Deve-se notar que apenas matrizes quadradas se prestam a essa operação. Número igual de linhas e colunas - condição necessária para elevar uma matriz a uma potência. Durante o cálculo, a matriz será multiplicada por si mesma o número necessário de vezes.

O calculadora onlineé projetado para realizar a operação de elevar uma matriz a uma potência. Graças ao seu uso, você não só executará rapidamente esta tarefa, mas também terá uma ideia clara e detalhada do próprio curso do cálculo. Isso ajudará a consolidar melhor o material obtido na teoria. Vendo à sua frente um algoritmo de cálculo detalhado, você compreenderá melhor todas as suas sutilezas e, posteriormente, poderá evitar erros nos cálculos manuais. Além disso, nunca é demais verificar seus cálculos, e isso também é melhor feito aqui.

Para criar uma matriz online, você precisa de uma série de etapas simples. Em primeiro lugar, especifique o tamanho da matriz clicando nos ícones "+" ou "-" à esquerda dela. Em seguida, insira os números no campo da matriz. Você também precisa indicar o grau em que a matriz é elevada. E então basta clicar no botão: "Calcular" na parte inferior do campo. O resultado será confiável e preciso se você inserir todos os valores com cuidado e corretamente. Junto com ele, você receberá uma transcrição detalhada da solução.

Álgebra linear para leigos

Para estudar álgebra linear, você pode ler e mergulhar no livro de IV Belousov "Matrizes e Determinantes". No entanto, é escrito em uma linguagem matemática estrita e seca, o que é difícil para as pessoas com uma mente mediana perceberem. Portanto, fiz uma releitura das partes mais difíceis de entender deste livro, tentando apresentar o material da forma mais clara possível, aproveitando ao máximo as fotos. Omiti as provas dos teoremas. Francamente, eu mesmo não me aprofundei neles. Eu acredito no Sr. Belousov! A julgar por seu trabalho, ele é um matemático letrado e inteligente. Você pode baixar o livro dele em http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Se você vai mergulhar em meu trabalho, precisa fazer isso, porque frequentemente me referirei a Belousov.

Vamos começar com as definições. O que é uma matriz? É uma tabela retangular de números, funções ou expressões algébricas. Por que as matrizes são necessárias? Eles facilitam muito cálculos matemáticos complexos. A matriz pode ser distinguida por linhas e colunas (Fig. 1).

Linhas e colunas são numeradas começando da esquerda

de cima (Figura 1-1). Quando eles dizem: uma matriz de tamanho m n (ou m por n), eles querem dizer m número de linhas e abaixo n número de colunas... Por exemplo, a matriz na Figura 1-1 é 4 por 3 em vez de 3 por 4.

Veja a fig. 1-3, quais são as matrizes. Se uma matriz consiste em uma linha, é chamada de matriz de linha e, se consiste em uma coluna, é uma matriz de coluna. Uma matriz é chamada de n-ésima ordem quadrada se o número de linhas nela for igual ao número de colunas e for igual a n. Se todos os elementos da matriz forem iguais a zero, então esta é uma matriz zero. Uma matriz quadrada é chamada de diagonal se todos os seus elementos forem iguais a zero, exceto aqueles localizados na diagonal principal.

Eu imediatamente explico o que é a diagonal principal. Nele, os números da linha e da coluna são iguais. Vai da esquerda para a direita, de cima para baixo. (Fig. 3) Os elementos são chamados de diagonais se estiverem localizados na diagonal principal. Se todos os elementos diagonais forem iguais a um (e o resto for zero), a matriz é chamada de matriz de identidade. Duas matrizes A e B o mesmo tamanho são chamados de iguais se todos os seus elementos são iguais.

2 Operações em matrizes e suas propriedades

O produto de uma matriz por x é uma matriz do mesmo tamanho. Para obter este produto, você precisa multiplicar cada elemento por este número (Figura 4). Para obter a soma de duas matrizes do mesmo tamanho, você precisa adicionar seus respectivos elementos (Fig. 4). Para obter a diferença A - B de duas matrizes do mesmo tamanho, você precisa multiplicar a matriz B por -1 e adicionar a matriz resultante com a matriz A (Fig. 4). Para operações em matrizes, as seguintes propriedades são verdadeiras: A + B = B + A (propriedade comutativa).

(A + B) + C = A + (B + C) (propriedade de associatividade). Em termos simples, a soma não muda de uma mudança nos lugares dos termos. Para operações em matrizes e números, as seguintes propriedades são verdadeiras:

(denotamos os números pelas letras xey, e as matrizes pelas letras A e B) x (yA) = (xy) A

Essas propriedades são semelhantes às de operações em números. Veja

exemplos na figura 5. Veja também os exemplos 2.4 - 2.6 de Belousov na página 9.

Multiplicação da matriz.

A multiplicação de duas matrizes é definida apenas se (traduzido para o russo: as matrizes podem ser multiplicadas apenas se), quando o número de colunas da primeira matriz no produto é igual ao número de linhas da segunda (Fig. 7, acima, colchetes azuis). Para lembrar melhor: o número 1 é mais como uma coluna. Como resultado da multiplicação, uma matriz de tamanho é obtida (ver figura 6). Para tornar mais fácil lembrar o que multiplicar por quê, proponho o seguinte algoritmo: veja a Figura 7. Multiplique a matriz A pela matriz B.

a matriz A tem duas colunas,

a matriz B tem duas linhas - você pode multiplicar.

1) Vamos lidar com a primeira coluna da matriz B (ela tem apenas uma). Escrevemos esta coluna em uma linha (transponha

coluna, sobre a transposição logo abaixo).

2) Copie esta linha para obter uma matriz do tamanho da matriz A.

3) Multiplicamos os elementos desta matriz pelos elementos correspondentes da matriz A.

4) Adicionamos as obras resultantes em cada linha e obtemos uma matriz de produto de duas linhas e uma coluna.

A Figura 7-1 dá exemplos de multiplicação de matrizes maiores.

1) Aqui, a primeira matriz tem três colunas, então a segunda deve ter três linhas. O algoritmo é exatamente o mesmo do exemplo anterior, apenas aqui em cada linha há três termos, não dois.

2) Aqui, a segunda matriz tem duas colunas. Primeiro, executamos o algoritmo com a primeira coluna, depois com a segunda, e obtemos uma matriz dois por dois.

3) Aqui, a segunda matriz tem uma coluna que consiste em um elemento, a coluna não mudará com a transposição. E você não precisa adicionar nada, pois há apenas uma coluna na primeira matriz. Executamos o algoritmo três vezes e obtemos uma matriz três por três.

As seguintes propriedades ocorrem:

1. Se a soma B + C e o produto AB existem, então A (B + C) = AB + AC

2. Se o produto AB existe, então x (AB) = (xA) B = = A (xB).

3. Se os produtos AB e BC existem, então A (BC) = (AB) C.

Se o produto de matriz AB existir, então o produto BA pode não existir. Mesmo que os produtos AB e BA existam, eles podem ser matrizes de tamanhos diferentes.

Ambos os produtos AB e BA existem e são matrizes do mesmo tamanho apenas no caso de matrizes quadradas A e B da mesma ordem. No entanto, mesmo neste caso, AB pode não ser igual a BA.

Exponenciação

A exponenciação de uma matriz só faz sentido para matrizes quadradas (pensa por quê?). Então, a potência inteira positiva m da matriz A é o produto de m matrizes iguais a A. O mesmo que para números. O grau zero de uma matriz quadrada A é entendido como uma matriz de identidade da mesma ordem que A. Se você esqueceu o que é uma matriz de identidade, dê uma olhada na Fig. 3

Assim como os números, as seguintes relações ocorrem:

A mA k = A m + k (A m) k = A mk

Veja os exemplos de Belousov na página 20.

Transpor matrizes

Transpor é a transformação da matriz A para a matriz AT,

em que as linhas da matriz A são escritas nas colunas de AT com a preservação da ordem. (fig. 8). Você pode dizer de outra maneira:

as colunas da matriz A são escritas nas linhas da matriz AT com a preservação da ordem. Observe como a transposição altera o tamanho da matriz, ou seja, o número de linhas e colunas. Observe também que os itens da primeira linha, primeira coluna e última linha e última coluna permanecem no lugar.

As seguintes propriedades são válidas: (AT) T = A (transpor

matriz duas vezes - você obtém a mesma matriz)

(xA) T = xAT (x significa um número, A, é claro, uma matriz) (se você precisar multiplicar a matriz por um número e transpor, você pode primeiro multiplicar, depois transpor, ou vice-versa)

(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT

Matrizes simétricas e anti-simétricas

A Figura 9 mostra uma matriz simétrica no canto superior esquerdo. Seus elementos, simétricos em relação à diagonal principal, são iguais. E agora a definição: Matriz quadrada

A é chamado simétrico se AT = A. Ou seja, a matriz simétrica não muda quando transposta. Em particular, qualquer matriz diagonal é simétrica. (Essa matriz é mostrada na Fig. 2).

Agora olhe para a matriz anti-simétrica (Figura 9, parte inferior). Como isso difere do simétrico? Observe que todos os seus elementos diagonais são zero. Para matrizes anti-simétricas, todos os elementos diagonais são iguais a zero. Pense por quê? Definição: Uma matriz quadrada A é chamada

antissimétrico se AT = -A. Vamos observar algumas propriedades de operações em simétricas e anti-simétricas

matrizes. 1. Se A e B são matrizes simétricas (antissimétricas), então A + B também é uma matriz simétrica (antissimétrica).

2. Se A é uma matriz simétrica (antissimétrica), então xA também é uma matriz simétrica (antissimétrica). (na verdade, se você multiplicar as matrizes da Figura 9 por algum número, a simetria ainda será preservada)

3. O produto AB de duas matrizes simétricas ou antissimétricas A e B é uma matriz simétrica para AB = BA e antissimétrica para AB =-BA.

4. Se A é uma matriz simétrica, então A m (m = 1, 2, 3, ...) é uma matriz simétrica. Se um

Uma matriz antisimétrica, então Am (m = 1, 2, 3, ...) é uma matriz simétrica para me par e uma matriz antissimétrica para m ímpar.

5. Uma matriz quadrada arbitrária A pode ser representada como a soma de duas matrizes. (vamos chamar essas matrizes, por exemplo, A (s) e A (a))

A = A (s) + A (a)

Aqui continuaremos o tópico de operações em matrizes iniciado na primeira parte e analisaremos alguns exemplos nos quais você precisará aplicar várias operações ao mesmo tempo.

Exponenciação de uma matriz.

Seja k um número inteiro não negativo. Para qualquer matriz quadrada $ A_ (n \ times n) $ temos: $$ A ^ k = \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; times) $$

Nesse caso, assumimos que $ A ^ 0 = E $, onde $ E $ é a matriz identidade da ordem correspondente.

Exemplo No. 4

A matriz $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) $ é fornecida. Encontre as matrizes $ A ^ 2 $ e $ A ^ 6 $.

De acordo com a definição, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, ou seja, para encontrar $ A ^ 2 $, precisamos apenas multiplicar a matriz $ A $ por ela mesma. A operação de multiplicação de matrizes foi considerada na primeira parte do tópico, então aqui vamos simplesmente escrever o processo de solução sem explicações detalhadas:

$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ end (matriz) \ direita ) = \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right). $$

Para encontrar a matriz $ A ^ 6 $, temos duas opções. Opção um: é piegas continuar multiplicando $ A ^ 2 $ pela matriz $ A $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$

No entanto, você pode ir de uma maneira um pouco mais simples, usando a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes. Vamos colocar os colchetes na expressão de $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2. $$

Se resolver o primeiro método exigiria quatro operações de multiplicação, para o segundo método apenas duas. Portanto, vamos pelo segundo caminho:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ end (matriz) \ direita) \ cdot \ esquerda (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ end ( array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (cc) ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (- 24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ end (array) \ right). $$

Responder: $ A ^ 2 = \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) $, $ A ^ 6 = \ left (\ begin (array) (cc) -41 e -140 \\ 70 & 239 \ end (matriz) \ direita) $.

Exemplo No. 5

Matrizes fornecidas $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (array) \ right) $, $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end (array) \ right) $, $ C = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ end (array) \ direita) $. Encontre a matriz $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $.

Começamos calculando a matriz $ D $ encontrando o resultado do produto $ AB $. As matrizes $ A $ e $ B $ podem ser multiplicadas, pois o número de colunas na matriz $ A $ é igual ao número de linhas na matriz $ B $. Denotamos $ F = AB $. Nesse caso, a matriz $ F $ terá três colunas e três linhas, ou seja, será quadrada (se esta conclusão não parecer óbvia, veja a descrição da multiplicação de matrizes na primeira parte deste tópico). Vamos encontrar a matriz $ F $ calculando todos os seus elementos:

$$ F = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ fim (matriz) \ direita) \\ \ começo (alinhado) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ end (alinhado) $$

Portanto, $ F = \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) $. Vamos mais longe. A matriz $ C ^ T $ é a transposta da matriz $ C $, ou seja, $ C ^ T = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ right) $. Já para a matriz $ E $, esta é a matriz identidade. EM este caso a ordem desta matriz é três, ou seja, $ E = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) $.

Em princípio, podemos seguir passo a passo, mas é melhor considerar a expressão restante em sua totalidade, sem nos distrairmos com ações auxiliares. Na verdade, ficamos apenas com as operações de multiplicação de matrizes por um número, bem como as operações de adição e subtração.

$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) -3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ direita) +7 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) $$

Multiplique as matrizes do lado direito da igualdade pelos números correspondentes (ou seja, 2, 3 e 7):

$$ 2 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) -3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ right) +7 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ end (array) \ right) - \ left (\ begin (array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ end (array) \ right) + \ left (\ begin (array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 e 7 \ end (matriz) \ direita) $$

Vamos executar ações recentes: subtração e adição:

$$ \ left (\ begin (array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ end (array) \ right) - \ left (\ begin (array) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ end (array) \ right) + \ left (\ begin (array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ right). $$

Problema resolvido, $ D = \ left (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ right) $ ...

Responder: $ D = \ left (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ right) $.

Exemplo No. 6

Seja $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ e a matriz $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) $. Encontre o valor de $ f (A) $.

Se $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $, então por $ f (A) $ queremos dizer a matriz:

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

É assim que um polinômio de uma matriz é definido. Portanto, precisamos substituir a matriz $ A $ na expressão de $ f (A) $ e obter o resultado. Como todas as ações foram discutidas em detalhes anteriormente, aqui vou apenas dar uma solução. Se o processo de realizar a operação $ A ^ 2 = A \ cdot A $ não estiver claro para você, então aconselho você a olhar a descrição da multiplicação de matrizes na primeira parte deste tópico.

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) +3 \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) -9 \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) = \\ = 2 \ left ( \ begin (array) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ end (array) \ right) +3 \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) -9 \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) = \\ = 2 \ left (\ begin (array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ end (array) \ right) +3 \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) -9 \ left (\ begin (array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ end (array) \ right) + \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ end (array) \ right) - \ left (\ begin (array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ end (array) \ right). $$

Responder: $ f (A) = \ left (\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ end (array) \ right) $.

Algumas propriedades de operações em matrizes.
Expressões matriciais

E agora seguiremos a continuação do tópico, no qual consideraremos não apenas novo material, mas também vamos malhar operações com matrizes.

Algumas propriedades de operações em matrizes

Existem algumas propriedades que se relacionam com ações com matrizes, na mesma Wikipedia você pode admirar as classificações estreitas das regras correspondentes. Porém, na prática, muitas propriedades estão, em certo sentido, "mortas", visto que apenas algumas delas são utilizadas na resolução de problemas reais. Meu objetivo é mostrar a aplicação de propriedades com exemplos específicos, e se você precisar de uma teoria rigorosa, use outra fonte de informação.

Considere alguns exceções à regra que será necessário para realizar tarefas práticas.

Se uma matriz quadrada tem matriz inversa, então sua multiplicação é comutativa:

Matriz unitáriaé chamada de matriz quadrada na qual diagonal principal as unidades estão localizadas e o resto dos elementos são iguais a zero. Por exemplo: etc.

Em que a seguinte propriedade é verdadeira: se uma matriz arbitrária é multiplicada esquerda ou direita na matriz de identidade de tamanhos adequados, o resultado será a matriz original:

Como você pode ver, a multiplicação de matrizes também é comutativa aqui.

Vamos pegar algum tipo de matriz, digamos, a matriz do problema anterior: .

Os interessados ​​podem verificar e certificar-se de que:

A matriz de identidade para matrizes é um análogo da unidade numérica para números, o que é especialmente visto nos exemplos que acabamos de considerar.

Comutatividade de um fator numérico em relação à multiplicação da matriz

Para matrizes e números reais, a seguinte propriedade é verdadeira:

Ou seja, o fator numérico pode (e deve) ser movido para a frente de forma que não "interfira" na multiplicação das matrizes.

Observação : De um modo geral, a formulação da propriedade está incompleta - o "lambda" pode ser colocado em qualquer lugar entre as matrizes, mesmo no final. A regra permanece verdadeira se três ou mais matrizes são multiplicadas.

Exemplo 4

Calcule o produto

Solução:

(1) De acordo com a propriedade mova o fator numérico para frente. As próprias matrizes não podem ser reorganizadas!

(2) - (3) Execute a multiplicação da matriz.

(4) Aqui você pode dividir cada número por 10, mas as frações decimais aparecerão entre os elementos da matriz, o que não é bom. No entanto, notamos que todos os números na matriz são divisíveis por 5, então multiplicamos cada elemento por.

Responder:

Uma pequena charada para auto-solução:

Exemplo 5

Calcule se

Solução e resposta no final da lição.

Qual técnica é importante para resolver esses exemplos? Lidando com o número em último lugar .

Vamos anexar mais um carro à locomotiva:

Como faço para multiplicar três matrizes?

Em primeiro lugar, QUAL deve ser o resultado da multiplicação de três matrizes? Um gato não dará à luz um rato. Se a multiplicação da matriz for viável, o resultado também será uma matriz. Hmmm, bem, meu professor de álgebra não vê como eu explico o fechamento de uma estrutura algébrica em relação aos seus elementos =)

O produto de três matrizes pode ser calculado de duas maneiras:

1) encontre e multiplique pela matriz "tse" :;

2) encontre primeiro e depois multiplique.

Os resultados certamente corresponderão, e em teoria esta propriedade é chamada de associatividade da multiplicação da matriz:

Exemplo 6

Multiplique matrizes de duas maneiras

Algoritmo soluções duas etapas: encontre o produto de duas matrizes e, em seguida, encontre novamente o produto de duas matrizes.

1) Usamos a fórmula

Primeira ação:

Segunda ação:

2) Usamos a fórmula

Primeira ação:

Segunda ação:

Responder:

Mais familiar e padrão, é claro, é a primeira solução, há “tudo em ordem”. A propósito, sobre o pedido. No problema em consideração, muitas vezes surge a ilusão de que estamos falando sobre algum tipo de permutações de matrizes. Eles não estão aqui. Eu te lembro de novo que em geral A MATRIZ NÃO PODE SER SUBSTITUÍDA... Então, no segundo parágrafo, na segunda etapa, fazemos a multiplicação, mas em nenhum caso. Com números comuns, tal número teria passado, mas com matrizes - não.

A propriedade de associatividade da multiplicação é válida não só para matrizes quadradas, mas também para matrizes arbitrárias, desde que sejam multiplicadas:

Exemplo 7

Encontre o produto de três matrizes

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Na solução amostra, os cálculos são realizados de duas formas, analise qual é mais lucrativa e mais curta.

A propriedade de associatividade da multiplicação da matriz também é válida para mais multiplicadores.

Agora é a hora de retornar aos poderes das matrizes. O quadrado da matriz é considerado no início e na ordem do dia está a questão:

Como modelar uma matriz e potências superiores?

Essas operações também são definidas apenas para matrizes quadradas. Para construir uma matriz quadrada para um cubo, você precisa calcular o produto:

Na verdade é caso especial multiplicação de três matrizes, pela propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes :. E a matriz multiplicada por si mesma é o quadrado da matriz:

Assim, obtemos uma fórmula de trabalho:

Ou seja, a tarefa é realizada em duas etapas: primeiro, a matriz deve ser elevada ao quadrado e, em seguida, a matriz resultante deve ser multiplicada pela matriz.

Exemplo 8

Converta a matriz em um cubo.

Esta é uma pequena tarefa para uma solução independente.

A elevação da matriz à quarta potência é realizada de forma natural:

Usando a associatividade da multiplicação de matrizes, derivamos duas fórmulas de trabalho. Primeiro: é o produto de três matrizes.

1) . Em outras palavras, primeiro encontramos, depois o multiplicamos por "bh" - obtemos um cubo e, finalmente, realizamos a multiplicação novamente - haverá o quarto grau.

2) Mas existe uma solução um passo mais curta :. Ou seja, no primeiro passo, encontramos o quadrado e, contornando o cubo, fazemos a multiplicação

Atividade adicional para o Exemplo 8:

Eleve a matriz à quarta potência.

Como acabamos de observar, existem duas maneiras de fazer isso:

1) Assim que o cubo é conhecido, fazemos a multiplicação.

2) Porém, se, de acordo com a condição do problema, for necessária a construção da matriz apenas até o quarto grau, então é vantajoso encurtar o caminho - encontre o quadrado da matriz e use a fórmula.

Ambas as soluções e a resposta estão no final da lição.

Da mesma forma, a matriz é elevada à quinta e às potências superiores. Por experiência prática, posso dizer que às vezes encontro exemplos de elevação ao 4º grau, mas não me lembro do quinto grau. Mas, apenas no caso, darei o algoritmo ideal:

1) encontrar;
2) encontramos;
3) elevamos a matriz à quinta potência :.

Essas são, talvez, todas as propriedades principais das operações de matriz que podem ser úteis em problemas práticos.

Na segunda seção da lição, uma festa igualmente colorida é esperada.

Expressões matriciais

Vamos repetir as expressões usuais da escola com números. Uma expressão numérica consiste em números, símbolos matemáticos e parênteses, por exemplo: ... Ao calcular, a prioridade algébrica familiar é válida: primeiro parênteses, então ele corre exponenciação / extração de raiz, Então multiplicação / divisão e por último mas não menos importante - adição subtração.

Se uma expressão numérica faz sentido, o resultado de sua avaliação é um número, Por exemplo:

Expressões matriciais são organizados da mesma maneira! Com a diferença de que os personagens principais são matrizes. Além de algumas operações específicas da matriz, como transpor e localizar matriz inversa.

Considere a expressão da matriz , onde estão algumas matrizes. Nesta expressão de matriz, três termos e operações de adição / subtração são executadas por último.

No primeiro termo, primeiro você precisa transpor a matriz "bie": e, em seguida, realizar a multiplicação e adicionar o "dois" à matriz resultante. Observe que a operação de transposição tem mais prioridade máxima do que multiplicação... Os parênteses, como nas expressões numéricas, mudam a ordem das ações: - aqui, a multiplicação é realizada primeiro, depois a matriz resultante é transposta e multiplicada por 2.

No segundo termo, em primeiro lugar, a multiplicação da matriz é realizada, e a matriz inversa já é do produto. Se os colchetes forem removidos :, então primeiro você precisa encontrar a matriz inversa e, em seguida, multiplicar as matrizes :. Encontrar o inverso de uma matriz também tem precedência sobre a multiplicação.

Com o terceiro termo, tudo é óbvio: elevamos a matriz a um cubo e adicionamos um “cinco” à matriz resultante.

Se a expressão da matriz fizer sentido, o resultado de seu cálculo é a matriz.

Todas as tarefas serão de testes reais e começaremos com o mais simples:

Exemplo 9

Matrizes dadas ... Encontrar:

Solução: A ordem é óbvia, a multiplicação é executada primeiro, depois a adição.

A adição não é possível porque as matrizes são de tamanhos diferentes.

Não se surpreenda, ações deliberadamente impossíveis são freqüentemente sugeridas em tarefas desse tipo.

Tentando avaliar a segunda expressão:

Está tudo bem aqui.

Responder: a ação não pode ser realizada, .

Uma matriz A -1 é chamada de matriz inversa em relação a uma matriz A se A * A -1 = E, onde E é a matriz de unidade de ordem n. Uma matriz inversa só pode existir para matrizes quadradas.

Finalidade do serviço... Pela este serviço online você pode encontrar complementos algébricos, matriz transposta A T, matriz adjunta e matriz inversa. A solução é realizada diretamente no site (online) e é gratuita. Os resultados dos cálculos são formatados em um relatório do Word e em Formato Excel(ou seja, é possível verificar a solução). veja o exemplo de design.

Instrução. Para obter uma solução, é necessário definir a dimensão da matriz. A seguir, em uma nova caixa de diálogo, preencha a matriz A.

Veja também Matriz inversa usando o método Jordan-Gauss

Algoritmo para encontrar a matriz inversa

1. Encontrando a matriz transposta A T.
2. Definição de complementos algébricos. Substitua cada elemento da matriz por seu complemento algébrico.
3. Compondo uma matriz inversa de adições algébricas: cada elemento da matriz resultante é dividido pelo determinante da matriz original. A matriz resultante é o inverso da matriz original.

Próximo algoritmo de matriz inversaé semelhante ao anterior, exceto por alguns passos: primeiro, os complementos algébricos são calculados e, em seguida, a matriz adjunta C é determinada.

1. Determine se a matriz é quadrada. Se não, então não há matriz inversa para ele.
2. Cálculo do determinante da matriz A. Se não for igual a zero, continuamos a solução, caso contrário, a matriz inversa não existe.
3. Definição de complementos algébricos.
4. Preenchendo a matriz de união (recíproca, adjunta) C.
5. Compondo uma matriz inversa de complementos algébricos: cada elemento da matriz adjunta C é dividido pelo determinante da matriz original. A matriz resultante é o inverso da matriz original.
6. É feita uma verificação: a matriz original e a resultante são multiplicadas. O resultado deve ser a matriz de identidade.

Exemplo 1. Vamos escrever a matriz da seguinte maneira:

Complementos algébricos. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Outro algoritmo para encontrar a matriz inversa

Vamos dar outro esquema para encontrar a matriz inversa.

1. Encontre o determinante da matriz quadrada A.
2. Encontre os complementos algébricos para todos os elementos da matriz A.
3. Escrevemos os complementos algébricos dos elementos da linha em colunas (transposição).
4. Dividimos cada elemento da matriz resultante pelo determinante da matriz A.

Como você pode ver, a operação de transposição pode ser aplicada tanto no início, sobre a matriz original, quanto no final, sobre os complementos algébricos obtidos.

Um caso especial: O inverso da matriz identidade E é a matriz identidade E.