Uma das formas de resolver equações diferenciais (sistemas de equações) com coeficientes constantes é o método das transformações integrais, que permite que uma função de uma variável real (função original) seja substituída por uma função de uma variável complexa (imagem de uma função ) Como resultado, as operações de diferenciação e integração no espaço das funções originais são transformadas em multiplicação e divisão algébrica no espaço das funções de imagem. Um dos representantes do método das transformações integrais é a transformada de Laplace.

Transformação contínua de Laplace- uma transformação integral que liga uma função de uma variável complexa (imagem de uma função) com uma função de uma variável real (original de uma função). Nesse caso, a função de uma variável real deve satisfazer as seguintes condições:

A função é definida e diferenciável em todo o semieixo positivo de uma variável real (a função satisfaz as condições de Dirichlet);

O valor da função até o momento inicial é igualado a zero ;

O crescimento da função é limitado pela função exponencial, ou seja, para uma função de uma variável real, existem tais números positivos M e com , o que onde c - abscissa de convergência absoluta (algum número positivo).

Transformada de Laplace (transformada integral direta) função de uma variável real é chamada de função da seguinte forma (função de uma variável complexa):

A função é chamada de original da função e a função é chamada de imagem. Variável complexa é chamado de operador de Laplace, onde é a frequência angular, é algum número constante positivo.

Como primeiro exemplo, definimos uma imagem para uma função constante

Como um segundo exemplo, definimos uma imagem para a função cosseno ... Levando em consideração a fórmula de Euler, a função cosseno pode ser representada como a soma de duas exponenciais .

Na prática, para realizar a transformação direta de Laplace, são utilizadas tabelas de transformação, nas quais são apresentados originais e imagens de funções típicas. Algumas dessas funções são apresentadas a seguir.

Original e imagem para função exponencial

Original e imagem para função cosseno

Original e imagem para função seno

Original e imagem para cosseno em declínio exponencial

Original e imagem para seno exponencialmente decadente

Deve-se notar que a função é uma função de Heaviside que assume um valor igual a zero para valores negativos do argumento e um valor igual a um para valores positivos do argumento.

Propriedades de transformação de Laplace

Teorema da Linearidade

A transformada de Laplace é linear, ou seja, qualquer relação linear entre os originais de uma função é válida para as imagens dessas funções.

A propriedade de linearidade facilita a localização dos originais de imagens complexas, pois permite que a imagem de uma função seja representada como um somatório de termos simples, para então encontrar os originais de cada termo representado.

Teorema de diferenciação do original funções

A diferenciação da função original corresponde multiplicação

Para condições iniciais diferentes de zero:

Com zero condições iniciais (caso especial):

Assim, a operação de diferenciação da função é substituída por uma operação aritmética no espaço da imagem da função.

Teorema de integração do original funções

A integração da função original corresponde divisão funções de imagens no operador Laplace.

Assim, a operação de integração da função é substituída por uma operação aritmética no espaço da imagem da função.

Teorema de similaridade

Mudar o argumento da função (compressão ou expansão do sinal) no domínio do tempo leva à mudança oposta no argumento e na ordenada da imagem da função.

Um aumento na duração do pulso causa uma compressão de sua função espectral e uma diminuição nas amplitudes dos componentes harmônicos do espectro.

Teorema do atraso

O atraso (deslocamento, deslocamento) do sinal pelo argumento da função original pelo intervalo leva a uma mudança na função de frequência de fase do espectro (ângulo de fase de todos os harmônicos) por um determinado valor, sem alterar o módulo (amplitude função) do espectro.

A expressão resultante é válida para qualquer

Teorema do deslocamento

O atraso (deslocamento, deslocamento) do sinal pelo argumento da imagem da função leva à multiplicação da função original por um fator exponencial

Do ponto de vista prático, o teorema do deslocamento é usado para determinar as imagens das funções exponenciais.

Teorema de convolução

Convolução é uma operação matemática aplicada a duas funções e, resultando em uma terceira função. Em outras palavras, tendo uma resposta de um determinado sistema linear a um impulso, você pode usar a convolução para calcular a resposta do sistema a todo o sinal.

Assim, a convolução dos originais de duas funções pode ser representada como um produto de imagens dessas funções. O teorema de reconciliação é usado ao considerar funções de transferência, quando a resposta do sistema (sinal de saída de uma rede de quatro portas) é determinada quando um sinal é aplicado à entrada de uma rede de quatro portas com uma resposta transitória de impulso.

Quadrupolo linear

Transformada inversa de Laplace

A transformada de Laplace é reversível, ou seja, a função de uma variável real é determinada exclusivamente a partir da função de uma variável complexa . Para isso, a fórmula inversa da transformação de Laplace é usada(Fórmula de Mellin, integral de Bromwich), que tem a seguinte forma:

Nesta fórmula, os limites da integração significam que a integração segue ao longo de uma linha reta infinita que é paralela ao eixo imaginário e intercepta o eixo real em um ponto. Considerando que a última expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

Na prática, para realizar a transformada de Laplace inversa, a imagem da função é decomposta na soma das frações mais simples pelo método dos coeficientes indefinidos, e para cada fração (de acordo com a propriedade de linearidade) o original da função é determinado , inclusive levando em consideração a tabela de funções típicas. Este método é válido para exibir uma função que é uma fração racional correta. Deve-se notar que a fração mais simples pode ser representada como um produto de fatores lineares e quadráticos com coeficientes reais, dependendo do tipo de raízes do denominador:

Se houver uma raiz zero no denominador, a função é decomposta em uma fração como:

Se houver uma raiz zero n vezes no denominador, a função é decomposta em uma fração do tipo:

Se houver uma raiz real no denominador, a função é decomposta em uma fração como:

Se houver uma raiz n-múltipla real no denominador, a função é decomposta em uma fração como:

Se houver uma raiz imaginária no denominador, a função é decomposta em uma fração como:

No caso de raízes conjugadas complexas no denominador, a função é decomposta em uma fração como:

∙ Em geral se a imagem da função é uma fração racional regular (o grau do numerador é menor que o grau do denominador da fração racional), então ela pode ser expandida para a soma das frações mais simples.

∙ Em um caso particular se o denominador da imagem da função é decomposto apenas em raízes simples da equação, a imagem da função pode ser decomposta na soma das frações mais simples da seguinte forma:

Coeficientes desconhecidos podem ser determinados usando o método do coeficiente indefinido ou de forma simplificada usando a seguinte fórmula:

O valor da função no ponto;

O valor da derivada da função em um ponto.

Transcrição

1 Transformada de Laplace Breve informação A transformada de Laplace, que é amplamente usada na teoria dos circuitos, é uma transformada integral aplicada às funções de tempo f igual a zero em< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Pode-se provar que se a integral de Laplace converge para algum valor s, então ela define uma função F que é analítica em todo o semiplano> s. A função F assim definida pode ser continuada analiticamente para todo o plano da variável complexa = +, com exceção de pontos singulares individuais. Na maioria das vezes, essa continuação é realizada estendendo a fórmula obtida pelo cálculo da integral para todo o plano da variável complexa. A função F, que é analiticamente continuada para todo o plano complexo, é chamada de imagem de Laplace da função de tempo f ou simplesmente a imagem. A função f em relação à sua imagem F é chamada de original. Se a imagem F for conhecida, então o original pode ser encontrado usando a transformada de Laplace inversa f F d para > A integral no lado direito é uma integral de contorno ao longo de uma linha reta paralela ao eixo das ordenadas. O valor é escolhido de forma que não haja pontos singulares da função F no semiplano R>. são a transformada de Laplace inversa e são denotados pelo símbolo f L (F) L 7

2 Considere algumas propriedades da transformada de Laplace Linearidade Esta propriedade pode ser escrita como a igualdade L (ff) L (f) L (f) Transformada de Laplace da derivada de uma função df L () d df d F fdf 3 Transformada de Laplace de a integral: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Considere a aplicação mais simples da transformada de Laplace na teoria do circuito A figura mostra os elementos mais simples dos circuitos: resistência, indutância e capacitância A queda de tensão instantânea através da resistência é a igualdade ainda tem a forma da lei de Ohm, mas já para as imagens de tensão e corrente. Para a tensão instantânea através da indutância, a relação diu L, d ie, não há proporcionalidade direta, a lei de Ohm não se aplica aqui. Após a transformada de Laplace, obtemos U = LI LI +

3 Se, como é frequentemente o caso, I + =, então a relação assume a forma U = LI Assim, para as imagens de tensão e corrente, a lei de Ohm é novamente válida. O papel da resistência é desempenhado pela quantidade L, que é chamada de resistência de indutância. Para capacitância, temos a relação entre os valores instantâneos de tensão e indutância uid C Após a transformada de Laplace, essa relação assume a forma UI, C te tem a forma da lei de Ohm, e a resistência capacitiva é igual a C Vamos compor uma tabela de transformadas de Laplace diretas e inversas de funções elementares encontradas na teoria de circuitos um passo unitário é determinado pelas igualdades: at; em Laplace a transformada desta função será L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Agora considere a transformação inversa da fração racional, ou seja, a transformação do imagem bbbb BF nnnnmmmm Deixe m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 way Vamos decompor a imagem em frações simples e multiplicar por: nn KKKKB Vamos agora nos esforçar Então apenas K permanece no lado direito: lim BK À direita temos uma incerteza da forma, que é expandida de acordo com L'Hôpital regra: "Substituindo BK, obtemos" n BB Transformação inversa de uma fração simples conhecida: L Portanto, "n BBL Os juros são um caso especial quando uma das raízes do denominador é igual a zero: BF Neste caso, a decomposição de F em frações simples terá a forma, como segue do anterior, "n BBB e B não tem raízes em zero

6 3 Portanto, a transformada de Laplace inversa da função F terá a forma: n B B B "L Considere outro caso em que o polinômio no denominador B tem raízes múltiplas. Seja m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Algumas propriedades gerais dos circuitos Deixe um circuito complexo conter ramos P e nós Q Então, de acordo com a primeira e segunda leis de Kirchhoff, pode-se compor equações P + Q para correntes P nos ramos e potenciais nodais Q Um dos potenciais nodais Q é considerado zero Mas o número de equações pode ser reduzido em Q, se usarmos correntes de loop como correntes alternadas. Neste caso, a primeira lei de Kirchhoff é cumprida automaticamente, uma vez que cada corrente entra e sai do nó, ou seja, dá uma corrente total igual a zero, e, além disso, Q dos potenciais do nó são expressos através das correntes de contorno. O número total de equações e, portanto, loops independentes torna-se igual a P + QQ = PQ + Equações independentes podem ser desenhadas diretamente se as correntes do loop são tomadas como desconhecidas. um dos outros contornos Fig Para cada um dos contornos, as equações são elaboradas de acordo com a segunda lei de Kirchhoff a Geralmente, a resistência do ramal é igual a i R i C i L onde i, =, n, n é o número de circuitos independentes. As equações das correntes de loop são as seguintes: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Aqui E i é a soma de todos os campos eletromagnéticos incluídos no i-ésimo circuito. Resistências i-ésimas contornos ii representam a soma das resistências incluídas no i-ésimo contorno. A resistência i faz parte de a resistência do i-th 33 Fig. Exemplo de contornos independentes

8 A equação para o m-ésimo circuito terá a forma: um circuito que também está incluído no ésimo circuito É óbvio que para um circuito passivo a igualdade i = i é verdadeira. Considere como as equações de correntes de circuito para circuitos ativos contendo transistores são modificados, fig mi mi mn I n Em I i Transferindo o segundo termo do lado direito para o lado esquerdo, transformamos esta equação da seguinte forma: mi mi I i mn I n Em incógnitas, potenciais nodais são também usado, contado a partir do potencial de um dos nós, tomado como zero. Y que pode ser reescrito da seguinte forma: onde Fig Circuito equivalente de um transistor em um circuito complexo U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 O sistema de equações para os potenciais nodais tem a forma Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Em que contém fontes de corrente dependentes Consideremos agora as soluções das equações do circuito A solução do sistema de equações de correntes de loop tem a forma para a ésima corrente: I, onde o principal determinante do sistema é o mesmo determinante em que a i-ésima coluna é substituída por forças eletromotrizes dos lados direitos E, E, E n Suponha que haja apenas um EMF E no circuito, incluído no circuito de entrada, ao qual o primeiro número é atribuído. as equações devem ser compostas de forma que apenas uma corrente do circuito passe pelo ramo de interesse para nós, Fig. 4 Então a corrente de entrada é igual a IE, onde o determinante do complemento algébrico correspondente i Fig 4 Circuito com EMF no circuito de entrada 35

10 A relação EI é chamada de resistência de entrada. Em contraste, esta resistência leva em consideração a influência de todos os circuitos. Para o segundo circuito de saída, teremos I 36 E, onde a adição algébrica correspondente A relação TIE é chamada de resistência de transmissão do primeiro circuito para o segundo. 5 Fig. 5 Um circuito com uma fonte de corrente na entrada "UI" I, Y "Y" e a condutância de transmissão do primeiro nó para o segundo: U "I" IYT, YT "" onde I é a corrente fornecida ao primeiro nó, tensão U e U, obtida no primeiro e segundo nós ", é o principal determinante do sistema de equações de potenciais nodais, e" i é o complemento algébrico correspondente entre e Y lá é uma relação Y Para uma cadeia passiva, tínhamos = Portanto, o determinante principal do sistema é simétrico Segue-se que os complementos algébricos são iguais: = Portanto, são iguais e a resistência de transmissão T = T Esta propriedade é chamada de propriedade de reciprocidade. Esta, como podemos ver, é a simetria da matriz de resistência. A propriedade de reciprocidade é formulada como segue na Fig. 6: se o EMF localizado no circuito de entrada causa alguma corrente no circuito de saída, então o mesmo EMF incluído em o circuito de saída causará no circuito de entrada,

11 re current do mesmo valor Resumidamente, esta propriedade é às vezes formulada da seguinte forma: EMF no circuito de entrada e o amperímetro no circuito de saída podem ser trocados, enquanto a leitura do amperímetro não mudará Fig. 6 Comportamento de um circuito com a propriedade de reciprocidade 7 UE Fig 7 Coeficiente de transferência de tensão, em seguida, Como segue do diagrama na Fig 7: UUI n; ; K n E T E; I T U n Da mesma forma, o coeficiente de transferência de corrente pode ser determinado I K I Fig. 8: I Portanto, I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Fig. 8 Taxa de transferência de corrente Yn Y T T 37

12 3 Mais sobre as propriedades gerais das funções do circuito As funções do circuito são funções de uma variável obtida resolvendo equações, por exemplo, resistência de condutividade de entrada, resistência de condutividade de transmissão, etc. Para circuitos com parâmetros concentrados, qualquer função de circuito é racional em relação ao variável e é uma fração m Ф B bnmnbmmnn 38 bb e os coeficientes são reais Caso contrário, pode ser representado na forma Ф bmnm, "" "onde, m,", "," n raízes das equações mbnmnbmnm, nbb Os valores =, M são chamados de zeros da função Ф, e os valores = ",", "n são chamados de pólos Φ Obviamente, duas funções racionais, cujos zeros e pólos coincidem, podem diferir apenas por fatores constantes. outras palavras, a natureza da dependência dos parâmetros da cadeia na frequência é completamente determinada pelos zeros e pólos da função da cadeia. o polinômio adquire o valor conjugado * = * e B * = B * Segue-se que se o polinômio isto Se houver uma raiz complexa, ela também será uma raiz. Assim, os zeros e os pólos da função da cadeia podem ser reais ou formar pares conjugados complexos. Seja Ф a função da cadeia. Considere seus valores em =: Ф Ф Ф Dado que os coeficientes no numerador e denominador Ф são reais, então Ф Ф n,

13 Não Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Comparando essas igualdades levando em consideração a igualdade dada acima, obtemos que Ф Ф, Ф Ф, ou seja, a parte real da função do circuito é uma função par da frequência, e o ímpar imaginário função da frequência 3 Estabilidade e viabilidade física Considere a igualdade que determina a corrente na resistência de entrada causada pela tensão U: UIB Seja U um degrau unitário, e Então I, B onde e B são polinômios de Usando a fórmula de expansão, você pode obter i BB "onde zeros do polinômio B e, portanto, zeros da função de resistência e zeros do determinante principal: = Se pelo menos um zero tiver uma parte real positiva, então i aumentará indefinidamente. Assim, a resistência, pelo menos um zero do qual está no semiplano direito corresponde a um sistema instável, 39

14 me A mesma conclusão pode ser feita em relação à resistência de transmissão T, a condutividade de entrada Y, a condutividade de transmissão YT Definição A função de um circuito é dita fisicamente viável se corresponder a um circuito constituído de elementos reais e nenhuma das vibrações naturais da qual tem uma amplitude que aumenta indefinidamente com A cadeia especificada na definição é chamada estável Os zeros do determinante principal da função estável fisicamente realizável da cadeia e, portanto, os zeros das funções de resistência e condutividade devem estar localizados apenas em o semiplano esquerdo da variável ou no eixo das frequências reais. Se dois ou mais zeros coincidem com raízes múltiplas, as soluções correspondentes têm a forma: M, onde M é um polinômio de grau m, m é a multiplicidade de root Se, neste caso, =, e m>, então a solução correspondente aumenta indefinidamente o coeficiente A transmissão, então tudo o que foi dito acima não se refere a zeros, mas aos pólos da função do circuito de coeficientes de transmissão.De fato: n K Zeros de T são os pólos da função K, e a resistência de carga é passiva; seus zeros certamente estão no plano correto.do exposto, segue-se que as funções fisicamente realizáveis ​​da cadeia têm as seguintes propriedades: e os zeros e os pólos da função da cadeia são reais ou formam pares conjugados complexos; b as partes real e imaginária da função de cadeia são, em frequências reais, uma função de frequência par e ímpar, respectivamente; nos zeros do determinante principal, e, conseqüentemente, a resistência de condutividade e a resistência de condutividade de transmissão não podem estar no semiplano direito, e zeros múltiplos nem no semiplano direito nem no eixo das frequências reais T 4

15 3 Processos transientes em amplificadores Resolver o sistema de equações do circuito dá uma imagem do sinal de saída para uma dada entrada U = KE A função do circuito no domínio do tempo pode ser encontrada usando a transformada de Laplace inversa u L (KE) De maior interesse é o processo transiente com um sinal de entrada na forma de uma etapa Sistema de reação por etapa de unidade é chamada de função de transição. Conhecendo a função transitória, podemos encontrar a resposta do sistema a um sinal de entrada de forma arbitrária. imagem de uma única etapa tem a forma, portanto, a resposta do sistema a uma única etapa é: K h L A transformada de Laplace inversa pode ser escrita como: h LKK 4 d Ao mesmo tempo>, já que o caminho de integração deve mentir à direita do pólo = De grande interesse é a definição Fig. 3 O contorno da função transiente do amplificador pelo tipo de sua integração com a resposta em frequência Para isso, o caminho de cálculo da integração transiente deve ser combinado com o eixo da função de frequências reais = Pólo em t ponto = neste caso, você deve contornar um círculo de raio pequeno r Fig. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Vamos ao limite r Então temos d KVKK d KV h Aqui, a expressão V com o integral significa o valor principal deste integral A fórmula resultante permite que você encontre a função de transição através da resposta de frequência do ganho no Com base nesta fórmula, algumas conclusões gerais podem ser tiradas. Substitua a variável em h por: d KVK h Mas h, como segue do princípio de causalidade, uma vez que o sinal aparece em> A função de ganho K é complexa e pode ser representada como a soma das partes real e imaginária: K = K + K r Substituindo na expressão por h, obtemos d KKVK r Diferenciando em relação a, obtemos d KK r ou cos sen sen cos d KKKK rr

17 A parte imaginária do integrando é uma função ímpar de frequência, portanto, a integral dela é igual a zero. Como a parte real é uma função par de frequência, a condição que o coeficiente de transferência fisicamente realizável deve satisfazer tem a forma: K cos K sin dr at Esta condição, como vimos, segue do princípio de causalidade. Pode ser mostrado que um sistema cujo coeficiente de transmissão pode ser escrito como uma razão de polinômios K, B é estável no sentido de que todos os zeros do polinômio B encontra-se no semiplano esquerdo, satisfaz o princípio de causalidade. Para fazer isso, investigamos a integral K hd para< и >Vamos introduzir dois contornos fechados e B, mostrados na Fig. 3 Fig. 3 Contornos de integração: em< ; B при > 43

18 44 Considere uma função onde a integral é assumida sobre um contorno fechado Devido ao teorema da integral de Cauchy, a integral é igual a zero, uma vez que no meio-plano direito o integrando é analítico pela condição. A integral pode ser escrita como um soma das integrais sobre as seções individuais do contorno de integração: sen cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Dado que cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >mantém h B h para R Assim: R h, para>

19 O resíduo em relação a um polo simples é igual a RB "que já tínhamos antes de K lim, 45 lim B Exemplo Considere o esquema da cadeia integradora mostrado na Fig. 33 Para esta cadeia, o coeficiente de transferência e seu imaginário e real as partes têm a forma: K; K; K r, onde RC Vamos provar que, de acordo com a condição de causalidade dada acima, a igualdade deve ser satisfeita. A igualdade é conhecida cos sen d cos d Diferencie os lados direito e esquerdo por: sin d Multiplicando os lados esquerdo e direito dessa igualdade por, obtemos: sen d, Fig. 33 Esquema do circuito de integração do qual segue a igualdade que precisa ser provada Tendo a função transitória do sistema, pode-se encontrar sua resposta a qualquer entrada sinal Para isso, representamos aproximadamente o sinal de entrada como uma soma das etapas unitárias da Fig. 34

20 Fig. 34 Representação do sinal de entrada Esta representação pode ser escrita como: uuu Além disso uu "A resposta a uma etapa unitária será igual a h Portanto, o sinal de saída pode ser aproximadamente representado como: uuhu" h Passando para o limite em , ao invés da soma, obtemos a integral uuhu "hd Esta uma das formas da integral de Duhamel Integrando por partes, pode-se obter outra forma da integral de Duhamel: uuhuh" d E, finalmente, mudando a variável = " , podemos obter mais duas formas da integral de Duhamel: uuhu "hd; vc vc eh "d 46

21 4 Algumas propriedades de circuitos bipolares 4 Propriedades gerais da função de resistência de condução de entrada Redes de dois terminais são completamente caracterizadas pela função de resistência de condução de entrada Esta função não pode ter zeros no meio-plano direito, bem como zeros múltiplos no eixo das frequências reais Desde Y, então os zeros de Y correspondem aos pólos e vice-versa. a função da resistência de condução de entrada não pode ter pólos no meio-plano direito e pólos múltiplos no eixo das frequências reais. a igualdade assintótica é válida: bm mn Como não deve haver vários zeros e pólos no eixo das frequências reais, segue-se que mn te as potências dos polinômios do numerador e do denominador não podem diferir em mais de um. Considerando o comportamento de bb lisi = da mesma forma, pode ser mostrado que os menores expoentes do numerador e denominador não podem diferir em mais de um. O significado físico dessas declarações é que em frequências muito altas e muito baixas, um dispositivo de dois terminais passivo deve se comportar como um capacitância ou indutância ou resistência ativa n, 4 Funções de energia de uma rede de dois terminais Suponha que uma rede de dois terminais seja um circuito complexo contendo resistências ativas, capacitâncias e indutivas

Se uma tensão senoidal é aplicada aos terminais de um dois terminais, então alguma energia é dissipada no dois terminais, o valor médio do qual P caracteriza a dissipação de energia Energia elétrica e magnética é armazenada em capacitores e indutores, a média valores dos quais serão denotados por WE e WH Calculamos esses valores usando as equações das correntes de loop. Escrevemos diretamente as expressões para as quantidades acima por analogia com os casos mais simples. Portanto, para a resistência R, a potência dissipada média é igual a PRII Da mesma forma, para um circuito contendo vários ramos, a potência média pode ser expressa em termos de correntes de loop: P i R i I i I Energia média armazenada em indutância, é igual a WHLII Para um circuito complexo, expressamos isso valor através das correntes do circuito: WH 4 i L i I A energia média armazenada no capacitor é mas, portanto, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Com base nesta relação, podemos escrever uma expressão para a energia elétrica média total: WE 4 Ii I i Ci Vamos descobrir como essas quantidades estão relacionadas às tensões e correntes de entrada. Para fazer isso, escreva as equações das correntes de loop IRILIE ; C I i R i I Li I; Ci Multiplique cada uma das equações pela corrente correspondente 49 Ii e some todos I Ii Ri I Ii Li Ii Ii EI i i i Ci Se R i = R i; L i = L i; C i = C i, ou seja, o circuito atende ao princípio da reciprocidade, não havendo elementos ativos, então: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Substituindo na igualdade acima, obtemos funções E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE

24 O teorema de Telledzhen permite encontrar expressões para a resistência e condutividade de Y em termos de funções de energia: EIEIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Algumas conclusões podem ser tiradas das expressões obtidas para e Y em termos de funções de energia. A resistência de entrada e a condutância de um circuito passivo tem uma parte real não negativa no eixo das frequências reais. É idêntica a zero apenas se não houver perdas de energia no circuito. As condições de estabilidade exigem que Y também não tenha zeros e pólos na metade direita A ausência de pólos significa que Y são funções analíticas no semiplano direito. Se uma função é analítica em alguma região, então suas partes reais e imaginárias atingem seus menores e maiores valores na fronteira da região. Uma vez que as funções de resistência de entrada e condutividade são analíticas no meio-plano direito, então sua parte real na fronteira desta região no eixo das frequências reais atinge o menor valor Mas no eixo das frequências reais a parte real é não negativa, portanto, é positiva em todo o semiplano direito. Além disso, as funções e Y assumem valores reais Para valores reais, uma vez que são o quociente da divisão de polinômios com coeficientes reais Uma função que assume valores reais para reais e tem uma parte real positiva no meio-plano direito é chamada de função real positiva. e as funções de condutância são funções reais positivas, a função era uma função real positiva 3 A parte imaginária no eixo de frequência real é igual a zero se o dispositivo de dois terminais não contém elementos reativos ou as reservas médias de magnético e EE;

25 energias elétricas em uma rede de dois terminais são iguais. Este é o caso da ressonância; a frequência na qual isso ocorre é chamada de frequência ressonante. Deve-se notar que, ao derivar as razões de energia para e Y, a propriedade de reciprocidade da ausência de fontes dependentes foi essencialmente usada. Para circuitos que não satisfazem o princípio da reciprocidade e contêm fontes dependentes, esta fórmula pode ser incorreta. A Figura 4 mostra um diagrama de um circuito ressonante em série Vamos ver o que a fórmula de energia dá neste caso mais simples. Potência dissipada na resistência R quando a corrente I flui é igual a PIR Média as reservas de energia elétrica e magnética são iguais: WHLICU; W E A tensão U através do capacitor quando a corrente I está fluindo é A partir daqui W E I U C I C Substituindo na fórmula de energia para, obtemos L I I R I

26 Aqui E E C C S I S E R R RC RC C C Seja, S >> C de modo que o primeiro termo entre parênteses possa ser desprezado S inclinação da lâmpada Então a impedância de entrada será S I E RC E RC I S S RC onde Req; Leq SS Fig. 4 Resistência eletrônica RC SR eq L eq, É óbvio que o cálculo da resistência de entrada usando funções de energia neste caso dará um resultado incorreto. De fato, não há reserva de energia magnética neste circuito, que determina a indutância .A razão para a inadequação da fórmula energética para este circuito é a presença no circuito de uma fonte dependente. Selecionando o deslocamento de fase necessário no circuito da grade de controle da lâmpada, é possível obter uma fase indutiva ou capacitiva mudança entre a tensão e a corrente na entrada e, consequentemente, a natureza indutiva ou capacitiva da resistência de entrada. a resistência ou condutividade de um circuito passivo não é negativa no eixo das frequências reais. Pode ser igual a zero de forma idêntica para quaisquer frequências somente se todos os elementos do circuito não apresentarem perdas, ou seja, forem puramente reativos. Mas mesmo na presença de perdas, a parte real da resistência ou condutividade pode desaparece em algumas frequências 5

27 Se não desaparecer em nenhum lugar do eixo imaginário, então um valor constante pode ser subtraído da função de resistência ou condutividade sem violar as condições de viabilidade física de modo que a parte real, permanecendo não negativa, vire a zero em alguma frequência .de pólos no semiplano direito da variável, ou seja, ela é analítica nesta região, então sua parte real tem um valor mínimo em sua fronteira, ou seja, no eixo imaginário. Portanto, subtrair este valor mínimo deixa o parte real positiva no semiplano direito. A função da resistência de condução de entrada é chamada de função do tipo resistência de condução ativa mínima, se sua parte real desaparecer no eixo das frequências reais, de modo que uma diminuição neste componente é impossível sem violar as condições de passividade. então o zero da parte real no eixo das frequências reais tem uma multiplicidade de pelo menos c e tipo d não minimamente ativo na Fig. 43, e o circuito tem uma resistência de entrada do tipo não minimamente ativo, uma vez que o a parte real da resistência não desaparece em nenhuma frequência real Ao mesmo tempo, a parte real da condutividade desaparece na frequência = Portanto, o circuito é um circuito de condutividade ativa mínima Na Fig. 43, b, o circuito é um circuito de resistência ativa mínima, uma vez que a parte real da resistência desaparece em uma frequência infinita 53

28 Na Fig. 43, o circuito é um circuito de resistência ativa mínima R = na frequência de ressonância do circuito em série. O circuito no terceiro circuito tem uma resistência finita na frequência de ressonância 44 Resistências de condutividade de entrada de redes ativas de dois terminais Fig. 44 Dispositivos de dois terminais: a com uma fonte EMF, b com a adição de resistência R Resistências de condutividade de entrada do ativo, ao contrário de dispositivos passivos de dois terminais, não são funções positivas e, portanto, tais redes de dois terminais sob certas condições podem ser instável. Considere as possibilidades disponíveis aqui. A resistência tem zeros no meio-plano direito da variável, mas não tem pólos lá. Considere o circuito mostrado na Fig. 44 e coloque soluções exponencialmente crescentes, ou seja, bipolar O nick é instável quando alimentado por uma fonte EMF, ou, caso contrário, quando seus terminais estão em curto-circuito. Por outro lado, por não ter pólos no semiplano direito, é uma função analítica neste semiplano. segue que a parte real atinge um mínimo na fronteira do semiplano direito, ou seja, os eixos das frequências reais. Este mínimo é negativo, pois no caso contrário seria uma função real positiva e não poderia ter zeros à direita meio plano. O mínimo da parte real no eixo de frequência real pode ser aumentado para zero adicionando uma resistência real positiva. Neste caso, a função + R torna-se uma função real positiva. Consequentemente, uma rede de dois terminais com a adição de a resistência R será estável com um curto-circuito Fig. 44, b. Uma rede de dois terminais é estável mesmo quando R é maior do que o mínimo, em particular quando R =, isto é, quando alimentado por uma fonte de corrente 54

29 A condutividade Y tem zeros no semiplano direito, mas não possui pólos. Este é o caso oposto ao anterior, pois significa que = / Y tem polos no semiplano direito, mas não possui zeros ali .Neste caso, a estabilidade é investigada em um circuito com uma fonte de corrente Fig. 45, a Se Y tiver zeros no semiplano direito, então a rede de dois terminais é instável durante a operação sem carga. os argumentos apresentados acima. Como Y não tem pólos no semiplano direito, a função Y pode ser transformada em uma função real positiva adicionando uma condutividade real positiva G Gmin. Assim, forma de um dispositivo de dois terminais, em que a condutividade Y zeros no meio-plano direito, mas não tem pólos lá, podem se tornar estáveis ​​adicionando uma condutividade real suficientemente grande. da fonte de tensão 3 A função tem zeros e pólos no meio-plano direito. Neste caso, para resolver a questão da estabilidade requer consideração especial. Portanto, podemos tirar as seguintes conclusões: se uma rede ativa de dois terminais é estável quando alimentada por uma fonte de corrente, ela não tem pólos no meio plano correto, então pode ser estabilizada quando alimentado por uma fonte de tensão conectando em série alguma resistência de material positiva; se um dispositivo ativo de dois terminais é estável quando alimentado por uma fonte de tensão Y não tem pólos no meio plano direito, então ele pode se tornar estável quando alimentado por uma fonte de corrente conectando uma condutividade real suficientemente grande em paralelo Exemplo Considere a conexão paralela de uma resistência negativa R com uma capacitância C Fig. 46 RCR Aqui R RC CI 55 Y b G Fig. 45 Redes bipolares: a com uma fonte de corrente; b com a adição da condutividade Y Y Fig. 46 Bipolar com resistência negativa I

30 Como você pode ver, ele não tem zeros no semiplano direito, portanto, tal circuito é estável quando alimentado por uma fonte de tensão, mas é instável sem carga. Vamos adicionar a indutância L em série Então Fig. 47 Circuito equivalente de um diodo túnel RRL LCR L RC RC Esta função tem zeros no meio-plano direito:, RC 4 RC LC Portanto, o circuito é instável quando alimentado por uma fonte de tensão Mas também tem um pólo no meio-plano direito Vamos tente torná-lo estável adicionando alguma resistência na série R Fig. 47 Então R LCR RRC LRRLR RC RC A condição de estabilidade consiste na ausência de zeros do numerador no semiplano direito. Para isso, todos os coeficientes do trinômio no numerador devem ser positivo: RR CL; RR Essas duas desigualdades podem ser escritas como: L CR RR Obviamente, tais desigualdades são possíveis se LLR ou R RC C R sob a condição R O circuito na Fig. 47 é equivalente ao circuito C do diodo túnel.

31 possibilidades de estabilizar o modo de operação de um diodo túnel usando uma resistência externa Exemplo Considere um circuito LC com uma resistência negativa conectada em paralelo Fig. 48 Encontre as condições para a estabilidade do circuito sem carga Para fazer isso, calcule a condutividade: th R ou R> R o Quando a desigualdade reversa é satisfeita, auto-oscilações são excitadas no circuito na frequência do circuito ressonante 45 certos limites sem violar as condições de passividade Fisicamente, esta mudança no componente real por um valor constante significa a adição ou exclusão de uma resistência ativa real, idealmente independente da mudança de frequência no componente reativo da função de resistência n a condutividade por um valor constante é inaceitável, uma vez que viola as condições de estranheza de realizabilidade física do componente imaginário da função do circuito. Fisicamente, isso é explicado pelo fato de que não existem elementos com uma resistência de condutividade independente de frequência puramente reativa. uma mudança no componente reativo sem alterar o componente ativo possível no caso em que a resistência de condutividade possua pólos no eixo das frequências reais. Devido às condições de viabilidade física, tais pólos devem ser simples e complexos conjugados

32 Deixe a resistência ter pólos em frequências Então podemos distinguir as frações simples MNBB É fácil ver que NNMMN r MB r 58 B * M, MM Considere o comportamento de uma das frações, por exemplo, M / próximo = Então MMM r M r M Perto da frequência, o componente real muda de sinal, o que contradiz as condições de realizabilidade física Portanto, M r = N r = Então M = N Além disso, pode-se mostrar que M = N> De fato, colocamos = +, e> Então a fração assume o valor M /, que deve ser maior que zero, já que a fração deve ser uma função real positiva no semiplano direito Então, M = N> Assim, se ela tem complexo-conjugado pólos no eixo das frequências reais, então pode ser representado na forma: MM, B e satisfaz as condições de viabilidade física se forem satisfeitas. Realmente, não tem pólos no semiplano direito, pois não há pólos ali . Portanto, é uma função analítica no semiplano direito. Por outro lado, o primeiro termo assume os eixos das frequências reais são valores puramente imaginários Portanto, eles têm as mesmas partes reais nos eixos das frequências reais A separação do primeiro termo não afeta a parte real nos eixos das frequências reais Segue-se que na metade direita- plano também é uma função positiva r

33 Além disso, leva valores reais reais no meio-plano direito para valores reais Portanto, é uma função positiva real M A resistência é possuída por um circuito ressonante paralelo sem perdas: LCCC, LC LC e LC e MC Raciocínio semelhante pode ser realizado para a função de condutividade Y tendo pólos: M "Y, YM" onde a expressão é a condutividade do circuito ressonante série: YCLLCL Além dos pólos nos pontos ±, isto é, em frequências finitas, pólos em frequências zero e infinitas são possíveis Esses pólos correspondem aos termos:, L, Y, YC, CL т não corresponde a capacitância ou indutância A seguinte afirmação é verdadeira Impedância de entrada a condutância do circuito passivo continua a satisfazer as condições de viabilidade física se 59

34 subtrair dela a reatância de condutividade correspondente aos pólos localizados no eixo das frequências reais. Pólos de resistência e condutividade em frequências não reais A presença de tais pólos significaria a possibilidade da existência de oscilações livres neles sem amortecimento Mas em muitos casos, com uma boa aproximação, as perdas em elementos reativos podem ser desprezadas 46 Propriedades de circuitos compostos por elementos puramente reativos Muitas vezes acontece que um circuito é composto por elementos com pequenas perdas Neste caso, a influência das perdas às vezes pode ser desprezada. de interesse para descobrir as propriedades dos circuitos sem perdas, bem como para descobrir em que condições as perdas podem ser negligenciadas. Suponha que todos os elementos do circuito são puramente reativos É fácil mostrar que neste caso no eixo das frequências reais a resistência e a condutividade Y assumem valores imaginários. De fato, neste caso a potência das perdas é igual a zero, portanto: W I 6 H WE W Y E WE; Uma vez que a parte imaginária da resistência ou condutividade é uma função ímpar do circuito, então neste caso = Portanto, no caso mais geral = As condições de viabilidade física exigem que ele não tenha zeros e pólos no meio-plano direito Mas como =, então também não deve haver zeros e pólos no semiplano esquerdo. Portanto, H

35 funções e Y podem ter zeros e pólos apenas no eixo das frequências reais. Fisicamente, isso é compreensível, uma vez que em um circuito sem perdas, as oscilações livres não amortecem. Segue-se que usando o método de identificação dos pólos situados no eixo de frequências reais, é possível reduzir as funções e Y à seguinte forma: bnbnb Y Em outras palavras, um dispositivo bipolar com resistência pode ser representado como o seguinte diagrama na Fig. 49 da forma de Foster :; Fig. 49 A primeira forma Foster Consequentemente, Y pode ser representado na forma da -ésima forma Foster Fig. 4 Fig. 4 A segunda forma Foster Pode ser mostrado que zeros e pólos no eixo das frequências reais devem ser alternados apenas simples, então perto de zero a função pode ser representada na forma M o, onde o é uma quantidade de ordem superior de pequenez em comparação com Near no semiplano direito, a quantidade real deve ser positiva, e isso só é possível se M é 6 reais

36 é uma magnitude e M> Portanto, perto de zero = o componente imaginário pode mudar apenas com uma derivada positiva, mudando o sinal de para "+" deve haver uma descontinuidade, que para circuitos com elementos concentrados só pode ser um pólo o que foi dito também se aplica à condutividade Y Zeros são chamados de pontos de ressonâncias, os pólos são pontos de antirressonâncias Portanto, as ressonâncias sempre se alternam com as antirressonâncias. Para a condutividade Y, as ressonâncias correspondem aos pólos e as antirressonâncias aos zeros É fácil perceber que tanto nos pontos de ressonâncias quanto nos pontos de antirressonâncias, as reservas médias de energias elétricas e magnéticas são iguais entre si. De fato, nos pontos de ressonâncias =, ou seja, WHWE = Nos pontos de antirressonâncias Y =, portanto, WEWH = Deixe-nos agora mostrar que no caso de circuitos sem perdas as seguintes fórmulas ocorrem, eu dou dependência da resistência e condutividade com a frequência Vamos representar a resistência e a condutividade na forma: X, Y B Então: dx WH W d I db WH WE d E Para prova, considere a definição de resistência E I 6 E; Seja E = cons. Vamos diferenciar pela frequência: d E di d I d Suponha que E seja um valor real Então para um circuito sem perdas I é um valor puramente imaginário Neste caso d E d I di d I e

37 Vamos agora voltar para o sistema de equações para correntes de loop n 4: I Li I Ei, i, n C Supondo que apenas E, multiplicamos cada uma das equações por e adicionamos todas as equações: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Em seguida, voltamos à relação obtida também em p 4 para circuitos sem perdas: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferenciando por frequência em E = cons, obtemos: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , uma vez que E é um valor real por suposição Conclui-se também do anterior que: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Substituindo no total, obtemos: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Reduzindo termos semelhantes à esquerda e à direita, encontramos: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E era encontrado na seção n 4, é igual a i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Substituindo na expressão a derivada da função de resistência, obtemos: d E di WH W d I d I Da mesma forma, você pode provar a segunda igualdade dy W d E WE A partir dessas fórmulas, segue-se que com o aumento da frequência, a reatância e a condutividade de um circuito de elementos puramente reativos só podem aumentar. Dependendo da presença de zeros e pólos em frequências zero e infinitas, o gráfico de a dependência de X e B pode ter um dos seguintes tipos, mostrados na Fig. 4 Por fim, tentaremos descobrir como a presença de pequenas perdas afeta a resistência de um circuito composto por elementos reativos.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 A atenuação pode ser diferente para diferentes pólos Portanto, é aconselhável considerar o comportamento da função de resistência próximo a um dos pólos.

40 Uma vez que estamos interessados ​​nos valores no eixo das frequências reais, deve ser substituído por No numerador, podemos descartar, pequeno em comparação com a condição: Esta expressão pode ser transformada da seguinte forma:, Qx "onde ; Q; x; A quantidade Q >> é chamada de fator de qualidade, a quantidade x é chamada de desafinação relativa Ressonância próxima Além disso, temos: O valor C x QQ ;; QQCC é chamada de impedância característica do circuito ressonante. Considere como as partes reais e imaginárias da resistência perto da ressonância dependem da frequência: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 A ressonância próxima Im aumenta, mas na ressonância passa por zero com uma derivada negativa A parte real de R na ressonância tem um máximo. Os gráficos Im e R dependendo da frequência são mostrados na Fig. 4. falando, a área sob o a curva de ressonância R não depende do fator Q. Com o aumento do fator Q, a largura da curva diminui, mas a altura aumenta, de modo que a área permanece inalterada. Qx >>, a parte real diminui rapidamente e a parte imaginária é igual a Im x 67, ou seja, muda da mesma forma que no caso de um contorno sem perdas

42 Assim, a dependência da frequência com a introdução de pequenas perdas muda pouco nas frequências espaçadas da frequência de ressonância pela quantidade >>. Perto da frequência, o curso muda significativamente. O pólo de condução Y, ou seja, a condutividade do circuito ressonante em série corresponde a uma relação semelhante ao pólo: onde Q; gq Y, Qx g condutividade característica; L x Zero corresponde ao pólo de condução Y Próximo a zero, portanto, a resistência pode ser representada no eixo das frequências reais da seguinte forma: Qx x, Y gq Q onde = / g muda perto de zero da mesma forma que antes 68

43 5 Quadrupolos 5 Equações básicas de um quadripolo Um quadrupolo é um circuito que possui dois pares de terminais: a entrada à qual a fonte do sinal está conectada e a saída à qual a carga está conectada. a fonte de sinal ne a resistência de carga n são incluídas em T Quando eles mudam, e T muda É desejável ter equações e parâmetros que caracterizam a própria rede de quatro portas. O coeficiente é o recíproco da condutividade de transmissão em inatividade na saída par de terminais: 69 II; Fig. 5 Ligando a rede de quatro portas I Aqui U e U são as tensões nos terminais de entrada e saída, I e I são as correntes fluindo através dos terminais de entrada e saída em direção à rede de quatro portas, ver Fig. 5 Coeficientes de o sistema de equações que conecta tensões e correntes tem um significado simples. O valor é o coeficiente de proporcionalidade entre I e U em uma corrente nos terminais de saída I =, ou seja, sem carga nos terminais de saída; em outras palavras, esta é a resistência de entrada sem carga na saída = x Da mesma forma, esta é a resistência de entrada do lado dos terminais de saída sem carga no primeiro par de terminais = x O coeficiente tem o significado de o valor oposto à condutância de transmissão em marcha lenta no primeiro par de terminais, ou seja, nos terminais de entrada de corrente zero U e IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Observe que para uma rede passiva de quatro portas, ambas as condutividades de transmissão são iguais entre si devido ao princípio da reciprocidade. Portanto, = = / Y Tx O sistema de equações dado acima pode ser escrito como: IU x I ; YT x IU x I YT x I, já que a corrente neste caso é direcionada de uma rede de quatro portas, ou seja, na direção oposta à adotada acima Substituindo U na segunda equação, obtemos de onde I, I n I x I YTx IY x Tx Substituindo I na primeira equação, obtemos UI x Y Tx n A partir daqui encontramos a impedância de entrada em nx U x IY Por analogia, você também pode escrever uma expressão para a resistência de saída, trocando o índices e: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Parâmetros característicos de um dispositivo de quatro pólos De considerável interesse é o caso quando o gerador e a carga são casados ​​simultaneamente, ou seja, quando n = ce n = c, a relação in = ce out = c ocorre Substituindo nas expressões por in e out, obtemos as equações que nos permitem encontrar c e c: cc x x YT x YT x 7 cc Este sistema é resolvido da seguinte maneira: Da primeira equação encontramos: de onde cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Observe que o curto-circuito e o curto-circuito são resistências de entrada do lado do primeiro e do segundo par de terminais, respectivamente, no caso de um curto-circuito no outro par de terminais. Carga igual à impedância característica c é chamada de casada Com qualquer número de redes de quatro portas conectadas dessa maneira, a correspondência é preservada em qualquer seção transversal. IU c I c ln I c U cg ln U A parte real do coeficiente de transmissão característica para frequências reais é chamada de atenuação característica, e a parte imaginária é chamada de constante de fase característica também obtém a razão: I g I; U c g U U U I I

47 O coeficiente de transmissão característico é conveniente porque, com uma conexão em cascata combinada de redes de duas portas, o coeficiente de transmissão resultante é igual à soma dos coeficientes de transmissão de redes individuais de quatro portas. O coeficiente de transmissão característico pode ser encontrado nas relações : gc kz c kz xx c xx cc kz c kz xx c xx c As impedâncias características c, em geral, dependem da frequência. Portanto, o uso de parâmetros característicos nem sempre é conveniente para representar a resistência de transmissão T. a quatro- rede de terminais para uma carga real constante R com uma resistência puramente ativa do gerador R Fig. 53 Neste caso, a transmissão é determinada usando o coeficiente de transmissão operacional UI ln, UI onde U "e I" são e a corrente que o gerador é capaz de desenvolver com uma resistência igual à resistência interna do gerador, ou seja: EU, IE, R 73 EUI, 4R U e I tensão e corrente de carga Neste caso, U = IR Substituindo, nós obtenha para o coeficiente de transmissão operacional ln A partir daqui temos 4R ERI ln ERRTIRR

48 O valor é função de uma variável complexa Para frequências reais =: = + B, onde a atenuação de operação, B é a constante de fase A atenuação de operação é igual a ln TRR 74 ln PP mx, uma vez que P mx é a potência máxima que o gerador pode dar à entrada da rede de quatro portas, e P é a potência, alocada na carga RP mx EPIR 4R Vamos mostrar que a função positiva real De fato, uma vez que T não tem zeros no semiplano direito, o função é analítica no semiplano direito Portanto, a função analítica proporcional a ela também está no semiplano direito. analiticidade, neste caso no eixo das frequências reais O valor inverso atinge o menor valor neste eixo Para um passivo rede de quatro portas no eixo das frequências reais, portanto, R> em todo o meio-plano direito Além disso T ln 4R R Função T é o quociente de dividir dois polinômios com coeficientes reais, e T leva positivo real e valores para reais Portanto, também é real para valores reais. Assim, podemos concluir que a função real positiva O problema de síntese de uma rede de quatro portas com um dado coeficiente de transmissão operacional no caso geral é mais bem resolvido com a ajuda da chamada rede cruzada de quatro portas, que tem, sob certas condições, T

4,11. Propriedades da transformação de Laplace. 1) Correspondência um a um: s (S И (2) Linearidade da transformada de Laplace: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (e também 3) Analiticidade S И (): se s (satisfaz

4 Aula 5 ANÁLISE DE CIRCUITOS DINÂMICOS Plano de Equações de estado de circuitos elétricos Algoritmo para a formação de equações de estado 3 Exemplos de elaboração de equações de estado 4 Conclusões Equações de estado de circuitos elétricos

4 .. Propriedades da transformada de Laplace.) Correspondência um a um: S И () 2) Linearidade da transformada de Laplace: s (s () И () И 2 S S2 (), e também 3) Analiticidade S И (): se satisfaz a condição

64 Aula 6 MÉTODO OPERACIONAL DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Plano de transformação de Laplace Propriedades da transformada de Laplace 3 Método do operador de análise de circuitos elétricos 4 Determinação do original pelo conhecido

2.2. Método do operador para calcular transitórios. Informações teóricas. O cálculo de processos transientes em circuitos complexos pelo método clássico é muitas vezes difícil de encontrar as constantes de integração.

70 Aula 7 FUNÇÕES DO OPERADOR DOS CIRCUITOS Plano Entrada do operador e funções de transferência Pólos e zeros das funções do circuito 3 Conclusões Entrada do operador e funções de transferência Uma função do operador de um circuito é chamada

Corrente sinusoidal "na palma da sua mão" A maior parte da energia elétrica é gerada na forma de CEM, que muda com o tempo de acordo com a lei de uma função harmônica (sinusoidal). As fontes de EMF harmônico são

4 Aula CARACTERÍSTICAS DE FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Ressonância e seu significado em radioeletrônica Funções de transferência complexas 3 Características de frequência logarítmica 4 Conclusões Ressonância e

Processos transitórios "na palma da sua mão". Você já conhece os métodos de cálculo de um circuito que está em regime permanente, ou seja, aquele em que as correntes, como as quedas de tensão em elementos individuais, são constantes ao longo do tempo.

Ressonância na palma da sua mão. Ressonância é o modo de uma rede passiva de dois terminais contendo elementos indutivos e capacitivos, nos quais sua reatância é zero. Condição de ressonância

Vibrações elétricas forçadas. Corrente alternada Considere as oscilações elétricas que ocorrem quando há um gerador no circuito, cuja força eletromotriz muda periodicamente.

Capítulo 3 Corrente alternada Informações teóricas A maior parte da energia elétrica é gerada na forma de CEM, que muda com o tempo de acordo com a lei de uma função harmônica (senoidal).

Aula 3. Deduções. O teorema principal dos resíduos O resíduo de uma função f () em um ponto singular isolado a é um número complexo igual ao valor da integral f () 2 tomada na direção positiva i ao longo do círculo

Oscilações eletromagnéticas Correntes quase estacionárias Processos em um circuito oscilatório Circuito oscilatório um circuito que consiste em bobinas de indutância conectadas em série, um capacitor de capacitância C e um resistor

1 5 Oscilações elétricas 51 Circuito oscilatório As oscilações na física são chamadas não apenas de movimentos periódicos de corpos, mas também de qualquer processo periódico ou quase periódico em que os valores de um ou

Circuitos passivos Introdução Os problemas consideram o cálculo de amplitude-freqüência, fase-freqüência e características transitórias em circuitos passivos. Para calcular as características nomeadas, você precisa saber

ESTUDO DE VIBRAÇÕES LIVRES E FORÇADAS EM UM CIRCUITO OSCILATÓRIO Vibrações elétricas livres em um circuito oscilatório Considere um circuito oscilatório consistindo de capacitores conectados em série

Aula 3 Tópico Sistemas oscilatórios Circuito oscilatório sequencial. Ressonância de tensões Um circuito oscilante em série é um circuito no qual uma bobina e um capacitor são conectados em série

Universidade Estadual de Moscou M.V. Lomonosov Faculdade de Física Departamento de Física Geral

Materiais para autoaprendizagem na disciplina "Teoria dos circuitos elétricos" para alunos das especialidades: -6 4 s "Electrónica industrial" (parte), -9 s "Modelação e desenho informático

Método de amplitude complexo Flutuações de tensão harmônica nos terminais dos elementos R ou causam o fluxo de corrente harmônica de mesma frequência. Diferenciação, integração e adição de funções

Apêndice 4 Oscilações elétricas forçadas Corrente alternada As informações teóricas a seguir podem ser úteis na preparação para o trabalho de laboratório 6, 7, 8 no laboratório "Eletricidade e magnetismo"

54 Aula 5 Transformada de Fourier e o método espectral para a análise de circuitos elétricos Plano de espectros de funções aperiódicas e da transformada de Fourier Algumas propriedades da transformada de Fourier 3 Método espectral

Exame Ressonância de tensões (continuação) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω O denominador é mínimo na frequência ω 0, tal que ω0 = 0 => ω0 ω 0 = esta frequência é chamada de ressonante

Capítulo 2. Métodos para calcular processos transitórios. 2.1. O método clássico de cálculo. Informações teóricas. No primeiro capítulo, foram considerados os métodos de cálculo de um circuito em regime permanente, ou seja,

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOPO wwwystrevkievu Funções esquemáticas O aparelho de funções de circuito é aplicável tanto para a análise de circuitos em correntes diretas e harmônicas quanto para um tipo arbitrário de influência em um estado estacionário

4,9. Resposta transitória do circuito, sua relação com a resposta ao impulso. Considere a função K j K j j> S j j K j S 2 Suponha que K jω possua a transformada de Fourier h K j. Se existe IH k K j, então

Aula 9 Linearização de equações diferenciais Equações diferenciais lineares de ordens superiores Propriedades das equações homogêneas de suas soluções Propriedades de soluções de equações não homogêneas Definição 9 Linear

Desenvolvimento metódico Resolução de problemas por TFKP Números complexos Operações em números complexos Plano complexo Um número complexo pode ser representado em exponencial algébrico e trigonométrico

Índice Seção INTRODUÇÃO MÉTODO CLÁSSICO PARA CÁLCULO DE TRANSIENTES Seção CÁLCULO DE TRANSIENTES COM ENTRADAS ALEATÓRIAS USANDO INTEGRAIS DE OVERLAY 9 QUESTÕES DE CONTROLE 7

4 VIBRAÇÕES E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Um circuito oscilatório é um circuito elétrico composto por capacitores e bobinas em que é possível um processo oscilatório de recarga do capacitor.

3,5. Circuito oscilatório paralelo complexo I Um circuito em que pelo menos uma ramificação paralela contém reatividades de ambos os sinais. I С С I I Não há conexão magnética entre e. Condição de ressonância

PALESTRA N38. O comportamento de uma função analítica no infinito. Pontos especiais. Resíduos de uma função ... uma vizinhança de um ponto infinitamente distante ... uma expansão de Laurent em uma vizinhança de um ponto infinitamente distante ... 3. Comportamento

4 Aula 3 CARACTERÍSTICAS DE FREQÜÊNCIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Funções de transferência complexas Características de frequência logarítmica 3 Conclusão Funções de transferência complexas (características de frequência complexas)

Flutuações. Aula 3 Alternador Para explicar o princípio de operação de um alternador, vamos primeiro considerar o que acontece quando uma volta plana de um fio gira em um sistema magnético uniforme

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Conceitos gerais

Cálculo da fonte de oscilações harmônicas (GCI) Forneça ao circuito inicial do GCI em relação ao enrolamento primário do transformador uma fonte de tensão equivalente. Determine seus parâmetros (EMF e interno

Trabalho 11 ESTUDO DAS VIBRAÇÕES FORÇADAS E DOS FENÔMENOS DE RESSONÂNCIA EM UM CIRCUITO OSCILANTE Em um circuito contendo um indutor e um capacitor, podem ocorrer oscilações elétricas. O trabalho está estudando

Tópico 4 .. Circuitos CA Questões do tópico .. Circuito CA com indutância .. Circuito CA com indutância e resistência ativa. 3. Circuito CA com capacidade. 4. Variável de cadeia

4 Aula ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS Plano A tarefa de analisar circuitos elétricos Leis de Kirchhoff Exemplos de análise de circuitos resistivos 3 Transformações equivalentes de uma seção de circuito 4 Conclusões A tarefa de analisar circuitos elétricos

Variante 708 Uma fonte de EMF senoidal e (ωt) sin (ωt ψ) opera no circuito elétrico. O diagrama do circuito mostrado na Fig. O valor efetivo da fonte EMF E, a fase inicial e o valor dos parâmetros do circuito

Dados iniciais R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Leis de Kirgoff (tensão constante) 1. Procurando nós Nó ponto, no qual três (ou mais) condutores estão conectados

Oscilação da palestra. Oscilações forçadas Fig. A fonte de oscilação M athcale alimenta um circuito oscilatório em série que consiste em uma resistência R, um indutor L e um capacitor com uma capacitância

Exame Ressonância de tensões (continuação) Vamos supor que a tensão em um circuito é a tensão em todo o circuito oscilatório e a tensão na saída do circuito é a tensão no capacitor Então Amplitude

Semestre de outono do ano letivo Tópico 3 ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS NÃO PERIÓDICOS Transformadas de Fourier direta e inversa Característica espectral do sinal Espectro de frequência de amplitude e frequência de fase

Aula 6. Classificação dos pontos de repouso de um sistema linear de duas equações com coeficientes reais constantes. Considere um sistema de duas equações diferenciais lineares com real constante

54 Aula 5 Transformada de Fourier e o método espectral para análise de circuitos elétricos Plano de espectros de funções aperiódicas e transformada de Fourier 2 Algumas propriedades da transformada de Fourier 3 Método espectral

Tópico: As leis da corrente alternada A corrente elétrica é o movimento ordenado de partículas carregadas ou corpos macroscópicos. Uma variável é uma corrente que muda seu valor ao longo do tempo

Exame Impedância Impedância A impedância ou impedância complexa é, por definição, igual à razão da tensão complexa para a corrente complexa: Z ɶ Observe que a impedância também é igual à razão

Índice Introdução. Conceitos básicos .... 4 1. Equações integrais de Volterra ... 5 Variantes do trabalho de casa .... 8 2. Resolvente da equação integral de Volterra. 10 opções de lição de casa ... 11

Capítulo II Integrais Função antiderivada e suas propriedades A função F () é chamada de antiderivada de uma função contínua f () no intervalo a b, se F () f (), a; b (;) Por exemplo, para a função f () antiderivadas

O método clássico. Fig. 1- o diagrama inicial dos parâmetros do circuito elétrico do circuito: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reatância de indutância:

Métodos para calcular circuitos elétricos lineares complexos Base: a capacidade de compor e resolver sistemas de equações algébricas lineares - compilados para um circuito de corrente contínua ou após simbolização

UM INTEGRAL ESPECÍFICO. Somas integrais e um integral definido Seja dada uma função y = f () definida no intervalo [, b], onde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Aula 7 FUNÇÕES DO OPERADOR DOS CIRCUITOS Entrada do operador e funções de transferência Pólos e zeros das funções do circuito 3 Conclusões Entrada do operador e funções de transferência Uma função do operador de uma cadeia é uma relação

68 Aula 7 PROCESSOS DE TRANSIÇÃO EM CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM Plano 1 Processos transitórios em circuitos RC de primeira ordem 2 Processos transitórios em circuitos R de primeira ordem 3 Exemplos de cálculo de processos transitórios em circuitos

4 CIRCUITOS ELÉTRICOS LINEARES DE CORRENTE SINUSOIDE AC E MÉTODOS DE CÁLCULO 4.1 MÁQUINAS ELÉTRICAS. PRINCÍPIO DE GERAÇÃO DE CORRENTE SINUSOIDE 4.1.012. A corrente sinusoidal é chamada de instantânea

Agência Federal de Educação Instituição Estadual de Ensino de Educação Profissional Superior "KUBAN STATE UNIVERSITY" Faculdade de Física e Tecnologia Departamento de Optoeletrônica

~ ~ FKP Derivada da função de uma variável complexa FKP da condição de Cauchy-Riemann o conceito de regularidade da imagem FKP e forma de um número complexo Forma do FKP: onde a função real de duas variáveis ​​é real

Este é o nome de outro tipo de transformada integral que, junto com a transformada de Fourier, é amplamente utilizada na engenharia de rádio para resolver uma grande variedade de problemas relacionados ao estudo de sinais.

Conceito de frequência complexa.

Os métodos espectrais, como já se sabe, baseiam-se no fato de que o sinal sob investigação é representado como a soma de um número infinitamente grande de termos elementares, cada um dos quais muda periodicamente no tempo de acordo com a lei.

A generalização natural deste princípio reside no fato de que ao invés de sinais exponenciais complexos com indicadores puramente imaginários, sinais exponenciais da forma são introduzidos em consideração, onde está um número complexo: chamado de frequência complexa.

Dois desses sinais complexos podem ser usados ​​para compor um sinal real, por exemplo, de acordo com a seguinte regra:

onde é o valor do conjugado complexo.

Na verdade, neste caso

Dependendo da escolha das partes reais e imaginárias da frequência complexa, vários sinais reais podem ser obtidos. Portanto, se, mas você obtém as oscilações harmônicas usuais da forma If, então, dependendo do sinal, você obtém oscilações exponenciais crescentes ou decrescentes no tempo. Esses sinais adquirem uma forma mais complexa quando. Aqui, o multiplicador descreve um envelope que muda exponencialmente com o tempo. Alguns sinais típicos são mostrados na fig. 2,10.

O conceito de frequência complexa revela-se muito útil, em primeiro lugar, porque permite, sem recorrer a funções generalizadas, obter representações espectrais de sinais cujos modelos matemáticos não são integráveis.

Arroz. 2,10. Sinais reais correspondentes a diferentes valores da frequência complexa

Outra consideração também é essencial: sinais exponenciais da forma (2.53) servem como um meio "natural" de estudar as oscilações em vários sistemas lineares. Essas questões serão exploradas no cap. oito.

Deve-se notar que a verdadeira frequência física é a parte imaginária da frequência complexa. Não existe um termo especial para a parte real da frequência complexa.

Relacionamentos básicos.

Seja algum sinal, real ou complexo, definido em t> 0 e igual a zero em valores de tempo negativos. A transformada de Laplace deste sinal é uma função de uma variável complexa dada por uma integral:

O sinal é chamado de original e a função é chamada de imagem de Laplace (resumindo, apenas a imagem).

A condição que garante a existência da integral (2.54) é a seguinte: o sinal não deve ter mais do que uma taxa de crescimento exponencial, ou seja, deve satisfazer a desigualdade onde há números positivos.

Quando essa desigualdade é satisfeita, a função existe no sentido de que a integral (2,54) converge absolutamente para todos os números complexos para os quais o Número a é chamado de abcissa de convergência absoluta.

A variável na fórmula principal (2.54) pode ser identificada com a frequência complexa. De fato, em uma frequência complexa puramente imaginária, quando a fórmula (2.54) se transforma na fórmula (2.16), que determina a transformada de Fourier do sinal, que é zero em Assim, a transformada de Laplace pode ser considerada

Assim como na teoria da transformada de Fourier, é possível, conhecendo a imagem, restaurar o original. Para isso, na fórmula inversa da transformada de Fourier

deve-se realizar uma continuação analítica, passando da variável imaginária ao argumento complexo a) No plano da frequência complexa, a integração é realizada ao longo de um eixo vertical infinitamente longo localizado à direita da abcissa de convergência absoluta. Como at é o diferencial, a fórmula para a transformação inversa de Laplace assume a forma

Na teoria das funções de uma variável complexa, está provado que as imagens de Laplace têm propriedades "boas" do ponto de vista da suavidade: tais imagens em todos os pontos do plano complexo, com exceção de um conjunto contável dos chamados pontos singulares, são funções analíticas. Os pontos singulares, via de regra, são pólos, únicos ou múltiplos. Portanto, para calcular integrais da forma (2.55), pode-se usar métodos flexíveis da teoria dos resíduos.

Na prática, as tabelas de transformação de Laplace são amplamente utilizadas, as quais coletam informações sobre a correspondência entre os originais. e imagens. A presença de tabelas tornou o método da transformada de Laplace popular tanto em estudos teóricos quanto em cálculos de engenharia de dispositivos e sistemas de engenharia de rádio. Nos apêndices há uma tabela que permite a você resolver uma gama bastante ampla de problemas.

Exemplos de cálculo de transformadas de Laplace.

Os métodos de computação de imagens têm muito em comum com o que já foi estudado em relação à transformada de Fourier. Vamos considerar os casos mais típicos.

Exemplo 2.4, Imagem do momento exponencial generalizado.

Deixe, onde é um número complexo fixo. A presença da função -determina a igualdade em Usando a fórmula (2.54), temos

Se, então, o numerador desaparecerá quando o limite superior for substituído. Como resultado, recebemos a correspondência

Como um caso especial da fórmula (2.56), você pode encontrar a imagem de um pulso de vídeo exponencial real:

e um sinal exponencial complexo:

Finalmente, colocando em (2.57), encontramos a imagem da função de Heaviside:

Exemplo 2.5. Imagem da função delta.

Anteriormente, consideramos a transformada de Fourier integral com o kernel K (t, О = е A transformada de Fourier é inconveniente porque a condição de integrabilidade absoluta da função f (t) em todo o eixo t deve ser satisfeita. A transformada de Laplace nos permite para se livrar desta restrição. Definição 1. Função um original significará qualquer função de valor complexo f (t) de um argumento real t, satisfazendo as seguintes condições: um intervalo finito de eixos * de tais pontos pode ser apenas um número finito ; 2.função f (t) é igual a zero para valores negativos de t, f (t) = 0 para 3. conforme t aumenta, o módulo f (t) aumenta não mais rápido do que uma função exponencial, ou seja, existem números M> 0 e s tais que para todo t É claro que se a desigualdade (1) vale para algum s = aj, então também valerá para QUALQUER 82> 8]. = infs para o qual a desigualdade (1) , é chamada de taxa de crescimento da função f (t). Comente. No caso geral, a desigualdade não se mantém, mas a estimativa é válida onde e> 0 é qualquer. Assim, a função tem um expoente de crescimento в0 = Para ela, a desigualdade \ t \ ^ M V * ^ 0 não é válida, mas a desigualdade | f | ^ Mei. A condição (1) é muito menos restritiva do que a condição (*). Exemplo 1. a função não satisfaz a condição ("), mas a condição (1) é satisfeita para qualquer s> I e A /> I; taxa de crescimento 5o = Portanto, esta é a função original. Por outro lado, a função não é uma função original: ela tem uma ordem infinita de crescimento, “o = + oo. A função original mais simples é a chamada função de unidade.Se alguma função satisfizer as condições 1 e 3 da Definição 1, mas não satisfizer a condição 2, então o produto já é uma função original. Para simplificar a notação, iremos, como regra, omitir o fator rj (t), tendo concordado que todas as funções que iremos considerar são iguais a zero para t negativo, então se estamos falando de alguma função f (t), por exemplo, o sin ty cos t, el, etc., então as seguintes funções estão sempre implícitas (Fig. 2): n = n (0 Fig. 1 Definição 2. Seja f (t) a função original. da função f (t) de Laplace é a função F (p) de uma variável complexa definida pela fórmula LAPLACE TRANSFORM Definições básicas Propriedades Convolução das funções Teorema da multiplicação Encontrando o original da imagem Usando o teorema da inversão para cálculo operacional Fórmula de Duhamel Integração de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Solução de equações integrais onde a integral é considerada sobre o semieixo positivo t. A função F (p) também é chamada de transformada de Laplace da função / (/); o kernel da transformação K (t) p) = e ~ pt. O fato da função ter sua imagem F (p), escreveremos o Exemplo 2. Encontre a imagem da função unitária r) (t). A função é uma função original com uma taxa de crescimento de 0 - 0. Em virtude da fórmula (2), a imagem da função rj (t) será a função Se então para, a integral no lado direito do a última igualdade convergirá, e conseguiremos que a imagem da função rj (t) seja a função £. Conforme combinado, escreveremos que rj (t) = 1, e então o resultado obtido será escrito da seguinte forma: Teorema 1. Para qualquer função original f (t) com expoente de crescimento z0, a imagem F (p) é definida no semiplano R ep = s> s0 e é uma função analítica neste semiplano (Fig. 3). Let Para provar a existência da imagem F (p) no semiplano indicado, é suficiente estabelecer que a integral imprópria (2) converge absolutamente para a> Usando (3), obtemos o que prova a convergência absoluta da integral (2). Ao mesmo tempo, obtivemos uma estimativa para a transformada de Laplace F (p) no semiplano de convergência Diferenciando a expressão (2) formalmente sob o sinal de integral em relação a p, encontramos que a existência de integral (5) é estabelecida da mesma forma que foi estabelecida a existência de integral (2). Aplicando a integração por partes para F "(p), obtemos uma estimativa que implica a convergência absoluta do integral (5). (O termo não integral, 0., - tem um limite zero para t + oo). Integral ( 5) converge uniformemente em relação ap, uma vez que é majorizado por um integral convergente independente de p. Consequentemente, a diferenciação em relação ap é legal e a igualdade (5) é válida. Como a derivada F "(p) existe, o Laplace a transformação F (p) em todo o semiplano Rep = 5> 5® é uma função analítica. Desigualdade (4) implica Corolário. Se p fino tende ao infinito de forma que Re p = s aumenta indefinidamente, então o Exemplo 3. Vamos também encontrar a imagem da função qualquer número complexo. O expoente da função f (() é igual a.> A, mas também em todos os pontos p, exceto no ponto p = a, onde esta imagem tem um pólo simples. No futuro, iremos encontrar mais de uma vez situação semelhante quando a imagem F (p) é uma função analítica em todo o plano da variável complexa p, por excluir pontos singulares isolados. Não há contradição com o Teorema 1. O último apenas afirma que no semiplano Rep> «o a função F (p) não tem pontos singulares: todos eles acabam por estar à esquerda da linha Rep = so, ou nesta própria linha. Observe não. No cálculo operacional, às vezes é usada a imagem de Heaviside da função f (f), que é definida pela igualdade e difere da imagem de Laplace pelo fator p. §2. Propriedades da transformada de Laplace A seguir, denotaremos as funções originais e, por meio de - suas imagens, de acordo com Laplace. £ biw dee são funções contínuas) têm a mesma imagem, então eles são identicamente iguais. Teopewa 3 (n "yeyiost * transformando Laplace). Se as funções são originais, então para quaisquer constantes complexas do ar A validade da afirmação segue da propriedade de linearidade da integral que determina a imagem: são as taxas de crescimento das funções, respectivamente). Com base nesta propriedade, obtemos Similarmente, encontramos isso e, posteriormente, o Teorema 4 (semelhanças). Se f (t) é a função original e F (p) é sua imagem de Laplace, então para qualquer constante a> 0 Colocando em = m, temos Usando este teorema, das fórmulas (5) e (6) obtemos o Teorema 5 (na diferenciação do original). Sejam a função original com a imagem F (p) e sejam - também as funções originais, e onde está a taxa de crescimento da função Então e em geral Aqui, queremos dizer o valor limite correto Let. Vamos encontrar a imagem que temos Integrando por partes, obtemos O termo não integral no lado direito de (10) desaparece em k. Para Rc p = s> h temos a substituição t = Odet - / (0 ) O segundo termo à direita em (10) é igual a pF (p). Assim, a relação (10) assume a forma e a fórmula (8) é provada. Em particular, se Para encontrar a imagem f (n \ t) escrevermos de onde, integrando n vezes por partes, obteremos o Exemplo 4. Usando o teorema da diferenciação do original, encontre a imagem da função f (t) = sin2 t. Let Portanto, o Teorema 5 estabelece uma propriedade notável da transformada integral de Laplace: ele (como a transformada de Fourier) transforma a operação de diferenciação em uma operação algébrica de multiplicação por p. Fórmula de inclusão. Se forem funções originais, então, De fato, em virtude do corolário do Teorema 1, toda imagem tende a zero como. Daí, daí a fórmula de inclusão segue (Teorema 6 (sobre a diferenciação da imagem). A diferenciação da imagem é reduzida à multiplicação pelo original, uma vez que a função F (p) no semiplano é analítica, pode ser diferenciado em relação a p. Temos o último significa apenas que Exemplo 5. Usando o Teorema 6, encontre a imagem da função 4 Como você sabe, Conseqüentemente (Novamente aplicando o Teorema 6, encontramos, em geral, o Teorema 7 (integração do original). Integração do original é reduzido a dividir a imagem por que, se houver uma função original, então será uma função original, além disso. Let. Em virtude de, Por outro lado, donde F = Este último é equivalente à relação provada (13 Exemplo 6. Encontre a imagem da função M Neste caso, de modo que Portanto Teorema 8 (integração da imagem) Se a integral também converge, então ela serve como uma imagem da função ^: LAPLACE TRANSFORM Definições básicas Propriedades Convolução das funções Teorema da multiplicação Encontrando o original pela imagem Usando o teorema da inversão para cálculo operacional Fórmula de Duhamel Integração de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Equações de solução integral De fato, assumindo que o caminho do integro deite-se no meio plano, portanto, podemos mudar a ordem de integração. A última igualdade significa que é uma imagem de uma função Exemplo 7. Encontre uma imagem de uma função M Como é sabido ,. Portanto, como colocamos, obtemos £ = 0, para. Portanto, a relação (16) assume a forma Exemplo. Encontre a imagem da função f (t), dada graficamente (Fig. 5). Vamos escrever a expressão para a função f (t) da seguinte maneira: Essa expressão pode ser obtida da seguinte maneira. Considere a função e subtraia a função dela. A diferença será igual a um para. Adicionamos a função à diferença resultante e, como resultado, obtemos a função f (t) (Fig. 6c), de forma que A partir daqui, usando o teorema do atraso, encontramos o Teorema 10 (deslocamento). então, para qualquer número complexo p0 De fato, o teorema permite, a partir de imagens conhecidas de funções, encontrar imagens das mesmas funções multiplicadas por uma função exponencial, por exemplo, 2,1. Convolução de funções. Teorema da multiplicação Seja as funções f (t) u definidas e contínuas para todo t. A convolução dessas funções é uma nova função de t definida por igualdade (se esta integral existir). Para as funções originais, a operação é sempre recolhível, e (17) 4 Na verdade, o produto das funções originais como uma função de m é uma função finita, ou seja, desaparece fora de algum intervalo finito (neste caso, fora do intervalo. Para funções contínuas finitas, a operação de convolução é satisfatória, e obtemos a fórmula É fácil verificar que a operação de convolução é comutativa, Teorema 11 (multiplicação). Se, então, a convolução t) tem uma imagem É fácil verificar que a convolução (das funções originais é a função original com o índice de crescimento "onde, são os índices de crescimento das funções, respectivamente. Tal operação é legal) e aplicando o teorema de atraso, obtemos Assim, de (18) e (19) encontramos que a multiplicação das imagens corresponde ao dobramento dos originais, Prter 9. Encontre a imagem da função A função V (0 é a convolução de Em virtude do teorema da multiplicação Problema. Seja f (t) uma função periódica com período T. Mostre que sua imagem de Laplace F (p) é dada pela fórmula 3. Encontrar o original a partir da imagem O problema é colocado como segue : dada a função F (p), precisamos encontrar a função / (<)>cuja imagem é F (p). Formulemos condições suficientes para que a função F (p) de uma variável complexa p sirva de imagem. Teorema 12. Se uma função F (p) 1) analítica no semiplano tende então a zero em qualquer semiplano R s0 uniformemente em relação a arg p; 2) a integral converge absolutamente, então F (p) é uma imagem de algum problema de função original. A função F (p) = pode servir como uma imagem de alguma função original? Aqui estão algumas maneiras de encontrar o original na imagem. 3.1. Encontrar o original usando tabelas de imagens Em primeiro lugar, vale a pena trazer a função F (p) para uma forma mais simples, "tabular". Por exemplo, no caso em que F (p) é uma função racional fracionária do argumento p, ela é decomposta em frações elementares e as propriedades apropriadas da transformada de Laplace são usadas. Exemplo 1. Encontre o original para Vamos escrever a função F (p) na forma Usando o teorema do deslocamento e a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, obtemos o Exemplo 2. Encontre o original para a função 4 Vamos escrever F (p ) como Conseqüentemente 3.2. Uso do teorema da inversão e suas consequências Teorema 13 (inversão). Se a função ajuste) é uma função original com expoente de crescimento s0 e F (p) é sua imagem, então em qualquer ponto de continuidade da função f (t) a relação se mantém onde a integral é tomada ao longo de qualquer linha reta e é entendida no sentido do valor principal, ou seja, como Fórmula (1), é chamada de fórmula de inversão de transformada de Laplace, ou fórmula de Mellin. De fato, suponha, por exemplo, que f (t) é suave por partes em cada segmento finito (\ displaystyle F (s) = \ varphi), tão φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analítico sobre cada z k (\ displaystyle z_ (k)) e é igual a zero para z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), e F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dois pontos k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), então a transformação inversa existe e a transformação direta correspondente tem a abscissa de convergência absoluta.

Observação: estas são condições suficientes para a existência.

• Teorema de convolução

Artigo principal: Teorema de convolução

• Diferenciando e integrando o original

A imagem de Laplace da primeira derivada do original em relação ao argumento é o produto da imagem pelo argumento do último menos o original em zero à direita:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Teoremas de valor inicial e final (teoremas de limite):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) se todos os pólos da função s F (s) (\ displaystyle sF (s)) estão no meio plano esquerdo.

O teorema do valor finito é muito útil porque descreve o comportamento do original no infinito usando uma relação simples. Isso é, por exemplo, usado para analisar a estabilidade da trajetória de um sistema dinâmico.

• Outras propriedades

Linearidade:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Multiplicação por um número:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ left ((\ frac (s) (a)) \ right).)

Transformada de Laplace direta e inversa de algumas funções

Abaixo está uma tabela da transformada de Laplace para algumas funções.

№	Função	Domínio do tempo x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Domínio de frequência X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Região de convergência para sistemas causais
1	lag perfeito	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	impulso único	δ (t) (\ displaystyle \ delta (t) \)	1 (\ displaystyle 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ forall s \)
2	lag n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	calmo n (\ displaystyle n)-ésima ordem	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	calmo q (\ displaystyle q)-ésima ordem	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	função da unidade	H (t) (\ displaystyle H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	função de unidade de atraso	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Etapa de velocidade	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-ésima ordem com mudança de frequência	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	decadência exponencial	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
3	aproximação exponencial	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	seio	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	cosseno	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	seno hiperbólico	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	cosseno hiperbólico	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	decaindo exponencialmente seio	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
9	decaindo exponencialmente cosseno	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
10	raiz n (\ displaystyle n)-ésima ordem	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ left (1 + (\ frac (1) (n) ) \ direito))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	Logaritmo natural	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ left ((\ frac (t) (t_ (0))) \ right) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Função de Bessel primeiro tipo pedido n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2 ))) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	primeiro tipo pedido n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2 ))) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Função de Bessel segundo tipo ordem zero	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	função de Bessel modificada segundo tipo, ordem zero	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	função de erro	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Notas para a mesa: H (t) (\ displaystyle H (t) \); α (\ displaystyle \ alpha \), β (\ displaystyle \ beta \), τ (\ displaystyle \ tau \) e ω (\ displaystyle \ omega \) - Relacionamento com outras transformações Conexões fundamentais Transformada de Mellin A transformada de Mellin e a transformada de Mellin inversa estão relacionadas à transformada de Laplace de dois lados por uma simples mudança de variáveis. Se na transformação de Mellin G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displaystyle G (s) = (\ mathcal (M)) \ left \ (g (\ theta) \ right \) = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) por θ = e - x (\ displaystyle \ theta = e ^ (- x)), então obtemos uma transformação de Laplace de dois lados. Transformada Z Z (\ displaystyle Z)-transform é a transformada de Laplace de uma função de rede, produzida por variáveis ​​variáveis: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Transformada de borel A forma integral da transformada de Borel é idêntica à transformada de Laplace, há também uma transformada de Borel generalizada, com a ajuda da qual o uso da transformada de Laplace é estendido a uma classe mais ampla de funções. Bibliografia Van der Pol B., Bremer H. Cálculo operacional baseado na transformada de Laplace de dois lados. - M: Editora de literatura estrangeira, 1952. - 507 p. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Transformações integrais e cálculo operacional. - M .: Edição principal da literatura física e matemática da editora "Nauka", 1974. - 544 p. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Manual de cálculo operacional: fundamentos da teoria e tabelas de fórmulas. - M: Editora estatal de literatura técnica e teórica, 1951. - 256 p. Carslow H., Jaeger D. Métodos Operacionais em Matemática Aplicada. - M: Editora de literatura estrangeira, 1948. - 294 p. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Séries de Fourier e integrais. Teoria de campo. Funções analíticas e especiais. Laplace se transforma. - M: Nauka, 1964.-- 184 p. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Cálculo operacional. Estabilidade de movimento. - M: Nauka, 1964.-- 103 p. Mikusinsky Y. Cálculo do operador. - M: Editora de literatura estrangeira, 1956. - 367 p. Romanovsky P.I. Séries de Fourier. Teoria de campo. Funções analíticas e especiais. Laplace se transforma. - M: Nauka, 1980.-- 336 p.