Jedným zo spôsobov riešenia diferenciálnych rovníc (systémov rovníc) s konštantnými koeficientmi je metóda integrálnych transformácií, ktorá umožňuje nahradiť funkciu reálnej premennej (pôvodnej funkcie) funkciou komplexnej premennej (obraz funkcie). ). V dôsledku toho sa operácie diferenciácie a integrácie v priestore pôvodných funkcií transformujú na algebraické násobenie a delenie v priestore obrazových funkcií. Jedným z predstaviteľov metódy integrálnych transformácií je Laplaceova transformácia.

Kontinuálna Laplaceova transformácia- integrálna transformácia spájajúca funkciu komplexnej premennej (obraz funkcie) s funkciou reálnej premennej (originál funkcie). V tomto prípade musí funkcia reálnej premennej spĺňať nasledujúce podmienky:

Funkcia je definovaná a diferencovateľná na celej kladnej poloosi reálnej premennej (funkcia spĺňa Dirichletove podmienky);

Hodnota funkcie do počiatočného momentu sa rovná nule ;

Rast funkcie je limitovaný exponenciálnou funkciou, t.j. pre funkciu reálnej premennej existujú také kladné čísla M a s , čo kde c - úsečka absolútnej konvergencie (nejaké kladné číslo).

Laplaceova transformácia (priama integrálna transformácia) funkcia reálnej premennej sa nazýva funkcia nasledujúceho tvaru (funkcia komplexnej premennej):

Funkcia sa nazýva originál funkcie a funkcia sa nazýva jej obraz. Komplexná premenná sa nazýva Laplaceov operátor, kde uhlová frekvencia je nejaké kladné konštantné číslo.

Ako prvý príklad definujeme obrázok pre konštantnú funkciu

Ako druhý príklad definujeme obrázok pre funkciu kosínus ... Ak vezmeme do úvahy Eulerov vzorec, kosínusovú funkciu možno znázorniť ako súčet dvoch exponenciál .

V praxi sa na vykonávanie priamej Laplaceovej transformácie používajú transformačné tabuľky, v ktorých sú prezentované originály a obrázky typických funkcií. Niektoré z týchto funkcií sú uvedené nižšie.

Originál a obrázok pre exponenciálnu funkciu

Originál a obrázok pre funkciu kosínus

Originál a obrázok pre funkciu sínus

Originál a obrázok pre exponenciálne sa rozpadajúci kosínus

Originál a obraz pre exponenciálne klesajúci sínus

Je potrebné poznamenať, že funkcia je funkcia Heaviside, ktorá má hodnotu nula pre záporné hodnoty argumentu a hodnotu rovnú jednej pre kladné hodnoty argumentu.

Vlastnosti Laplaceovej transformácie

Veta o linearite

Laplaceova transformácia je lineárna, t.j. akýkoľvek lineárny vzťah medzi originálmi funkcie je platný pre obrázky týchto funkcií.

Vlastnosť linearity uľahčuje nájdenie originálov zložitých obrázkov, pretože umožňuje reprezentovať obraz funkcie ako súčet jednoduchých výrazov a potom nájsť originály každého reprezentovaného výrazu.

Diferenciačná veta originálu funkcie

Diferenciácia pôvodnej funkcie sa zhoduje násobenie

Pre nenulové počiatočné podmienky:

S nulovými počiatočnými podmienkami (špeciálny prípad):

Operácia diferencovania funkcie je teda nahradená aritmetickou operáciou v obrazovom priestore funkcie.

Integračná veta originálu funkcie

Integrácia pôvodnej funkcie zodpovedá divízie obrázky funkcií na Laplaceov operátor.

Operácia integrácie funkcie je teda nahradená aritmetickou operáciou v obrazovom priestore funkcie.

Veta o podobnosti

Zmena argumentu funkcie (kompresia alebo expanzia signálu) v časovej oblasti vedie k opačnej zmene argumentu a ordináty obrazu funkcie.

Zvýšenie trvania impulzu spôsobí stlačenie jeho spektrálnej funkcie a zníženie amplitúd harmonických zložiek spektra.

Veta o oneskorení

Oneskorenie (posun, posun) signálu argumentom pôvodnej funkcie intervalom vedie k zmene fázovo-frekvenčnej funkcie spektra (fázový uhol všetkých harmonických) o danú hodnotu bez zmeny modulu (amplitúdy funkcie) spektra.

Výsledný výraz je platný pre ľubovoľný

Veta o posunutí

Oneskorenie (posun, posun) signálu argumentom obrazu funkcie vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie exponenciálnym faktorom.

Z praktického hľadiska sa na určenie obrazov exponenciálnych funkcií používa teorém o posunutí.

Konvolučný teorém

Konvolúcia je matematická operácia aplikovaná na dve funkcie a výsledkom je tretia funkcia. Inými slovami, ak máte odozvu určitého lineárneho systému na impulz, môžete použiť konvolúciu na výpočet odozvy systému na celý signál.

Konvolúcia originálov dvoch funkcií môže byť teda reprezentovaná ako produkt obrazov týchto funkcií. Reconciliation teorém sa používa pri uvažovaní o prenosových funkciách, keď sa odozva systému (výstupný signál zo štvorbranovej siete) určuje, keď je signál privedený na vstup štvorbranovej siete s impulznou prechodovou odozvou.

Lineárny štvorpól

Inverzná Laplaceova transformácia

Laplaceova transformácia je reverzibilná, t.j. funkcia reálnej premennej je jednoznačne určená z funkcie komplexnej premennej . Na tento účel sa používa vzorec inverznej Laplaceovej transformácie(Mellinov vzorec, Bromwichov integrál), ktorý má nasledujúci tvar:

V tomto vzorci hranice integrácie znamenajú, že integrácia ide pozdĺž nekonečnej priamky, ktorá je rovnobežná s imaginárnou osou a pretína skutočnú os v bode. Vzhľadom na to, že posledný výraz možno prepísať takto:

V praxi sa na vykonanie inverznej Laplaceovej transformácie obraz funkcie rozloží na súčet najjednoduchších zlomkov metódou nedefinovaných koeficientov a pre každý zlomok (v súlade s vlastnosťou linearity) sa určí originál funkcie. vrátane zohľadnenia tabuľky typických funkcií. Táto metóda je platná pre zobrazenie funkcie, ktorá je správnym racionálnym zlomkom. Treba poznamenať, že najjednoduchší zlomok môže byť reprezentovaný ako súčin lineárnych a kvadratických faktorov s reálnymi koeficientmi v závislosti od typu koreňov menovateľa:

Ak je v menovateli nulový koreň, funkcia sa rozloží na zlomok ako:

Ak je v menovateli nulový n-násobný koreň, funkcia sa rozloží na zlomok typu:

Ak je v menovateli skutočný koreň, funkcia sa rozloží na zlomok ako:

Ak je v menovateli skutočný n-násobný koreň, funkcia sa rozloží na zlomok ako:

Ak je v menovateli imaginárny koreň, funkcia sa rozloží na zlomok ako:

V prípade komplexne konjugovaných koreňov v menovateli sa funkcia rozloží na zlomok ako:

∙ Všeobecne ak je obrazom funkcie pravidelný racionálny zlomok (stupeň čitateľa je menší ako stupeň menovateľa racionálneho zlomku), potom ho možno rozšíriť na súčet najjednoduchších zlomkov.

∙ V konkrétnom prípade ak sa menovateľ obrazu funkcie rozloží iba na jednoduché korene rovnice, potom sa obraz funkcie rozloží na súčet najjednoduchších zlomkov takto:

Neznáme koeficienty možno určiť pomocou metódy nedefinovaných koeficientov alebo zjednodušeným spôsobom pomocou nasledujúceho vzorca:

Hodnota funkcie v bode;

Hodnota derivácie funkcie v bode.

Prepis

1 Laplaceova transformácia Stručná informácia Laplaceova transformácia, ktorá je široko používaná v teórii obvodov, je integrálna transformácia aplikovaná na časové funkcie f rovné nule pri< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Dá sa dokázať, že ak Laplaceov integrál konverguje pre nejakú hodnotu s, potom definuje funkciu F, ktorá je analytická v celej polrovine> s Takto definovaná funkcia F môže analyticky pokračovať do celej roviny komplexnej premennej = +, s výnimkou jednotlivých singulárnych bodov. Najčastejšie sa toto pokračovanie uskutočňuje rozšírením vzorca získaného výpočtom integrálu na celú rovinu komplexnej premennej. Funkcia F, ktorá analyticky pokračuje do celej komplexnej roviny, je nazývaný Laplaceov obraz časovej funkcie f alebo jednoducho obraz Funkcia f vo vzťahu k jej obrazu F sa nazýva originál. Ak je obraz F známy, potom originál možno nájsť pomocou inverznej Laplaceovej transformácie f F d pre > Integrál vpravo je obrysový integrál pozdĺž priamky rovnobežnej s osou ordinátov. Hodnota je zvolená tak, aby v polrovine R> neboli žiadne singulárne body funkcie F. sú inverznou Laplaceovou transformáciou a označujú sa symbolom f L (F) L 7

2 Zvážte niektoré vlastnosti Laplaceovej transformácie Linearita Táto vlastnosť môže byť zapísaná ako rovnosť L (ff) L (f) L (f) Laplaceova transformácia derivácie funkcie df L () d df d F fdf 3 Laplaceova transformácia funkcie integrál: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Uvažujme o najjednoduchšej aplikácii Laplaceovej transformácie v teórii obvodov Obrázok ukazuje najjednoduchšie prvky obvodov: odpor, indukčnosť a kapacitu Okamžitý úbytok napätia na odpore je stále rovnaký tvar Ohmovho zákona, ale už pre obrázky napätia a prúdu Pre okamžité napätie na indukčnosti platí vzťah diu L, d teda neexistuje priama úmernosť, tu Ohmov zákon neplatí Po Laplaceovej transformácii dostaneme U. = LI LI +

3 Ak, ako to často býva, I + =, potom vzťah nadobúda tvar U = LI Pre obrazy napätia a prúdu teda opäť platí Ohmov zákon Úlohu odporu zohráva veličina L, ktorá sa nazýva indukčný odpor Pre kapacitu máme vzťah medzi okamžitými hodnotami napätia a indukčnosti uid C Po Laplaceovej transformácii má tento pomer tvar UI, C te má tvar Ohmovho zákona a kapacitný odpor je rovná sa C Zostavme tabuľku priamych a inverzných Laplaceových transformácií elementárnych funkcií nájdených v teórii obvodov jednotkový krok je určený rovnosťami: at; pri Laplaceovej transformácii tejto funkcie bude L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (hriech) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Teraz zvážte inverznú transformáciu racionálneho zlomku, konkrétne transformáciu image bbbb BF nnnnmmmm Nechajte m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 spôsob Rozložme obrázok na jednoduché zlomky a vynásobme: nn KKKKB Teraz sa snažme Potom na pravej strane zostane iba K: lim BK Vpravo máme neurčitosť tvaru, ktorá je rozšírená podľa L'Hôpitalovho. pravidlo: "BK Dosadením dostaneme" n BB Inverzná transformácia jednoduchého zlomku známeho: L Preto "n BBL Úrok je špeciálny prípad, keď sa jeden z koreňov menovateľa rovná nule: BF V tomto prípade rozklad z F na jednoduché zlomky budú mať tvar, ako vyplýva z predchádzajúceho," n BBB a B nemá odmocniny v nule

6 3 Inverzná Laplaceova transformácia funkcie F teda bude mať tvar: n B B B "L Uvažujme o inom prípade, keď polynóm v menovateli B má viac koreňov. Nech m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Niektoré všeobecné vlastnosti obvodov Nech zložitý obvod obsahuje P vetvy a Q uzly Potom podľa prvého a druhého Kirchhoffovho zákona možno zostaviť rovnice P + Q pre P prúdy vo vetvách a Q uzlové potenciály Jeden z Q uzlových potenciálov sa berie ako nula Ale počet rovníc sa dá znížiť na Q, ak použijeme slučkové prúdy ako striedavé prúdy V tomto prípade je automaticky splnený prvý Kirchhoffov zákon, pretože každý prúd vstupuje do uzla a opúšťa ho, to znamená, že dáva celkový prúd rovný nule a navyše Q potenciálov uzla sú vyjadrené prúdmi slučky Celkový počet rovníc, a teda nezávislých slučiek sa rovná P + QQ = PQ + Nezávislé rovnice je možné písať priamo ak sú slučkové prúdy brané ako neznáme.jeden z ďalších obrysov Obr Pre každý z obrysov sa zostavia rovnice podľa druhého Kirchhoffovho zákona. a Vo všeobecnosti je odpor vetvy rovný i R i C i L kde i, =, n, n je počet nezávislých obvodov Rovnice slučkových prúdov sú nasledovné: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, tu E i je súčet všetkých EMF zahrnutých v i-tom obvode i-té obrysy Odpory ii predstavujú súčet odporov zahrnutých v i-tom obryse Odpor i je súčasťou odpor i-tého 33 Obr Príklad nezávislých obrysov

8 Rovnica pre m-tý obvod bude mať tvar: obvod, ktorý je zahrnutý aj do tého obvodu Je zrejmé, že pre pasívny obvod platí rovnosť i = i Uvažujme, ako sú rovnice obvodových prúdov pre aktívne obvody obsahujúce tranzistory sú upravené, obr mi mi mn I n Em I i Prenesením druhého člena z pravej strany na ľavú stranu transformujeme túto rovnicu takto: mi mi I i mn I n Em neznáme, uzlové potenciály sú používa sa aj, počítané z potenciálu jedného z uzlov, brané ako nula Y, ktoré je možné prepísať nasledovne: kde Obr Ekvivalentný obvod tranzistora v zložitom obvode U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sústava rovníc pre uzlové potenciály má tvar Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n V ktorom obsahuje závislé zdroje prúdu Uvažujme teraz riešenia obvodových rovníc Riešenie sústavy rovníc slučkových prúdov má tvar pre tý prúd: I, kde hlavným determinantom systému je ten istý determinant, v ktorom je i-tý stĺpec nahradený elektromotorickými silami z pravej strany E, E, E n Predpokladajme, že v obvode je len jeden EMF E, zahrnutý vo vstupnom obvode, ktorému je priradené prvé číslo. rovnice by mali byť zostavené tak, aby cez nás zaujímavú vetvu prechádzal len jeden obvodový prúd, Obr. 4 Potom sa vstupný prúd rovná IE, kde je príslušný determinant algebraického doplnku i Obr. 4 Obvod s EMF vo vstupnom obvode 35

10 Pomer EI sa nazýva vstupný odpor. Naproti tomu tento odpor zohľadňuje vplyv všetkých obvodov Pre druhý výstupný obvod budeme mať I 36 E, kde zodpovedajúce algebraické sčítanie Vzťah TIE sa nazýva prenosový odpor z prvého obvodu do druhého. 5 Obr. 5 Obvod so zdrojom prúdu na vstupe "UI" I, Y "Y" a prenosovou vodivosťou z prvého uzla do druhého: U "I" IYT, YT "" kde I je prúd privádzaný do prvého uzla, napätie U a U, získané v prvom a druhom uzle, „je hlavným determinantom systému rovníc uzlových potenciálov a“ i je zodpovedajúci algebraický doplnok medzi a Y tam je vzťah Y Pre pasívny reťazec sme mali = Hlavný determinant systému je teda symetrický Z toho vyplýva, že algebraické doplnky sa rovnajú: = Preto sú rovnaké a prenosový odpor T = T Táto vlastnosť sa nazýva vlastnosť reciprocita. Toto, ako vidíme, je symetria matice odporu. Vlastnosť reciprocity je formulovaná nasledovne na obr. 6: ak EMF umiestnený vo vstupnom obvode spôsobuje určitý prúd vo výstupnom obvode, potom rovnaký EMF zahrnutý v výstupný obvod spôsobí vo vstupnom obvode,

11 reprúd rovnakej hodnoty Stručne, táto vlastnosť je niekedy formulovaná nasledovne: EMF vo vstupnom obvode a ampérmeter vo výstupnom obvode je možné zameniť, pričom údaj ampérmetra sa nezmení Obr. 6 Správanie obvodu s vlastnosťou Obr. reciprocity 7 UE Obr. 7 Koeficient prenosu napätia potom Ako vyplýva z diagramu na Obr. 7: UUI n; ; KnETE; I T U n Podobne je možné určiť koeficient prenosu prúdu I K I Obr. 8: I Preto I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Obr. 8 Prúdový prenosový pomer Yn Y T T 37

12 3 Viac o všeobecných vlastnostiach obvodových funkcií Obvodové funkcie sú funkcie premennej získané riešením rovníc, napríklad odpor vstupnej vodivosti, odpor prenosovej vodivosti atď. Pre obvody so sústredenými parametrami je akákoľvek funkcia obvodu racionálna vzhľadom na premenná a je zlomkom m Ф B bnmnbmmnn 38 bb a koeficienty sú reálne V opačnom prípade môže byť vyjadrená v tvare Ф bmnm, "" "kde, m,", "," n korene rovníc mbnmnbmnm, nbb Hodnoty ​​=, m sa nazývajú nuly funkcie Ф a hodnoty = ",", "n sa nazývajú póly Φ Je zrejmé, že dve racionálne funkcie, ktorých nuly a póly sa zhodujú, sa môžu líšiť iba konštantnými faktormi. inými slovami, charakter závislosti parametrov reťazca od frekvencie je úplne určený nulami a pólmi funkcie reťazca.polynóm nadobúda konjugovanú hodnotu * = * a B * = B * Z toho vyplýva, že ak polynóm to Ak existuje komplexný koreň, bude to aj koreň. Nuly a póly funkcie reťazca teda môžu byť skutočné alebo môžu tvoriť komplexne konjugované páry Nech Ф je funkcia reťazca Zvážte jeho hodnoty v =: Ф Ф Ф Keďže koeficienty v čitateli a menovateli Ф sú reálne, potom Ф Ф n,

13 Nie Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Porovnaním týchto rovníc pri zohľadnení rovnosti uvedenej vyššie dostaneme, že Ф Ф, Ф Ф, to znamená, že skutočná časť obvodovej funkcie je párnou funkciou frekvencie a imaginárnou nepárnou funkcia frekvencie 3 Stabilita a fyzikálna realizovateľnosť Uvažujme o rovnosti, ktorá určuje prúd vo vstupnom odpore spôsobenom napätím U: UIB Nech U je jednotkový krok a potom I, B kde a B sú polynómy z Pomocou expanzného vzorca môže dostať i BB "kde nuly polynómu B, a teda nuly funkcie odporu a nuly hlavného determinantu: = Ak aspoň jedna nula má kladnú reálnu časť, potom sa i bude zvyšovať donekonečna. Teda odpor, z ktorých aspoň jedna nula je v pravej polrovine, zodpovedá nestabilnému systému, 39

14 me Rovnaký záver možno urobiť v súvislosti s prenosovým odporom T, vstupnou vodivosťou Y, prenosovou vodivosťou YT Definícia Funkcia obvodu sa nazýva fyzikálne uskutočniteľná, ak zodpovedá obvodu pozostávajúceho zo skutočných prvkov a žiadne z jeho prirodzených vibrácií má amplitúdu, ktorá sa neobmedzene zvyšuje s Reťazec špecifikovaný v definícii sa nazýva stabilný Nuly hlavného determinantu fyzikálne realizovateľnej stabilnej funkcie reťazca a teda nuly funkcií odporu a vodivosti by sa mali nachádzať iba vľavo polrovine premennej alebo na osi reálnych frekvencií Ak sa dve alebo viac núl zhoduje s viacerými koreňmi, potom zodpovedajúce riešenia majú tvar: M, kde M je polynóm stupňa m, m je násobnosť koreňa Ak, v rovnakom čase =, a m>, potom zodpovedajúce riešenie rastie neurčito o koeficient e prenos, potom sa všetko uvedené vyššie nevzťahuje na nuly, ale na póly funkcie obvodu prenosového koeficientu V skutočnosti: n K Nuly z T sú póly funkcie K a odpor zaťaženia je pasívny; jej nuly určite ležia v správnej rovine Z vyššie uvedeného vyplýva, že fyzikálne realizovateľné funkcie reťazca majú tieto vlastnosti: kým nuly a póly funkcie reťazca sú buď reálne, alebo tvoria komplexne konjugované páry; b reálna a imaginárna časť funkcie reťazca sú pri reálnych frekvenciách párnou a nepárnou frekvenčnou funkciou; v nulách hlavného determinantu a následne odpor vodivosti a odpor prenosovej vodivosti nemôže ležať v pravej polrovine a viac núl ani v pravej polrovine ani na osi reálnych frekvencií T 4

15 3 Prechodové procesy v zosilňovačoch Riešenie sústavy rovníc obvodu dáva obraz výstupného signálu pre daný vstup U = KE Funkciu obvodu v časovej oblasti možno nájsť pomocou inverznej Laplaceovej transformácie u L (KE) Najzaujímavejší je prechodový proces so vstupným signálom vo forme kroku Reakcia Odozva systému na jeden krok sa nazýva prechodová funkcia, pri znalosti prechodovej funkcie možno nájsť odozvu systému na ľubovoľný vstupný signál. tvar.Obraz jediného kroku má tvar, preto odozva systému na jeden krok je: K h L Inverznú Laplaceovu transformáciu možno zapísať ako: h LKK 4 d Zároveň>, keďže cesta integrácie by mala ležať napravo od pólu = veľmi zaujímavá je definícia Obr. 3 Obrys prechodovej funkcie zosilňovača podľa typu jeho integrácie s frekvenčnou charakteristikou Na to by mala byť cesta výpočtu integrácie prechodných javov kombinovaná s osou funkcie reálnych frekvencií = Pól v t bod = v tomto prípade by ste mali obísť kružnicu s malým polomerom r Obr. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Poďme na limitu r Potom máme d KVKK d KV h Tu výraz V s integrálom znamená hlavnú hodnotu tohto integrálu Výsledný vzorec umožňuje nájsť prechodovú funkciu cez frekvenčnú charakteristiku zosilnenia Na na základe tohto vzorca možno vyvodiť niekoľko všeobecných záverov Premennú v h nahraďte: d KVK h Ale h, ako vyplýva z princípu kauzality, keďže signál sa objavuje na> Funkcia zosilnenia K je komplexná a možno ju znázorniť ako súčet reálnej a imaginárnej časti: K = K + K r Dosadením do výrazu za h dostaneme d KKVK r Diferenciáciou vzhľadom na dostaneme d KK r alebo cos sin sin cos d KKKK rr

17 Imaginárna časť integrandu je nepárnou funkciou frekvencie, preto je jej integrál rovný nule. Keďže reálna časť je párnou funkciou frekvencie, podmienka, ktorú musí spĺňať fyzikálne realizovateľný koeficient prenosu, má tvar: K cos K sin dr at Táto podmienka, ako sme videli, vyplýva z princípu kauzality Dá sa ukázať, že systém, ktorého koeficient prenosu možno zapísať ako pomer polynómov K, B je stabilný v tom zmysle, že všetky nuly polynómu B leží v ľavej polrovine, spĺňa princíp kauzality. Aby sme to dosiahli, skúmame integrál K hd pre< и >Predstavme si dva uzavreté obrysy a B, znázornené na Obr. 3 Obr. 3 Integračné obrysy: at< ; B при > 43

18 44 Uvažujme funkciu, kde integrál preberá uzavretú kontúru Vďaka Cauchyho integrálnej vete je integrál rovný nule, keďže v pravej polrovine je integrand analytický podľa podmienky. Integrál možno zapísať ako súčet integrálov cez jednotlivé úseky integračného obrysu: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Od cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >platí h B h pre R Teda: R h, pre>

19 Zvyšok vzhľadom na jednoduchý pól sa rovná RB "ktorý sme už mali skôr K lim, 45 lim B Príklad Uvažujme schému integračného reťazca znázorneného na obr. 33 Pre tento reťazec je koeficient prenosu a jeho imaginárny a skutočný časti majú tvar: K, K, K r, kde RC Dokážme, že podľa vyššie uvedenej podmienky kauzality musí byť splnená rovnosť Rovnosť je známa cos sin d cos d Pravú a ľavú stranu odlíšime podľa: sin d Vynásobením ľavej a pravej strany tejto rovnosti dostaneme: sin d, Obr. 33 Schéma integračného obvodu, z ktorého vyplýva rovnosť, ktorú je potrebné dokázať Ak má systém prechodovú funkciu, môžeme nájsť jej odozvu na ľubovoľný vstup signál Na to približne znázorníme vstupný signál ako súčet jednotkových krokov obr.34

20 Obr. 34 Znázornenie vstupného signálu Toto znázornenie možno zapísať ako: uuu Ďalej uu "Odozva na jednotkový krok sa bude rovnať h Výstupný signál možno približne znázorniť ako: uuhu" h Prechod na limit pri , namiesto súčtu dostaneme integrál uuhu "hd Táto jedna z foriem Duhamelovho integrálu Integráciou po častiach môžeme získať inú formu Duhamelovho integrálu: uuhuh "d A nakoniec zmenou premennej =" , môžeme získať ďalšie dve formy Duhamelovho integrálu: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Niektoré vlastnosti dvojpólových obvodov 4 Všeobecné vlastnosti funkcie odporu vstupnej vodivosti Dvojsvorkové siete sú úplne charakterizované funkciou odporu vstupnej vodivosti Táto funkcia nemôže mať nuly v pravej polrovine, ako aj viac núl na osi reálnych frekvencií Keďže Y, potom nuly Y zodpovedajú pólom a naopak.funkcia odporu vstupného vedenia nemôže mať póly v pravej polrovine a viac pólov na osi reálnych frekvencií.nasledujúce platí asymptotická rovnosť: bm mn Keďže na osi reálnych frekvencií by nemalo byť viacero núl a pólov, z toho vyplýva, že mn te mocniny polynómov čitateľa a menovateľa sa nemôžu líšiť o viac ako jednu. lisi = podobne sa dá ukázať, že najmenšie exponenty čitateľa a menovateľa sa nemôžu líšiť o viac ako jeden. Fyzikálny význam týchto tvrdení je taký, že pri veľmi vysokých a veľmi nízkych frekvenciách by sa pasívne dvojpólové zariadenie malo správať ako kapacita alebo indukčnosť alebo aktívny odpor n, 4 Energetické funkcie dvojpólovej siete Predpokladajme, že dvojpólová sieť je určitý zložitý obvod obsahujúci aktívne odpory, kapacity a indukčné

Ak sa na svorky dvojsvorky privedie sínusové napätie, potom sa na dvojsvorke rozptýli určitý výkon, ktorého priemerná hodnota P charakterizuje stratu energie Elektrická a magnetická energia je uložená v kondenzátoroch a tlmivkách, priemer hodnoty, ktorých budeme označovať WE a WH Tieto hodnoty vypočítame pomocou rovníc slučkových prúdov Zapíšeme priamo výrazy pre vyššie uvedené veličiny analogicky s najjednoduchšími prípadmi Takže pre odpor R je priemerný disipovaný výkon sa rovná PRII Podobne pre obvod obsahujúci niekoľko vetiev možno priemerný výkon vyjadriť cez prúdy slučky: P i R i I i I Priemerná energia uložená v indukčnosti, sa rovná WHLII Pre zložitý obvod vyjadríme túto hodnotu. prúdy cez slučku: WH 4 i L i I Priemerná energia uložená v kondenzátore je Ale preto WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Na základe tohto pomeru môžete napísať výraz pre celkovú priemernú elektrickú energiu: WE 4 Ii I i Ci Zistime, ako tieto veličiny súvisia so vstupnými napätiami a prúdmi Aby ste to urobili, zapíšte si rovnice slučkových prúdov. IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Vynásobte každú z rovníc zodpovedajúcim prúdom 49 Ii a pridajte všetky I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ak R i = R i; Li = Li; C i = C i, to znamená, že obvod spĺňa princíp reciprocity a neexistujú žiadne aktívne prvky, potom: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Dosadením do vyššie uvedenej rovnosti dostaneme E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE funkcie

24 Telledzhenova veta vám umožňuje nájsť výrazy pre odpor a vodivosť Y z hľadiska energetických funkcií: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Z výrazov získaných pre a Y z hľadiska energetických funkcií možno vyvodiť určité závery. Vstupný odpor a vodivosť pasívneho obvodu má nezápornú reálnu časť na osi reálnych frekvencií Je identická je nulová iba vtedy, ak v obvode nie sú žiadne straty energie Podmienky stability vyžadujú, aby Y tiež nemalo nuly a póly v pravej polovici- rovine. Neprítomnosť pólov znamená, že Y sú analytické funkcie v pravej polrovine. že ak je funkcia v nejakej oblasti analytická, jej reálna a imaginárna časť dosahujú svoje najmenšie a najväčšie hodnoty na hranici oblasti. Keďže funkcie vstupného odporu a vodivosti sú analytické v pravej polrovine, potom ich reálna časť na hranici tejto oblasti na osi reálnych frekvencií dosahuje najmenšiu hodnotu Ale na osi reálnych frekvencií je reálna časť nezáporná, preto je kladná v celej pravej polrovine. Okrem toho funkcie a Y nadobúdajú reálne hodnoty ​pre reálne hodnoty, pretože sú kvocientom delenia polynómov s reálnymi koeficientmi Funkcia, ktorá nadobúda reálne hodnoty a má kladnú reálnu časť v pravej polrovine, sa nazýva kladná reálna funkcia. Vstupný odpor a vodivostné funkcie sú kladné reálne funkcie.funkcia bola kladnou reálnou funkciou 3 Imaginárna časť na skutočnej frekvenčnej osi sa rovná nule, ak dvojpólové zariadenie neobsahuje reaktívne prvky alebo priemerné zásoby magnetických a EE;

25 elektrických energií v dvojkoncovej sieti je rovnakých To je prípad rezonancie; frekvencia, pri ktorej sa to deje, sa nazýva rezonančná frekvencia.Treba si uvedomiť, že pri odvodzovaní energetických pomerov pre a Y sa v podstate využívala vlastnosť reciprocity absencie závislých zdrojov.Pre obvody, ktoré nespĺňajú princíp reciprocity a obsahujú závislé zdroje, tento vzorec sa môže ukázať ako nesprávny Obrázok 4 ukazuje schému sériového rezonančného obvodu Pozrime sa, čo dáva energetický vzorec v tomto najjednoduchšom prípade Výkon rozptýlený v odpore R, keď preteká prúd I, sa rovná priemeru PIR zásoby elektrickej a magnetickej energie sú rovnaké: WHLICU; W E Napätie U na kondenzátore, keď tečie prúd I, je odtiaľto W E I U C I C Dosadením do energetického vzorca pre dostaneme L I I R I

26 Tu E E C C S I S E R R RC RC C C Nech, S >> C, aby sa prvý člen v zátvorke mohol zanedbať S sklon lampy Potom bude vstupná impedancia S I E RC E RC I S S RC kde Požiadavka; Leq SS Obr. 4 Elektronický odpor RC SR eq L eq, Je zrejmé, že výpočet vstupného odporu pomocou energetických funkcií v tomto prípade poskytne nesprávny výsledok V tomto obvode skutočne nie je žiadna magnetická rezerva energie, ktorá určuje indukčnosť Dôvodom nevhodnosti energetického vzorca pre tento obvod je prítomnosť v obvode závislého zdroja Voľbou požadovaného fázového posunu v obvode riadiacej mriežky svietidla je možné získať indukčnú alebo kapacitnú fázu. posun medzi napätím a prúdom na vstupe a podľa toho aj indukčný alebo kapacitný charakter vstupného odporu odpor alebo vodivosť pasívneho obvodu je nezáporná na osi reálnych frekvencií Môže sa rovnať nule identicky pre ľubovoľné frekvencie iba ak všetky prvky obvodu nemajú žiadne straty, to znamená, že sú čisto reaktívne, ale aj v prípade strát môže skutočná časť odporu alebo vodivosti miznú pri niektorých frekvenciách 5

27 Ak nezmizne nikde na imaginárnej osi, potom je možné od funkcie odporu alebo vodivosti odčítať konštantnú hodnotu bez porušenia podmienok fyzikálnej uskutočniteľnosti tak, že reálna časť, ktorá zostane nezáporná, sa pri určitej frekvencii zmení na nulu. pólov v pravej polrovine premennej, to znamená, že je v tejto oblasti analytická, potom jej reálna časť má minimálnu hodnotu na jej hranici, teda na imaginárnej osi. reálna časť kladná v pravej polrovine.Funkcia vstupného vodivostného odporu sa nazýva funkcia typu minimum - aktívny odpor vedenia, ak jeho reálna časť zaniká na osi reálnych frekvencií tak, že pokles v tomto komponent je nemožný bez porušenia podmienok pasivity. potom nula reálnej časti na osi reálnych frekvencií má násobok aspoň , c a neminimálne aktívny typ d na obr.43 a obvod má vstupný odpor neminimálne aktívneho typu, keďže skutočná časť odporu nezaniká pri žiadnej skutočnej frekvencii Súčasne skutočná časť vodivosti zaniká pri frekvencii = obvod je teda obvod s minimálnou aktívnou vodivosťou Na obr. 43, b je obvod obvod minimálneho aktívneho odporu, pretože skutočná časť odporu mizne s nekonečnou frekvenciou 53

28 Na obr.43 je obvod obvod s minimálnym aktívnym odporom R = pri rezonančnej frekvencii sériového obvodu obvod v 3. obvode má konečný odpor pri rezonančnej frekvencii 44 Vstupné odpory vodivosti aktívnych dvojkoncových sietí Obr. 44 Dvojsvorkové zariadenia: a so zdrojom EMF, b s pridaním odporu R Odpory vstupnej vodivosti aktívnych na rozdiel od pasívnych dvojsvorkových zariadení nie sú kladnými funkciami, a preto takéto dvojkoncové siete za určitých podmienok môžu byť nestabilný. Zvážte tu dostupné možnosti. Odpor má nuly v pravej polrovine premennej, ale nemá tam póly. Uvažujme obvod znázornený na obr. 44 a umiestnite exponenciálne rastúce riešenia, t. j. dvojpólové nick je nestabilný, keď je napájaný z EMF zdroja, alebo inak, keď sú jeho svorky skratované. Na druhej strane, keďže nemá žiadne póly v pravej polrovine, je to analytická funkcia v tejto polrovine. vyplýva, že reálna časť dosahuje minimum na hranici pravej polroviny, teda osi reálnych frekvencií Toto minimum je záporné, keďže v opačnom prípade by išlo o kladnú reálnu funkciu a nemohla by mať nuly vpravo. polrovina.Minimum reálnej časti na reálnej frekvenčnej osi je možné zvýšiť na nulu pridaním kladného reálneho odporu V tomto prípade sa z funkcie + R stáva kladná reálna funkcia Preto dvojterminálna sieť s pridaním odpor R bude pri skrate stabilný Obr. 44, b.

29 Vodivosť Y má nuly v pravej polrovine, ale nemá tam žiadne póly. Toto je opačný prípad ako predchádzajúci, pretože to znamená, že = / Y má póly v pravej polrovine, ale nemá tam nuly. .V tomto prípade sa stabilita skúma v obvode so zdrojom prúdu Obr.45, a Ak má Y v pravej polrovine nuly, potom je dvojsvorková sieť nestabilná pri chode naprázdno.Ďalej môžeme aplikovať Argumenty uvedené vyššie. Keďže Y nemá žiadne póly v pravej polrovine, z funkcie Y možno urobiť skutočnú pozitívnu funkciu pridaním kladnej skutočnej vodivosti G Gmin. nuly v pravej polrovine, ale nemá tam póly, sa dá ustáliť pridaním dostatočne veľkej reálnej vodivosti.zo zdroja napätia 3 Funkcia má nuly a póly v pravej polrovine.V tomto prípade napr. vyriešenie otázky stability si vyžaduje osobitnú pozornosť Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery: ak je aktívna dvojkoncová sieť stabilná, keď je napájaná zo zdroja prúdu, nemá žiadne póly v pravej polrovine, môže byť stabilná pri napájaní zo zdroja napätia sériovým zapojením určitého kladného odporu materiálu; ak je aktívne dvojsvorkové zariadenie stabilné pri napájaní zo zdroja napätia Y nemá póly v pravej polrovine, potom ho možno stabilizovať pri napájaní zo zdroja prúdu paralelným zapojením dostatočne veľkej reálnej vodivosti Príklad Uvažujme paralelné zapojenie záporného odporu R s kapacitou C Obr. 46 RCR Tu R RC CI 55 Y b G Obr. 45 Dvojpólové siete: a so zdrojom prúdu; b s pridaním vodivosti Y Y Obr.46 Dvojpólový so záporným odporom I

30 Ako vidíte, v pravej polrovine nemá nuly, preto je takýto obvod stabilný pri napájaní zo zdroja napätia Ale je nestabilný naprázdno Pripočítajme indukčnosť L v sérii Potom Obr.47 Ekvivalentný obvod Obr. tunelovej diódy RRL LCR L RC RC Táto funkcia má nuly v pravej polrovine: , RC 4 RC LC Obvod je preto nestabilný pri napájaní zo zdroja napätia Ale má aj pól v pravej polrovine dajme tomu skúste to stabilizovať pridaním odporu v sérii R Obr. 47 Potom R LCR RRC LRRLR RC RC Podmienka stability spočíva v absencii núl čitateľa v pravej polrovine Na to musia všetky koeficienty trinomu v čitateli byť pozitívny: RR CL; RR Tieto dve nerovnosti možno zapísať ako: L CR RR Je zrejmé, že takéto nerovnosti sú možné, ak LLR alebo R RC C R za podmienky R Obvod na Obr. 47 je ekvivalentný obvodu C tunelovej diódy.

31 možnosti stabilizácie pracovného režimu tunelovej diódy pomocou vonkajšieho odporu Príklad Uvažujme LC obvod s paralelne zapojeným záporným odporom Obr. 48 Nájdite podmienky stability obvodu naprázdno Na tento účel vypočítajte vodivosť: tl. R alebo R> R o Pri splnení obrátenej nerovnosti sa v obvode vybudia vlastné kmity na frekvencii rezonančného obvodu 45 určité medze bez porušenia podmienok pasivity Fyzikálne táto zmena v reálnej zložke konštantnou hodnotou znamená pridanie alebo vylúčenie skutočného aktívneho odporu, ideálne nezávislého od frekvencie Zmena reaktívnej zložky funkcie odporu n vodivosti o konštantnú hodnotu je neprijateľné, pretože to porušuje podmienky fyzickej realizovateľnosti zvláštnosť imaginárnej zložky funkcie obvodu Fyzicky sa to vysvetľuje tým, že neexistujú žiadne prvky s čisto reaktívnym frekvenčne nezávislým vodivým odporom. zmena reaktívnej zložky bez zmeny aktívnej zložky možná v prípade, keď vodivý odpor má póly na osi reálnych frekvencií.Vzhľadom na podmienky fyzikálnej realizovateľnosti by takéto póly mali byť jednoduché a komplexne konjugované

32 Nech má odpor póly pri frekvenciách Potom môžeme rozlíšiť jednoduché zlomky MNBB Ľahko uvidíme, že NNMMN r MB r 58 B * M, MM Uvažujme správanie jedného zo zlomkov, napríklad M / blízko = Potom MMM r M r M V blízkosti frekvencie mení reálna zložka znamienko, čo je v rozpore s podmienkami fyzikálnej realizovateľnosti Preto M r = N r = Potom M = N Okrem toho je možné ukázať, že M = N> Skutočne dáme = +, a> Potom zlomok nadobudne hodnotu M /, ktorá musí byť väčšia ako nula, pretože zlomok musí byť v pravej polrovine skutočná kladná funkcia Takže, M = N> Ak má teda komplexne konjugát póly na osi reálnych frekvencií, potom to môže byť znázornené v tvare: MM, B a spĺňa podmienky fyzikálnej realizovateľnosti, ak sú splnené Naozaj , nemá póly v pravej polrovine, keďže tam póly nemá .Je to teda analytická funkcia v pravej polrovine. Na druhej strane prvý člen preberá Osy reálnych frekvencií sú čisto imaginárne hodnoty, preto majú rovnaké reálne časti na osiach reálnych frekvencií Oddelenie prvého členu neovplyvňuje skutočnú časť na osiach reálnych frekvencií Z toho vyplýva, že v pravej polovici- rovina je tiež kladná funkcia r

33 Okrem toho pre skutočné hodnoty preberá skutočné reálne hodnoty v pravej polrovine V dôsledku toho ide o skutočnú kladnú funkciu M Odpor má paralelný rezonančný obvod bez strát: LCCC, LC LC a LC a MC : M "Y, YM" kde výraz predstavuje vodivosť sériového rezonančného obvodu: YCLLCL Okrem pólov v bodoch ±, teda na konečných frekvenciách, sú možné póly na nulových a nekonečných frekvenciách. Tieto póly zodpovedajú výrazy :, L, Y, YC, CL t nezodpovedajú kapacite alebo indukčnosti Nasledujúce tvrdenie je pravdivé Vstupná impedancia vodivosť pasívneho obvodu naďalej spĺňa podmienky fyzickej realizovateľnosti, ak 59

34 odčítaj od nej reaktanciu vodivosti zodpovedajúcu pólom umiestneným na osi reálnych frekvencií póly odporu a vodivosti pri žiadnych reálnych frekvenciách Prítomnosť takýchto pólov by znamenala možnosť existencie voľných kmitov v nich bez tlmenia Ale v mnohých prípadoch pri dobrej aproximácii možno straty v reaktívnych prvkoch zanedbať 46 Vlastnosti obvodov zložených z čisto reaktívnych prvkov Často sa stáva, že obvod je zložený z prvkov s malými stratami V tomto prípade možno niekedy vplyv strát zanedbať. zaujímavé zistiť vlastnosti obvodov bez strát, ako aj zistiť, za akých podmienok možno straty zanedbať Predpokladajme, že všetky prvky obvodu sú čisto reaktívne Je ľahké ukázať, že v tomto prípade na osi reálnych frekvencií odpor a vodivosť Y nadobúdajú imaginárne hodnoty V tomto prípade je sila strát rovná nule, teda: W I 6 H WE W Y E WE; Keďže imaginárna časť odporu alebo vodivosti je nepárna funkcia obvodu, potom v tomto prípade = Preto vo všeobecnejšom prípade = Podmienky fyzikálnej realizovateľnosti vyžadujú, aby nemal nuly a póly v pravej polrovine. Ale keďže =, potom by v ľavej polrovine nemali byť ani nuly a póly. Preto H

35 funkcií a Y môže mať nuly a póly len na osi reálnych frekvencií.Fyzikálne je to pochopiteľné, keďže v obvode bez strát nedochádza k tlmeniu voľných kmitov.Z toho vyplýva, že pomocou metódy identifikácie pólov ležiacich na osi reálnych frekvencií je možné redukovať funkcie a Y do nasledujúcej podoby: bnbnb Y Inými slovami, dvojpólové zariadenie s odporom možno znázorniť ako nasledujúca schéma na obr. 49 Fosterovej formy:; Obr. 49 Prvá Fosterova forma Podľa toho môže byť Y reprezentovaná vo forme -tej Fosterovej formy Obr. 4 Obr. 4 Druhá Fosterova forma Dá sa ukázať, že nuly a póly na osi reálnych frekvencií by sa mali striedať iba jednoduché, potom blízko nuly môže byť funkcia reprezentovaná v tvare M o, kde o je množstvo vyššieho rádu malosti v porovnaní s Blízko v pravej polrovine, skutočná veličina musí byť kladná, a to je možné len vtedy, ak M je skutočný 6

36 je veľkosť a M> Preto blízko nuly = imaginárna zložka sa môže meniť len s kladnou deriváciou, pri zmene znamienka z na „+“ musí existovať diskontinuita, ktorá pre obvody so sústredenými prvkami môže byť iba pól Všetky to, čo bolo povedané, platí aj pre vodivosť Y Nuly sa nazývajú body rezonancií, póly sú body antirezonancií Preto sa rezonancie vždy striedajú s antirezonanciami Pre vodivosť Y zodpovedajú rezonancie pólom a antirezonancie nulám Je ľahké vidieť, že tak v bodoch rezonancií, ako aj v bodoch antirezonancií sú priemerné zásoby elektrickej a magnetickej energie navzájom rovnaké Skutočne, v bodoch rezonancií =, teda WHWE = V bodoch antirezonancií Y =, teda WEWH = Ukážme si teraz, že v prípade obvodov bez strát prebiehajú nasledujúce vzorce, uvádzam závislosť odporu a vodivosti od frekvencie Znázornime odpor a vodivosť v tvare: X, Y B Potom: dx WH W d I db WH WE d E Pre dôkaz uvažujme definíciu odporu E I 6 E; Nech E = zápory Rozlišujme podľa frekvencie: d E di d I d Predpokladajme, že E je skutočná hodnota Potom pre obvod bez strát je I čisto imaginárna hodnota V tomto prípade d E d I di d I I a

37 Prejdime teraz k sústave rovníc pre slučkové prúdy n 4: I Li I Ei, i, n C Za predpokladu, že iba E, vynásobíme každú z rovníc a sčítame všetky rovnice: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Ďalej sa obrátime na vzťah získaný aj v p 4 pre bezstratové obvody: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferencovaním podľa frekvencie pri E = zápory dostaneme: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , keďže E je reálna hodnota predpokladom Z uvedeného tiež vyplýva, že: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Dosadením do súčtu dostaneme: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Redukovaním podobných členov vľavo a vpravo zistíme: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E bolo nachádza sa v sekcii n 4, rovná sa i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Dosadením vo výraze pre deriváciu funkcie odporu dostaneme: d E di WH W d I d I Podobne môžete dokázať druhá rovnosť dy W d E WE Z týchto vzorcov vyplýva, že so zvyšujúcou sa frekvenciou môže reaktancia a vodivosť obvodu čisto reaktívnych prvkov len narastať.V závislosti od prítomnosti núl a pólov na nulových a nekonečných frekvenciách sa graf závislosť X a B môže mať jeden z nasledujúcich typov znázornených na obr. 4 Nakoniec sa pokúsime zistiť, ako prítomnosť malých strát ovplyvňuje odpor obvodu zloženého z reaktívnych prvkov.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Útlm môže byť pre rôzne póly rôzny Preto je vhodné zvážiť správanie sa odporovej funkcie v blízkosti jedného z pólov.

40 Keďže nás zaujímajú hodnoty na osi reálnych frekvencií, mali by sme ich nahradiť výrazom V čitateli môžeme vyradiť, malé v porovnaní s podmienkou: Tento výraz možno transformovať nasledovne :, Qx "kde ; Q; x; Veličina Q >> sa nazýva faktor kvality, veličina x sa nazýva relatívne rozladenie Blízka rezonancia Okrem toho máme: Hodnota C x QQ;; QQCC sa nazýva charakteristická impedancia rezonančného obvodu. Zvážte, ako skutočné a imaginárne časti odporu v blízkosti rezonancie závisia od frekvencie: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Blízka rezonancia Im rastie, ale pri rezonancii prechádza nulou so zápornou deriváciou Reálna časť R má maximum pri rezonancii, plocha pod rezonančnou krivkou R nezávisí od faktora Q. So zvyšujúcim sa faktorom Q šírka krivky sa zmenšuje, ale výška sa zväčšuje, takže plocha zostáva nezmenená Qx >>, skutočná časť sa rýchlo zmenšuje a imaginárna časť sa rovná Im x 67, to znamená, že sa mení rovnakým spôsobom ako v prípade bezstratového obrysu

42 Závislosť od frekvencie so zavedením malých strát sa teda málo mení pri frekvenciách vzdialených od rezonančnej frekvencie o hodnotu >>.V blízkosti frekvencie sa priebeh výrazne mení.Vodivý pól Y, čiže vodivosť sériovej rezonančný obvod zodpovedá vzťahu podobnému pólu: kde Q; gq Y, Qx g charakteristická vodivosť; L x nula zodpovedá vodivému pólu Y blízko nule, preto môže byť odpor reprezentovaný na osi reálnych frekvencií takto: Qx x, Y gq Q kde = / g sa mení blízko nuly rovnakým spôsobom ako predtým 68

43 5 Štvorpóly 5 Základné rovnice štvorpólu Štvorpól je obvod, ktorý má dva páry svoriek: vstup, na ktorý je pripojený zdroj signálu a výstup, na ktorý je pripojená záťaž prenosový odpor Za týchto podmienok odpor v zdroj signálu n a odpor záťaže n sú zahrnuté v T Keď sa menia a T sa mení Je žiaduce mať rovnice a parametre, ktoré charakterizujú samotnú štvorbranovú sieť Koeficient je prevrátená hodnota prenosovej vodivosti pri nečinnosti na výstupe pár svoriek: 69 II; Obr. 5 Zapnutie štvorportovej siete I Tu sú U a U napätia na vstupných a výstupných svorkách, I a I sú prúdy tečúce cez vstupné a výstupné svorky smerom do štvorbranovej siete, pozri obr. 5 Koeficienty sústava rovníc spájajúcich napätia a prúdy má jednoduchý význam. Hodnota je koeficient úmernosti medzi I a U pri prúde na výstupných svorkách I =, to znamená naprázdno na výstupných svorkách; inými slovami, toto je vstupný odpor naprázdno na výstupe = x Podobne je to vstupný odpor zo strany výstupných svoriek naprázdno na prvom páre svoriek = x Koeficient má význam hodnota opačná k prenosovej vodivosti pri voľnobehu na prvom páre svoriek, tj pri nulovom prúde vstupných svoriek U a IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Všimnite si, že pre pasívnu štvorportovú sieť sú obe prenosové vodivosti navzájom rovnaké kvôli princípu reciprocity. Preto = = / Y Tx Systém rovníc uvedený vyššie možno zapísať ako: IU x I ; YT x IU x I YT x I, keďže prúd je v tomto prípade nasmerovaný zo štvorportovej siete, teda opačným smerom v porovnaní s vyššie uvedeným Dosadením U do druhej rovnice dostaneme, odkiaľ I, I n I x I YTx IY x Tx Dosadením I do prvej rovnice dostaneme UI x Y Tx n Odtiaľto nájdeme vstupnú impedanciu v nx U x IY Analogicky môžete tiež napísať výraz pre výstupný odpor, pričom prehodíme indexy a: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Charakteristické parametre štvorpólového zariadenia Veľmi zaujímavý je prípad, keď generátor a záťaž sú súčasne prispôsobené, teda keď n = c a n = c, vzťah in = c a out = c prebieha Dosadením vo výrazoch pre in a out dostaneme rovnice, ktoré nám umožňujú nájsť c a c: cc x x YT x YT x 7 cc Tento systém je vyriešený nasledovne Z prvej rovnice zistíme: odkiaľ cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Všimnite si, že skrat a skrat sú vstupné odpory zo strany prvého a druhého páru svoriek v prípade skratu na druhom páre svoriek. Záťaž rovnajúca sa charakteristickej impedancii c sa nazýva prispôsobená Pri ľubovoľnom počte takto zapnutých štvorportových sietí je párovanie zachované v akomkoľvek priereze. UI c I c ln I c U cg ln U Skutočná časť charakteristického koeficientu prenosu pre reálne frekvencie sa nazýva charakteristický útlm a imaginárna časť sa nazýva charakteristická fázová konštanta získajte tiež pomer: I g I; U c g U U U I I

47 Charakteristický koeficient prenosu je vhodný v tom, že pri zosúladenom kaskádovom prepojení dvojportových sietí sa výsledný koeficient prenosu rovná súčtu koeficientov prenosu jednotlivých štvorportových sietí. Charakteristický koeficient prenosu možno zistiť zo vzťahov : gc kz c kz xx c xx cc kz c kz xx c xx c Charakteristické impedancie c a c vo všeobecnosti závisia od frekvencie. Preto použitie charakteristických parametrov nie je vždy vhodné na vyjadrenie prenosového odporu T. koncovej siete na konštantné reálne zaťaženie R s čisto aktívnym odporom generátora R Obr. 53 V tomto prípade je prenos určený pomocou prevádzkového koeficientu prenosu UI ln, UI kde U "a I" sú a prúd, ktorý je generátor schopný vyvinúť pri odpore rovnajúcom sa vnútornému odporu generátora, tj: EU, IE, R 73 EUI, 4R U a I napätie a prúd záťaže V tomto prípade U = IR Nahradením získať pre prevádzkový koeficient prenosu ln Odtiaľ dostaneme 4R ERI ln ERRTIRR

48 Hodnota je funkciou komplexnej premennej Pre reálne frekvencie =: = + B, kde prevádzkový útlm, B je fázová konštanta Prevádzkový útlm sa rovná ln TRR 74 ln PP mx, keďže P mx je maximálny výkon, ktorý generátor môže dať na vstup štvorportovej siete a P je výkon pridelený na záťaž RP mx EPIR 4R Ukážme, že skutočná kladná funkcia Skutočne, keďže T nemá v pravej polrovine žiadne nuly, funkcia je analytická v pravej polrovine.Preto je jej úmerná aj analytická funkcia v pravej polrovine.analyticita, v tomto prípade na osi reálnych frekvencií Inverzná hodnota dosahuje najmenšiu hodnotu na tejto osi Pre pasívny štvorbran na osi reálnych frekvencií, preto R> v celej pravej polrovine Ďalej T ln 4R R Funkcia T je podiel delenia dvoch polynómov reálnymi koeficientmi a T berie reálne kladné e hodnoty pre skutočné Preto je tiež skutočné pre skutočné hodnoty Takže môžeme konštatovať, že skutočná pozitívna funkcia Problém syntézy štvorportovej siete s daným prevádzkovým prenosovým koeficientom vo všeobecnom prípade je najlepšie vyriešený pomocou takzvanej skríženej štvorportovej siete, ktorá má za určitých podmienok T

4.11. Vlastnosti Laplaceovej transformácie. 1) Korešpondencia jedna ku jednej: s (S И (2) Linearita Laplaceovej transformácie: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (a tiež 3) Analytica S И (): ak s (vyhovuje)

4 Prednáška 5 ANALÝZA DYNAMICKÝCH OBVODOV Plán Stavové rovnice elektrických obvodov Algoritmus na tvorbu stavových rovníc 3 Príklady zostavovania stavových rovníc 4 Záver Stavové rovnice el.

4 .. Vlastnosti Laplaceovej transformácie.) Korešpondencia jedna ku jednej: S И () 2) Linearita Laplaceovej transformácie: s (s () И () И 2 S S2 () a tiež 3) Analyticita S И (): ak spĺňa podmienku

64 Prednáška 6 PREVÁDZKOVÁ METÓDA ANALÝZY ELEKTRICKÝCH OBVODOV Plán Laplaceova transformácia Vlastnosti Laplaceovej transformácie 3 Operátorská metóda analýzy elektrických obvodov 4 Určenie originálu známym

2.2. Operátorová metóda na výpočet prechodových javov. Teoretické informácie. Výpočet prechodových procesov v zložitých obvodoch klasickou metódou je veľmi často ťažké nájsť integračné konštanty.

70 Prednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCIE OBVODOV Plán Operátorské vstupné a prenosové funkcie Póly a nuly obvodových funkcií 3 Záver Operátorské vstupné a prenosové funkcie Operátorská funkcia obvodu je tzv.

Sínusový prúd „na dlani“ Väčšina elektrickej energie sa generuje vo forme EMF, ktorá sa v priebehu času mení podľa zákona harmonickej (sínusovej) funkcie. Zdroje harmonického EMF sú

4 Prednáška REZONANČNÉ FREKVENČNÉ CHARAKTERISTIKY ELEKTRICKÝCH OBVODOV Rezonancia a jej význam v rádioelektronike Komplexné prenosové funkcie 3 Logaritmické frekvenčné charakteristiky 4 Závery Rezonancia a

Prechodné procesy „na dlani“. Už poznáte metódy na výpočet obvodu, ktorý je v ustálenom stave, teda v takom, keď sú prúdy, podobne ako poklesy napätia na jednotlivých prvkoch, v čase konštantné.

Rezonancia v dlani. Rezonancia je režim pasívnej dvojkoncovej siete obsahujúcej indukčné a kapacitné prvky, v ktorej je jej reaktancia nulová. Rezonančný stav

Nútené elektrické vibrácie. Striedavý prúd Uvažujme o elektrických osciláciách, ktoré vznikajú, keď je v obvode generátor, ktorého elektromotorická sila sa periodicky mení.

Kapitola 3 Striedavý prúd Teoretické informácie Väčšina elektrickej energie sa generuje vo forme EMF, ktorá sa v čase mení podľa zákona harmonickej (sínusovej) funkcie.

Prednáška 3. Zrážky. Hlavná veta o zvyškoch Zvyšok funkcie f () v izolovanom singulárnom bode a je komplexné číslo rovné hodnote integrálu f () 2 v kladnom smere i pozdĺž kružnice

Elektromagnetické kmity Kvázistacionárne prúdy Procesy v oscilačnom obvode Oscilačný obvod obvod pozostávajúci z indukčných cievok zapojených do série, kondenzátora s kapacitou C a rezistora

1 5 Elektrické kmity 51 Oscilačný obvod Osciláciami sa vo fyzike nazývajú nielen periodické pohyby telies, ale aj každý periodický alebo takmer periodický proces, pri ktorom sú hodnoty jednej resp.

Pasívne obvody Úvod Problémy sa zaoberajú výpočtom amplitúdovo-frekvenčných, fázovo-frekvenčných a prechodových charakteristík v pasívnych obvodoch. Na výpočet pomenovaných charakteristík potrebujete vedieť

ŠTÚDIUM VOĽNÝCH A VYNÚTENÝCH VIBRÁCIÍ V OSCILAČNOM OBVODE Voľné elektrické vibrácie v oscilačnom obvode Uvažujme oscilačný obvod pozostávajúci zo sériovo zapojených kondenzátorov

Prednáška 3 Téma Oscilačné systémy Sekvenčný oscilačný obvod. Rezonancia napätí Sériový oscilačný obvod je obvod, v ktorom sú cievka a kondenzátor zapojené do série

Moskovská štátna univerzita Fyzikálna fakulta M.V.Lomonosova Katedra všeobecnej fyziky

Materiály pre samoštúdium v ​​odbore "Teória elektrických obvodov" pre študentov odborov: -6 4 s "Priemyselná elektronika" (časť), -9 s "Modelovanie a počítačový dizajn

Komplexná amplitúdová metóda Kolísanie harmonického napätia na svorkách prvkov R alebo spôsobuje tok harmonického prúdu rovnakej frekvencie. Diferenciácia, integrácia a sčítanie funkcií

Príloha 4 Vynútené elektrické oscilácie Striedavý prúd Nasledujúce teoretické informácie môžu byť užitočné pri príprave na laboratórnu prácu 6, 7, 8 v laboratóriu "Elektrina a magnetizmus"

54 Prednáška 5 Fourierova transformácia a spektrálna metóda na analýzu elektrických obvodov Plán spektier aperiodických funkcií a Fourierova transformácia Niektoré vlastnosti Fourierovej transformácie 3 Spektrálna metóda

Skúška Napäťová rezonancia (pokračovanie) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Menovateľ je minimálny pri frekvencii ω 0, takže ω0 = 0 => ω0 ω 0 = táto frekvencia sa nazýva rezonančná

Kapitola 2. Metódy výpočtu prechodných procesov. 2.1. Klasická metóda výpočtu. Teoretické informácie. V prvej kapitole boli uvažované metódy na výpočet obvodu v ustálenom stave, tzn

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Schematické funkcie Prístroj obvodových funkcií je použiteľný ako pre analýzu obvodov na jednosmerné a harmonické prúdy, tak aj pre ľubovoľný typ vplyvu V ustálenom stave

4.9. Prechodová odozva obvodu, jej vzťah s impulznou odozvou. Uvažujme funkciu K j K j j> S j j K j S 2 Predpokladajme, že K jω má Fourierovu transformáciu h K j Ak existuje IH k K j, potom

Prednáška 9 Linearizácia diferenciálnych rovníc Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Homogénne rovnice vlastnosti ich riešení Vlastnosti riešení nehomogénnych rovníc Definícia 9 Lineárne

Metodický vývoj Riešenie problémov pomocou TFKP Komplexné čísla Operácie na komplexných číslach Komplexná rovina Komplexné číslo možno znázorniť v algebraickej a goniometrickej exponenciáli

Obsah ÚVOD Sekcia KLASICKÁ METÓDA VÝPOČTU PRECHODNÝCH JEDNOTEK Časť VÝPOČET PRECHODNÝCH JEDNOTEK S NÁHODNÝMI VSTUPMI POMOCOU PREKRÝVACÍCH INTEGRÁLOV 9 PROBLÉMY RIADENIA7

4 ELEKTROMAGNETICKÉ VIBRÁCIE A VLNY Oscilačný obvod je elektrický obvod zložený z kondenzátorov a cievok, v ktorom je možný oscilačný proces dobíjania kondenzátora.

3.5. Komplexný paralelný oscilačný obvod I Obvod, v ktorom aspoň jedna paralelná vetva obsahuje reaktivity oboch znakov. I С С I I Medzi a nie je žiadne magnetické spojenie. Rezonančný stav

PREDNÁŠKA N38. Správanie sa analytickej funkcie v nekonečne. Špeciálne body. Zvyšky funkcie ... okolie nekonečne vzdialeného bodu ... Laurentova expanzia v okolí nekonečne vzdialeného bodu .... 3. Správanie

4 Prednáška 3 FREKVENČNÁ CHARAKTERISTIKA ELEKTRICKÝCH OBVODOV Komplexné prenosové funkcie Logaritmické frekvenčné charakteristiky 3 Záver Komplexné prenosové funkcie (komplexné frekvenčné charakteristiky)

Výkyvy. Prednáška 3 Alternátor Aby sme vysvetlili princíp činnosti alternátora, uvažujme najprv, čo sa stane, keď sa plochý závit drôtu otáča v rovnomernom magnetickom

DIFERENCIÁLNE ROVNICE Všeobecné pojmy

Výpočet zdroja harmonických kmitov (GCI) Zabezpečte počiatočný obvod GCI relatívne k primárnemu vinutiu transformátora ekvivalentným zdrojom napätia. Určite jeho parametre (EMF a interné

Práca 11 ŠTÚDIUM VYNÚTENÝCH VIBRÁCIÍ A JVOV REZONANCIE V KÝVAJÚCOM OBVODE V obvode obsahujúcom tlmivku a kondenzátor môže dochádzať k elektrickým osciláciám. Práca sa študuje

Téma 4 .. Obvody striedavého prúdu Otázky k téme .. Obvod striedavého prúdu s indukčnosťou .. Obvod striedavého prúdu s indukčnosťou a aktívnym odporom. 3. Obvod striedavého prúdu s kapacitou. 4. Reťazový variabilný

4 Prednáška ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODOV Plán Úloha analýzy elektrických obvodov Kirchhoffove zákony Príklady analýzy odporových obvodov 3 Ekvivalentné transformácie úseku obvodu 4 Záver Úloha analýzy elektrických obvodov

Variant 708 V elektrickom obvode pracuje zdroj sínusového EMF e (ωt) sin (ωt ψ). Schéma zapojenia znázornená na obr .. Efektívna hodnota zdroja EMF E, počiatočná fáza a hodnota parametrov obvodu

Počiatočné údaje R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoffove zákony (konštantné napätie) 1. Hľadanie uzlov Uzol bod , v ktorom sú zapojené tri (alebo viac) vodiče

PREDNÁŠKA Oscilácia. Vynútené kmity Obr Zdroj kmitov M athcale napája sériový oscilačný obvod pozostávajúci z odporu R, tlmivky L a kondenzátora s kapacitou.

Skúška Rezonancia napätí (pokračovanie) Predpokladajme, že napätie na jednom obvode je napätie na celom oscilačnom obvode a napätie na výstupe obvodu je napätie na kondenzátore. Potom amplitúda

Jesenný semester akademického roka Téma 3 HARMONICKÁ ANALÝZA NEPERIODICKÝCH SIGNÁLOV Priame a inverzné Fourierove transformácie Spektrálna charakteristika signálu Amplitúdovo-frekvenčné a fázovo-frekvenčné spektrá

Prednáška 6. Klasifikácia kľudových bodov lineárnej sústavy dvoch rovníc s konštantnými reálnymi koeficientmi. Uvažujme systém dvoch lineárnych diferenciálnych rovníc s reálnou konštantou

54 Prednáška 5 Fourierova transformácia a spektrálna metóda na analýzu elektrických obvodov Plán spektier aperiodických funkcií a Fourierova transformácia 2 Niektoré vlastnosti Fourierovej transformácie 3 Spektrálna metóda

Téma: Zákony striedavého prúdu Elektrický prúd je usporiadaný pohyb nabitých častíc alebo makroskopických telies. Premenná je prúd, ktorý v čase mení svoju hodnotu

Impedancia skúšky Impedancia Impedancia alebo komplexná impedancia sa podľa definície rovná pomeru komplexného napätia ku komplexnému prúdu: Z ɶ Všimnite si, že impedancia sa tiež rovná pomeru

Obsah Úvod. Základné pojmy .... 4 1. Integrálne rovnice Volterry ... 5 Varianty domácej úlohy .... 8 2. Rozlíšenie integrálnej rovnice Volterry. 10 možností domácej úlohy ... 11

Kapitola II Integrály Primitívna funkcia a jej vlastnosti Funkcia F () sa nazýva primitívna funkcia spojitej funkcie f () na intervale a b, ak F () f (), a; b (;) Napríklad pre funkciu f () primitívne deriváty

Klasická metóda. Obr. 1- úvodná schéma elektrického obvodu Parametre obvodu: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reaktancia indukčnosti:

Metódy výpočtu zložitých lineárnych elektrických obvodov Základ: schopnosť skladať a riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc - zostavené buď pre jednosmerný obvod, alebo po symbolizácii

ŠPECIFICKÝ INTEGRÁL. Integrálne súčty a definovaný integrál Nech je daná funkcia y = f () definovaná na intervale [, b], kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Prednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCIE OBVODOV Operátorské vstupné a prenosové funkcie Póly a nuly obvodových funkcií 3 Záver Operátorské vstupné a prenosové funkcie Operátorská funkcia reťazca je vzťah

68 Prednáška 7 PRECHODOVÉ PROCESY V OBVODOCH PRVÉHO RADU Plán 1 Prechodové procesy v RC-obvodoch prvého rádu 2 Prechodové procesy v R-obvodoch prvého rádu 3 Príklady výpočtu prechodových procesov v obvodoch

4 LINEÁRNE ELEKTRICKÉ OBVODY AC SINUSOIDÁLNEHO PRÚDU A METÓDY ICH VÝPOČTU 4.1 ELEKTRICKÉ STROJE. PRINCÍP SINUSOIDÁLNEHO GENEROVANIA PRÚDU 4.1.012. Sínusový prúd sa nazýva okamžitý

Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „ŠTÁTNA UNIVERZITA KUBÁN“ Fakulta fyziky a technológie Katedra optoelektroniky

~ ~ FKP Derivácia funkcie komplexnej premennej FKP Cauchyho - Riemannovej podmienky pojem pravidelnosti FKP Obraz a tvar komplexného čísla Forma FKP: kde reálna funkcia dvoch premenných je reálna

Toto je názov iného typu integrálnych transformácií, ktoré sa spolu s Fourierovou transformáciou široko používajú v rádiovom inžinierstve na riešenie širokej škály problémov súvisiacich so štúdiom signálov.

Komplexný frekvenčný koncept.

Spektrálne metódy, ako je už známe, sú založené na skutočnosti, že skúmaný signál je reprezentovaný ako súčet nekonečne veľkého počtu elementárnych členov, z ktorých každý sa periodicky mení v čase podľa zákona.

Prirodzené zovšeobecnenie tohto princípu spočíva v tom, že namiesto komplexných exponenciálnych signálov s čisto imaginárnymi ukazovateľmi sa do úvahy zavádzajú exponenciálne signály v tvare, kde je komplexné číslo nazývané komplexná frekvencia.

Dva takéto komplexné signály možno použiť na zostavenie skutočného signálu, napríklad podľa nasledujúceho pravidla:

kde je komplexne konjugovaná hodnota.

Naozaj, v tomto prípade

V závislosti od výberu reálnej a imaginárnej časti komplexnej frekvencie možno získať rôzne reálne signály. Takže, ak, ale dostanete obvyklé harmonické kmity tvaru If, potom v závislosti od znamienka dostanete buď rastúce alebo klesajúce exponenciálne oscilácie v čase. Takéto signály nadobúdajú zložitejšiu podobu, keď. Tu multiplikátor popisuje obálku, ktorá sa v priebehu času exponenciálne mení. Niektoré typické signály sú znázornené na obr. 2.10.

Koncept komplexnej frekvencie sa ukazuje ako veľmi užitočný predovšetkým preto, že umožňuje bez použitia zovšeobecnených funkcií získať spektrálne reprezentácie signálov, ktorých matematické modely nie sú integrovateľné.

Ryža. 2.10. Reálne signály zodpovedajúce rôznym hodnotám komplexnej frekvencie

Podstatná je aj ďalšia úvaha: exponenciálne signály tvaru (2.53) slúžia ako „prirodzený“ prostriedok na štúdium oscilácií v rôznych lineárnych systémoch. Tieto otázky budú skúmané v Ch. osem.

Treba poznamenať, že skutočná fyzická frekvencia je imaginárnou časťou komplexnej frekvencie. Neexistuje žiadny špeciálny výraz pre skutočnú časť komplexnej frekvencie.

Základné vzťahy.

Nech je nejaký signál, skutočný alebo komplexný, definovaný pri t> 0 a rovný nule pri záporných časových hodnotách. Laplaceova transformácia tohto signálu je funkciou komplexnej premennej danej integrálom:

Signál sa nazýva originál a funkcia sa nazýva jeho Laplaceov obraz (skrátene len obraz).

Podmienka, ktorá zaisťuje existenciu integrálu (2.54) je nasledovná: signál nesmie mať viac ako exponenciálnu rýchlosť rastu, t.j. musí spĺňať nerovnosť, kde sú kladné čísla.

Keď je táto nerovnosť splnená, funkcia existuje v tom zmysle, že integrál (2.54) konverguje absolútne pre všetky komplexné čísla, pre ktoré sa Číslo a nazýva úsečka absolútnej konvergencie.

Premennú v hlavnom vzorci (2.54) možno stotožniť s komplexnou frekvenciou V skutočnosti na čisto imaginárnej komplexnej frekvencii, keď sa vzorec (2.54) zmení na vzorec (2.16), ktorý určuje Fourierovu transformáciu signálu, ktorá sa rovná nula pri Dá sa teda uvažovať o Laplaceovej transformácii

Tak ako sa to robí v teórii Fourierovej transformácie, je možné, keď poznáme obraz, obnoviť originál. Na tento účel vo vzorci inverznej Fourierovej transformácie

malo by sa vykonať analytické pokračovanie prechodom od imaginárnej premennej ku komplexnému argumentu a) V rovine komplexnej frekvencie sa integrácia vykonáva pozdĺž nekonečne dlhej vertikálnej osi umiestnenej napravo od úsečky absolútnej konvergencie. Pretože at je diferenciál, vzorec pre inverznú Laplaceovu transformáciu má tvar

V teórii funkcií komplexnej premennej je dokázané, že Laplaceove obrazy majú z hľadiska plynulosti „dobré“ vlastnosti: takéto obrazy vo všetkých bodoch komplexnej roviny, s výnimkou spočítateľnej množiny tzv. singulárne body sú analytické funkcie. Singulárne body sú spravidla póly, jednoduché alebo viacnásobné. Preto na výpočet integrálov tvaru (2.55) možno použiť flexibilné metódy teórie zvyškov.

V praxi sú široko používané Laplaceove transformačné tabuľky, ktoré zhromažďujú informácie o zhode medzi originálmi. a obrázky. Prítomnosť tabuliek urobila metódu Laplaceovej transformácie populárnou tak v teoretických štúdiách, ako aj v technických výpočtoch rádiotechnických zariadení a systémov. V prílohách je taká tabuľka, ktorá vám umožňuje riešiť pomerne širokú škálu problémov.

Príklady výpočtu Laplaceových transformácií.

Metódy výpočtu obrazu majú veľa spoločného s tým, čo už bolo študované v súvislosti s Fourierovou transformáciou. Pozrime sa na najtypickejšie prípady.

Príklad 2.4, Obrázok zovšeobecneného exponenciálneho momentu hybnosti.

Nech, kde je pevné komplexné číslo. Prítomnosť -funkcie určuje rovnosť na Pomocou vzorca (2.54) máme

Ak potom čitateľ po nahradení hornej hranice zmizne. V dôsledku toho dostaneme korešpondenciu

Ako špeciálny prípad vzorca (2.56) môžete nájsť obraz skutočného exponenciálneho video impulzu:

a komplexný exponenciálny signál:

Nakoniec po vložení (2.57) nájdeme obrázok funkcie Heaviside:

Príklad 2.5. Obrázok funkcie Delta.

Predtým sme uvažovali o integrálnej Fourierovej transformácii s jadrom K (t, О = е Fourierova transformácia je nepohodlná v tom, že musí byť splnená podmienka absolútnej integrovateľnosti funkcie f (t) na celej osi t. Laplaceova transformácia nám umožňuje zbaviť sa tohto obmedzenia Definícia 1. Funkcia originál bude znamenať akúkoľvek komplexnú funkciu f (t) reálneho argumentu t, ktorá spĺňa nasledujúce podmienky: konečný interval osí * takýchto bodov môže byť iba konečný počet 2. funkcia f (t) sa rovná nule pre záporné hodnoty t, f (t) = 0 pre 3. ako sa t zvyšuje, modul f (t) nerastie rýchlejšie ako exponenciálna funkcia, tj. existujú čísla M> 0 a s také, že pre všetky t Je jasné, že ak nerovnosť (1) platí pre nejaké s = aj, potom bude platiť aj pre AKÉKOĽVEK 82> 8]. = infs pre ktorú nerovnosť (1) , sa nazýva rýchlosť rastu funkcie f (t). Komentujte. Vo všeobecnom prípade nerovnosť neplatí, ale odhad platí tam, kde e> 0 je ľubovoľné. Funkcia má teda exponent rastu в0 = Pre ňu neplatí nerovnosť \ t \ ^ M V * ^ 0, ale nerovnosť | f | ^ Mei. Podmienka (1) je oveľa menej obmedzujúca ako podmienka (*). Príklad 1. funkcia nespĺňa podmienku ("), ale podmienka (1) je splnená pre ľubovoľné s> I a A /> I; rýchlosť rastu 5o = Toto je teda pôvodná funkcia. Na druhej strane funkcia nie je pôvodnou funkciou: má nekonečné poradie rastu, „o = + oo. Najjednoduchšia pôvodná funkcia je takzvaná jednotková funkcia Ak niektorá funkcia spĺňa podmienky 1 a 3 z definície 1, ale nespĺňa podmienku 2, potom je produkt už originálnou funkciou. Pre jednoduchosť zápisu spravidla vynecháme faktor rj (t), pričom sme sa zhodli, že všetky funkcie, ktoré budeme uvažovať, sa rovnajú nule pre záporné t, takže ak hovoríme o nejakej funkcii f (t), napríklad o sin ty cos t, el atď., potom sú vždy implikované nasledujúce funkcie (obr. 2): n = n (0 Obr. 1 Definícia 2. Nech f (t) je pôvodná funkcia. Obrázok funkcie f (t ) podľa Laplacea je funkcia F (p) komplexnej premennej definovaná vzorcom LAPLACE TRANSFORM Základné definície Vlastnosti Konvolúcia funkcií Veta o násobení Nájdenie originálu z obrázku Použitie inverznej vety pre operačný počet Duhamelov vzorec Integrácia sústav lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Riešenie integrálnych rovníc, kde integrál preberá kladnú poloos t. Funkcia F (p) sa nazýva aj Laplaceova transformácia funkcie / (/); jadro transformácie K (t) p) = e ~ pt. To, že funkcia má svoj obraz F (p), napíšeme Príklad 2. Nájdite obraz jednotkovej funkcie r) (t). Funkcia je pôvodná funkcia s rýchlosťou rastu 0 - 0. Podľa vzorca (2) bude obrazom funkcie rj (t) funkcia Ak potom pre, integrál na pravej strane posledná rovnosť bude konvergovať a dostaneme tak, že obrazom funkcie rj (t) bude funkcia £. Ako sme sa dohodli, napíšeme, že rj (t) = 1 a získaný výsledok potom zapíšeme takto: Veta 1. Pre ľubovoľnú pôvodnú funkciu f (t) s rastovým exponentom z0 je definovaný obraz F (p). v polrovine R ep = s > s0 a je analytickou funkciou v tejto polrovine (obr. 3). Nech Na dokázanie existencie obrazu F (p) v naznačenej polrovine stačí zistiť, že nevlastný integrál (2) absolútne konverguje pre a> Pomocou (3) dostaneme, čo dokazuje absolútnu konvergenciu integrál (2). Zároveň sme získali odhad pre Laplaceovu transformáciu F (p) v polrovine konvergencie Diferencovaním výrazu (2) formálne pod znamienkom integrálu vzhľadom na p zistíme, že existencia integrálu (5) je stanovená rovnakým spôsobom, ako bola stanovená existencia integrálu (2). Aplikovaním integrácie po častiach pre F "(p) dostaneme odhad, ktorý implikuje absolútnu konvergenciu integrálu (5). (Neintegrálny člen, 0., - má nulovú hranicu pre t + oo). integrál ( 5) konverguje rovnomerne vzhľadom na p, pretože je majorizovaný konvergentným integrálom nezávislým od p. V dôsledku toho je diferenciácia vzhľadom na p legálna a platí rovnosť (5). Keďže existuje derivácia F "(p), Laplaceova transformácia F (p) všade v polrovine Rep = 5> 5® je analytická funkcia. Nerovnosť (4) implikuje dôsledok. Ak tenké p smeruje k nekonečnu, takže Re p = s narastá donekonečna, potom Príklad 3. Nájdime aj obraz funkcie ľubovoľného komplexného čísla. Exponent funkcie f (() sa rovná a. > a, ale aj vo všetkých bodoch p, okrem bodu p = a, kde má tento obraz jednoduchý pól. V budúcnosti sa neraz stretneme podobná situácia, keď je obraz F (p) analytickou funkciou v celej rovine komplexnej premennej p, pre vylúčenie izolovaných singulárnych bodov. Neexistuje žiadny rozpor s vetou 1. Ten len tvrdí, že v polrovine Rep> «o funkcia F (p) nemá singulárne body: ukáže sa, že všetky ležia buď naľavo od priamky Rep = so, alebo na tejto priamke samotnej. Všimnite si nie. V operačnom počte sa niekedy používa Heavisideov obraz funkcie f (f), ktorý je definovaný rovnosťou a líši sa od Laplaceovho obrazu faktorom p. §2. Vlastnosti Laplaceovej transformácie V ďalšom budeme označovať pôvodné funkcie a cez - ich obrazy podľa Laplacea. £ biw dee sú spojité funkcie) majú rovnaký obraz, potom sú identicky rovnaké. Teopewa 3 (n "yeyiost * transformujúci Laplace). Ak sú funkcie pôvodné, potom pre ľubovoľné komplexné konštanty vzduchu Platnosť tvrdenia vyplýva z vlastnosti linearity integrálu, ktorá určuje obraz:, sú rýchlosti rastu funkcií, resp.). Na základe tejto vlastnosti dostaneme Podobne zistíme, že a ďalej Veta 4 (podobnosti). Ak f (t) je pôvodná funkcia a F (p) je jej Laplaceov obraz, potom pre akúkoľvek konštantu a> 0 Pri = m máme Pomocou tejto vety zo vzorcov (5) a (6) dostaneme vetu 5 (o odlíšení originálu). Nech je pôvodná funkcia s obrázkom F (p) a nech - sú tiež pôvodné funkcie a kde je rýchlosť rastu funkcie Vtedy a všeobecne Tu máme na mysli správnu hraničnú hodnotu Let. Nájdeme obrázok Máme Integrovanie po častiach, dostaneme Neceliálny člen na pravej strane (10) zaniká pri k. Pre Rc p = s> h máme substitúciu t = Odet - / ( 0). Druhý člen vpravo v (10) sa rovná pF (p). Vzťah (10) teda nadobúda tvar a vzorec (8) je dokázaný. Konkrétne, ak Na nájdenie obrazu f (n \ t) napíšeme odkiaľ, integrovaním n-krát po častiach dostaneme Príklad 4. Pomocou vety o derivácii originálu nájdite obraz funkcie f (t) = hriech2 t. Nech teda Veta 5 zakladá pozoruhodnú vlastnosť Laplaceovej integrálnej transformácie: transformuje (podobne ako Fourierova transformácia) operáciu diferenciácie na algebraickú operáciu násobenia pomocou p. Vzorec na začlenenie. Ak sú to pôvodné funkcie, potom skutočne, na základe dôsledkov k vete 1 má každý obrázok tendenciu k nule. Odkiaľ teda nasleduje vzorec inklúzie (Veta 6 (o diferenciácii obrazu). Diferenciácia obrazu je redukovaná na násobenie originálom, Pretože funkcia F (p) v polrovine je analytická, môže byť diferencovaný vzhľadom na p. Máme to druhé znamená, že Príklad 5. Pomocou vety 6 nájdite obraz funkcie 4. Ako viete, teda (Opäť aplikovaním vety 6 nájdeme vo všeobecnosti vetu 7 (integrácia originálu). Integrácia originálu sa redukuje na delenie obrazu tým, že ak existuje pôvodná funkcia, bude to navyše funkcia pôvodná. Príklad 6. Nájdite obraz funkcie M V tomto prípade tak, že Preto Veta 8 (integrácia obrazu) Ak integrál aj konverguje, potom slúži ako obraz funkcie ^: LAPLACE TRANSFORM Základné definície Vlastnosti Konvolúcia funkcií Veta o násobení Hľadanie originálu podľa obrazu Použitie vety o inverzii pre operačný počet Duhamelov vzorec Integrácia systémov lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Riešenie integrálnych rovníc Skutočne, za predpokladu, že dráha integra ležať na polrovine, takže môžeme zmeniť poradie integrácie Posledná rovnosť znamená, že ide o obraz funkcie Príklad 7. Nájdite obraz funkcie M Ako je známe,. Preto, keď sme dali, dostaneme £ = 0, for. Vzťah (16) má preto tvar Príklad. Nájdite obraz funkcie f (t), daný graficky (obr. 5). Napíšme výraz pre funkciu f (t) takto: Tento výraz môžeme získať nasledovne. Zvážte funkciu a odčítajte od nej funkciu. Rozdiel bude rovný jednej pre. K výslednému rozdielu pripočítame funkciu, čím dostaneme funkciu f (t) (obr. 6 c), takže pomocou vety o oneskorení nájdeme vetu 10 (posun). potom pre akékoľvek komplexné číslo p0 Veta skutočne umožňuje zo známych obrazov funkcií nájsť obrazy rovnakých funkcií vynásobené exponenciálnou funkciou, napríklad 2.1. Konvolúcia funkcií. Veta o násobení Nech sú funkcie f (t) u definované a spojité pre všetky t. Konvolúcia týchto funkcií je novou funkciou t definovanou rovnosťou (ak tento integrál existuje). Pre pôvodné funkcie je operácia vždy zložiteľná a (17) 4 Súčin pôvodných funkcií ako funkcia m je totiž konečná funkcia, t.j. mizne mimo nejakého konečného intervalu (v tomto prípade mimo intervalu. Pre konečné spojité funkcie je operácia konvolúcie splniteľná a dostaneme vzorec Ľahko overíme, že operácia konvolúcie je komutatívna, Veta 11 (násobenie). Ak, potom konvolúcia t) má obraz Je ľahké skontrolovať, či konvolúcia (pôvodných funkcií je pôvodná funkcia s indexom rastu "kde sú indexy rastu funkcií, resp. takáto operácia je legálna) a použitím vety o oneskorení dostaneme Z (18) a (19) teda zistíme, že násobenie obrázkov zodpovedá skladaniu originálov, Prter 9. Nájdite obraz funkcie A funkcie V (0 je konvolúcia Funkcie Na základe vety o násobení Úloha Nech f (t) je periodická funkcia s periódou T. Ukážte, že jej Laplaceov obraz F (p) je daný vzorcom 3. Nájdenie originálu z obrázku Úloha je položená nasledovne : vzhľadom na funkciu F (p), musíme nájsť funkciu / (<)>ktorého obraz je F (p). Formulujme podmienky postačujúce na to, aby funkcia F (p) komplexnej premennej p slúžila ako obraz. Veta 12. Ak funkcia F (p) 1) analytická v polrovine tak má tendenciu k nule v ktorejkoľvek polrovine R s0 rovnomerne vzhľadom na arg p; 2) integrál absolútne konverguje, potom F (p) je obrazom nejakej pôvodnej funkcie Úloha. Môže funkcia F (p) = slúžiť ako obraz nejakej pôvodnej funkcie? Tu je niekoľko spôsobov, ako nájsť originál z obrázka. 3.1. Nájdenie originálu pomocou obrázkových tabuliek V prvom rade sa oplatí previesť funkciu F (p) do jednoduchšej, „tabuľkovej“ podoby. Napríklad v prípade, že F (p) je zlomková racionálna funkcia argumentu p, rozloží sa na elementárne zlomky a použijú sa príslušné vlastnosti Laplaceovej transformácie. Príklad 1. Nájdite originál pre Zapíšme funkciu F (p) v tvare Pomocou vety o posunutí a vlastnosti linearity Laplaceovej transformácie získame Príklad 2. Nájdite originál pre funkciu 4 Napíšme F (p ) ako teda 3.2. Použitie vety o inverzii a jej dôsledky Veta 13 (inverzia). Ak je funkcia fit) pôvodná funkcia s rastovým exponentom s0 a F (p) je jej obrazom, potom v ktoromkoľvek bode spojitosti funkcie f (t) platí vzťah, kde sa integrál berie pozdĺž ľubovoľnej priamky a rozumie sa v zmysle hlavnej hodnoty, teda ako vzorec (1) sa nazýva vzorec inverznej Laplaceovej transformácie alebo Mellinov vzorec. Predpokladajme napríklad, že f (t) je po častiach hladký na každom konečnom segmente (\ displaystyle F (s) = \ varphi), takže φ (z 1, z 2,…, z n) (\ štýl zobrazenia \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analytické o každom z k (\ štýl zobrazenia z_ (k)) a rovná sa nule pre z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ štýl zobrazenia z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0) a F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ štýl zobrazenia F_ (k) (s) = (\ matematický (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dvojbodka k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), potom existuje inverzná transformácia a zodpovedajúca dopredná transformácia má úsečku absolútnej konvergencie.

Poznámka: toto sú dostatočné podmienky pre existenciu.

• Konvolučný teorém

Hlavný článok: Konvolučný teorém

• Odlíšenie a integrácia originálu

Laplaceov obraz prvej derivácie originálu vzhľadom na argument je súčinom obrazu argumentom druhého mínus originál s nulou vpravo:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Vety o počiatočnej a konečnej hodnote (limitné vety):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ štýl zobrazenia f (\ infty) = \ lim _ (s \ až 0) sF (s)) ak všetky póly funkcie s F (s) (\ displaystyle sF (s)) sú v ľavej polrovine.

Veta o konečnej hodnote je veľmi užitočná, pretože opisuje správanie originálu v nekonečne pomocou jednoduchého vzťahu. Používa sa napríklad na analýzu stability trajektórie dynamického systému.

• Iné vlastnosti

Linearita:

L (af (x) + bg (x)) = aF (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Násobenie číslom:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ vľavo ((\ frac (s) (a)) \ vpravo).)

Priama a inverzná Laplaceova transformácia niektorých funkcií

Nižšie je tabuľka Laplaceovej transformácie pre niektoré funkcie.

№	Funkcia	Časová oblasť x (t) = L - 1 (X (s)) (\ štýl zobrazenia x (t) = (\ matematické (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvenčná doména X (s) = L (x (t)) (\ štýl zobrazenia X (s) = (\ matematické (L)) \ (x (t) \))	Konvergenčný región pre kauzálne systémy
1	dokonalé oneskorenie	δ (t - τ) (\ štýl zobrazenia \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ štýl zobrazenia e ^ (- \ tau s) \)
1a	jediný impulz	δ (t) (\ štýl zobrazenia \ delta (t) \)	1 (\ štýl zobrazenia 1 \)	∀ s (\ štýl zobrazenia \ pre všetky s \)
2	zaostávať n (\ štýl zobrazenia n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ štýl zobrazenia (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ štýl zobrazenia (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2a	upokojiť n (\ štýl zobrazenia n)- poradie	t n n! ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2a.1	upokojiť q (\ štýl zobrazenia q)- poradie	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2a.2	funkcia jednotky	H (t) (\ štýl zobrazenia H (t) \)	1 s (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2b	funkcia lag jednotky	H (t - τ) (\ štýl zobrazenia H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ štýl zobrazenia (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2c	Rýchlostný krok	t ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
2d	n (\ štýl zobrazenia n)-tý rád s frekvenčným posunom	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ štýl zobrazenia s> - \ alfa)
2d.1	exponenciálny rozpad	e - α t ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ štýl zobrazenia s> - \ alfa \)
3	exponenciálna aproximácia	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0 \)
4	sínus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0 \)
5	kosínus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0 \)
6	hyperbolický sínus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hyperbolický kosínus	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	exponenciálne chátrajúce sínus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ omega) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ štýl zobrazenia s> - \ alfa \)
9	exponenciálne chátrajúce kosínus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ štýl zobrazenia s> - \ alfa \)
10	koreň n (\ štýl zobrazenia n)- poradie	t n ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ štýl zobrazenia s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ vľavo (1 + (\ frac (1) (n) ) \ správny))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
11	prirodzený logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia \ ln \ vľavo ((\ frac (t) (t_ (0))) \ vpravo) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ štýl zobrazenia - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gama])	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
12	Besselova funkcia prvý druh objednať n (\ štýl zobrazenia n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ omega ^ (n) \ vľavo (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2) ) )) \ vpravo) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0 \) (n> - 1) (\ štýl zobrazenia (n> -1) \)
13	prvý druh objednať n (\ štýl zobrazenia n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ omega ^ (n) \ vľavo (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2) ) )) \ vpravo) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besselova funkcia druhý druh nultého rádu	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2))))))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0 \)
15	upravená Besselova funkcia druhý druh, nultého rádu	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ štýl zobrazenia K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	chybová funkcia	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ štýl zobrazenia s> 0)
Poznámky k tabuľke: H (t) (\ štýl zobrazenia H (t) \); α (\ štýl zobrazenia \ alfa \), β (\ štýl zobrazenia \ beta \), τ (\ štýl zobrazenia \ tau \) a ω (\ štýl zobrazenia \ omega \) - Vzťah s inými transformáciami Základné súvislosti Mellinova transformácia Mellinova transformácia a inverzná Mellinova transformácia súvisia s obojstrannou Laplaceovou transformáciou jednoduchou zmenou premenných. Ak v Mellinovej transformácii G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ štýl zobrazenia G (s) = (\ matematický (M)) \ vľavo \ (g (\ theta) \ vpravo \) = \ int \ limity _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) dať θ = e - x (\ štýl zobrazenia \ theta = e ^ (- x)), potom dostaneme obojstrannú Laplaceovu transformáciu. Z-transformácia Z (\ displaystyle Z)-transformácia je Laplaceova transformácia mriežkovej funkcie, vytvorená zmenou premenných: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Borelova transformácia Integrálna forma Borelovej transformácie je totožná s Laplaceovou transformáciou, existuje aj zovšeobecnená Borelova transformácia, pomocou ktorej sa využitie Laplaceovej transformácie rozširuje na širšiu triedu funkcií. Bibliografia Van der Pol B., Bremer H. Operačný počet založený na obojstrannej Laplaceovej transformácii. - M.: Vydavateľstvo zahraničnej literatúry, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integrálne transformácie a operačný počet. - M.: Hlavné vydanie fyzikálnej a matematickej literatúry vydavateľstva "Nauka", 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuznecov P.I. Príručka operačného počtu: Základy teórie a tabuľky vzorcov. - M.: Štátne vydavateľstvo technickej a teoretickej literatúry, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Operačné metódy v aplikovanej matematike. - M.: Vydavateľstvo zahraničnej literatúry, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourierove rady a integrály. Teória poľa. Analytické a špeciálne funkcie. Laplace premieňa. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 s. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Operačný počet. Stabilita pohybu. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 s. Mikušinský Y. Operátorský počet. - M.: Vydavateľstvo zahraničnej literatúry, 1956. - 367 s. Romanovský P.I. Fourierov rad. Teória poľa. Analytické a špeciálne funkcie. Laplace premieňa. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 s.