva vo fuzzy množine C, ktorý je zovšeobecnením pojmu charakteristickej funkcie bežnej množiny. Potom fuzzy množina C je množina usporiadaných dvojíc tvaru C = (MF c (x) / x), MF c (x). Hodnota MF c (x) = 0 znamená žiadne členstvo v sade, 1 - úplné členstvo.

Ukážme to na jednoduchom príklade. Formalizujme nepresnú definíciu „horúceho čaju“. X (oblasť uvažovania) bude teplotná stupnica v stupňoch Celzia. Očividne sa bude líšiť od 0 do 100 stupňov. Fuzzy set na horúci čaj môže vyzerať takto:

C = (0/0; 0/10; 0/20; 0,15 / 30; 0,30 / 40; 0,60 / 50; 0,80 / 60; 0,90 / 70; 1/80; 1/90; 1/100).

Čaj s teplotou 60 ° C teda patrí do sady „Hot“ so stupňom príslušnosti k 0,80. Pre niekoho môže byť čaj o teplote 60 C horúci, pre iného zase príliš horúci. Práve v tomto sa prejavuje nevýraznosť priradenia zodpovedajúcej množiny.

Pre fuzzy množiny, ako aj pre bežné sú definované základné logické operácie. Najzákladnejšími potrebnými na výpočty sú priesečník a zväzok.

Priesečník dvoch fuzzy množín (fuzzy "A"): A B: MF AB (x) = min (MF A (x), MF B (x)).
Spojenie dvoch fuzzy množín (fuzzy „ALEBO“): A B: MF AB (x) = max (MF A (x), MF B (x)).

V teórii fuzzy množín bol vyvinutý všeobecný prístup k vykonávaniu priesečníkov, zväzkov a doplnkových operátorov, implementovaný v takzvaných trojuholníkových normách a zhodách. Vyššie uvedené implementácie operácií priesečníkov a odborov sú najbežnejšími prípadmi t-normy a t-conorm.

Na opis fuzzy množín sú predstavené pojmy fuzzy a lingvistické premenné.

Fuzzy premenná je opísaná množinou (N, X, A), kde N je názov premennej, X je univerzálna množina (oblasť uvažovania), A je fuzzy množina na X.
Hodnoty jazykovej premennej môžu byť fuzzy premenné, t.j. lingvistická premenná je na vyššej úrovni ako fuzzy premenná. Každá jazyková premenná pozostáva z:

• tituly;
• množina jeho hodnôt, ktorá sa nazýva aj základná množina termínov T. Prvkami základnej sady termínov sú názvy fuzzy premenných;
• univerzálna sada X;
• syntaktické pravidlo G, podľa ktorého sa nové výrazy generujú pomocou slov prirodzeného alebo formálneho jazyka;
• sémantické pravidlo P, ktoré každej hodnote lingvistickej premennej priradí fuzzy podmnožinu množiny X.

Zvážte taký fuzzy koncept ako „cena akcie“. Toto je názov jazykovej premennej. Vytvorme pre ňu základnú množinu výrazov, ktorá bude pozostávať z troch fuzzy premenných: „Nízka“, „Stredná“, „Vysoká“ a oblasť uvažovania nastavme vo forme X = (jednotky). Posledná vec, ktorú musíte urobiť, je zostrojiť funkcie členstva pre každý lingvistický termín zo základného súboru termínov T.

Existuje viac ako tucet typických tvarov kriviek na špecifikovanie funkcií členstva. Najrozšírenejšie sú: trojuholníkové, lichobežníkové a gaussovské funkcie členstva.

Funkcia trojuholníkového členstva je určená trojicou čísel (a, b, c) a jej hodnota v bode x sa vypočíta podľa výrazu:

$$ MF \, (x) = \, \ begin (prípady) \; 1 \, - \, \ frac (b \, - \, x) (b \, - \, a), \, a \ leq \, x \ leq \, b & \ \\ 1 \, - \, \ frac (x \, - \, b) (c \, - \, b), \, b \ leq \, x \ leq \ , c & \ \ \ 0, \; x \, \ not \ in \, (a; \, c) \ \ end (prípady) $$

Pre (b-a) = (c-b) máme prípad symetrickej trojuholníkovej funkcie členstva, ktorú je možné jednoznačne špecifikovať dvoma parametrami z trojky (a, b, c).

Podobne na nastavenie funkcie lichobežníkového členstva potrebujete štyri čísla (a, b, c, d):

$$ MF \, (x) \, = \, \ begin (prípady) \; 1 \, - \, \ frac (b \, - \, x) (b \, - \, a), \, a \ leq \, x \ leq \, b & \\ 1, \, b \ leq \, x \ leq \, c & \\ 1 \, - \, \ frac (x \, - \, c) (d \, - \, c), \, c \ leq \, x \ leq \, d & \\ 0, x \, \ not \ in \, (a; \, d) \ \ end (prípady) $$

Keď (b-a) = (d-c), funkcia lichobežníkového členstva nadobúda symetrický tvar.

Funkciu členstva gaussovského typu popisuje vzorec

$$ MF \, (x) = \ exp \ biggl [ - \, (\ Bigl (\ frac (x \, - \, c) (\ sigma) \ Bigr)) ^ 2 \ biggr] $$

a pracuje s dvoma parametrami. Parameter c označuje stred nejasnej množiny a parameter je zodpovedný za strmosť funkcie.

Množina funkcií členstva pre každý výraz zo základného súboru termínov T je zvyčajne zobrazená spoločne na jednom grafe. Obrázok 3 zobrazuje príklad lingvistickej premennej „Cena akcie“ opísaný vyššie a obrázok 4 ukazuje formalizáciu nepresného konceptu „ľudského veku“. Pre 48 -ročného človeka je teda stupeň príslušnosti k množine „Mladý“ 0, „Priemer“ - 0,47, „Nadpriemer“ - 0,20.

Počet výrazov v jazykovej premennej zriedka presahuje 7.

Fuzzy inferencia

Základom fungovania fuzzy inferencie je báza pravidiel obsahujúca fuzzy tvrdenia vo forme „ak-potom“ a funkcie členstva pre zodpovedajúce lingvistické termíny. V takom prípade musia byť splnené nasledujúce podmienky:

1. Pre každý lingvistický výraz vo výstupnej premennej existuje najmenej jedno pravidlo.
2. Pre každý výraz vo vstupnej premennej existuje najmenej jedno pravidlo, v ktorom je tento výraz použitý ako predpoklad (ľavá strana pravidla).

V opačnom prípade existuje neúplný základ nejasných pravidiel.

Nech má pravidlo pravidlo m pravidiel vo forme:
R 1: AK x 1 je A 11 ... A ... x n je A 1n, potom Y je B 1
…
R i: IF x 1 je A i1 ... AND ... x n je A in, THEN y je B i
…
R m: AK x 1 je A i1 ... A ... x n je A mn, PAK y je B m,
kde x k, k = 1..n - vstupné premenné; y - výstupná premenná; Ik - dané fuzzy množiny s členskými funkciami.

Výsledkom fuzzy inferencie je jasná hodnota premennej y * na základe daných jasných hodnôt x k, k = 1..n.

Inferenčný mechanizmus vo všeobecnosti zahŕňa štyri etapy: fuzzy úvod (fuzzifikácia), fuzzy inferencia, kompozícia a zníženie jasnosti alebo defuzzifikácia (pozri obrázok 5).

Fuzzy inferenčné algoritmy sa líšia hlavne typom použitých pravidiel, logickými operáciami a druhom metódy defuzzifikácie. Boli vyvinuté fuzzy inferenčné modely pre Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto.

Pozrime sa podrobnejšie na fuzzy inferenciu pomocou príkladu mechanizmu Mamdani. Toto je najbežnejší záver vo fuzzy systémoch. Využíva minimaxové zloženie fuzzy množín. Tento mechanizmus zahŕňa nasledujúcu postupnosť akcií.

1. Fuzzifikačný postup: určujú sa stupne pravdy, t.j. hodnoty funkcií členstva na ľavej strane každého pravidla (predpoklady). Pre základ pravidiel s m pravidlami označujeme stupne pravdy ako A ik (x k), i = 1..m, k = 1..n.

Fuzzy inferencia. Najprv sú pre ľavú stranu každého z pravidiel určené úrovne „orezania“:

$$ alfa_i \, = \, \ min_i \, (A_ (ik) \, (x_k)) $$

$$ B_i ^ * (y) = \ min_i \, (alfa_i, \, B_i \, (y)) $$

Zloženie alebo spojenie získaných skrátených funkcií, pre ktoré sa používa maximálne zloženie fuzzy množín:

$$ MF \, (y) = \ max_i \, (B_i ^ * \, (y)) $$

kde MF (y) je členská funkcia konečnej fuzzy množiny.

Defasifikácia alebo zníženie jasnosti. Existuje niekoľko spôsobov defuzzifikácie. Napríklad metóda stredného stredu alebo metóda ťažiska:
$$ MF \, (y) = \ max_i \, (B_i ^ * \, (y)) $$

Geometrický význam tejto hodnoty je ťažiskom krivky MF (y). Obrázok 6 graficky zobrazuje Mamdaniho fuzzy inferenčný proces pre dve vstupné premenné a dve fuzzy pravidlá R1 a R2.

Integrácia s inteligentnými paradigmami

Hybridizácia metód inteligentného spracovania informácií je motto, pod ktorým prešli 90. roky medzi západnými a americkými vedcami. V dôsledku spojenia niekoľkých technológií umelej inteligencie sa objavil špeciálny termín - „soft computing“, ktorý zaviedol L. Zadeh v roku 1994. Soft computing v súčasnosti spája oblasti ako: fuzzy logika, umelé neurónové siete, pravdepodobnostné uvažovanie a evolučné algoritmy. Navzájom sa dopĺňajú a používajú sa v rôznych kombináciách na vytváranie hybridných inteligentných systémov.

Vplyv fuzzy logiky sa ukázal byť azda najrozsiahlejším. Rovnako ako fuzzy množiny rozšírili rozsah klasickej matematickej teórie množín, fuzzy logika „napadla“ takmer väčšinu metód dolovania dát a poskytla im novú funkcionalitu. Najzaujímavejšie príklady takýchto asociácií sú uvedené nižšie.

Fuzzy neurónové siete

Fuzzy-neurónové siete vykonávajú závery založené na aparáte fuzzy logiky, parametre funkcií členstva sú však ladené pomocou vzdelávacích algoritmov neurónovej siete. Preto na výber parametrov týchto sietí použijeme metódu spätnej propagácie chýb, pôvodne navrhnutú na výcvik viacvrstvového perceptrónu. Na tento účel je modul fuzzy riadenia prezentovaný vo forme viacvrstvovej siete. Fuzzy neurónová sieť sa zvyčajne skladá zo štyroch vrstiev: fuzzifikačná vrstva pre vstupné premenné, vrstva agregácie hodnôt aktivácie podmienok, vrstva agregácie fuzzy pravidiel a výstupná vrstva.

V súčasnosti sú najrozšírenejšie architektúry fuzzy neurónových sietí ako ANFIS a TSK. Je dokázané, že tieto siete sú univerzálnymi aproximátormi.

Algoritmy rýchleho učenia a interpretovateľnosť nahromadených znalostí - tieto faktory urobili z fuzzy neurónových sietí jeden z najsľubnejších a najefektívnejších nástrojov pre mäkké počítače v súčasnosti.

Adaptívne fuzzy systémy

Klasické fuzzy systémy majú nevýhodu v tom, že na formuláciu pravidiel a funkcií členstva je potrebné zapojiť odborníkov v konkrétnej oblasti, čo nie je vždy možné zabezpečiť. Tento problém riešia adaptívne fuzzy systémy. V takýchto systémoch sa výber parametrov fuzzy systému vykonáva v procese učenia sa na experimentálnych údajoch. Učebné algoritmy pre adaptívne fuzzy systémy sú v porovnaní s algoritmami učenia pre neurónové siete relatívne namáhavé a zložité a spravidla pozostávajú z dvoch fáz: 1. Generovanie lingvistických pravidiel; 2. Oprava funkcií členstva. Prvým problémom je vymenovaný typový problém a druhým je optimalizácia v spojitých priestoroch. V tomto prípade vzniká určitý rozpor: na generovanie fuzzy pravidiel sú potrebné členské funkcie a na vykonávanie fuzzy inferencií pravidlá. Pri automatickom generovaní fuzzy pravidiel je navyše potrebné zabezpečiť ich úplnosť a konzistenciu.

Významná časť metód výcviku fuzzy systémov používa genetické algoritmy. V anglickej literatúre to zodpovedá špeciálnemu pojmu - Genetic Fuzzy Systems.

Skupina španielskych vedcov pod vedením F. Herreru významne prispela k rozvoju teórie a praxe fuzzy systémov s evolučnou adaptáciou.

Fuzzy dotazy

Fuzzy dotazy sú sľubným trendom v moderných systémoch na spracovanie informácií. Tento nástroj vám umožňuje formulovať dotazy v prirodzenom jazyku, napríklad: „Zoznam ponúk lacného bývania blízko centra mesta“, čo nie je možné pomocou štandardného mechanizmu dopytov. Na tento účel bola vyvinutá fuzzy relačná algebra a špeciálne rozšírenia jazykov SQL pre fuzzy dotazy. Väčšina výskumu v tejto oblasti patrí západoeurópskym vedcom D. Duboisovi a G. Pradeovi.

Fuzzy asociačné pravidlá

Fuzzy asociatívne pravidlá sú nástrojom na extrahovanie vzorov z databáz, ktoré sú formulované vo forme lingvistických vyhlásení. Tu sú predstavené špeciálne pojmy fuzzy transakcie, podpora a platnosť pravidla fuzzy asociacie.

Fuzzy kognitívne mapy

Fuzzy kognitívne mapy navrhol B. Kosko v roku 1986 a slúžia na modelovanie príčinných vzťahov identifikovaných medzi konceptmi určitej oblasti. Na rozdiel od jednoduchých kognitívnych máp sú fuzzy kognitívne mapy fuzzy nasmerovaný graf, ktorého uzly sú fuzzy množiny. Orientované hrany grafu neodrážajú len príčinné vzťahy medzi pojmami, ale určujú aj mieru vplyvu (váhy) súvisiacich pojmov. Aktívne používanie fuzzy kognitívnych máp ako prostriedku modelovania systémov je spôsobené možnosťou vizuálnej reprezentácie analyzovaného systému a jednoduchou interpretáciou vzťahov príčin a následkov medzi konceptmi. Hlavné problémy sú spojené s procesom vytvárania kognitívnej mapy, ktorá sa nehodí k formalizácii. Okrem toho je potrebné dokázať, že skonštruovaná kognitívna mapa je adekvátna skutočnému modelovanému systému. Na vyriešenie týchto problémov boli vyvinuté algoritmy na automatickú konštrukciu kognitívnych máp na základe vzorkovania údajov.

Fuzzy klastrovanie

Fuzzy klastrové metódy, na rozdiel od jasných metód (napríklad Kohonenove neurónové siete), umožňujú rovnakému objektu súčasne patriť do niekoľkých klastrov, ale s rôznym stupňom. Fuzzy klastrovanie je v mnohých situáciách „prirodzenejšie“ ako jasné, napríklad pre objekty umiestnené na hranici zhlukov. Najbežnejší: algoritmus f-fuzzy samoorganizácie c-means a jeho zovšeobecnenie vo forme algoritmu Gustafson-Kessel.

Literatúra

• Zade L. Pojem lingvistická premenná a jeho aplikácia na približné rozhodovanie. - M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. Inteligentné informačné systémy: počítačová podpora pre fuzzy logiku a fuzzy inferenčné systémy. - M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Fuzzy modelovanie v MATLAB a fuzzyTECH. - SPb., 2003.
• Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neurónové siete, genetické algoritmy a fuzzy systémy. - M., 2004.
• Masalovich A. Fuzzy logika v obchode a financiách. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systémy ako univerzálne aproximátory // IEEE Transactions on Computers, zv. 43, č. 11, november 1994. - S. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., Všeobecná štúdia o genetických fuzzy systémoch // Genetické algoritmy v inžinierstve a informatike, 1995. - S. 33-57.