Sayıları yazmak İkili sistem Hesaplama sadece iki basamak kullanılarak gerçekleştirilir - 0 ve 1. Bu nedenle, bu sistem elektronik bilgisayarlarda ve cihazlarda pratikte uygulanması en kolay olanıdır. Bir hesap makinesi ve bilgisayar programları yardımı olmadan bir sayıyı normal ondalık sayıdan ikili sisteme nasıl dönüştüreceğimizi düşünelim.
Bütün sayılar
Bir tamsayıyı ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmek için, onu ikiye bölmeniz ve ardından bir elde edene kadar elde edilen bölümün her birini ikiye bölmeniz gerekir. İstenen ikili sayı, son bölüme (bir) eşit bir basamak dizisi ve sonuncudan başlayarak elde edilen tüm kalıntılar olarak yazılır.
İşte bazı örnekler.
23 sayısını ikili sisteme çevirmeniz gerekiyor
- 23: 2 = 11 (kalan 1)
- 11: 2 = 5 (kalan 1)
- 5: 2 = 2 (kalan 1)
- 2: 2 = 1 (kalan 0)
Sonuç olarak 23 10 = 10111 2
88 sayısını ikili sisteme dönüştürmek gerekir:
- 88: 2 = 44 (kalan 0)
- 44: 2 = 22 (kalan 0)
- 22: 2 = 11 (kalan 0)
- 11: 2 = 5 (kalan 1)
- 5: 2 = 2 (kalan 1)
- 2: 2 = 1 (kalan 0)
Sonuç olarak, 88 10 = 1011000 2
kesirli sayılar
Şimdi kesirli ondalık sayıların ikili sisteme nasıl dönüştürüleceğinin algoritmasına bakalım. Bunu yapmak için, yukarıda açıklanan prosedüre göre sayının tamsayı kısmı ile çalışıyoruz ve kesirli kısmı iki ile çarpıyoruz. Ortaya çıkan ürünün kesirli kısmı tekrar iki ile çarpılır ve bu, kesirli kısım sıfıra eşit olana kadar veya ondalık noktadan sonra verilen ikili basamak sayısına gerekli yaklaşım elde edilene kadar devam eder. İstenen kesirli kısım ikili numara ondalık noktadan sonra, ilkinden başlayarak elde edilen ürünlerin tüm parçalarına eşit bir basamak dizisi olarak elde ederiz.
İşte bazı örnekler:
5.625 sayısını ikiliye çevirmeniz gerekiyor:
- Önce ondalık sayının tamsayı kısmına bakalım:
- 5: 2 = 2 (kalan 1)
- 2: 2 = 1 (kalan 0)
- Şimdi kesirli kısım:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
Sonuç olarak, 5 10 = 101 2
Sonuç olarak, 0.125 10 = 0.101 2
Sonuç olarak, 5.625 10 = 101.101 2
8.35'i 5 ondalık basamak doğruluğu ile ikili sisteme dönüştürmek gerekir:
- Tüm kısımdan başlayalım:
- 8: 2 = 4 (kalan 0)
- 4: 2 = 2 (kalan 0)
- 2: 2 = 1 (kalan 0)
- Bir sayının kesirli kısmı:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
Sonuç olarak, 8 10 = 1000 2
Sonuç olarak, 5 ondalık basamak doğruluğu ile 0.35 10 = 0.01011 2.
Sonuç olarak, 8,35 10 = 1000,01011 2, 5 ondalık basamak doğrulukla.
Bununla cevrimici hesap makinesi tam ve kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine aktarmak mümkündür. Açıklamaları ile ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Çevirmek için, orijinal numarayı girin, taban numarasının tabanının tabanını ayarlayın, sayıyı çevirmek istediğiniz tabanın tabanını ayarlayın ve "Çevir" düğmesine tıklayın. Teorik kısım ve sayısal örnekler için aşağıya bakınız.
Sonuç zaten alındı!
Tam ve kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme - teori, örnekler ve çözümler
Konumsal ve olmayan var konumlandırma sistemleri hesaplaşma. Günlük hayatta kullandığımız Arap rakam sistemi konumsaldır, ancak Romalı değil. Konumsal numaralandırma sistemlerinde, bir sayının konumu, sayının büyüklüğünü benzersiz bir şekilde belirler. Örnek olarak 6372 ondalık sayısını kullanarak buna bakalım. Bu sayıyı sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru sıralayalım:
Daha sonra 6372 sayısı aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
10 sayısı sayı sistemini tanımlar (içinde bu durum bu 10). Verilen sayının konumunun değerleri derece olarak alınır.
gerçek bir düşünün ondalık sayı 1287.923. Sayının sıfır konumundan başlayarak ondalık noktadan başlayarak sola ve sağa doğru numaralandıralım:
Daha sonra 1287.923 sayısı şu şekilde temsil edilebilir:
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
Genel olarak, formül aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
burada Ц n konumunda bir tam sayıdır n, Ä -k - (-k) konumundaki kesirli sayı, s- sayı sistemi.
Sayı sistemleri hakkında birkaç kelime Ondalık sayı sistemindeki sayı, sekizli sayı sisteminde - kümesinden birçok basamaktan (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) oluşur. sayılar (0,1, 2,3,4,5,6,7), ikili sayı sisteminde - sayılar kümesinden (0,1), onaltılık sayı sisteminde - sayılar kümesinden (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), burada A, B, C, D, E, F 10,11 sayılarına karşılık gelir ,12,13,14,15. içindeki sayılar farklı sistemler hesaplaşma.
| tablo 1 | |||
|---|---|---|---|
| gösterim | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | NS |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme
Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için en kolay yol, sayıyı önce ondalık sayı sistemine, ardından ondalık sayı sisteminden gerekli sayı sistemine dönüştürmektir.
Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme
Formül (1)'i kullanarak, sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürebilirsiniz.
Örnek 1. 1011101.001 sayısını ikili sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125
Örnek2. 1011101.001'i sekizli sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:
Örnek 3 ... AB572.CDF sayısını onaltılık tabandan ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:
Buraya A-10 ile değiştirildi, B- 11'de, C- 12'de, F- 15'e kadar.
Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme
Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürmek için sayının tamsayı kısmını ve sayının kesirli kısmını ayrı ayrı çevirmeniz gerekir.
Sayının tamamı, ondalık SS'den başka bir sayı sistemine aktarılır - sayının tamsayı kısmını sayı sisteminin tabanına sırayla bölerek (ikili SS için - 2'ye, 8'li SS için - 8, bir 16-ary için - 16'ya kadar, vb.) ) baz CC'den daha az bir bütün kalıntı elde edilene kadar.
Örnek 4 ... 159 sayısını ondalık SS'den ikili SS'ye çevirelim:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Şekilden görüldüğü gibi. 1, 159 sayısı 2'ye bölündüğünde 79'u ve kalan 1'i verir. Ayrıca, 79 sayısı 2'ye bölündüğünde 39'u ve kalan 1'i verir ve bu böyle devam eder. Sonuç olarak, bölümün geri kalanından (sağdan sola) bir sayı oluşturduktan sonra, ikili SS'deki sayıyı alırız: 10011111 ... Bu nedenle şunları yazabiliriz:
159 10 =10011111 2 .
Örnek 5 ... 615 sayısını ondalık SS'den sekizlik SS'ye çevirelim.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Bir sayıyı ondalık SS'den sekizlik SS'ye dönüştürürken, 8'den küçük bir tam kalan elde edene kadar sayıyı sırayla 8'e bölmeniz gerekir. sayıyı sekizli SS olarak alıyoruz: 1147 (bkz. Şekil 2). Bu nedenle şunları yazabiliriz:
615 10 =1147 8 .
Örnek 6 ... 19673 sayısını ondalık sayıdan onaltılık SS'ye dönüştürme.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Şekil 3'te görüldüğü gibi 19673'ü 16'ya sırayla bölerek 4, 12, 13, 9 kalanlarını elde ettik. Onaltılık sayı sisteminde 12, C'ye, 13 ise D'ye karşılık gelir. 4CD9.
Doğru ondalık kesirleri (sıfır tamsayı kısmı olan gerçek bir sayı) s tabanına dönüştürmek için, verilen numara kesirli kısımda saf bir sıfır elde edene veya gerekli sayıda basamak elde edene kadar sırayla s ile çarpın. Çarpma sırasında, tamsayı kısmı sıfırdan farklı bir sayı elde edilirse, bu tamsayı kısmı dikkate alınmaz (sonuca sırayla eklenirler).
Yukarıdakileri örneklerle ele alalım.
Örnek 7 ... 0.214 sayısını ondalık sayıdan ikili SS'ye çevirelim.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Şekil 4'te görüldüğü gibi 0,214 sayısı sırayla 2 ile çarpılır. Çarpma sonucu tamsayı kısmı sıfır olmayan bir sayı ise tamsayı kısmı ayrı yazılır (sayının soluna) ve sayı sıfır tamsayı kısmı ile yazılır. Çarpma işleminde tamsayı kısmı sıfır olan bir sayı elde edilirse, soluna sıfır yazılır. Çarpma işlemi, kesirli kısımda saf bir sıfır elde edilene veya gerekli sayıda basamak elde edilene kadar devam eder. Kalın sayıları (Şekil 4) yukarıdan aşağıya doğru yazarak, ikili sayı sisteminde gerekli sayıyı elde ederiz: 0. 0011011 .
Bu nedenle şunları yazabiliriz:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Örnek 8 ... 0.125 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye çevirelim.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
0.125 sayısını ondalık SS'den ikiliye dönüştürmek için bu sayı sırayla 2 ile çarpılır. Üçüncü aşamada 0 çıktı. Bu nedenle, aşağıdaki sonuç elde edildi:
0.125 10 =0.001 2 .
Örnek 9 ... 0.214 sayısını ondalık sayıdan onaltılık SS'ye çevirelim.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Örnek 4 ve 5'in ardından 3, 6, 12, 8, 11, 4 sayılarını elde ederiz. Ancak onaltılık SS'de 12 ve 11 sayıları C ve B sayılarına karşılık gelir. Bu nedenle, elimizde:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
Örnek 10 ... Decimal'i Octal SS'ye dönüştürün.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
NS:
0.512 10 =0.406111 8 .
Örnek 11 ... 159.125 sayısını Decimal'den Binary SS'ye dönüştürme. Bunu yapmak için, sayının tamsayı kısmını (Örnek 4) ve sayının kesirli kısmını (Örnek 8) ayrı ayrı çeviriyoruz. Ayrıca, bu sonuçları birleştirerek şunları elde ederiz:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Örnek 12 ... 19673.214 sayısını ondalık sayıdan onaltılık SS'ye dönüştürme. Bunu yapmak için, sayının tamsayı kısmını (Örnek 6) ve sayının kesirli kısmını (Örnek 9) ayrı ayrı çeviriyoruz. Ayrıca, bu sonuçları birleştirerek elde ederiz.
1. Çeşitli sayı sistemlerinde sıralı hesap.
Modern hayatta, konumsal sayı sistemlerini, yani bir rakamla gösterilen sayının, sayı kaydındaki rakamın konumuna bağlı olduğu sistemleri kullanırız. Bu nedenle, aşağıda "konumsal" terimini atlayarak sadece onlar hakkında konuşacağız.
Sayıların bir sistemden diğerine nasıl çevrileceğini öğrenmek için, örnek olarak ondalık sistemi kullanarak sayıların sıralı kaydının nasıl gerçekleştiğini anlayalım.
Ondalık sayı sistemimiz olduğundan, sayıları oluşturmak için 10 karaktere (rakam) sahibiz. Sıra sayımına başlıyoruz: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sayılar bitti. Sayının basamak kapasitesini artırıyoruz ve en az anlamlı biti sıfırlıyoruz: 10. Ardından, tüm basamaklar bitene kadar en az anlamlı biti tekrar artırıyoruz: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. En anlamlı biti 1 artırın ve en az anlamlı olanı sıfırlayın: 20. Her iki basamak için de tüm rakamları kullandığımızda (99 sayısını elde ederiz), yine sayının basamak kapasitesini artırıp mevcut basamakları sıfırlarız: 100. Ve benzeri.
Aynısını 2., 3. ve 5. sistemlerde yapmaya çalışalım (2. sistem, 3. vb. için atama gireceğiz):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Sayı sisteminin tabanı 10'dan fazlaysa, ek karakterler girmemiz gerekecek, Latin alfabesinin harflerini girmek gelenekseldir. Örneğin, 12 ary sistemi için on rakama ek olarak iki harfe (harflere) ihtiyacımız var:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Ondalık sayı sisteminden diğerine dönüşüm.
Bir tamsayı pozitif ondalık sayıyı farklı tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için bu sayıyı tabana bölmeniz gerekir. Elde edilen bölümü tekrar tabana bölün ve bölüm tabandan küçük olana kadar daha da bölün. Sonuç olarak, son bölümü ve sondan başlayarak tüm kalanları bir satıra yazın.
Örnek 1. Ondalık 46'yı İkili sayı sistemine dönüştürme.
Örnek 2. Decimal 672'yi Octal sayı sistemine dönüştürme.
Örnek 3. Ondalık sayı 934'ü onaltılık sayı sistemine dönüştürün.
3. Herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme.
Sayıları başka herhangi bir sistemden ondalık sayıya nasıl dönüştüreceğinizi öğrenmek için, ondalık sayının olağan gösterimini analiz edelim.
Örneğin, 325 ondalık sayısı 5 birimdir, 2 onluk ve 3 yüzdür, yani.
Diğer sayı sistemlerinde durum tamamen aynıdır, sadece 10, 100 vb. ile değil, sayı sisteminin tabanının derecesi ile çarpacağız. 1201 numaralı üçlüyü örnek olarak alalım. Sıfırdan başlayarak sağdan sola rakamları numaralandıralım ve sayımızı bir rakamın çarpımlarının toplamı olarak sayının basamağının derecesine göre üç ile gösterelim:
Bu, sayımızın ondalık gösterimidir, yani.
Örnek 4. Sekizli sayı 511'i ondalık gösterime dönüştürme.
Örnek 5. Onaltılık sayı 1151'i ondalık sayı sistemine çevirelim.
4. İkili sistemden "ikinin gücü" (4, 8, 16, vb.) tabanlı sisteme geçiş.
İkili bir sayıyı "ikinin kuvveti" olan bir sayıya dönüştürmek için, ikili diziyi sağdan sola kuvvete eşit basamak sayısına göre gruplara bölmek ve her grubu karşılık gelen basamakla değiştirmek gerekir. yeni sistem hesaplaşma.
Örneğin, ikili 1100001111010110'u sekizliye dönüştürün. Bunu yapmak için, sağdan başlayarak (o zamandan beri) 3 karakterlik gruplara bölün ve ardından yazışma tablosunu kullanın ve her grubu yeni bir rakamla değiştirin:
Madde 1'de bir yazışma tablosunun nasıl oluşturulacağını öğrendik.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Onlar.
Örnek 6.İkili 1100001111010110 onaltılık sayıya dönüştürün.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | NS |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. "İkinin gücü" (4, 8, 16, vb.) bazında sistemden ikiliye aktarın.
Bu çeviri, bir öncekine benzer, ters yönde gerçekleştirilir: her rakamı, ikili sistemdeki arama tablosundan bir grup rakamla değiştiririz.
Örnek 7. Onaltılık sayı C3A6'yı ikili sayı sistemine çevirelim.
Bunu yapmak için, sayının her basamağını yazışma tablosundan 4 basamaklı bir grupla (beri) değiştirin, gerekirse başlangıçta sıfır olan grubu ekleyin:
