Universidade Politécnica Estadual de São Petersburgo

Faculdade de Cibernética Técnica

Departamento de Automação e Engenharia Informática

RELATÓRIO

para o trabalho de laboratório No. 3

Pesquisa de algoritmos de filtragem digital recorrente

sinais pelo método de média.

Concluído pelo aluno gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Verificado por: V.D. Yarmiychuk

São Petersburgo

1. Objetivos do trabalho

O objetivo do trabalho é familiarizar-se com vários algoritmos de filtragem digital de sinais pelo método de média e estudar a eficiência de seu trabalho em condições em que uma interferência do tipo "ruído branco" com expectativa matemática zero é imposta ao sinal útil e

dispersão controlada.

2. Metodologia de pesquisa

Filtros baseados nos seguintes algoritmos estão sendo investigados:

1). Algoritmo de média recorrente com memória infinita.

O objetivo do filtro é isolar o componente constante do sinal útil contra o fundo de interferência.

Expressão para ele em forma recorrente:

Quando ele fornece .

2). Algoritmo de média recorrente com fator de correção constante.

O objetivo do filtro é isolar os componentes de baixa frequência do sinal útil de entrada contra o ruído de fundo.

Se você aceitar, poderá escrever esta equação na forma:

Daí, ao passar para o tempo contínuo, obtemos a função de transferência do filtro:

Ou seja, o filtro construído de acordo com este algoritmo é equivalente para pequenos valores

um filtro passa-baixo analógico de primeira ordem.

3). Algoritmo de média de memória finita recorrente.

O objetivo do filtro é destacar os componentes de baixa frequência do sinal de entrada

usando a média de apenas um número limitado de suas medições mais recentes.

A eficiência da filtragem digital, ou seja, uma medida de redução do nível de ruído na saída do filtro em comparação com o nível de ruído na entrada, será estimada da seguinte forma:

Onde: - sinal ruidoso na entrada do filtro

Sinal útil na entrada do filtro

Sinal de saída do filtro

Sinal útil na saída do filtro

3. Esquema do experimento (ver Apêndice 1)

4. Resultados do experimento

4.1. Algoritmo de média recorrente com memória infinita

Os estudos foram realizados com um período de amostragem constante igual a 100 ms.

Considere como a eficiência do filtro muda com a magnitude do sinal de entrada constante (X).

Algoritmos para graduação analítica, filtragem digital usando métodos de suavização exponencial e média móvel. Filtros robustos, passa-altas, passa-banda e entalhe. Diferenciação discreta, integração e média dos valores medidos.

Um filtro é um sistema ou rede que altera seletivamente a forma de um sinal (resposta de frequência de amplitude ou frequência de fase). Os principais objetivos da filtragem são melhorar a qualidade do sinal (por exemplo, eliminar ou reduzir as interferências), extrair informações dos sinais ou separar vários sinais que foram previamente combinados para, por exemplo, utilizar de forma eficiente o canal de comunicação disponível.

Filtro digital - qualquer filtro que processe um sinal digital para isolar e / ou suprimir certas frequências desse sinal.

Ao contrário de um filtro digital, um filtro analógico lida com um sinal analógico, suas propriedades são não discretas (contínuas), respectivamente, a função de transferência depende das propriedades internas de seus elementos constituintes.

Um diagrama de blocos simplificado de um filtro digital em tempo real com entrada e saída analógica é mostrado na Fig. 8a. O sinal analógico de banda estreita é periodicamente amostrado e convertido em um conjunto de amostras digitais, x (n), n = 0,1. O processador digital filtra, mapeando a sequência de entrada x (n) para a saída y (n) de acordo com o filtro computacional algoritmo. O DAC converte a saída filtrada digitalmente em valores analógicos, que são filtrados analógicos para suavizar e remover componentes de alta frequência indesejados.

Arroz. 8a. Diagrama de blocos simplificado de um filtro digital

O funcionamento dos filtros digitais é feito principalmente por meio de software, portanto, eles acabam sendo muito mais flexíveis na aplicação em comparação com os analógicos. Com a ajuda de filtros digitais é possível implementar funções de transferência que são muito difíceis de obter com os métodos convencionais. No entanto, os filtros digitais ainda não podem substituir os filtros analógicos em todas as situações, portanto, continua sendo necessário os filtros analógicos mais populares.

Para entender a essência da filtragem digital, em primeiro lugar, é necessário determinar as operações matemáticas que são realizadas nos sinais da filtragem digital (DF). Para isso, é útil lembrar a definição de um filtro analógico.

Filtro analógico linearé uma rede de quatro portas, na qual a transformação linear do sinal de entrada em sinal de saída é realizada. Matematicamente, esta transformação é descrita por um padrão linear comum equação diferencial N-ésima ordem

onde e são coeficientes que são constantes ou funções do tempo t; - ordem do filtro.

Filtro discreto linearé uma versão discreta de um filtro linear analógico, em que o quantizado (amostrado) é a variável independente - o tempo (é a etapa de amostragem). Neste caso, uma variável inteira pode ser considerada como "tempo discreto", e os sinais são funções de "tempo discreto" (as chamadas funções de rede).

Matematicamente, a função de um filtro discreto linear é descrita por um filtro linear equação de diferença Do tipo

onde e são as leituras dos sinais de entrada e saída, respectivamente; e - coeficientes do algoritmo de filtragem, que são constantes ou funções de "tempo discreto" n.

O algoritmo de filtragem (2.2) pode ser implementado por meio de tecnologia analógica ou digital. No primeiro caso, as leituras dos sinais de entrada e saída por nível não são quantizadas e podem assumir quaisquer valores na faixa de sua variação (ou seja, ter a potência do contínuo). No segundo caso, as amostras de sinais são quantizadas por nível e, portanto, só podem assumir valores "permitidos" determinados pela profundidade de bits dos dispositivos digitais. Além disso, as amostras de sinais quantizados são codificados, portanto, as operações aritméticas realizadas na expressão (2.2) são realizadas não nos próprios sinais, mas em seus códigos binários. Por causa da quantização em termos de nível de sinal e, assim como os coeficientes e a igualdade no algoritmo (2.2) não podem ser exatos e são cumpridos apenas aproximadamente.

Assim, um filtro digital linear é um dispositivo digital que aproximadamente implementa o algoritmo de filtragem (2.2).

A principal desvantagem dos filtros analógicos e discretos é que quando as condições de operação mudam (temperatura, pressão, umidade, tensões de alimentação, envelhecimento dos elementos, etc.), seus parâmetros mudam. Isto leva a descontrolado erros de sinal de saída, ou seja, com baixa precisão de processamento.

O erro do sinal de saída no filtro digital não depende das condições de operação (temperatura, pressão, umidade, tensões de alimentação, etc.), mas é determinado apenas pela etapa de quantização do sinal e o algoritmo do próprio filtro, ou seja, razões internas. Este erro é controlada, pode ser reduzido aumentando o número de bits para representar as amostras de sinais digitais. É esta circunstância que determina as principais vantagens dos filtros digitais em relação aos analógicos e discretos (alta precisão do processamento do sinal e estabilidade das características do DF).

DFs pelo tipo de algoritmo de processamento de sinal são subdivididos em estacionário e não estacionário, recursivo e não recursivo, linear e não linear.

A principal característica do CF é algoritmo de filtragem, de acordo com o qual a implementação do CF é realizada. O algoritmo de filtragem descreve a operação de CFs de qualquer classe sem restrições, enquanto outras características possuem restrições na classe de CFs, por exemplo, algumas delas são adequadas para descrever apenas CFs lineares estacionários.

Arroz. 11. Classificação de CF

Na fig. 11 mostra a classificação dos filtros digitais (DF). A classificação é baseada no princípio funcional, ou seja, Os filtros digitais são subdivididos com base nos algoritmos que implementam e não levam em consideração os recursos do circuito.

DF de seleção de frequência. Este é o tipo de FC mais conhecido, estudado e testado na prática. Do ponto de vista algorítmico, os DFs de seleção de frequência resolvem os seguintes problemas:

· Alocação (supressão) de uma faixa de frequência especificada a priori; dependendo de quais frequências são suprimidas e quais não são, um filtro passa-baixa (LPF), um filtro passa-alta (HPF), um filtro passa-banda (PF) e um filtro de entalhe (RF) são diferenciados;

· Separação dos componentes espectrais do sinal com um espectro de linha em canais de frequência separados, uniformemente distribuídos por toda a faixa de frequência; distinguir entre CFs com dizimação no tempo e dizimação na frequência; e uma vez que o principal método de redução dos custos de hardware é o cascateamento de conjuntos de PFs de menor seletividade do que o original, então a estrutura piramidal de múltiplos estágios obtida como resultado foi chamada de “pré-seletor-seletor” DF;

· Separação dos componentes espectrais do sinal em canais de frequência separados, cujo espectro consiste em sub-bandas de larguras diferentes, distribuídas de forma desigual dentro da faixa de operação do filtro.

É feita uma distinção entre um filtro de resposta ao impulso finito (filtro FIR) ou um filtro de resposta ao impulso infinito (filtro IIR).

CFs ideais (quase ótimos). Este tipo de filtro é utilizado quando é necessário avaliar certas grandezas físicas que caracterizam o estado de um sistema sujeito a perturbações aleatórias. A tendência atual é a utilização dos resultados da teoria de filtragem ótima e a implementação de dispositivos que minimizem o quadrado médio do erro de estimativa. Eles são subdivididos em lineares e não lineares, dependendo de quais equações descrevem o estado do sistema.

Se as equações de estado são lineares, então a CF de Kalman ideal é aplicada; se as equações de estado do sistema são não lineares, então vários CFs multicanal são usados, a qualidade dos quais melhora com um aumento no número de canais.

Existem vários casos especiais em que algoritmos implementados por CFs ótimos (quase ótimos) podem ser simplificados sem uma perda significativa de precisão: este é, em primeiro lugar, o caso de um sistema estacionário linear que leva ao conhecido CF de Wiener; em segundo lugar, o caso de observações apenas em um momento fixo de tempo, levando a um DF que é ótimo de acordo com o critério da relação sinal / ruído máxima (SNR); em terceiro lugar, o caso de equações de estado do sistema próximas de lineares levando a filtros não lineares de primeira e segunda ordem, etc.

Um problema importante é também garantir a insensibilidade de todos os algoritmos acima a desvios das características estatísticas do sistema daquelas predeterminadas; síntese de tais DFs, denominada robusta.

CFs adaptáveis. A essência da filtragem digital adaptativa é a seguinte: para processar o sinal de entrada (geralmente os DFs adaptativos são construídos com um canal), um filtro FIR convencional é usado; no entanto, o IR deste filtro não permanece definido de uma vez por todas, como era quando se considerava a seleção de frequência DF; também não muda de acordo com a lei dada a priori, como era quando se considerava a FC de Kalman; Eles são corrigidos com a chegada de cada nova amostra de forma a minimizar a raiz do erro quadrático médio da filtragem em uma determinada etapa. Um algoritmo adaptativo é entendido como um procedimento recorrente para recalcular o vetor de amostras IH na etapa anterior em um vetor de "novas" amostras IH para a próxima etapa.

CFs heurísticos. São possíveis situações em que o uso de procedimentos de processamento matematicamente corretos é impraticável, uma vez que leva a custos de hardware injustificadamente elevados. A abordagem heurística é (do grego e lat Evrica- “procurar”, “descobrir”) no uso do conhecimento, estudando o pensamento criativo e inconsciente de uma pessoa. As heurísticas estão associadas à psicologia, fisiologia da atividade nervosa superior, cibernética e outras ciências. A abordagem heurística é "gerada" pelo desejo dos desenvolvedores de reduzir os custos de hardware e se espalhou, apesar da ausência de uma justificativa matemática rigorosa. São os chamados CFs com as soluções de circuito do autor, um dos exemplos mais famosos é o assim chamado. filtro mediano.

Filtros digitais fisicamente viáveis ​​que operam em tempo real podem usar os seguintes dados para gerar o sinal de saída em um momento discreto no tempo: a) o valor do sinal de entrada no momento da amostragem, bem como um certo número de "passado" a entrada faz a amostragem de um certo número de amostras anteriores do sinal de saída Inteiros o tipo determina a ordem do CF. A classificação dos CFs é realizada de maneiras diferentes, dependendo de como as informações sobre os estados anteriores do sistema são usadas.

CFs transversais.

É o nome dado aos filtros que funcionam de acordo com o algoritmo.

onde é uma sequência de coeficientes.

O número é a ordem do filtro digital transversal. Como pode ser visto na fórmula (15.58), o filtro transversal realiza uma soma ponderada das amostras anteriores do sinal de entrada e não usa as amostras anteriores do sinal de saída. Aplicando a transformação z a ambos os lados da expressão (15.58), garantimos que

Portanto, segue-se que a função do sistema

é uma função racional fracionária z tendo um pólo múltiplo em e zeros, cujas coordenadas são determinadas pelos coeficientes do filtro.

O algoritmo para o funcionamento do DF transversal é ilustrado pelo diagrama de blocos mostrado na Fig. 15,7.

Arroz. 15,7. Esquema para a construção de um filtro digital transversal

Os principais elementos do filtro são blocos de atraso de valores de amostra para um intervalo de amostragem (retângulos com símbolos), bem como blocos de escala que realizam multiplicação digital pelos coeficientes correspondentes. A partir das saídas dos blocos de escala, os sinais vão para o somador, onde, somados, formam uma amostra do sinal de saída.

A forma do diagrama aqui apresentado explica o significado do termo "filtro transversal" (do inglês transversal - transversal).

Implementação de software da função digital transversal.

Deve-se ter em mente que o diagrama de blocos mostrado na Fig. 15.7 não é um diagrama esquemático de um circuito elétrico, mas serve apenas como uma representação gráfica do algoritmo de processamento de sinal. Usando os meios da linguagem FORTRAN, consideremos um fragmento de um programa que implementa a filtragem digital transversal.

Deixe que duas matrizes unidimensionais de células M sejam formadas cada uma na RAM do computador: uma matriz com o nome X, que armazena os valores do sinal de entrada, e uma matriz com o nome A, contendo os valores do coeficientes de filtro.

O conteúdo das células na matriz X é alterado cada vez que uma nova amostra do sinal de entrada é recebida.

Suponha que este array seja preenchido com as amostras anteriores da sequência de entrada e considere a situação que surge no momento da chegada da próxima amostra, que recebe o nome de S no programa. Esta amostra deve estar localizada no número da célula 1, mas somente após o registro anterior ser deslocado uma posição para a direita, ou seja, para o lado mais atrasado.

Os elementos da matriz X formados desta forma são multiplicados termo a termo pelos elementos da matriz A e o resultado é inserido em uma célula chamada Y, onde o valor de amostra do sinal de saída é acumulado. Abaixo está o texto do programa de filtragem digital transversal:

Resposta de impulso. Voltemos à fórmula (15.59) e calculemos a resposta ao impulso do CF transversal realizando a transformação z inversa. É fácil ver que cada termo da função dá uma contribuição igual ao coeficiente correspondente, deslocado por posições em direção ao atraso. Então aqui

Esta conclusão pode ser alcançada diretamente, considerando o diagrama de blocos do filtro (ver Fig. 15.7) e assumindo que um "pulso único" é alimentado em sua entrada.

É importante notar que a resposta ao impulso de um filtro transversal contém um número finito de termos.

Resposta em frequência.

Se mudarmos a variável na fórmula (15.59), obteremos o coeficiente de transmissão de frequência

Para uma dada etapa de amostragem A, uma ampla variedade de formas de resposta em frequência pode ser realizada selecionando-se apropriadamente os pesos dos filtros.

Exemplo 15.4. Investigue as características de frequência de um filtro digital transversal de segunda ordem que calcula a média do valor atual do sinal de entrada e duas amostras anteriores de acordo com a fórmula

A função do sistema deste filtro

Arroz. 15,8. Características de frequência do DF transversal do exemplo 15.4: a - resposta em frequência; b - PFC

de onde encontramos o coeficiente de transmissão de frequência

As transformações elementares levam às seguintes expressões para a resposta de frequência na resposta de fase deste sistema:

Os gráficos correspondentes são mostrados na Fig. 15.8, a, b, onde o valor é traçado ao longo dos eixos horizontais - o ângulo de fase do intervalo de amostragem no valor de frequência atual.

Suponha, por exemplo, que, ou seja, existem seis amostras por um período da oscilação da entrada harmônica. Neste caso, a sequência de entrada terá a forma

(os valores absolutos das amostras não importam, pois o filtro é linear). Usando o algoritmo (15.62), encontramos a sequência de saída:

Pode-se observar que a ele corresponde um sinal harmônico de saída com a mesma frequência que na entrada, com amplitude igual à amplitude da oscilação de entrada e com fase inicial deslocada em 60 ° em direção ao retardo.

DFs recursivos.

Este tipo de filtros digitais é caracterizado pelo fato de que os valores anteriores não apenas dos sinais de entrada e saída são usados ​​para formar a amostra de saída:

(15.63)

além disso, os coeficientes que determinam a parte recursiva do algoritmo de filtragem não são iguais a zero ao mesmo tempo. Para enfatizar a diferença entre as estruturas dos dois tipos de filtros digitais, os filtros transversais também são chamados de filtros não recursivos.

Função do sistema de função digital recursiva.

Realizando a transformação z de ambos os lados da relação de recorrência (15,63), descobrimos que a função do sistema

descrevendo as propriedades de frequência de um CF recursivo, tem pólos no plano z. Se os coeficientes da parte recursiva do algoritmo forem reais, esses pólos ficarão no eixo real ou formarão pares conjugados complexos.

Diagrama estrutural de um filtro digital recursivo.

Na fig. 15.9 mostra um diagrama do algoritmo de cálculos realizados de acordo com a fórmula (15.63). A parte superior do diagrama de blocos corresponde à parte transversal (não recursiva) do algoritmo de filtragem. Para sua implementação, no caso geral, são necessários blocos de grande escala (operações de multiplicação) e células de memória nas quais são armazenadas as amostras de entrada.

A parte inferior do diagrama de blocos corresponde à parte recursiva do algoritmo. Ele usa valores de saída sucessivos, que são alterados de célula para célula durante a operação do filtro.

Arroz. 15,9. Diagrama estrutural de um filtro digital recursivo

Arroz. 15,10. Diagrama estrutural do filtro digital recursivo canônico de 2ª ordem

A desvantagem deste princípio de implementação é a necessidade de um grande número de células de memória, separadamente para as partes recursivas e não recursivas. Os esquemas canônicos de funções digitais recursivas são mais perfeitos, em que se utiliza o mínimo possível de células de memória, igual ao maior dos números. Como exemplo, a Fig. 15.10 mostra um diagrama de blocos do filtro recursivo canônico de segunda ordem, que corresponde à função do sistema

Para ter certeza de que este sistema implementa uma determinada função, considere um sinal auxiliar discreto na saída do somador 1 e anote duas equações óbvias:

(15.67)

Executando a -transformação da equação (15.66), descobrimos que

Por outro lado, de acordo com a expressão (15,67)

Combinando as relações (15,68) e (15,69), chegamos à função do sistema dada (15,65).

Estabilidade de funções digitais recursivas.

Uma função digital recursiva é um análogo discreto de um sistema de feedback dinâmico, uma vez que os valores de seus estados anteriores são armazenados em células de memória. Se forem dadas algumas condições iniciais, ou seja, um conjunto de valores, então, na ausência de um sinal de entrada, o filtro formará elementos de uma sequência infinita que desempenha o papel de oscilações livres.

Um filtro digital é denominado estável se o processo livre que surge nele é uma sequência não crescente, ou seja, os valores em não excedem um certo número positivo M, independentemente da escolha das condições iniciais.

Oscilações livres em uma função digital recursiva com base no algoritmo (15.63) são uma solução para a equação de diferença linear

Por analogia com o princípio de resolução de equações diferenciais lineares, buscaremos uma solução para (15.70) na forma de uma função exponencial

com um valor ainda desconhecido. Substituindo (15,71) em (15,70) e cancelando por um fator comum, vemos que a é a raiz da equação característica

Com base em (15.64), essa equação coincide exatamente com a equação que é satisfeita pelos pólos da função do sistema do CF recursivo.

Deixe o sistema raiz da equação (15.72) ser encontrado. Então a solução geral da equação de diferença (15,70) terá a forma

Os coeficientes devem ser selecionados de forma que as condições iniciais sejam satisfeitas.

Se todos os pólos do sistema funcionam, ou seja, os números não excedem um em valor absoluto, estando localizados dentro do círculo unitário centrado em um ponto, então com base em (15.73) qualquer processo livre no CF será descrito por termos de progressões geométricas decrescentes e o filtro ficará estável. É claro que apenas filtros digitais estáveis ​​podem ser aplicados na prática.

Exemplo 15.5. Investigue a estabilidade de um filtro digital recursivo de 2ª ordem com uma função do sistema

Equação característica

tem raízes

A curva descrita pela equação no plano do coeficiente é o limite acima do qual os pólos da função do sistema são reais e abaixo do qual eles são conjugados complexos.

Para o caso de pólos conjugados complexos, portanto, um dos limites da região de estabilidade é a linha reta 1.

Arroz. 15,11. Região de estabilidade de um filtro recursivo de 2ª ordem (os pólos do filtro são conjugados complexos na região codificada por cores)

Considerando os pólos reais em, temos a condição de estabilidade na forma

Filtros digitais fisicamente viáveis, que operam em tempo real, podem usar os seguintes dados para gerar o sinal de saída no i-ésimo momento discreto no tempo: a) o valor do sinal de entrada no momento da i-ésima amostra, como bem como um certo número de amostras de entrada "anteriores"; b) um certo número de amostras anteriores do sinal de saída Os inteiros me n definem a ordem do CF. A classificação dos CFs é realizada de maneiras diferentes, dependendo de como as informações sobre os estados anteriores do sistema são usadas.

Traisverse CF.É o nome dado aos filtros que funcionam de acordo com o algoritmo.

Onde -sequência de coeficientes.

Número Té a ordem do filtro digital transversal. Como pode ser visto na fórmula (2.138), o filtro transversal realiza uma soma ponderada das amostras anteriores do sinal de entrada e não usa as amostras anteriores do sinal de saída. Aplicando a transformação z a ambos os lados da expressão (2.138), vemos que

Portanto, segue-se que a função do sistema

é uma função racional fracionária z , tendo um pólo dobra m em z = 0 e T zeros cujas coordenadas são determinadas pelos coeficientes do filtro.

O algoritmo para o funcionamento do DF transversal é ilustrado pelo diagrama de blocos mostrado na Fig. 2,17.

Arroz. 2,17. Esquema para a construção de um filtro digital transversal

Os principais elementos do filtro são blocos de atraso de valores de amostra para um intervalo de amostragem (retângulos com símbolos z -1), bem como blocos de escala que realizam multiplicação digital pelos coeficientes correspondentes. A partir das saídas dos blocos de escala, os sinais vão para o somador, onde, somados, formam uma amostra do sinal de saída.

A forma do diagrama aqui apresentado explica o significado do termo "filtro transversal" (do transversal inglês).

Resposta de impulso. Voltemos à fórmula (2.139) e calculemos a resposta ao impulso do CF transversal realizando a transformação z inversa. É fácil ver que cada termo da função H (z) faz uma contribuição igual ao coeficiente correspondente , deslocado por NS posições para o lado mais atrasado. Então aqui

Esta conclusão pode ser alcançada diretamente, considerando o diagrama de blocos do filtro (ver Fig. 2.17) e assumindo que um "impulso único" (1, 0, 0, 0, ...) é alimentado em sua entrada.

É importante notar que a resposta ao impulso de um filtro transversal contém um número finito de termos.

Resposta em frequência. Se na fórmula (2.139) mudarmos a variável , então obtemos o coeficiente de transmissão de frequência

Para uma determinada etapa de amostragem UMAé possível realizar uma ampla variedade de formas de resposta de frequência selecionando apropriadamente os pesos dos filtros.

Métodos de síntese de filtro digital. O mais difundido na prática de síntese de filtro digital são três métodos descritos abaixo.

Método de respostas de impulso invariantes.

Este método é baseado na suposição de que o filtro digital sintetizado deve ter uma resposta ao impulso, que é o resultado da amostragem da resposta ao impulso do protótipo de filtro analógico correspondente. Significando a síntese de sistemas fisicamente realizáveis ​​para os quais a resposta ao impulso desaparece em t<0 , obtemos a seguinte expressão para a resposta ao impulso do CF:

Onde T etapa de amostragem de tempo.

Deve-se notar que o número de termos individuais na expressão para a resposta ao impulso do CF pode ser finito ou infinito. Isso determina a estrutura do filtro sintetizado: um filtro transversal corresponde a uma resposta de impulso com um número finito de amostras, enquanto um DF recursivo é necessário para implementar uma resposta de impulso infinitamente longa.

A relação entre o coeficiente de resposta ao impulso e a estrutura do DF é especialmente simples para um filtro transversal. No caso geral, a síntese da estrutura do filtro é realizada aplicando z-conversão para uma sequência da forma fornecida acima. Ao encontrar a função do sistema H (z) filtro, você deve compará-lo com a expressão geral e determinar os coeficientes das partes transversal e recursiva. O grau de aproximação da característica de amplitude-frequência do filtro digital sintetizado para a característica de um protótipo analógico depende da etapa de amostragem selecionada. Se necessário, você deve calcular o coeficiente de transmissão de frequência do filtro digital executando na função do sistema H (z) alterar variável por fórmula
e, em seguida, compare o resultado com o ganho de frequência do circuito analógico.

Síntese DF baseada na discretização da equação diferencial

circuito analógico.

A estrutura de um filtro digital, que corresponde aproximadamente a um circuito analógico conhecido, pode ser obtida discretizando a equação diferencial que descreve um protótipo analógico. Como exemplo do uso deste método, considere a síntese de um CF correspondente a um sistema dinâmico oscilatório de segunda ordem, para o qual a relação entre a oscilação de saída y (t) e oscilação de entrada x (t)é definido pela equação diferencial

(2.142)

Suponha que a etapa de amostragem seja  t e considere a coleta de amostras discretas  no 1  e  NS 1  ... Se as derivadas na fórmula forem substituídas por suas expressões de diferenças finitas, a equação diferencial se transformará em uma equação de diferença

Reorganizando os termos, obtemos:

(2.144)

A equação de diferença define um algoritmo de filtro recursivo de 2ª ordem que simula um sistema oscilatório analógico e é chamado de ressonador digital. Com uma escolha apropriada de coeficientes, o ressonador digital pode atuar como um filtro seletivo de frequência, semelhante a um circuito oscilatório.

Método de características de frequência invariantes .

É fundamentalmente impossível criar um filtro digital, cuja resposta de frequência repetiria exatamente a resposta de frequência de algum circuito analógico. A razão é que, como você sabe, o coeficiente de transferência de frequência do DF é uma função periódica de frequência com um período determinado pela etapa de amostragem.

Falando sobre a similaridade (invariância) das características de frequência dos filtros analógico e digital, só podemos exigir que todo o intervalo infinito de frequências ω a, relacionado ao sistema analógico, seja convertido no segmento de frequência ω q do filtro digital satisfazendo a desigualdade
enquanto mantém a visão geral da resposta de freqüência.

Deixe ser K uma (R) função de transferência de um filtro analógico especificado por uma expressão racional fracionária em potências p... Se você usar a relação entre variáveis z e p, então podemos escrever:

. (2.145)

Com esta lei, a relação entre p e zé impossível obter uma função de filtro do sistema fisicamente realizável, uma vez que a substituição na expressão K uma (R) fornecerá uma função do sistema que não é expressa como um quociente de dois polinômios. Portanto, para a síntese de filtros passa-baixo, uma conexão do formulário

, (2.146)

que também mapeia os pontos do círculo unitário no plano z aos pontos do eixo imaginário no plano p. Então

, (2.147)

de onde se segue a relação entre as variáveis ​​de frequência  sistemas analógicos e digitais:

. (2.148)

Se a taxa de amostragem for alta o suficiente ( c T<<1), então, como é facilmente visto na fórmula (2.147),  uma  c... Assim, em baixas frequências, as características dos filtros analógico e digital são praticamente as mesmas. Em geral, é necessário levar em consideração a transformação de escala ao longo do eixo de frequência do filtro digital.

Na prática, o procedimento para sintetizar um CF é aquele na função K uma (R) o circuito analógico é substituído por uma variável de acordo com a fórmula (2.145). A função de sistema resultante do DF torna-se racional fracionária e, portanto, torna possível escrever diretamente o algoritmo de filtragem digital.

Perguntas de autoteste

Qual filtro é chamado de correspondência.

Qual é a resposta ao impulso do filtro.

Qual é o sinal na saída do filtro casado.

Quais filtros são chamados de digitais.

Qual a diferença entre os algoritmos para o funcionamento dos filtros recursivos e transversais.

Quais são os principais métodos para sintetizar filtros digitais? .

Quais são as principais propriedades da transformada discreta de Fourier.

TRABALHO DE LABORATÓRIO

ALGORITMOS DE FILTRAGEM DE SINALNo sistema de controle de processo

Alvo. Familiarizar-se com os algoritmos de filtragem de sinais aleatórios medidos, mais comuns no sistema de controle de processos, e realizar uma análise comparativa de sua precisão e recursos de implementação em um computador.

Exercício

1) para as características fornecidas de sinais aleatórios, calcule os parâmetros de filtro ideais,

2) simular o sistema de filtração em um computador e calcular o erro de filtração para cada um dos métodos considerados,

3) realizar uma análise comparativa da eficácia dos algoritmos considerados.

Disposições básicas. 1 Declaração do problema de filtragem ideal. Os sinais dos dispositivos de medição geralmente contêm um erro aleatório - interferência. A tarefa de filtragem é separar o componente útil do sinal da interferência em um grau ou outro. Como regra, tanto o sinal útil quanto a interferência são considerados processos aleatórios estacionários para os quais suas características estatísticas são conhecidas: expectativa matemática, variância, função de correlação, densidade espectral. Conhecendo essas características, é necessário encontrar um filtro na classe dos sistemas lineares dinâmicos ou em uma classe mais restrita de sistemas lineares com uma dada estrutura para que o sinal na saída do filtro difira o menos possível do sinal útil.

Figura 1. Sobre a declaração do problema de filtração

Vamos introduzir a notação e formular o problema de filtração com mais precisão. Deixe a entrada do filtro com uma resposta de impulso Para(t) e o correspondente (devido à transformada de Fourier) 0

AFH C(iω) sinais úteis são recebidos x(t) e interferência que não está correlacionada com ele z(t) (Figura 1). As funções de correlação e densidades espectrais do sinal útil e interferência são denotadas por R x (t), S x (t), R z (t) e S z (t) ... É necessário encontrar as características do filtro k (t) ou W (t) de modo que o valor rms da diferença ε entre o sinal na saída do filtro e o sinal útil x era mínimo. Se a característica do filtro é conhecida com uma precisão de um ou vários parâmetros, então é necessário escolher os valores ótimos desses parâmetros.

Erro ε contém dois componentes. O primeiro ( ε 1 ) está relacionado com o fato de que alguma parte do ruído ainda passará pelo filtro, e a segunda ( ε 2 ) - para que a forma do sinal útil mude ao passar pelo filtro. Assim, a determinação da característica ótima do filtro é uma busca por uma solução de compromisso que minimize o erro total.

Vamos representar a resposta de frequência do filtro na forma:

W (iω) = A (ω) exp.

Usando as fórmulas que conectam as densidades espectrais de processos aleatórios na entrada e na saída de um sistema linear com sua resposta de frequência, calculamos as densidades espectrais de cada um dos componentes de erro.

Para o erro associado ao salto do ruído, obtemos

S ε1 (ω) = S z (ω ) UMA 2 (ω )

A densidade espectral do erro associado à distorção do sinal útil é

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – C(iω)| 2

A soma desses componentes S ε tem a densidade espectral

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Considerando que

|1 – C(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) pecado 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) UMA 2 (ω) + S x (ω) UMA 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) UMA(ω) cosf(ω) . (1)

A raiz quadrada média do erro está relacionada à densidade espectral pela expressão

Minimizando S ε (ω ) sobre f(ω) e A (ω), chegamos às equações

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

As características encontradas do filtro ideal correspondem à densidade de erro espectral

Raiz mínima do erro quadrático médio

(3)

Infelizmente, o filtro encontrado não é realizável, uma vez que a condição de igualdade a zero em todas as frequências da resposta de frequência de fase significa que a resposta de impulso do filtro é uma função uniforme, não é nula apenas para t>0 , mas também em t(Figura 2, a).

Para qualquer filtro fisicamente realizável, o seguinte requisito é verdadeiro: Para(t) = 0 no t (Fig. 2, b). Esse requisito deve ser introduzido na declaração do problema. Naturalmente, o erro alcançável σ ao mesmo tempo, aumentaria. O problema da filtragem ótima levando em consideração a viabilidade física foi resolvido.

Arroz. 2. Características de impulso de filtros irrealizáveis ​​(a) e realizáveis ​​(b)

Arroz. 3. Densidades espectrais do sinal útilS x (ω) e ruídoS z (ω) e a característica de amplitude-frequência do filtro ideal A * (ω) com não sobreposição (a) e sobreposição (b)S x (ω) eS z (ω)

N. Wiener. Sua solução é muito mais complicada do que a dada acima, portanto, neste trabalho, buscaremos filtros fisicamente realizáveis ​​apenas na classe de filtros cujas características são especificadas de acordo com os valores dos parâmetros. A quantidade calculado pela fórmula (3) pode servir como uma estimativa mais baixa do erro de filtragem atingível.

O significado físico da relação (2, b) é ilustrado na Fig. 3. Se os espectros do sinal útil e da interferência não se sobrepõem, então A (ω) deve ser igual a zero onde a densidade espectral da interferência é diferente de zero, e igual a um para todas as frequências nas quais S x (ω)>0 ... Na fig. 3, b mostra o personagem A * (ω) no caso em que as densidades espectrais do sinal e da interferência se sobrepõem.

Dentre os filtros com determinada estrutura, os mais difundidos são os filtros baseados na operação de média móvel, bem como um filtro exponencial e o denominado filtro estatístico de ordem zero. Um filtro exponencial é um filtro aperiódico de primeira ordem e um filtro estatístico de ordem zero é um elo de amplificação. Vamos considerar cada um dos filtros mencionados com mais detalhes.

Filtro de média móvel. A saída do filtro está relacionada à sua entrada pela proporção

A função transiente de impulso do filtro é mostrada na Fig. 4, a. As características de frequência são iguais

A resposta ao impulso pode ser expressa em termos da função de Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Parâmetros de filtro ajustáveis ​​são ganho k e memória T.

Filtro exponencial(Fig. 4, b). O sinal de saída é determinado pela equação diferencial

y/ γ + y = kg

A resposta ao impulso é:

Características de frequência

Os parâmetros do filtro são o ganho k e a constante de tempo inversa a γ .

Arroz. 4. Funções transitórias de impulsok(t) e características de amplitude-frequência А (ω) de filtros típicos: а - média da corrente; b - exponencial; c) ordem zero estática

Filtro estatístico de ordem zero. Este filtro, como mencionado acima, é um elo amplificador. Suas características

y(t) = kg(t) ; UMA(ω) = k; f(ω) = 0

O peso dos filtros listados não permite alcançar a filtragem ideal, mesmo com sinais separados e espectros de interferência. Minimize o erro σ ε você pode selecionar os parâmetros k, T, γ... Isso requer características de filtro A (ω) e f(ω) em função da frequência e dos parâmetros, substitua na fórmula (1), pegue a integral da expressão resultante, que será uma função dos parâmetros do filtro, e encontre o mínimo dessa integral sobre os parâmetros.

Por exemplo, para um filtro estatístico de ordem de Coulomb, a densidade espectral do erro terá a forma:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integrante S ε é igual à variância da interferência multiplicada por π ... Nós temos

Vamos levar em consideração que as integrais do lado direito desta igualdade são iguais às variâncias do sinal útil e do ruído, de modo que

A condição para o mínimo desta expressão em relação a k leva à igualdade

Após substituição do valor encontrado k na expressão para a variância do erro, obtemos:

Os filtros da média atual e exponencial têm dois parâmetros ajustáveis ​​cada, e seus valores ótimos não podem ser expressos tão facilmente através das características do sinal útil e do ruído, mas esses valores podem ser encontrados por métodos numéricos para encontrar o mínimo de uma função em duas variáveis.

Fig. 5 Diagrama de blocos de simulação em computador de um sistema de filtragem de sinal aleatório

2. Descrição do sistema simulado. O trabalho é realizado modelando em computador um sistema constituído pelos seguintes blocos (Fig. 5).

1. Gerador de sinal de entrada I, incluindo um gerador de sinal aleatório (GSS) e dois filtros de modelagem com características especificadas C x (iω) e C z (iω) , em cuja saída um sinal útil é recebido x(t) e obstáculo z(t) ... Entre o gerador de sinal aleatório e o filtro de modelagem C z incluiu um link de atraso Δ, proporcionando uma mudança de dois a três ciclos de clock. Nesse caso, a entrada do filtro que forma a interferência e a entrada do filtro que forma o sinal útil não estão correlacionadas entre si.

2. Bloco para calcular funções de correlação
.

3. Unidade de filtração (II), incluindo o filtro real
e um bloco para calcular o erro de filtragem
.

Sinal útil gerado no sistema x(t) e obstáculo z(t) são processos aleatórios estacionários, as funções de correlação dos quais podem ser aproximadamente aproximadas por expoentes da forma (Fig. 6)

(6)

Onde

Estimativas de variância do sinal e calculado usando um bloco (em τ = 0); os parâmetros α e α z são definidos pelo professor.

3. Implementação Discreta de Filtros Contínuos. Usamos implementações discretas dos filtros contínuos descritos acima. Etapa de discrição t o levam significativamente menos do que o tempo de decaimento das funções de correlação do sinal útil e do ruído. Portanto, as expressões acima (1) para calcular σ ε através das características espectrais do sinal de entrada e do ruído podem ser usadas no caso discreto.

Vamos primeiro encontrar análogos discretos de filtros que formam processos aleatórios com funções de correlação do sinal recebido do GSS (6). As densidades espectrais correspondentes a essas funções de correlação têm a forma

(7)

As funções de transferência dos filtros de modelagem para o caso em que a dispersão do sinal na saída do GSS é igual a um, são

Não é difícil ver isso

Se o sinal na entrada de cada um dos filtros de modelagem for denotado por ξ , então as equações diferenciais correspondentes às funções de transferência escritas acima têm a forma

Os análogos de diferença correspondentes serão escritos na forma;

Assim, o algoritmo de funcionamento do filtro, que forma o sinal útil, tem a forma:

(8a)

Da mesma forma para o filtro de modelagem de ruído

(8b)

Os análogos de filtros contínuos projetados para isolar a interferência são os seguintes:

para filtro de média móvel

(9)

onde o valor eu escolha a partir da condição (eu + 1) t O = T;

para filtro exponencial

(10)

para o filtro estatístico de ordem zero

no eu = kg eu (11)

Ordem de execução. 1. Crie e depure as sub-rotinas do bloco para filtrar as informações atuais e calcular os erros de filtragem.

2. Obtenha realizações de processos aleatórios na saída dos filtros de modelagem e use-os para encontrar estimativas das variâncias do sinal útil e do ruído, bem como funções de correlação R x (τ) e R z (τ) ... Definir aproximadamente α NS e α z e compare com os calculados.

3. Calcule por S x (ω) e S z (ω) analiticamente ou em um limite inferior de computador para o erro de filtragem de rms.

4. Usando a fórmula (4), encontre o ganho ideal do filtro estatístico de ordem zero e o valor correspondente para comparar.

5. Eu uso um dos métodos bem conhecidos de encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis ​​e um programa compilado com antecedência para encontrar os parâmetros ótimos da média móvel e filtros exponenciais e os erros da raiz quadrada da média da filtragem. Neste caso, uma combinação específica de parâmetros de filtro corresponde à densidade de erro espectral S ε (ω) definido pela fórmula (1), e a partir dela encontre o valor após a integração numérica.

6. Insira o programa de filtragem no computador, determine experimentalmente a raiz do erro quadrático médio para os parâmetros de filtro ideais e não ótimos, compare os resultados com os calculados.

7. Realizar uma análise comparativa da eficácia de vários algoritmos de filtragem para os seguintes indicadores: a) o erro médio quadrático mínimo alcançável; b) a quantidade necessária de RAM; c) tempo de contagem do computador.

O relatório deve conter: 1) um diagrama de blocos do sistema (ver Fig. 5);

2) sub-rotinas de modelagem e filtros sintetizados;

3) cálculo dos parâmetros ótimos dos filtros e os valores correspondentes da raiz quadrada média do erro;

4) os resultados da análise dos algoritmos considerados e conclusões.

Estande 6.2. Criação do projeto 6.3. Estude APCS no treinamento laboratório... certo metas suas atividades. Metas Atividades ...

I.O. Sobrenome "" 20 g

Documento

Modo trabalhar); … […) [Nome do modo trabalhar] ... de acordo com laboratório análises; 5) ... requisitos para APCS... Processos tecnológicos ... processamento e análise de informação ( sinais, mensagens, documentos, etc. ... algoritmos filtração e algoritmos eliminar o ruído de mirar ...

Automação inteligente em projetos de prazo e diploma

resumo

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O programa de trabalho da disciplina "Automatização de Processos Tecnológicos"

Programa de trabalho

... METAS E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA DISCIPLINA O objetivo... os componentes principais APCS- controladores ... visualizações sinais c ... correções de bugs, filtração mensagens, ... algoritmos e programas, discussões, desempenho de controle trabalho. Laboratório Aulas. Laboratório ...