شماره 30 با نماد دوتایی سیستم های عددی

نوشتن اعداد به سیستم دودوییمحاسبه تنها با استفاده از دو رقم - 0 و 1 انجام می شود. بنابراین ، این سیستم در رایانه ها و دستگاه های الکترونیکی به راحتی قابل اجرا است. بیایید نحوه تبدیل یک عدد به سیستم دودویی از اعشار معمولی را بدون کمک ماشین حساب و برنامه های کامپیوتری در نظر بگیریم.

تمام اعداد

برای تبدیل یک عدد صحیح از اعشاری به دودویی ، باید آن را بر دو تقسیم کنید ، و سپس هر یک از ضرایب حاصله را به دو تقسیم کنید تا یک بدست آورید. عدد باینری مورد نظر به عنوان دنباله ای از ارقام برابر با آخرین ضریب (یک) و تمام باقی مانده های حاصل از آن ، با آخرین مورد شروع می شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

شما باید عدد 23 را به سیستم دودویی تبدیل کنید

23: 2 = 11 (باقی مانده 1)
11: 2 = 5 (باقی مانده 1)
5: 2 = 2 (باقی مانده 1)
2: 2 = 1 (باقی مانده 0)

در نتیجه ، 23 10 = 10111 2

شما باید عدد 88 را به دوتایی تبدیل کنید:

88: 2 = 44 (باقیمانده 0)
44: 2 = 22 (باقی مانده 0)
22: 2 = 11 (باقی مانده 0)
11: 2 = 5 (باقی مانده 1)
5: 2 = 2 (باقی مانده 1)
2: 2 = 1 (باقی مانده 0)

در نتیجه 88 10 = 1011000 2

اعداد کسری

اکنون بیایید به الگوریتم نحوه تبدیل اعداد اعشاری کسری به سیستم دودویی نگاه کنیم. برای انجام این کار ، ما با قسمت صحیح عدد طبق روشی که در بالا توضیح داده شد کار می کنیم و قسمت کسری را در دو ضرب می کنیم. ما مجدداً بخش کسری محصول حاصل را دو عدد ضرب می کنیم و به همین ترتیب تا زمانی که قسمت کسری برابر صفر شود یا تا زمانی که تقریب مورد نیاز به تعداد معینی از دهدهی اعشار بدست آید. بخش کسری مورد نظر عدد دودوییما به عنوان دنباله ای از ارقام پس از نقطه اعشار ، برابر با تمام قسمت های محصولات بدست آمده ، با اولین مورد شروع می کنیم.

در اینجا چند نمونه آورده شده است:

شما باید عدد 5.625 را به دوتایی ترجمه کنید:

بیایید ابتدا قسمت صحیح اعشار را بررسی کنیم:
1. 5: 2 = 2 (باقی مانده 1)
2. 2: 2 = 1 (باقی مانده 0)

در نتیجه ، 5 10 = 101 2

حالا قسمت کسری:
1. 0,625 * 2 = 1,25
2. 0,25 * 2 = 0,5
3. 0,5 * 2 = 1,0

در نتیجه ، 0.125 10 = 0.101 2

در نتیجه ، 5.625 10 = 101.101 2

لازم است 8.35 را با دقت 5 رقم اعشار به سیستم دودویی تبدیل کنید:

بیایید با کل قسمت شروع کنیم:
1. 8: 2 = 4 (باقی مانده 0)
2. 4: 2 = 2 (باقی مانده 0)
3. 2: 2 = 1 (باقی مانده 0)

در نتیجه ، 8 10 = 1000 2

بخش کسری یک عدد:
1. 0,35 * 2 = 0,7
2. 0,7 * 2 = 1,4
3. 0,4 * 2 = 0,8
4. 0,8 * 2 = 1,6
5. 0,6 * 2 = 1,2

در نتیجه ، 0.35 10 = 0.01011 2 با دقت 5 رقم اعشار.

در نتیجه ، 8.35 10 = 1000.01011 2 با دقت 5 رقم اعشار.

با این ماشین حساب آنلاینامکان انتقال اعداد کامل و کسری از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر وجود دارد. یک راه حل دقیق همراه با توضیحات داده شده است. برای ترجمه ، شماره اصلی را وارد کنید ، پایه پایه مبنای شماره پایه را تنظیم کنید ، پایه پایه ای را که می خواهید شماره را در آن ترجمه کنید تنظیم کنید و روی دکمه "ترجمه" کلیک کنید. برای بخش نظری و نمونه های عددی ، به زیر مراجعه کنید.

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

تبدیل اعداد کامل و کسری از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر - نظریه ، مثالها و راه حل ها

موضعی و غیر وجود دارد سیستم های موقعیت یابیحساب کردن سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم موقعیتی است ، اما رومی اینطور نیست. در سیستم های شمارش موقعیت ، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن را تعیین می کند. بیایید به عنوان مثال با استفاده از عدد اعشاری 6372 به این موضوع نگاه کنیم. بیایید این عدد را از راست به چپ از صفر برشماریم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

عدد 10 سیستم عددی را تعریف می کند (در این مورداین 10 است) مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

واقعی را در نظر بگیرید عدد اعشاری 1287.923. بیایید آن را از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

به طور کلی ، فرمول را می توان به شرح زیر نشان داد:

C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

جایی که Ц n یک عدد صحیح در موقعیت است n، Д -k -عدد کسری در موقعیت (-k) ، s- سیستم اعداد

چند کلمه در مورد سیستم های اعداد. عدد در سیستم اعداد اعشاری شامل رقم های زیادی است (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9) ، در سیستم عدد هشت ضلعی - از مجموعه اعداد (0،1 ، 2،3،4،5،6،7) ، در سیستم اعداد دودویی - از مجموعه اعداد (0.1) ، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه اعداد (0 ، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9، A، B، C، D، E، F) ، جایی که A ، B ، C ، D ، E ، F با اعداد 10،11 مطابقت دارد ، 12،13،14،15. اعداد در سیستم های مختلفحساب کردن

میز 1
نشانه گذاری
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	آ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	اف

تبدیل اعداد از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر ، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری و سپس ، از سیستم اعداد اعشاری ، به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم اعدادی به سیستم اعداد اعشاری

با استفاده از فرمول (1) ، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم عدد دودویی (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4+ 1 · 2 3 + 1 · 2 2+ 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125

مثال2. 1011101.001 را از سیستم شماره اکتال (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 ... عدد AB572.CDF را از پایه هگزا دسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ-جایگزین 10 ، ب- در ساعت 11 ، ج- در ساعت 12 ، اف- تا 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر ، باید قسمت صحیح عدد و بخش کسری آن را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به یک سیستم اعداد دیگر تبدیل می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر اساس سیستم اعداد (برای یک SS دودویی - بر 2 ، برای یک SS 8 آری - توسط 8 ، برای 16 حبه - در 16 ، و غیره)) تا زمانی که یک باقی مانده کامل به دست آید ، کمتر از CC پایه.

مثال 4 ... بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS دودویی تبدیل کنیم:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

همانطور که از شکل نشان داده شده است. 1 ، عدد 159 با تقسیم بر 2 ، ضریب 79 و مابقی 1. به علاوه ، عدد 79 با تقسیم بر 2 ، ضریب 39 و مابقی 1 ، و غیره را نشان می دهد. در نتیجه ، با ایجاد یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) ، عدد را در SS دودویی دریافت می کنیم: 10011111 ... بنابراین ، ما می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 ... بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتگانه تبدیل کنیم.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشت گانه ، شما باید عدد را به صورت متوالی بر 8 تقسیم کنید تا یک باقیمانده کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه ، عدد را از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) بسازید ، ما عدد را در SS هشتگ دریافت می کنیم: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین ، ما می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 ... تبدیل عدد 19673 از اعشاری به SS هگزادسیمال

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

همانطور که در شکل 3 مشاهده می شود ، با تقسیم متوالی 19673 بر 16 ، بقیه 4 ، 12 ، 13 ، 9 را بدست آوردیم. در سیستم هگزادسیمال ، عدد 12 مربوط به C است ، عدد 13 مربوط به D است. بنابراین ، هگزادسیمال ما شماره 4CD9 است.

برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک قسمت صفر صفر) به یک s s ، شما نیاز دارید شماره داده شدهبه صورت متوالی در s ضرب کنید تا در قسمت کسری صفر خالص به دست آورید یا تعداد مورد نیاز رقم را بدست آورید. اگر در حین ضرب ، عددی با قسمت صحیح متفاوت از صفر بدست آید ، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب به نتیجه اضافه می شوند).

بیایید موارد فوق را با ذکر مثال در نظر بگیریم.

مثال 7 ... عدد 0.214 را از اعشاری به SS دودویی تبدیل کنید.

		0.214
	ایکس	2
0		0.428
	ایکس	2
0		0.856
	ایکس	2
1		0.712
	ایکس	2
1		0.424
	ایکس	2
0		0.848
	ایکس	2
1		0.696
	ایکس	2
1		0.392

همانطور که در شکل 4 مشاهده می شود ، عدد 0.214 به طور متوالی در 2 ضرب می شود. اگر ضرب به یک عدد غیر صفر با یک قسمت صحیح منجر شود ، سپس قسمت صحیح جداگانه (در سمت چپ عدد) و عدد با قسمت صفر صفر نوشته شده است. اگر هنگام ضرب ، عددی با قسمت صفر صفر بدست آید ، صفر در سمت چپ آن نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که صفر خالص در قسمت کسری بدست آید یا تعداد مورد نیاز رقم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین ، در سیستم اعداد باینری عدد مورد نیاز را بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین ، ما می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 ... بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعشاری اعشاری به SS دودویی تبدیل کنیم.

		0.125
	ایکس	2
0		0.25
	ایکس	2
0		0.5
	ایکس	2
1		0.0

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به دودویی ، این عدد به طور متوالی در 2 ضرب می شود. در مرحله سوم 0 به دست آمد. بنابراین ، نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 ... بیایید عدد 0.214 را از اعشاری به SS هگزا دسیمال تبدیل کنیم.

		0.214
	ایکس	16
3		0.424
	ایکس	16
6		0.784
	ایکس	16
12		0.544
	ایکس	16
8		0.704
	ایکس	16
11		0.264
	ایکس	16
4		0.224

در ادامه مثالهای 4 و 5 ، اعداد 3 ، 6 ، 12 ، 8 ، 11 ، 4 را بدست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال ، اعداد 12 و 11 مربوط به اعداد C و B است. بنابراین ، ما داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 ... تبدیل Decimal به Octal SS.

		0.512
	ایکس	8
4		0.096
	ایکس	8
0		0.768
	ایکس	8
6		0.144
	ایکس	8
1		0.152
	ایکس	8
1		0.216
	ایکس	8
1		0.728

بدست آورد:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 ... تبدیل عدد 159.125 از اعشاری به SS دودویی. برای این کار ، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و بخش کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این ، با ترکیب این نتایج ، به موارد زیر می رسیم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 ... تبدیل عدد 19673.214 از اعشاری به هگزادسیمال SS. برای این کار ، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و بخش کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این ، با ترکیب این نتایج ، به دست می آوریم.

1. حساب معمولی در سیستم های مختلف اعداد.

در زندگی مدرن ، ما از سیستم های عددی موقعیتی استفاده می کنیم ، یعنی سیستم هایی که در آنها عددی که با رقم مشخص می شود بستگی به موقعیت رقم در رکورد اعداد دارد. بنابراین ، در مطالب بعدی ما فقط در مورد آنها صحبت می کنیم و اصطلاح "موقعیتی" را حذف می کنیم.

به منظور یادگیری نحوه ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر ، بیایید درک کنیم که چگونه ثبت متوالی اعداد با استفاده از سیستم اعشاری به عنوان مثال انجام می شود.

از آنجا که ما یک سیستم اعداد اعشاری داریم ، ما 10 کاراکتر (رقم) برای ساخت اعداد داریم. ما شمارش ترتیبی را شروع می کنیم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. اعداد به پایان رسیده است. ما ظرفیت رقم عدد را افزایش می دهیم و کمترین بیت را صفر می کنیم: 10. سپس دوباره کمترین بیت را افزایش می دهیم تا تمام رقم ها تمام شوند: 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19. مهمترین بیت را 1 افزایش دهید و کمترین آن را صفر کنید: 20. وقتی از همه ارقام برای هر دو رقم استفاده می کنیم (عدد 99 را دریافت می کنیم) ، دوباره ظرفیت رقم عدد را افزایش داده و ارقام موجود را بازنشانی می کنیم: 100. و غیره

بیایید سعی کنیم همین کار را در سیستم های 2 ، 3 و 5 انجام دهیم (نشانه سیستم دوم ، سیستم 3 و غیره را معرفی می کنیم):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

اگر سیستم اعداد دارای پایه ای بیش از 10 باشد ، باید مجبور به وارد کردن نویسه های اضافی شویم ، معمولاً حروف الفبای لاتین را وارد می کنیم. به عنوان مثال ، برای سیستم 12 آری ، علاوه بر ده رقم ، ما به دو حرف (ها) نیاز داریم:


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر.

برای تبدیل یک عدد اعشاری مثبت صحیح به یک سیستم اعدادی با پایه متفاوت ، باید این عدد را بر پایه تقسیم کنید. ضریب حاصله را مجدداً بر پایه تقسیم می کنیم ، و بیشتر تا زمانی که ضریب کمتر از پایه شود. در نتیجه ، آخرین ضریب و باقی مانده را در یک سطر بنویسید ، با آخرین کار شروع کنید.

مثال 1تبدیل اعشار 46 به سیستم عدد دودویی.

مثال 2تبدیل سیستم اعشاری 672 به Octal.

مثال 3تبدیل عدد اعشاری 934 به سیستم عدد هگزا دسیمال.

3. تبدیل از هر سیستم عددی به اعشاری.

به منظور یادگیری نحوه تبدیل اعداد از هر سیستم دیگر به اعشاری ، بیایید نماد معمولی یک عدد اعشاری را تجزیه و تحلیل کنیم.
به عنوان مثال ، عدد اعشاری 325 5 واحد ، 2 ده و 3 صدها است ، یعنی

وضعیت در سایر سیستم های اعدادی دقیقاً یکسان است ، فقط ما نه در 10 ، 100 و غیره بلکه در درجه پایه سیستم اعداد ضرب می کنیم. بیایید عدد سه گانه 1201 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. بیایید ارقام را از راست به چپ از صفر شروع کنیم و عدد خود را به عنوان مجموع حاصلضرب یک رقم با سه در درجه رقم عدد نشان دهیم:

این نمایندگی اعشاری از عدد ما است ، به عنوان مثال

مثال 4تبدیل عدد هشت گانه 511 به علامت اعشاری

مثال 5بیایید عدد هگزادسیمال 1151 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم.

4. تبدیل از سیستم دودویی به سیستم با پایه "قدرت دو" (4 ، 8 ، 16 و غیره).

برای تبدیل یک عدد دودویی به عددی با پایه "توان دو" ، لازم است دنباله دودویی را با توجه به تعداد ارقام برابر توان از راست به چپ به گروه ها تقسیم کرده و هر گروه را با رقم مربوطه جایگزین کنید. سیستم جدیدحساب کردن

به عنوان مثال ، 1100001111010110 باینری را به هشت تبدیل کنید. برای انجام این کار ، ما آن را به گروه های 3 کاراکتری تقسیم می کنیم ، از سمت راست شروع کنید (از) ، و سپس از جدول مکاتبات استفاده کرده و هر گروه را با یک رقم جدید جایگزین می کنیم: