ESQUEMAS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS DE MODELAGEM

ABORDAGENS BÁSICAS PARA A CONSTRUÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS

A informação inicial na construção de modelos matemáticos dos processos de funcionamento dos sistemas são os dados sobre a finalidade e as condições de operação do sistema investigado (projetado). S... Essas informações definem o objetivo principal da modelagem do sistema. S e permite formular requisitos para o modelo matemático desenvolvido M. Além disso, o nível de abstração depende da gama de questões para as quais o pesquisador de sistemas deseja obter uma resposta usando o modelo e, até certo ponto, determina a escolha de um esquema matemático.

Esquemas matemáticos. A introdução do conceito de esquema matemático permite-nos considerar a matemática não como um método de cálculo, mas como um método de pensamento, como um meio de formular conceitos, o que é mais importante na transição de uma descrição verbal de um sistema para uma representação formal do processo de seu funcionamento na forma de algum modelo matemático (analítico ou imitação). Ao utilizar um esquema matemático, em primeiro lugar, o pesquisador do sistema S deve se interessar pela questão da adequação do mapeamento na forma de esquemas específicos de processos reais no sistema em estudo, e não pela possibilidade de obter um resposta (resultado da solução) a uma questão de pesquisa específica. Por exemplo, a representação do processo de funcionamento de um sistema de computação de informação coletiva na forma de uma rede de esquemas de enfileiramento torna possível descrever bem os processos que ocorrem no sistema, mas com leis complexas de fluxos de entrada e fluxos de serviço, não permite obter resultados de forma explícita.

Esquema matemático pode ser definida como um elo na transição de uma descrição significativa para uma descrição formal do processo de funcionamento do sistema levando em consideração o impacto do ambiente externo, ou seja, existe uma cadeia "modelo descritivo - esquema matemático - matemático (analítico e / / ou imitação) modelo ".

Cada sistema específico S é caracterizado por um conjunto de propriedades, as quais são entendidas como valores que refletem o comportamento do objeto modelado (sistema real) e levam em consideração as condições de seu funcionamento em interação com o ambiente externo (sistema) E. Ao construir um modelo matemático do sistema, é necessário resolver o problema de sua completude. A integridade do modelo é principalmente regulada pela escolha do limite “sistema S - ambiente E» . Além disso, o problema de simplificação do modelo deve ser resolvido, o que ajuda a destacar as principais propriedades do sistema, descartando as secundárias. Além disso, a atribuição das propriedades do sistema ao principal ou secundário depende essencialmente do propósito de modelagem do sistema (por exemplo, a análise das características probabilístico-temporais do processo de funcionamento do sistema, a síntese do estrutura do sistema, etc.).

Modelo formal do objeto. O modelo do objeto de modelagem, ou seja, o sistema S, pode ser representado como um conjunto de quantidades que descrevem o processo de funcionamento de um sistema real e geralmente formam os seguintes subconjuntos: ações de entrada por sistema

;

agregar influências ambientais

;

agregar parâmetros internos, (próprios) sistemas

;

agregar características de saída sistemas

.

Além disso, nos subconjuntos listados, as variáveis ​​gerenciadas e não gerenciadas podem ser distinguidas. Em geral , , , são elementos de subconjuntos disjuntos e contêm componentes determinísticos e estocásticos.

Ao modelar o sistema S, as influências de entrada, os efeitos do ambiente externo E e os parâmetros internos do sistema são variáveis ​​independentes (exógenas), que na forma vetorial tem a forma ,,, e as características de saída do sistema são variáveis ​​dependentes (endógenas) e na forma vetorial tem a forma).

O processo de funcionamento do sistema S é descrito a tempo pelo operador F s , que no caso geral transforma variáveis ​​exógenas em endógenas de acordo com as relações da forma

. (1)

O conjunto de dependências das características de saída do sistema no tempo y j (t) para todos os tipos
chamado trajetória de saída
. Dependência (1) é chamada lei de funcionamento do sistemaS e denotado F s . No caso geral, a lei de funcionamento do sistema F s pode ser especificado na forma de uma função, condições funcionais e lógicas, em formas algorítmicas e tabulares, ou na forma de uma regra de correspondência verbal.

Muito importante para a descrição e estudo do sistema S é o conceito algoritmo de funcionamentoUMA s , que é entendido como o método de obtenção das características de saída levando em consideração as influências de entrada
, influências ambientais
e parâmetros próprios do sistema
. É óbvio que a mesma lei de funcionamento F s sistema S pode ser implementado de várias maneiras, ou seja, usando muitos algoritmos diferentes para o funcionamento UMA s .

Relações (1) são uma descrição matemática do comportamento do objeto (sistema) de modelagem no tempo t, ou seja, eles refletem suas propriedades dinâmicas. Portanto, os modelos matemáticos deste tipo são geralmente chamados modelos dinâmicos(sistemas).

Para modelos estáticos modelo matemático (1) é um mapeamento entre dois subconjuntos de propriedades de um objeto modelado Y e { X, V, H), que em forma vetorial pode ser escrito como

. (2)

As relações (1) e (2) podem ser especificadas de várias maneiras: analiticamente (usando fórmulas), graficamente, tabularmente, etc. Tais relações em alguns casos podem ser obtidas através das propriedades do sistema S em momentos específicos, chamados estados. O estado do sistema S é caracterizado por vetores

e
,

Onde
,
, …,
no momento
;
,
, …,
no momento
etc,
.

Se considerarmos o processo de funcionamento do sistema S como uma mudança sequencial de estados
, então eles podem ser interpretados como as coordenadas de um ponto em Para espaço de fase dimensional. Além disso, cada implementação do processo corresponderá a uma determinada trajetória de fase. A coleção de todos os valores possíveis de estados chamado espaço estadual objeto de modelagem Z, além disso
.

Os estados do sistema S no momento do tempo t 0 < t*T são completamente determinados pelas condições iniciais
[Onde
,
, …,
], influências de entrada
, próprios parâmetros do sistema
e influências ambientais
, que ocorreu durante um período de tempo t*- t 0 , com usando duas equações vetoriais

; (3)

. (4)

A primeira equação para o estado inicial e variáveis ​​exógenas
define uma função vetorial
, e a segunda de acordo com o valor obtido dos estados
- variáveis ​​endógenas na saída do sistema
. Assim, a cadeia de equações do objeto "entrada-estado-saída" permite determinar as características do sistema

. (5)

No caso geral, o tempo no modelo do sistema S pode ser considerado no intervalo de modelagem (0, T) contínuos e discretos, ou seja, quantizados em segmentos de comprimento
unidades de tempo cada quando
, Onde
- número de intervalos de amostragem.

Assim, sob modelo matemático do objeto(sistema real) compreender um subconjunto finito de variáveis ​​(
} junto com relações matemáticas entre eles e características
.

Se a descrição matemática do objeto de modelagem não contém elementos de aleatoriedade ou não são levados em consideração, isto é, se pode-se supor que neste caso os efeitos estocásticos do ambiente externo
e parâmetros internos estocásticos
estão ausentes, então o modelo é chamado determinista no sentido de que as características são exclusivamente determinadas por entradas determinísticas

. (6)

Obviamente, o modelo determinístico é um caso especial do modelo estocástico.

Esquemas típicos. As relações matemáticas fornecidas representam esquemas matemáticos gerais e permitem descrever uma ampla classe de sistemas. No entanto, na prática de modelagem de objetos no campo da engenharia de sistemas e análise de sistemas nos estágios iniciais da pesquisa de sistemas, é mais racional usar esquemas matemáticos típicos: equações diferenciais, autômatos finitos e probabilísticos, sistemas de filas, redes de Petri, etc.

Não possuindo um grau de generalidade como os modelos considerados, os esquemas matemáticos típicos têm as vantagens da simplicidade e clareza, mas com um estreitamento significativo das possibilidades de aplicação. Diferenciais, integrais, integro-diferenciais e outras equações são usadas para representar sistemas operando em tempo contínuo como modelos determinísticos, quando fatores aleatórios não são levados em consideração no estudo, e autômatos finitos e esquemas de diferenças finitas são usados ​​para representar sistemas operando em tempo discreto. ... Autômatos probabilísticos são usados ​​como modelos estocásticos (levando em consideração fatores aleatórios) para representar sistemas com tempo discreto, e sistemas de filas são usados ​​para representar sistemas com tempo contínuo, etc.

Os esquemas matemáticos típicos listados, é claro, não podem fingir ser capazes de descrever com base todos os processos que ocorrem em grandes sistemas de gerenciamento de informações. Para tais sistemas, em alguns casos, o uso de modelos agregados é mais promissor.

Os modelos agregados (sistemas) permitem descrever uma ampla gama de objetos de pesquisa com um reflexo da natureza sistêmica desses objetos. É com uma descrição agregada que um objeto complexo (sistema) é dividido em um número finito de partes (subsistemas), mantendo as conexões que garantem a interação das partes.

Assim, na construção de modelos matemáticos dos processos de funcionamento de sistemas, podem-se distinguir as seguintes abordagens principais: contínuo-determinístico (por exemplo, equações diferenciais); discreto-determinístico (autômatos finitos); estocástico discreto (autômatos probabilísticos); contínuo-estocástico (sistemas de filas); generalizado ou universal (sistemas agregados).

MODELOS DE DETERMINAÇÃO CONTÍNUA (CIRCUITOS D)

Vamos considerar as características da abordagem determinística contínua no exemplo do uso de equações diferenciais como modelos matemáticos. Equações diferenciais tais equações são chamadas nas quais as funções de uma ou várias variáveis ​​são desconhecidas, e a equação inclui não apenas funções, mas também suas derivadas de várias ordens. Se as incógnitas são funções de várias variáveis, então as equações são chamadas de equações diferenciais parciais; caso contrário, ao considerar funções de apenas uma variável independente, as equações são chamadas de equações diferenciais ordinárias.

Relacionamentos básicos. Normalmente, em tais modelos matemáticos, o tempo é usado como a variável independente da qual as funções procuradas desconhecidas dependem t. Então, a relação matemática para sistemas determinísticos (6) na forma geral será

, (7)

Onde
,
e
- NS vetores dimensionais;
- função vetorial, que é definida em alguns ( NS+1) -dimensional
definido e é contínuo.

Como os esquemas matemáticos desse tipo refletem a dinâmica do sistema em estudo, ou seja, seu comportamento no tempo, são chamados D-schemes(eng. dinâmico).

No caso mais simples, a equação diferencial ordinária tem a forma

. (8)

A aplicação mais importante para engenharia de sistemas D-scheme como um aparato matemático na teoria do controle automático. Para ilustrar as características da construção e aplicação dos circuitos D, consideremos o exemplo mais simples de formalização do processo de funcionamento de dois sistemas elementares de natureza física diferente: o mecânico S M (oscilações do pêndulo, Fig. 1, a) e S K elétrico (circuito oscilatório, Fig. 1, b).

Arroz. 1. Sistemas elementares

O processo de pequenas oscilações do pêndulo é descrito pela equação diferencial ordinária

Onde
- a massa e o comprimento da suspensão do pêndulo; g - aceleração de queda livre;
- o ângulo de deflexão do pêndulo no momento do tempo t.

A partir dessa equação de oscilação livre do pêndulo, podem ser encontradas estimativas das características de interesse. Por exemplo, o período de oscilação de um pêndulo

.

Da mesma forma, os processos no circuito oscilatório elétrico são descritos pela equação diferencial ordinária

Onde eu Para , COM Para - indutância e capacitância do capacitor; q(t) - carga do capacitor no momento t.

A partir dessa equação, você pode obter várias estimativas das características do processo no circuito oscilatório. Por exemplo, o período de oscilações elétricas

.

Obviamente, a introdução da notação
,
, ,
, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que descreve o comportamento deste sistema de malha fechada:

Onde
- parâmetros do sistema; z(t) - estado do sistema no momento t.

Assim, o comportamento desses dois objetos pode ser investigado com base em um modelo matemático geral (9). Além disso, deve-se observar que o comportamento de um dos sistemas pode ser analisado com o outro. Por exemplo, o comportamento de um pêndulo (sistema S M) pode ser estudado usando um circuito oscilatório elétrico (sistema S K).

Se o sistema em estudo S, ou seja, um pêndulo ou contorno, interage com o ambiente externo E, então uma ação de entrada aparece NS (t) (força externa para o pêndulo e a fonte de energia para o circuito) e o modelo contínuo-determinístico de tal sistema terá a forma

Do ponto de vista do esquema geral do modelo matemático NS (t) é a ação de entrada (controle), e o estado do sistema S, neste caso, pode ser considerado como uma característica de saída, ou seja, assumir que a variável de saída coincide com o estado do sistema em um determinado momento y =z.

Aplicações possíveis. Ao resolver problemas de engenharia de sistemas, os problemas de gerenciamento de grandes sistemas são de grande importância. Preste atenção aos sistemas controle automático- um caso especial de sistemas dinâmicos descritos D-schemes e destacado em uma classe separada de modelos devido às suas especificidades práticas.

Ao descrever processos de controle automático, eles geralmente aderem à apresentação de um objeto real na forma de dois sistemas: controle e controlado (objeto de controle). A estrutura de um sistema de controle automático multidimensional geral é mostrada na Fig. 2, onde são designados variáveis ​​endógenas:
- vetor de influências de entrada (mestre);
- vetor de influências perturbadoras;
- vetor de sinais de erro;
- vetor de ações de controle; variáveis ​​exógenas:
- o vetor de estados do sistema S;
é um vetor de variáveis ​​de saída, geralmente
=
.

Arroz. 2. A estrutura do sistema de controle automático

Um sistema de controle moderno é um conjunto de ferramentas de software e hardware que garantem o cumprimento de uma meta específica pelo objeto de controle. A precisão com que o objeto de controle atinge um determinado objetivo pode ser avaliada para um sistema unidimensional pela coordenada de estado no (t). A diferença entre o dado no traseiro (t) e válido no (t) a lei da mudança da variável controlada é um erro de controle . Se a lei de mudança prescrita da quantidade controlada corresponder à lei de mudança da ação de entrada (mestre), ou seja,
, então
.

Sistemas para os quais erros de controle
em todos os momentos são chamados de ideais. Na prática, a implementação de sistemas ideais é impossível. Então o erro h"(t) - um elemento necessário de controle automático baseado no princípio de feedback negativo, uma vez que para trazer a variável de saída em conformidade y(t) seu valor especificado usa informações sobre o desvio entre eles. A tarefa do sistema de controle automático é alterar a variável y(t) de acordo com uma dada lei com uma certa precisão (com um erro aceitável). Ao projetar e operar sistemas de controle automático, é necessário selecionar os seguintes parâmetros do sistema S, que forneceria a precisão de controle necessária, bem como a estabilidade do sistema no processo transiente.

Se o sistema for estável, então o comportamento do sistema no tempo é de interesse prático, o desvio máximo da variável controlada é no (t) no processo transiente, o tempo do processo transiente, etc. As conclusões sobre as propriedades dos sistemas de controle automático de várias classes podem ser feitas na forma de equações diferenciais que descrevem aproximadamente os processos nos sistemas. A ordem da equação diferencial e os valores de seus coeficientes são completamente determinados pelos parâmetros estáticos e dinâmicos do sistema. S.

Então usando D-scheme permite formalizar o processo de funcionamento de sistemas continuamente determinísticos S e avaliar as suas características principais através de uma abordagem analítica ou de simulação, implementada sob a forma de uma linguagem apropriada para modelagem de sistemas contínuos ou utilizando recursos de computação analógica e híbrida.

A classificação em qualquer área de especialização é essencial. Permite generalizar a experiência acumulada, para agilizar os conceitos da área temática. O rápido desenvolvimento dos métodos de modelagem matemática e a variedade de áreas de sua aplicação levaram ao surgimento de um grande número de modelos de vários tipos e à necessidade de classificar os modelos nas categorias que são universais para todos os modelos ou necessárias no campo do modelo construído, por exemplo. Vamos dar um exemplo de algumas categorias: área de uso; levando em consideração o fator tempo (dinâmica) no modelo; ramo do conhecimento; a forma como os modelos são apresentados; a presença ou ausência de fatores aleatórios (ou incertos); tipo de critério de eficiência e restrições impostas, etc.

Analisando a literatura matemática, identificamos os sinais mais comuns de classificações:

1. De acordo com o método de implementação (incluindo a linguagem formal), todos os modelos matemáticos podem ser divididos em analítico e algorítmico.

Analítico - Modelos que usam uma linguagem matemática padrão. Simulação - modelos nos quais uma linguagem de modelagem especial ou uma linguagem de programação universal é usada.

Os modelos analíticos podem ser escritos na forma de expressões analíticas, ou seja, na forma de expressões contendo um número contável de operações aritméticas e transições até o limite, por exemplo :. Uma expressão algébrica é um caso especial de uma expressão analítica; ela fornece um significado exato como resultado. Existem também construções que permitem encontrar o valor resultante com uma determinada precisão (por exemplo, a expansão de uma função elementar em uma série de potências). Os modelos que usam essa técnica são chamados de aproximados.

Por sua vez, os modelos analíticos são divididos em teórico e empírico modelos. Os modelos teóricos refletem estruturas e processos reais nos objetos em estudo, ou seja, são baseados na teoria de seu trabalho. Os modelos empíricos são construídos com base no estudo das reações de um objeto às mudanças nas condições ambientais. Neste caso, a teoria do funcionamento do objeto não é considerada, o próprio objeto é uma chamada "caixa preta", e o modelo é uma certa dependência de interpolação. Modelos empíricos podem ser construídos a partir de dados experimentais. Esses dados são obtidos diretamente nos objetos em estudo ou com o auxílio de seus modelos físicos.

Se um processo não pode ser descrito na forma de um modelo analítico, ele é descrito usando um algoritmo ou programa especial. Este modelo é algorítmico. Ao construir modelos algorítmicos, abordagens numéricas ou de simulação são usadas. Na abordagem numérica, o conjunto de relações matemáticas é substituído por um análogo de dimensão finita (por exemplo, a transição de uma função de um argumento contínuo para uma função de um argumento discreto). Em seguida, um algoritmo computacional é construído, ou seja, sequências de operações aritméticas e lógicas. A solução encontrada para o análogo discreto é considerada uma solução aproximada para o problema original. Na abordagem de simulação, o próprio objeto de modelagem é discretizado e modelos de elementos individuais do sistema são construídos.

2. De acordo com a forma de apresentação dos modelos matemáticos, existem:

1) Um modelo invariante é um modelo matemático que é representado por um sistema de equações (diferencial, algébrico) sem levar em consideração os métodos de resolução dessas equações.

2) Modelo algébrico - o rácio dos modelos está associado ao método de solução numérica escolhido e escrito na forma de um algoritmo (sequência de cálculos).

3) Modelo analítico - é uma dependência explícita das variáveis ​​desejadas dos valores dados. Tais modelos são obtidos com base em leis físicas ou como resultado da integração direta das equações diferenciais originais usando integrais tabulares. Eles também incluem modelos de regressão obtidos com base em resultados experimentais.

4) O modelo gráfico é apresentado na forma de gráficos, circuitos equivalentes, diagramas e semelhantes. Para usar modelos gráficos, deve haver uma regra de correspondência inequívoca das imagens condicionais dos elementos do gráfico e dos componentes do modelo matemático invariável.

3. Dependendo do tipo de critério de eficiência e restrições impostas, os modelos são subdivididos em linear e não linear. Em modelos lineares, o critério de eficiência e as restrições impostas são funções lineares das variáveis ​​do modelo (caso contrário, modelos não lineares). O pressuposto sobre a dependência linear do critério de eficiência e o conjunto de restrições impostas às variáveis ​​do modelo é bastante aceitável na prática. Isso torna possível usar um aparelho de programação linear bem desenvolvido para a tomada de decisões.

4. Levando em consideração o fator tempo e área de uso, eles distinguem modelos estáticos e dinâmicos... Se todas as quantidades incluídas no modelo não dependem do tempo, então temos um modelo estático de um objeto ou processo (uma fatia única de informação sobre um objeto). Aqueles. um modelo estático é um modelo em que o tempo não é uma variável. Um modelo dinâmico permite que você veja as mudanças em um objeto ao longo do tempo.

5. Dependendo do número de partes que tomam uma decisão, existem dois tipos de modelos matemáticos: descritivo e normativo... Não há tomadores de decisão no modelo descritivo. Formalmente, o número de tais lados no modelo descritivo é zero. Um exemplo típico de tais modelos é o modelo do sistema de filas. Teoria da confiabilidade, teoria dos gráficos, teoria da probabilidade, método de teste estatístico (método de Monte Carlo) também podem ser usados ​​para construir modelos descritivos.

Existem muitos aspectos do modelo normativo. Em princípio, dois tipos de modelos normativos podem ser distinguidos: modelos de otimização e modelos teóricos dos jogos. Em modelos de otimização, a principal tarefa de desenvolver soluções é tecnicamente reduzida à estrita maximização ou minimização do critério de eficiência, ou seja, tais valores das variáveis ​​controladas são determinados nos quais o critério de eficiência atinge um valor extremo (máximo ou mínimo).

Para desenvolver soluções apresentadas por modelos de otimização, juntamente com métodos variacionais clássicos e novos (busca extrema), os métodos de programação matemática (linear, não linear, dinâmico) são os mais amplamente utilizados. O modelo teórico dos jogos é caracterizado por uma multiplicidade do número de lados (pelo menos dois). Se houver dois partidos com interesses opostos, então a teoria dos jogos é usada, se o número de partidos for maior que dois e as coalizões e compromissos são impossíveis entre eles, então a teoria dos jogos de não coalizão é usada n pessoas.

6. Dependendo da presença ou ausência de fatores aleatórios (ou incertos), existem determinístico e estocástico modelos matemáticos. Em modelos determinísticos, todos os relacionamentos, variáveis ​​e constantes são especificados com precisão, o que leva a uma definição inequívoca da função resultante. Um modelo determinístico é construído nos casos em que os fatores que influenciam o resultado da operação se prestam a uma medição ou avaliação suficientemente precisa e os fatores aleatórios estão ausentes ou podem ser negligenciados.

Se alguns ou todos os parâmetros incluídos no modelo são por sua natureza variáveis ​​aleatórias ou funções aleatórias, então o modelo pertence à classe dos modelos estocásticos. Nos modelos estocásticos, as leis de distribuição das variáveis ​​aleatórias são definidas, o que leva a uma estimativa probabilística da função resultante e a realidade é exibida como um certo processo aleatório, cujo curso e resultado são descritos por certas características das variáveis ​​aleatórias: expectativas matemáticas , variações, funções de distribuição, etc. A construção de tal modelo é possível se houver material factual suficiente para avaliar as distribuições de probabilidade necessárias ou se a teoria do fenômeno em consideração permitir determinar essas distribuições teoricamente (com base nas fórmulas da teoria da probabilidade, teoremas de limite, etc. .).

7. Dependendo dos objetivos da modelagem, existem descritivo, otimização e gestão modelos. Em modelos descritivos (do latim descriptio - descrição), as leis de mudança dos parâmetros do modelo são investigadas. Por exemplo, um modelo de movimento de um ponto material sob a influência de forças aplicadas com base na segunda lei de Newton :. Ao especificar a posição e a aceleração de um ponto em um determinado momento (parâmetros de entrada), a massa (parâmetro intrínseco) e a lei de variação das forças aplicadas (influências externas), é possível determinar as coordenadas do ponto e a velocidade a qualquer tempo (saída).

Modelos de otimização são usados ​​para determinar o melhor (ótimo), com base em um determinado critério, os parâmetros do objeto simulado ou métodos de controle desse objeto. Os modelos de otimização são construídos usando um ou mais modelos descritivos e têm vários critérios para determinar a otimização. Restrições na forma de igualdades ou desigualdades relacionadas às características do objeto ou processo em consideração podem ser impostas à faixa de valores dos parâmetros de entrada. Um exemplo de modelo de otimização é a compilação de uma ração alimentar em uma determinada dieta (o conteúdo calórico de um produto, valores de preço do custo, etc., atuam como dados de entrada).

Os modelos de gestão são usados ​​para tomar decisões em várias áreas da atividade humana proposital, quando várias alternativas são selecionadas de todo o conjunto de alternativas e o processo geral de tomada de decisão é uma sequência dessas alternativas. Por exemplo, a escolha de um relatório para promoção de vários elaborado por alunos. A complexidade do problema reside tanto na incerteza sobre os dados de entrada (um relatório foi preparado independentemente ou o trabalho de outra pessoa foi usado) e objetivos (a natureza científica do trabalho e sua estrutura, o nível de apresentação e o nível de treinamento de o aluno, os resultados da experiência e as conclusões obtidas). Uma vez que a otimalidade da decisão tomada na mesma situação pode ser interpretada de diferentes maneiras, a forma do critério de otimalidade nos modelos de gestão não é fixada de antemão. Métodos para a formação de critérios de otimalidade dependendo do tipo de incerteza são considerados na teoria da escolha e tomada de decisão, com base na teoria dos jogos e pesquisa operacional.

8. Distinguir pelo método de pesquisa analítico, numérico e simulação modelos. Um modelo analítico é uma descrição formalizada de um sistema que permite obter uma solução explícita para uma equação usando um aparato matemático bem conhecido. O modelo numérico é caracterizado por uma dependência que permite apenas soluções numéricas parciais para condições iniciais e parâmetros quantitativos específicos do modelo. Um modelo de simulação é um conjunto de descrições do sistema e influências externas, algoritmos para o funcionamento do sistema ou as regras para alterar o estado do sistema sob a influência de perturbações externas e internas. Esses algoritmos e regras não permitem utilizar os métodos matemáticos de solução analítica e numérica disponíveis, mas permitem simular o processo de funcionamento do sistema e fixar as características de interesse. Além disso, alguns modelos analíticos e de simulação serão considerados mais detalhadamente, o estudo desses tipos de modelos está associado às especificidades da atividade profissional dos alunos na direção de formação indicada.

1.4. Representação gráfica de modelos matemáticos

Na matemática, as formas de conexão entre as quantidades podem ser representadas por equações na forma de uma variável independente (argumento), y- variável dependente (função). Na teoria da modelagem matemática, a variável independente é chamada de fator e a variável dependente é chamada de resposta. Além disso, dependendo da área de construção de um modelo matemático, a terminologia é um pouco modificada. Alguns exemplos de definições de fator e resposta, dependendo da área de estudo, são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1. Algumas definições dos conceitos "fator" e "resposta"

Apresentando um modelo matemático graficamente, consideraremos fatores e respostas como variáveis, cujos valores pertencem ao conjunto dos números reais.

Representação gráfica do modelo matemáticoé alguma superfície de resposta correspondente ao arranjo de pontos em k- espaço fator dimensional NS... Apenas superfícies de resposta unidimensionais e bidimensionais podem ser visualizadas. No primeiro caso, este é um conjunto de pontos em um plano real, e no segundo, um conjunto de pontos que formam uma superfície no espaço (para representar tais pontos, é conveniente usar linhas niveladas - uma forma de representar o relevo de superfície de um espaço construído em um espaço fatorial bidimensional NS(Fig. 8).

A área em que a superfície de resposta é definida é chamada domínio da definição X *. Esta área é, via de regra, apenas uma parte do espaço total do fator. NS(NS *Ì NS) e é alocado usando restrições impostas às variáveis ​​de controle XI escrito como igualdades:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, eu

ou desigualdades:

XI min £ XI£ XI max, eu= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Neste caso, as funções f j(x) pode depender simultaneamente de todas as variáveis ​​e de alguma parte delas.

As restrições do tipo de desigualdade caracterizam as restrições físicas nos processos do objeto em estudo (por exemplo, restrições de temperatura) ou as restrições técnicas associadas às condições operacionais da instalação (por exemplo, velocidade máxima de corte, limitações nas reservas de matérias-primas )

As possibilidades de estudar modelos dependem essencialmente das propriedades (relevo) da superfície de resposta, em particular, do número de “vértices” disponíveis nela e do seu contraste. O número de picos (vales) determina modalidade superfícies de resposta. Se no domínio de definição da superfície de resposta houver um vértice (vale), o modelo é denominado unimodal.

A natureza da mudança de função neste caso pode ser diferente (Fig. 9).

O modelo pode ter pontos de quebra do primeiro tipo (Fig. 9 (a)), pontos de quebra do segundo tipo (Fig. 9 (b)). A Figura 9 (c) mostra um modelo unimodal continuamente diferenciável.

Para todos os três casos apresentados na Figura 9, o requisito geral de unimodalidade é atendido:

se W (x *) é um extremo de W, então da condição x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) segue W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), se o extremo for mínimo, ou seja, à medida que a distância do ponto extremo aumenta, o valor da função W (x) diminui (aumenta) continuamente.

Junto com os modelos unimodais, os modelos polimodais são considerados (Fig. 10).

Outra propriedade importante da superfície de resposta é seu contraste, que mostra a sensibilidade da função resultante a mudanças nos fatores. O contraste é caracterizado pelos valores das derivadas. Vamos demonstrar as características de contraste usando o exemplo de uma superfície de resposta bidimensional (Fig. 11).

Apontar uma localizado em uma "inclinação" caracterizando contraste igual para todas as variáveis XI (eu= 1,2), ponto b está localizado em uma "ravina" em que diferentes contrastes para diferentes variáveis ​​(temos uma condicionalidade pobre da função), ponto com está localizado em um "platô" onde o contraste é baixo para todas as variáveis XI indica a proximidade do extremo.

1,5. Métodos básicos para construir modelos matemáticos

Deixe-nos dar a classificação dos métodos de representação formalizada de sistemas modelados Volkova V.N. e Denisova AA.Os autores destacam métodos analíticos, estatísticos, teóricos de conjuntos, linguísticos, lógicos e gráficos. A terminologia básica, exemplos de teorias que se desenvolvem com base nas classes de métodos descritas, bem como o escopo e as possibilidades de sua aplicação são propostos no Apêndice 1.

Na prática de sistemas de modelagem, os métodos analíticos e estatísticos são os mais amplamente usados.

1) Métodos analíticos de construção de modelos matemáticos.

O aparato terminológico dos métodos analíticos de construção de modelos matemáticos baseia-se nos conceitos da matemática clássica (fórmula, função, equação e sistema de equações, desigualdade, derivada, integral, etc.). Esses métodos são caracterizados pela clareza e validade da terminologia que usa a linguagem da matemática clássica.

Com base em conceitos analíticos, teorias matemáticas como a análise matemática clássica (por exemplo, métodos para estudar funções) e fundamentos modernos de programação matemática e teoria dos jogos surgiram e se desenvolveram. Além disso, a programação matemática (linear, não linear, dinâmica, inteira, etc.) contém meios de definir um problema e expande as possibilidades de provar a adequação de um modelo, em contraste com uma série de outras áreas da matemática. Idéias de programação matemática ótima para resolver problemas econômicos (em particular, resolver o problema de corte ideal de uma folha de madeira compensada) foram propostas por L.V. Kantorovich.

Vamos explicar as características do método usando um exemplo.

Exemplo. Suponha que para a produção de dois tipos de produtos UMA e V você precisa usar três tipos de matérias-primas. Ao mesmo tempo, para a fabricação de uma unidade de produção do tipo UMA 4 unidades são consumidas. matérias-primas do primeiro tipo, 2 unidades. 2ª e 3ª unidades 3º tipo. Para a fabricação de uma unidade de produção do tipo V 2 unidades são consumidas. matérias-primas do 1º tipo, 5 unidades. 2º tipo e 4 unidades. 3º tipo de matéria prima. São 35 unidades no armazém da fábrica. matérias-primas do 1.º tipo, 43 - do 2.º, 40 - do 3.º tipo. Da venda de uma unidade de produção do tipo UMA a fábrica tem um lucro de 5 mil rublos, e com a venda de uma unidade de produção da forma V o lucro é de 9 mil rublos. É necessário traçar um modelo matemático do problema, que proporcione lucro máximo.

Os índices de consumo de cada tipo de matéria-prima para a fabricação de uma unidade desse tipo de produto são apresentados na tabela. Indica também o lucro com a venda de cada tipo de produto e a quantidade total de matérias-primas desse tipo que podem ser utilizadas pela empresa.

Vamos denotar por x 1 e x 2 volume de produtos fabricados UMA e V respectivamente. O custo do material de primeira classe para o plano será 4x 1 + 2x 2, e não devem exceder os estoques, ou seja, 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

As restrições ao material do segundo grau são semelhantes:

2x 1 + 5x 2 43,

e no material da terceira série

3x 1 + 4x 2 40.

Lucro de vendas x 1 unidades de produção A e x 2 unidades de produção B serão z = 5x 1+ 9x 2(função objetiva).

Temos o modelo do problema:

Uma solução gráfica para o problema é mostrada na Figura 11.

Ideal (melhor, ou seja, o máximo da função z) a solução para o problema está no ponto A (a solução é explicada no Capítulo 5).

Percebido x 1=4,x 2= 7, valor da função z no ponto A :.

Assim, o valor do lucro máximo é de 83 mil rublos.

Além do gráfico, também existem vários métodos especiais para resolver o problema (por exemplo, o método simplex) ou são usados ​​pacotes de software aplicados que os implementam. Dependendo do tipo da função objetivo, programação linear e não linear são diferenciadas, dependendo da natureza das variáveis, programação inteira é diferenciada.

As características gerais da programação matemática podem ser distinguidas:

1) a introdução do conceito de função objetivo e restrições são meios de definir o problema;

2) é possível combinar critérios dissimilares em um modelo (dimensões diferentes, no exemplo - estoques de matéria-prima e lucro);

3) o modelo de programação matemática permite ir até o limite da faixa de valores admissíveis das variáveis;

4) a possibilidade de implementação de um algoritmo passo a passo para obtenção dos resultados (aproximação passo a passo da solução ótima);

5) clareza, alcançada por meio da interpretação geométrica do problema, que auxilia nos casos em que é impossível resolver o problema formalmente.

2) Métodos estatísticos de construção de modelos matemáticos.

Os métodos estatísticos para a construção de modelos matemáticos se espalharam e começaram a ser amplamente usados ​​com o desenvolvimento da teoria da probabilidade no século XIX. Eles são baseados nas leis probabilísticas de eventos aleatórios (estocásticos), refletindo fenômenos reais. O termo “estocástico” é um esclarecimento do conceito de “aleatório”, indica razões predeterminadas e definidas que afetam o processo, e o conceito de “aleatório” é caracterizado pela independência do impacto ou ausência de tais razões.

Os padrões estatísticos são apresentados na forma de variáveis ​​aleatórias discretas e padrões de aparência de seus valores ou na forma de dependências contínuas da distribuição de eventos (processos). Os fundamentos teóricos da construção de modelos estocásticos são descritos em detalhes no Capítulo 2.

Perguntas de controle

1. Formule o principal problema de modelagem matemática.

2. Dê a definição de um modelo matemático.

3. Liste as principais desvantagens da abordagem experimental no estudo.

4. Liste as principais etapas da construção de um modelo.

5. Liste os tipos de modelos matemáticos.

6. Dê uma breve descrição dos tipos de modelos.

7. Qual a forma do modelo matemático quando apresentado geometricamente?

8. Como são especificados os modelos matemáticos de tipo analítico?

Tarefas

1. Faça um modelo matemático para resolver o problema e classifique o modelo:

1) Determine a capacidade máxima de um balde cilíndrico, cuja superfície (sem tampa) é S.

2) A empresa garante uma produção regular com um fornecimento sem problemas de componentes de dois subcontratados. Probabilidade de recusa na entrega do primeiro dos subcontratados -, do segundo -. Descubra a probabilidade de uma falha corporativa.

2. O modelo de Malthus (1798) descreve a reprodução de uma população em uma taxa proporcional ao seu tamanho. Na forma discreta, esta lei é uma progressão geométrica :; ou. A lei, escrita na forma de uma equação diferencial, é um modelo de crescimento exponencial da população e descreve bem o crescimento das populações de células na ausência de qualquer limitação :. Defina as condições iniciais e demonstre como o modelo funciona.

As informações iniciais na construção do MM dos processos de funcionamento dos sistemas são dados sobre a finalidade e as condições de operação do sistema investigado (projetado) S. Essas informações determinam o objetivo principal da modelagem, os requisitos para o MM, o nível de abstração , e a escolha de um esquema de modelagem matemática.

Conceito esquema matemático nos permite considerar a matemática não como um método de cálculo, mas como um método de pensamento, um meio de formular conceitos, que é mais importante na transição de uma descrição verbal para uma representação formalizada do processo de seu funcionamento na forma de algum MM.

Ao usar o tapete. esquema, em primeiro lugar, o pesquisador do sistema deve estar interessado na questão da adequação da exibição na forma de esquemas específicos de processos reais no sistema em estudo, e não na possibilidade de obter uma resposta (resultado da solução) a uma questão de pesquisa específica.

Por exemplo, a representação do processo de funcionamento de um ICS de uso coletivo na forma de uma rede de esquemas de filas torna possível descrever bem os processos que ocorrem no sistema, mas com leis complexas de fluxos de entrada e fluxos de serviço, não permite obter resultados de forma explícita.

Esquema matemático pode ser definida como um elo na transição de uma descrição significativa para uma descrição formalizada do processo de funcionamento do sistema, levando em consideração o impacto do ambiente externo. Aqueles. há uma cadeia: um modelo descritivo - um esquema matemático - um modelo de simulação.

Cada sistema S específico é caracterizado por um conjunto de propriedades, que são entendidas como valores que refletem o comportamento do objeto modelado (sistema real) e as condições de seu funcionamento em interação com o ambiente externo (sistema) E.

Ao construir o MM do sistema S, é necessário resolver a questão de sua completude. A completude da modelagem é regulada principalmente pela escolha dos limites "Sistema S - ambiente E". Além disso, o problema de simplificar o MM deve ser resolvido, o que ajuda a destacar as principais propriedades do sistema, descartando os objetivos secundários da modelagem.

MM do objeto de simulação, ou seja, do sistema S pode ser representado como um conjunto de quantidades que descrevem o processo de funcionamento de um sistema real e, no caso geral, formando os seguintes subconjuntos:

Um conjunto de X - influências de entrada em Sх i Х, i = 1… n x;

A totalidade do ambiente externo influencia v l V, l = 1… n v;

O conjunto de parâmetros internos (intrínsecos) do sistema h k H, k = 1… n h;

O conjunto de características de saída do sistema y j Y, j = 1… n y.

Nos conjuntos listados, quantidades controladas e não controladas podem ser distinguidas. Em geral, X, V, H, Y são conjuntos disjuntos contendo componentes determinísticas e estocásticas. As ações de entrada E e os parâmetros internos S são variáveis ​​independentes (exógenas).Características de saída - variáveis ​​dependentes (endógenas)... O processo de operação S é descrito pelo operador F S:

(1)

Trajetória de saída F S - a lei de funcionamento S.F S pode ser uma função, funcional, condições lógicas, algoritmo, tabela ou descrição verbal de regras.

Algoritmo de funcionamento A S - um método para obter características de saída levando em consideração as influências de entrada Obviamente, o mesmo FS pode ser implementado de maneiras diferentes, ou seja, usando muitos A S. diferentes

A relação (1) é uma descrição matemática do comportamento da modelagem do objeto S no tempo t, ou seja, reflete isso propriedades dinâmicas... (1) é um modelo dinâmico do sistema S. Para condições estáticas MM, existem mapeamentos X, V, H em Y, ou seja, (2)

Relacionamentos (1), (2) podem ser especificados por fórmulas, tabelas, etc.

Além disso, os relacionamentos em alguns casos podem ser obtidos por meio das propriedades do sistema em pontos específicos no tempo, chamados de estados.

Os estados do sistema S são caracterizados por vetores:

e , Onde no momento t l  (t 0, T)

no momento t ll  (t 0, T), etc. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) são as coordenadas de um ponto no espaço de fase k-dimensional. Cada implementação do processo corresponderá a uma certa trajetória de fase.

O conjunto de todos os valores possíveis de estados () é chamado de espaço de estados do objeto de modelagem Z, ez k ​​Z.

Estado do sistema S no intervalo de tempo t 0 , onde a entrada, os parâmetros internos e os efeitos do ambiente externo, que ocorreram durante o intervalo de tempo t * - t 0 usando 2 equações vetoriais:

; (3)

de outra forma: . (5)

Tempo em mod. S pode ser considerado no intervalo de simulação (t 0, T) tanto contínuo quanto discreto, ou seja, quantizado em um segmento de comprimento t.

Assim, sob o MM de um objeto, entendemos um conjunto finito de variáveis ​​() junto com conexões matemáticas entre elas e características.

A modelagem é chamada de determinística se os operadores F, Ф são determinísticos, ou seja, para uma entrada específica, a saída é determinística. A modelagem determinística é um caso especial de modelagem estocástica. Na prática, modelar objetos no campo da análise de sistema nos estágios primários de pesquisa é mais racional usar esquemas matemáticos padrão: diff. equações, autômatos finitos e probabilísticos, QS, etc.

Não possuído. tal grau de generalidade como modelos (3), (4), típico esquemas matemáticos têm a vantagem de simplicidade e clareza, mas com um estreitamento significativo do escopo de aplicação.

Como determinista modelos, quando um fato aleatório não é levado em consideração no estudo, as equações diferenciais, integrais e outras são usadas para representar sistemas operando em tempo contínuo, e autômatos finitos e esquemas de diferenças finitas são usados ​​para representar sistemas operando em tempo discreto.

No início dos modelos estocásticos (levando em consideração um fator aleatório), autômatos probabilísticos são usados ​​para representar sistemas com tempo discreto e sistemas de filas (QS) são usados ​​para representar sistemas com tempo contínuo. O assim chamado agregar modelos.

Os modelos agregados (sistemas) permitem descrever uma ampla gama de objetos de pesquisa com um reflexo da natureza sistêmica desses objetos. É com uma descrição agregada que um objeto complexo é dividido em um número finito de partes (subsistemas), mantendo as conexões, garantindo a interação das partes.

16 Esquemas matemáticos para modelagem de sistemas.

As principais abordagens para a construção de modelos matemáticos do sistema. Modelos continuamente determinísticos. Modelos discretos-determinísticos. Modelos estocásticos discretos. Modelos estocásticos contínuos. Modelos de rede. Modelos combinados.

As principais abordagens para a construção de modelos matemáticos do sistema.

A informação inicial na construção de modelos matemáticos dos processos de funcionamento dos sistemas são os dados sobre a finalidade e as condições de operação do sistema investigado (projetado). S.

Esquemas matemáticos

Os processos reais são exibidos na forma de diagramas específicos. Esteira. esquemas - a transição de uma descrição significativa para uma descrição formal do sistema, levando em consideração o impacto do meio ambiente.

Modelo de Objeto Formal

Modelo do objeto de simulação,

ou seja, sistemas S, pode ser representado como um conjunto de quantidades,

descrevendo o processo de funcionamento de um sistema real e gerando

em geral, os seguintes subconjuntos:

Agregar ações de entrada por sistema

NSeu, ex, (e-caractere pertence)eu=1; nx

Agregar influências ambientais

vl eVl = 1; nv

Agregar parâmetros internos (próprios) sistemas

hkeHk = 1; nh

Agregar características de saída sistemas

yJeYj = 1; ny

Você pode distinguir entre variáveis ​​gerenciadas e não gerenciadas.

Ao modelar sistemas, as influências de entrada, as influências ambientais e os parâmetros internos contêm componentes determinísticos e estocásticos.

influências de entrada, influências ambientais E e os parâmetros internos do sistema são variáveis ​​independentes (exógenas).

Processo de operação do sistema S descrito a tempo pelo operador Fs, que no caso geral transforma variáveis ​​exógenas em endógenas de acordo com as relações da forma:

y(t) = Fs (x, v, h, t) - todos com vektori.

A lei de funcionamento do sistema Fs pode ser especificada na forma de uma função, condições funcionais, lógicas, em formas algorítmicas e tabulares, ou na forma de uma regra de correspondência verbal.

O conceito do algoritmo de funcionamento como - um método para obter características de saída levando em consideração as ações de entrada, os efeitos do ambiente externo e os parâmetros intrínsecos do sistema.

Os estados do sistema também são introduzidos - as propriedades do sistema em momentos específicos.

A totalidade de todos os valores possíveis de estados constitui o espaço de estados de um objeto.

Assim, a cadeia de equações do objeto "entrada - estados - saída" permite determinar as características do sistema:

Assim, sob modelo matemático do objeto(sistema real) compreende um subconjunto finito de variáveis (x (t), v (t), h(t)) junto com relações matemáticas entre eles e características y (t).

Esquemas típicos

Nos estágios iniciais do estudo, esquemas padrão são usados. : equações diferenciais, autômatos finitos e probabilísticos, sistemas de filas, redes de Petri, etc.

Diferenciais, integrais, integro-diferenciais e outras equações são usadas para representar sistemas operando em tempo contínuo como modelos determinísticos, quando fatores aleatórios não são levados em consideração no estudo, e autômatos finitos e esquemas de diferenças finitas são usados ​​para representar sistemas operando em tempo discreto. ...

Autômatos probabilísticos são usados ​​como modelos estocásticos (levando em consideração fatores aleatórios) para representar sistemas com tempo discreto, e sistemas de filas são usados ​​para representar sistemas com tempo contínuo, etc.

Assim, na construção de modelos matemáticos dos processos de funcionamento de sistemas, podem-se distinguir as seguintes abordagens principais: contínuo-determinístico (por exemplo, equações diferenciais); discreto-determinístico (autômatos finitos); estocástico discreto (autômatos probabilísticos); contínuo-estocástico (sistemas de filas); generalizado ou universal (sistemas agregados).

Modelos continuamente determinísticos

Vamos considerar as características da abordagem continuamente determinística usando um exemplo, usando Mat. modelos equações diferenciais.

Equações diferenciais são aquelas em que as funções de uma ou várias variáveis ​​são desconhecidas, e a equação inclui não apenas suas funções, mas também suas derivadas de várias ordens.

Se as incógnitas são funções de várias variáveis, então as equações são chamadas - equações diferenciais parciais. Se funções desconhecidas de uma variável independente, então Equações diferenciais ordinárias.

Relação matemática geral para sistemas determinísticos:

Modelos discretos-determinísticos.

DDM estão sujeitos a revisão teoria dos autômatos (TA)... TA é uma seção de cibernética teórica que estuda dispositivos que processam informações discretas e mudam seus estados internos apenas em momentos aceitáveis.

Máquina de estado é chamado de autômato, no qual o conjunto de estados internos e sinais de entrada (e, conseqüentemente, o conjunto de sinais de saída) são conjuntos finitos.

Máquina de estados finitos tem muitos estados internos e sinais de entrada, que são conjuntos finitos. Máquina dado pelo esquema F: F = ,

onde z, x, y são, respectivamente, conjuntos finitos de sinais de entrada e saída (alfabetos) e um conjunto finito de estados internos (alfabeto). z0ÎZ - estado inicial; j (z, x) - função de transição; y (z, x) - função de saída.

O autômato opera em tempo de autômato discreto, cujos momentos são ciclos, ou seja, adjacentes entre si em intervalos de tempo iguais, cada um correspondendo a valores constantes de entrada, sinal de saída e estado interno. Um autômato abstrato tem um canal de entrada e um canal de saída.

Para definir um F - autômato, é necessário descrever todos os elementos do conjunto F = , ou seja, alfabetos de entrada, interno e de saída, bem como funções de transição e saída. Para definir o trabalho dos autômatos F, os métodos tabular, gráfico e matricial são os mais usados.

Na forma tabular de configuração, são utilizadas tabelas de transição e saída, cujas linhas correspondem aos sinais de entrada do autômato e as colunas - aos seus estados.

Descrição do Trabalho F- Metralhadora Miles tabelas de transições j e saídas y são ilustradas pela tabela (1), e a descrição de F - o autômato de Moore - é ilustrada pela tabela de transições (2).

tabela 1

Transições
…………………………………………………………
…………………………………………………………

mesa 2

…………………………………………………………

Exemplos da forma tabular de especificar F - o autômato de Mealy F1 com três estados, dois sinais de entrada e dois de saída, são dados na tabela 3, e para F - o autômato de Moore F2 - na tabela 4.

Tabela 3

Transições

Tabela 4

Outra forma de definir uma máquina de estados finitos usa o conceito de grafo direcionado. O grafo do autômato é um conjunto de vértices correspondendo a diferentes estados do autômato e conectando os vértices dos arcos do grafo correspondentes a certas transições do autômato. Se o sinal de entrada xk causa uma transição do estado zi para o estado zj, então no gráfico do autômato o arco que conecta o vértice zi com o vértice zj é denotado por xk. Para definir a função de transição, os arcos do gráfico devem ser marcados com os sinais de saída correspondentes.

Arroz. 1. Gráficos dos autômatos de Mealy (a) e Moore (b).

Ao resolver problemas de modelagem, uma definição de matriz de uma máquina de estados finitos costuma ser a forma mais conveniente. Nesse caso, a matriz de conexões do autômato é uma matriz quadrada C = || cij ||, cujas linhas correspondem aos estados iniciais e as colunas aos estados de transição.

Exemplo. Para o autômato de Moore F2 considerado anteriormente, escrevemos a matriz de estado e o vetor de saída:

;

Modelos estocásticos discretos

Seja Ф o conjunto de todos os pares possíveis da forma (zk, yi), onde уi é um elemento da saída

subconjunto Y. Exigimos que qualquer elemento do conjunto G induz

no conjunto Ф alguma lei de distribuição da seguinte forma:

Elementos de Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Redes de informação "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> processamento de informações de computador de terminais remotos, etc.

Ao mesmo tempo, típico de

a operação de tais objetos é o aparecimento aleatório de aplicativos (requisitos) para

serviço e encerramento do serviço em momentos aleatórios,

isto é, a natureza estocástica do processo de seu funcionamento.

QS é entendido como um sistema dinâmico projetado para atender com eficiência um fluxo aleatório de aplicativos com recursos de sistema limitados. A estrutura generalizada do QS é mostrada na Figura 3.1.

Arroz. 3.1. Esquema SMO.

Sinistros homogêneos que chegam na entrada do QS são divididos em tipos, dependendo da causa geradora, a intensidade do fluxo de sinistros do tipo i (i = 1 ... M) é denotada por li. A totalidade de aplicativos de todos os tipos é o fluxo de entrada do QS.

Serviço de aplicativos é realizado m canais.

Distinguir entre canais de serviço universal e especializado. Para um canal universal do tipo j, as funções de distribuição Fji (t) da duração do atendimento aos sinistros de tipo arbitrário são consideradas conhecidas. Para os canais especializados, estão indefinidas as funções de distribuição da duração do serviço dos canais de determinados tipos de reclamações, sendo a atribuição dessas reclamações a este canal.

Os circuitos Q podem ser investigados analiticamente e por modelos de simulação. Este último oferece grande versatilidade.

Vamos considerar o conceito de enfileiramento.

Em qualquer ato elementar de prestação de serviços, dois componentes principais podem ser distinguidos: a expectativa do serviço pelo sinistro e o atendimento efetivo do sinistro. Isso pode ser exibido na forma de algum i-ésimo dispositivo de serviço Pi, consistindo em um acumulador de sinistros, no qual pode haver simultaneamente li = 0 ... LiH sinistros, onde LiH é a capacidade do i-ésimo acumulador, e um canal de serviço de reivindicação, ki.

Arroz. 3.2. Diagrama esquemático do dispositivo CMO

Cada elemento do dispositivo de serviço Pi recebe fluxos de eventos: o fluxo de reclamações wi para o acumulador Hi e o fluxo de serviços de ui para o canal ki.

Pelo fluxo de eventos(PS) é uma sequência de eventos que ocorrem um após o outro em alguns momentos aleatórios no tempo. Faça a distinção entre fluxos de eventos homogêneos e heterogêneos. Homogêneo O PS é caracterizado apenas pelos momentos de chegada desses eventos (momentos causadores) e é dado pela sequência (tn) = (0 £ t1 £ t2 ... £ tn £ ...), onde tn é o momento de chegada do enésimo evento - um número real não negativo. O TSA também pode ser especificado como uma sequência de intervalos de tempo entre os eventos n-ésimo e n-1 (tn).

Heterogêneo PS é chamado de sequência (tn, fn), onde tn - momentos causadores; fn - um conjunto de atributos de evento. Por exemplo, pode ser atribuído a uma ou outra fonte de reclamações, a presença de uma prioridade, a capacidade de servir um ou outro tipo de canal, etc.

As reivindicações atendidas pelo canal ki e as reivindicações que deixaram o servidor Pi por várias razões não atendidas formam o fluxo de saída yiÎY.

O processo de funcionamento do dispositivo de serviço Pi pode ser representado como um processo de mudança dos estados de seus elementos no tempo Zi (t). A transição para um novo estado para Pi significa uma mudança no número de solicitações que estão nele (no canal ki e no acumulador Hi). Este. o vetor de estados para Pi tem a forma :, onde estão os estados da unidade, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "largura =" 24 altura = 28 "altura = "28"> = 1 - há um pedido no armazenamento ..., = - o armazenamento está totalmente ocupado; - o estado do canal ki (= 0 - o canal está livre, = 1 o canal está ocupado).

Diagramas Q de objetos reais são formados pela composição de muitos dispositivos de serviço elementares Pi. Se ki diferentes dispositivos de serviço estiverem conectados em paralelo, haverá serviço multicanal (circuito Q multicanal), e se os dispositivos Pi e suas composições paralelas estiverem conectados em série, haverá serviço multifásico (circuito Q multifásico).

Para definir um esquema Q, também é necessário descrever os algoritmos para o seu funcionamento, que determinam as regras para o comportamento das reivindicações em várias situações ambíguas.

Dependendo do local de ocorrência de tais situações, existem algoritmos (disciplinas) para aguardar reclamações no acumulador Нi e para atender reclamações no canal ki. A heterogeneidade do fluxo de aplicações é levada em consideração pela introdução de uma classe de prioridade - prioridades relativas e absolutas.

Este. Um esquema Q que descreve o processo de funcionamento de um QS de qualquer complexidade é definido exclusivamente como um conjunto de conjuntos: Q = .

Modelos de rede.

Para uma descrição formal da estrutura e interação de sistemas e processos paralelos, bem como para a análise de relações de causa e efeito em sistemas complexos, Redes de Petri, chamadas de esquemas N, são usadas.

Formalmente, o esquema N é dado por um quádruplo da forma

N = ,

onde B é um conjunto finito de símbolos chamados posições, B ≠ O;

D é um conjunto finito de símbolos chamados transições D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - função de entrada (função de incidência direta)

I: B × D → (0, 1); О - função de saída (função de incidência inversa),

О: B × D → (0, 1). Assim, a função de entrada I mapeia a transição dj para

o conjunto de posições de entrada bj I (dj), e os mapas de função de saída O

transição dj para o conjunto de posições de saída bj О (dj). Para cada transição

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Da mesma forma, para cada posição bi B, as definições são introduzidas

conjunto de transições de entrada da posição I (bi) e transições de saída

posição O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Uma rede de Petri é um grafo bipartido direcionado que consiste em dois tipos de vértices - posições e transições, conectados por arcos; vértices do mesmo tipo não podem ser conectados diretamente.

Um exemplo de rede de Petri. Círculos brancos indicam posições, listras - transições, círculos pretos - rótulos.

Os arcos de orientação conectam posições e transições, com cada arco direcionado de um elemento de um conjunto (posição ou transição) para um elemento de outro conjunto

(transição ou posição). Um gráfico N-design é um multigrafo, uma vez que

admite a existência de múltiplos arcos de um vértice a outro.

Decomposição "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> decomposição um sistema complexo é representado como uma estrutura multinível de elementos interconectados combinados em subsistemas de vários níveis.

Um agregado atua como um elemento do diagrama A, e a conexão entre os agregados (dentro do sistema S e com o ambiente externo E) é realizada usando o operador de conjugação R.

Qualquer unidade é caracterizada pelos seguintes conjuntos: tempos T, sinais de entrada X e saída Y, estados Z em cada momento t. O estado da unidade no tempo tT é denotado como z (t) Z,

e os sinais de entrada e saída como x (t) X e y (t) Y, respectivamente.

Vamos assumir que a transição do agregado do estado z (t1) para o estado z (t2) ≠ z (t1) ocorre em um curto intervalo de tempo, ou seja, há um salto δz.

As transições da unidade do estado z (t1) para z (t2) são determinadas pelos parâmetros intrínsecos (internos) da própria unidade h (t) H e pelos sinais de entrada x (t) X.

No momento inicial t0, os estados z têm valores iguais a z0, ou seja, z0 = z (t0), dado pela lei de distribuição do processo z (t) no tempo t0, a saber J. Suponha que o processo de funcionamento da unidade no caso do sinal de entrada de ação xn é descrito por um operador aleatório V. Então, no momento em que o sinal de entrada chega à unidade tnT

xn você pode determinar o estado

z (tn + 0) = V.

Denotamos o intervalo de meio-tempo t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

A coleção de operadores aleatórios V e U é considerada como um operador de transição do agregado para novos estados. Nesse caso, o processo de funcionamento da unidade consiste em saltos de estados δz nos momentos de chegada dos sinais de entrada x (operador V) e mudanças de estados entre esses momentos tn e tn + 1 (operador U). Nenhuma restrição é imposta ao operador U; portanto, saltos de estados δz em momentos que não são tempos de chegada dos sinais de entrada x são admissíveis. A seguir, os momentos dos saltos δz serão chamados de momentos especiais de tempo tδ, e os estados z (tδ) - estados especiais do esquema A. Para descrever os saltos dos estados δz em tempos especiais tδ, usaremos o operador aleatório W, que é um caso especial do operador U, ou seja,

z (tδ + 0) = W.

No conjunto de estados Z, um subconjunto Z (Y) é distinguido de modo que se z (tδ) atinge Z (Y), então este estado é o momento de emissão do sinal de saída determinado pelo operador de saída

y = G.

Assim, por agregado entendemos qualquer objeto definido por uma coleção ordenada dos conjuntos considerados T, X, Y, Z, Z (Y), H e operadores aleatórios V, U, W, G.

A sequência de sinais de entrada, organizados na ordem de sua chegada no esquema A, será chamada de mensagem de entrada ou mensagem x. Uma sequência de sinais de saída, ordenados de acordo com o tempo de emissão, será chamada de mensagem de saída ou mensagem y.

SE BREVE

Modelos determinísticos contínuos (esquemas D)

Eles são usados ​​para estudar sistemas operando em tempo contínuo. As equações diferenciais, integrais e integro-diferenciais são usadas principalmente para descrever tais sistemas. Em equações diferenciais ordinárias, uma função de apenas uma variável independente é considerada, e em equações diferenciais parciais, funções de várias variáveis.

Como exemplo de aplicação de modelos D, pode-se citar o estudo do funcionamento de um pêndulo mecânico ou de um circuito elétrico oscilatório. A base técnica dos modelos D é composta por computadores analógicos (AVM) ou os computadores híbridos em rápido desenvolvimento (GVM). Como você sabe, o princípio básico da pesquisa em um computador é que de acordo com as equações dadas, o pesquisador (usuário do AVM) monta um circuito a partir de nós típicos separados - amplificadores operacionais com a inclusão de circuitos para escalonamento, amortecimento, aproximação, etc.

A estrutura do ABM muda de acordo com a forma das equações reproduzíveis.

Em um computador digital, a estrutura permanece inalterada, mas a seqüência de operação de seus nós muda de acordo com o programa nele estabelecido. A comparação de AVM e computador digital mostra claramente a diferença entre simulação e modelagem estatística.

O ABM implementa um modelo de simulação, mas, via de regra, não usa os princípios da modelagem estatística. Em computadores digitais, a maioria dos modelos de simulação são baseados no estudo de números aleatórios, processos, ou seja, em modelagem estatística. Modelos contínuos determinísticos são amplamente utilizados em engenharia mecânica no estudo de sistemas de controle automático, na escolha de sistemas de amortecimento, na identificação de fenômenos de ressonância e oscilações na tecnologia.
etc.

Modelos discretos-determinísticos (circuitos F)

Opere com tempo discreto. Esses modelos são a base para estudar a operação de uma classe extremamente importante e difundida de sistemas de autômatos discretos hoje. Para o propósito de sua pesquisa, um aparato matemático independente da teoria dos autômatos foi desenvolvido. Com base nessa teoria, o sistema é considerado um autômato que processa informações discretas e muda, dependendo dos resultados de seu processamento, seus estados internos.

Este modelo é baseado nos princípios de minimização do número de elementos e nós em um circuito, dispositivo, otimização do dispositivo como um todo e a seqüência de operação de seus nós. Junto com os circuitos eletrônicos, um representante marcante das máquinas descritas por este modelo é um robô que controla (de acordo com um determinado programa) processos tecnológicos em uma dada seqüência determinística.

A máquina de controle numérico também é descrita por este modelo. A escolha da sequência de peças de processamento nesta máquina é realizada através da configuração da unidade de controle (controlador), que gera sinais de controle em determinados momentos / 4 /.

A teoria dos autômatos usa o aparato matemático de funções booleanas que operam em dois valores possíveis dos sinais, 0 e 1.

Os autômatos são divididos em autômatos sem memória e autômatos com memória. A descrição de seu trabalho é feita por meio de tabelas, matrizes, gráficos que mostram as transições da máquina de um estado para outro. Avaliações analíticas para qualquer tipo de descrição do funcionamento da máquina são muito complicadas e mesmo com um número relativamente pequeno de elementos, nós que compõem o dispositivo, são praticamente inviáveis. Portanto, o estudo de circuitos complexos de autômatos, que sem dúvida incluem dispositivos robóticos, é realizado por meio de simulação.

Modelos estocásticos discretos (esquemas P)

Eles são usados ​​para estudar o trabalho de autômatos probabilísticos. Em autômatos deste tipo, as transições de um estado para outro são realizadas sob a influência de sinais externos e levando em consideração o estado interno do autômato. No entanto, ao contrário do T-autômato, essas transições não são estritamente determinísticas, mas podem ocorrer com certas probabilidades.

Um exemplo de tal modelo é uma cadeia de Markov discreta com um conjunto finito de estados. A análise de esquemas F é baseada no processamento e transformação de matrizes de probabilidade de transição e na análise de gráficos de probabilidade. Já para a análise de dispositivos relativamente simples, cujo comportamento é descrito por circuitos F, é aconselhável o uso de simulação. Um exemplo de tal simulação é dado na cláusula 2.4.

Modelos estocásticos contínuos (esquemas Q)

Eles são usados ​​na análise de uma ampla classe de sistemas considerados sistemas de filas. Como um processo de serviço, os processos que são diferentes em sua natureza física podem ser representados: fluxos de fornecimento de produto para uma empresa, fluxos de componentes e produtos feitos sob medida, fluxos de peças em uma linha de montagem, fluxos de ações de controle do centro de controle de o ACS para locais de trabalho e solicitações de retorno para processamento de informações em um computador, etc.

Normalmente, esses fluxos dependem de muitos fatores e situações específicas. Portanto, na maioria dos casos, esses fluxos são aleatórios no tempo, com possibilidade de alterações a qualquer momento. A análise de tais esquemas é realizada com base no aparato matemático da teoria das filas. Isso inclui uma cadeia contínua de Markov. Apesar dos avanços significativos feitos no desenvolvimento de métodos analíticos, teoria das filas, análise de esquemas Q por métodos analíticos pode ser realizada apenas com suposições e suposições simplificadoras significativas. Um estudo detalhado da maioria desses esquemas, especialmente aqueles complexos como sistemas de controle de processo, sistemas robóticos, só pode ser realizado por meio de simulação.

Modelos generalizados (diagramas A)

Com base na descrição dos processos de funcionamento de quaisquer sistemas com base no método agregado. Com uma descrição agregada, o sistema é dividido em subsistemas separados, que podem ser considerados convenientes para a descrição matemática. Como resultado dessa divisão (decomposição), um sistema complexo é apresentado na forma de um sistema multinível, cujos níveis individuais (agregados) são passíveis de análise. Com base na análise de agregados individuais e tendo em conta as leis de interconexão desses agregados, é possível realizar um estudo abrangente de todo o sistema.

, Yakovlev Systems. 4ª ed. - M.: Ensino superior, 2005 .-- S. 45-82.

Esquemas matemáticos para sistemas de modelagem

Prós e contras da simulação

O principal dignidade simulação no estudo de sistemas complexos:

· Capacidade de explorar as características do processo de funcionamento do sistema S em quaisquer condições;

· Devido ao uso de um computador, a duração dos testes é significativamente reduzida em comparação com um experimento em escala real;

· Os resultados dos testes em escala real de um sistema real ou de suas partes podem ser usados ​​para simulação;

· Flexibilidade de variar a estrutura, algoritmos e parâmetros do sistema modelado na busca pela versão ótima do sistema;

· Para sistemas complexos - este é o único método praticamente realizável para estudar o processo de funcionamento dos sistemas.

O principal limitações modelagem de simulação:

· Para uma análise completa das características do processo de funcionamento dos sistemas e a busca pela opção ótima, é necessário reproduzir o experimento de simulação várias vezes, variando os dados iniciais do problema;

· Grandes gastos de tempo de computador.

A eficácia da modelagem de máquinas. Na simulação, é necessário garantir a máxima eficiência do modelo do sistema. Eficiência normalmente definida como alguma diferença entre alguma medida do valor dos resultados obtidos durante a operação do modelo e os custos que foram investidos no seu desenvolvimento e criação.

A eficácia da modelagem de simulação pode ser avaliada por uma série de critérios:

Precisão e confiabilidade dos resultados da simulação,

Tempo de construção e trabalho com o modelo M,

O gasto de recursos da máquina (tempo e memória),

· O custo de desenvolvimento e operação do modelo.

A melhor medida de eficácia é uma comparação dos resultados obtidos com estudos reais. Usando uma abordagem estatística, com um certo grau de precisão (dependendo do número de realizações de um experimento de máquina), são obtidas características médias do comportamento do sistema.

Os custos totais de tempo computacional são compostos pelo tempo de entrada e saída de cada algoritmo de simulação, o tempo de execução das operações computacionais, levando em consideração o acesso a RAM e dispositivos externos, bem como a complexidade de cada algoritmo de simulação e o planejamento de experimentos.

Esquemas matemáticos.Modelo matemáticoÉ uma coleção de objetos matemáticos (números, variáveis, conjuntos, vetores, matrizes, etc.) e relações entre eles, que refletem adequadamente as propriedades físicas do objeto técnico criado. O processo de formar um modelo matemático e usá-lo para análise e síntese é denominado modelagem matemática.

Ao construir um modelo matemático do sistema, é necessário resolver o problema de sua completude. A completude do modelo é regulada principalmente pela escolha do sistema de fronteira S- Quarta-feira E" Além disso, deve-se resolver o problema de simplificação do modelo, o que ajuda a destacar, dependendo da finalidade da modelagem, as principais propriedades do sistema, descartando as secundárias.

Na transição de uma descrição significativa para uma descrição formal do processo de funcionamento do sistema, levando em consideração o impacto do ambiente externo, aplique esquema matemático como elo da cadeia "modelo descritivo - esquema matemático - modelo matemático (analítico e / ou simulação)".

Modelo formal do objeto. Modelo de objeto (sistemas S) pode ser representado como um conjunto de quantidades que descrevem o processo de funcionamento de um sistema real:

Um conjunto de influências de entrada no sistema

x i = X,i =;

Um conjunto de influências ambientais

v j = V, j= ;

Um conjunto de parâmetros internos (intrínsecos) de sistemas

h k = H, k =;

Conjunto de características de saída do sistema

y j = Y, j =.

Em geral x i, v j, h k, y j são elementos de subconjuntos disjuntos e contêm componentes determinísticos e estocásticos.

Influências de entrada, influências ambientais E e os parâmetros internos do sistema são independente (exógeno) variáveis, que na forma vetorial têm, respectivamente, a forma ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)), e as características de saída são dependente (endógeno) variáveis ​​e na forma vetorial têm a forma: ( t) = (no 1 (t), no 2 (t), …, em nY(t)). Você pode distinguir entre variáveis ​​gerenciadas e não gerenciadas.

Processo de operação do sistema S descrito a tempo pelo operador F S, que transforma variáveis ​​exógenas em endógenas de acordo com as relações da forma

(t) = F S(,,, t). (2.1)

O conjunto de dependências das características de saída do sistema no tempo y j(t) para todos os tipos j = chamado trajetória de saída (t) Dependência (2.1) é chamada a lei de funcionamento do sistema F S, que é especificado na forma de uma função, condições funcionais, lógicas, na forma algorítmica, tabular ou na forma de uma regra de correspondência verbal. Algoritmo de funcionamento A Sé chamado de método de obtenção das características de saída levando em consideração as influências de entrada ( t), influências ambientais ( t) e os próprios parâmetros do sistema ( t) A mesma lei de funcionamento F S sistemas S pode ser implementado de várias maneiras, ou seja, usando muitos algoritmos diferentes de funcionamento COMO.

Modelos matemáticos são chamados dinâmico(2.1) se as relações matemáticas descrevem o comportamento do objeto (sistema) de modelagem no tempo t, ou seja, refletem propriedades dinâmicas.

Para estático modelos, um modelo matemático é um mapeamento entre dois subconjuntos de propriedades de um objeto modelado Y e ( X, V, H) em um determinado momento, que em forma vetorial pode ser escrito como

= f(, , ). (2.2)

As relações (2.1) e (2.2) podem ser especificadas de diferentes maneiras: analiticamente (usando fórmulas), graficamente, tabularmente, etc. Essas relações podem ser obtidas por meio das propriedades do sistema S em pontos específicos no tempo, chamados de estados. Estado do sistema S caracterizado por vetores

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) e "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

Onde z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") no momento t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") no momento t ""Î ( t 0 , T) etc. k =.

Se considerarmos o processo de funcionamento do sistema S como uma mudança sequencial de estados z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), então eles podem ser interpretados como as coordenadas de um ponto em k-dimensional espaço de fase... Além disso, cada implementação do processo corresponderá a uma determinada trajetória de fase. O conjunto de todos os valores possíveis de estados () é chamado espaço estadual objeto de modelagem Z, e
z kÎ Z.

Estados do sistema S no momento t 0 < t * £ T são completamente determinados pelas condições iniciais 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Onde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], ações de entrada ( t), parâmetros internos ( t) e os efeitos do ambiente externo ( t) que ocorreu no intervalo de tempo t * – t 0, usando duas equações vetoriais

(t) = Ф (0 ,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

A primeira equação para o estado inicial 0 e variáveis ​​exógenas, determina a função vetorial ( t), e a segunda de acordo com o valor obtido dos estados ( t) São variáveis ​​endógenas na saída do sistema ( t) Assim, a cadeia de equações do objeto "entrada - estados - saída" permite determinar as características do sistema

(t) = F [Ф (0 ,,,, t)]. (2.5)

Em geral, o tempo no modelo do sistema S pode ser considerado no intervalo de simulação (0, T) contínua e discreta, ou seja, quantizado em segmentos de comprimento D t unidades de tempo cada quando T = m D t, Onde m = - o número de intervalos de amostragem.

Assim, sob modelo matemático objeto (sistema real) compreende um subconjunto finito de variáveis ​​(( t), (t), (t)) junto com conexões matemáticas entre eles e características ( t).

Se a descrição matemática do objeto de modelagem não contém elementos aleatórios ou eles não são levados em consideração, ou seja, se podemos assumir que, neste caso, as influências estocásticas do ambiente externo ( t) e parâmetros internos estocásticos ( t) estão ausentes, então o modelo é chamado determinista no sentido de que as características são exclusivamente determinadas por entradas determinísticas

(t) = f(, t). (2.6)

Obviamente, o modelo determinístico é um caso especial do modelo estocástico.

Esquemas matemáticos típicos. Na prática de modelagem de objetos no campo da engenharia de sistemas e análise de sistemas nos estágios iniciais da pesquisa de sistemas, é mais racional usar esquemas matemáticos típicos: equações diferenciais, autômatos finitos e probabilísticos, sistemas de filas, redes de Petri, sistemas agregados, etc.

Esquemas matemáticos típicos têm as vantagens de simplicidade e clareza. Diferenciais, integrais, integro-diferenciais e outras equações são usadas para representar sistemas operando em tempo contínuo como modelos determinísticos, quando fatores aleatórios não são levados em consideração no estudo, e autômatos finitos e esquemas de diferenças finitas são usados ​​para representar sistemas operando em tempo discreto. Autômatos probabilísticos são usados ​​como modelos estocásticos (levando em consideração fatores aleatórios) para representar sistemas com tempo discreto, e sistemas de filas são usados ​​para representar sistemas com tempo contínuo. As redes de Petri são usadas para analisar relações de causa e efeito em sistemas complexos, onde vários processos ocorrem simultaneamente em paralelo. Para descrever o comportamento de sistemas contínuos e discretos, determinísticos e estocásticos (por exemplo, ASOIU), uma abordagem generalizada (universal) baseada em um sistema agregado pode ser aplicada. Em uma descrição agregada, um objeto complexo (sistema) é dividido em um número finito de partes (subsistemas), mantendo as conexões que garantem a interação das partes.

Assim, ao construir modelos matemáticos dos processos de funcionamento dos sistemas, podem-se distinguir as seguintes abordagens principais: contínuo-determinístico ( D-schemes); discreto-determinístico ( F-schemes); estocástico discreto ( R-schemes); contínuo-estocástico ( Q-schemes); rede ( N-schemes); generalizado ou universal ( uma-schemes).

2.2. Modelos continuamente determinísticos ( D-schemes)

Relações básicas... Vamos considerar as características da abordagem determinística contínua no exemplo do uso de equações diferenciais como modelos matemáticos. Equações diferenciais são chamadas de equações nas quais as funções de uma ou várias variáveis ​​são desconhecidas, e a equação inclui não apenas funções, mas também suas derivadas de várias ordens. Se funções desconhecidas de várias variáveis, então as equações são chamadas equações diferenciais parciais, caso contrário, ao considerar uma função de uma variável independente, as equações são chamadas Equações diferenciais ordinárias.

A relação matemática geral para sistemas determinísticos (2.6) será

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

Onde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) e = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n vetores dimensionais; (, t) É uma função vetorial definida em alguns ( n+1) -dimensional (, t) definido e contínuo.

Esquemas matemáticos deste tipo são chamados Circuitos D(eng. dinâmico), eles refletem a dinâmica do sistema em estudo, e o tempo geralmente serve como uma variável independente da qual dependem funções desconhecidas desconhecidas t.

No caso mais simples, uma equação diferencial ordinária tem a forma:

y "(t) = f(y, t). (2.8)

Considere o exemplo mais simples de formalização do processo de funcionamento de dois circuitos elementares de natureza diferente: mecânico S M (balanço do pêndulo, fig. 2.1, uma) e elétrica S K (circuito oscilatório, Fig. 2.1, b).

Arroz. 2.1. Sistemas elementares

O processo de pequenas oscilações do pêndulo é descrito pela equação diferencial ordinária

m M eu M2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

Onde m M, eu M é a massa e o comprimento da suspensão do pêndulo; g- aceleração da gravidade; F(t) É o ângulo de deflexão do pêndulo no momento do tempo t.

A partir dessa equação de oscilação livre do pêndulo, podem ser encontradas estimativas das características de interesse. Por exemplo, o período de oscilação de um pêndulo

T M = 2p.

Da mesma forma, os processos no circuito oscilatório elétrico são descritos pela equação diferencial ordinária

eu K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

Onde eu K, C K - indutância e capacitância do capacitor; q(t) É a carga do capacitor no momento t.

A partir dessa equação, você pode obter várias estimativas das características do processo no circuito oscilatório. Por exemplo, o período de oscilações elétricas

T M = 2p.

Obviamente, a introdução da notação h 2 = m M eu M2 = eu K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que descreve o comportamento deste sistema de malha fechada:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

Onde h 0 , h 1 , h 2 - parâmetros do sistema; z(t) É o estado do sistema no momento
Tempo t.

Assim, o comportamento desses dois objetos pode ser investigado com base no modelo matemático geral (2.9). Além disso, deve-se observar que o comportamento do pêndulo (sistema S M) pode ser estudado usando um circuito oscilatório elétrico (sistema S PARA).

Se o sistema em estudo S(pêndulo ou contorno) interage com o ambiente externo E, então a ação de entrada aparece x(t) (força externa para o pêndulo e a fonte de energia para o circuito), e o modelo determinístico contínuo de tal sistema terá a forma:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

Do ponto de vista do modelo matemático geral (ver cláusula 2.1) x(t) é a ação de entrada (controle) e o estado do sistema S neste caso, pode ser considerada como uma característica de saída, ou seja, a variável de saída corresponde ao estado do sistema em um determinado momento y = z.

Possíveis aplicações D-schemes... Para descrever sistemas de controle linear, como qualquer sistema dinâmico, as equações diferenciais não homogêneas têm coeficientes constantes

onde ,,…, - função desconhecida do tempo e seus derivados; e são funções conhecidas.

Usando, por exemplo, o pacote de software VisSim projetado para simulação de processos em sistemas de controle que podem ser descritos por equações diferenciais, simulamos a solução de uma equação diferencial não homogênea comum.

onde está alguma função de tempo necessária em um intervalo com zero condições iniciais, tomamos h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Representando a equação dada em relação à maior das derivadas, obtemos a equação

que pode ser modelado usando um conjunto de blocos de construção do pacote VisSim: blocos aritméticos - Ganho (multiplicação por uma constante), Soma-Junção (somador); blocos de integração - Integrador (integração numérica), Função de transferência (configuração de uma equação representada como uma função de transferência); blocos para definir sinais - Const (constante), Passo (função da unidade na forma de um "passo"), Rampa (sinal crescente linearmente); blocos-receptores de sinais - Plot (exibição no domínio do tempo dos sinais que são analisados ​​pelo pesquisador durante a simulação).

Na fig. 2.2 mostra uma representação gráfica desta equação diferencial. A entrada do integrador mais à esquerda corresponde a uma variável, a entrada do integrador do meio - e a entrada do integrador mais à direita -. A saída do integrador mais à direita corresponde à variável y.

Um caso particular de sistemas dinâmicos descritos D-schemes são sistemas de controle automático(SPG)e regulamento(SAR) Um objeto real é apresentado na forma de dois sistemas: controle e controlado (objeto de controle). A estrutura de um sistema de controle automático multidimensional geral é mostrada na Fig. 2.3, onde indicado endógeno variáveis: ( t) É o vetor de influências de entrada (mestre); ( t) É o vetor de influências perturbadoras; " (t) É o vetor de sinais de erro; "" (t) - vetor de ações de controle; exógeno variáveis: ( t) É o vetor de estado do sistema S; (t) É um vetor de variáveis ​​de saída, geralmente ( t) = (t).

Arroz. 2.2. Representação gráfica da equação

O sistema de controle é um conjunto de ferramentas de software e hardware que garantem o cumprimento de uma meta específica pelo objeto de controle. A precisão com que um objeto atinge um determinado objetivo pode ser avaliada (para um sistema unidimensional) pela coordenada de estado y(t) A diferença entre o dado y bunda t) e válido y(t) a lei da mudança da variável controlada é um erro de controle " (t) = y bunda t) – y(t) Se a lei de mudança prescrita da quantidade controlada corresponder à lei de mudança da ação de entrada (mestre), ou seja, x(t) = y bunda t), então " (t) = x(t) – y(t).

Sistemas para os quais erros de controle " (t) = 0 em todos os momentos são chamados ideal... Na prática, a implementação de sistemas ideais é impossível. A tarefa do sistema de controle automático é alterar a variável y(t) de acordo com uma dada lei com uma certa precisão (com um erro aceitável). Os parâmetros do sistema devem garantir a precisão de controle necessária, bem como a estabilidade do sistema no processo transiente. Se o sistema estiver estável, então analise o comportamento do sistema no tempo, o desvio máximo da variável controlada y(t) no processo transitório, o tempo do processo transitório, etc. A ordem da equação diferencial e o valor de seus coeficientes são completamente determinados pelos parâmetros estáticos e dinâmicos do sistema.

Arroz. 2.3. A estrutura do sistema de controle automático:

УC - sistema de controle; OU - objeto de controle

Então usando D-schemes permite formalizar o processo de funcionamento de sistemas continuamente determinísticos S e avaliar suas características principais por meio de uma abordagem analítica ou de simulação implementada na forma de uma linguagem apropriada para modelagem de sistemas contínuos ou usando recursos de computação analógica e híbrida.

2.3. Modelos discretos-determinísticos ( F-schemes)

Relações básicas... Vamos considerar as características da abordagem discreta-determinística no exemplo do uso da teoria dos autômatos como um aparato matemático. O sistema é representado na forma de um autômato como um dispositivo com sinais de entrada e saída que processa informações discretas e altera seus estados internos apenas em momentos aceitáveis. Máquina de estado um autômato é chamado, no qual os conjuntos de estados internos, sinais de entrada e saída são conjuntos finitos.

Autômatos abstratamente finitos podem ser representados como um esquema matemático ( F-esquema), caracterizado por seis elementos: um conjunto finito NS sinais de entrada (alfabeto de entrada); conjunto finito Y sinais de saída (alfabeto de saída); conjunto finito Z estados internos (alfabeto interno ou alfabeto de estados); Estado inicial z 0 , z 0 Î Z; função de transição j ( z, x); função de saída y ( z, x) Conjunto de máquina automática F-scheme: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, opera em tempo discreto, cujos momentos são relógios, cada um correspondendo a valores constantes dos sinais de entrada e saída e estados internos. Denotamos o estado, bem como os sinais de entrada e saída correspondentes a t-ésimo relógio em t= 0, 1, 2, ..., até z(t), x(t), y(t) Além disso, pela condição z(0) = z 0, e z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.

Uma máquina de estado abstrato possui um canal de entrada e um canal de saída. A todo momento t= 0, 1, 2, ... tempo discreto F-a máquina está em um certo estado z(t) do set Z estados do autômato, e no momento inicial do tempo t= 0 está sempre no estado inicial z(0) = z 0 No momento t ser capaz z(t), o autômato é capaz de perceber o sinal no canal de entrada x(t)Î X e emitir o sinal no canal de saída y(t) = y [ z(t),x(t)], passando para o estado z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Uma máquina de estado finito abstrata implementa algum mapeamento do conjunto de palavras do alfabeto de entrada X em muitas palavras de fim de semana
alfabeto Y... Em outras palavras, se a entrada da máquina de estado definida para o estado inicial z 0, fornece letras do alfabeto de entrada em uma determinada sequência x(0), x(1), x(2), ..., ou seja, palavra de entrada, então as letras do alfabeto de saída aparecerão sequencialmente na saída da máquina y(0), y(1), y(2),…, formando uma palavra de saída.

Assim, o trabalho da máquina de estados ocorre de acordo com o seguinte esquema: em cada t-ésimo relógio para a entrada da máquina no estado z(t), algum sinal é dado x(t), ao qual reage com a transição ( t+1) do º relógio para o novo estado z(t+1) e dando algum sinal de saída. O acima pode ser descrito pelas seguintes equações: para F-automaton de primeiro tipo, também chamado milhas automáticas,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

para F-automático de segundo tipo

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Um autômato do segundo tipo, para o qual

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

Essa. a função de saída é independente da variável de entrada x(t) é chamado Rifle de assalto de Moore.

Assim, as equações (2.15) - (2.19), que definem completamente
F-automáticas são um caso especial das equações (2.3) e (2.4), quando
sistema S- determinístico e um sinal discreto chega em sua única entrada X.

Pelo número de estados, as máquinas de estados finitos com memória e sem memória são distinguidas. Autômatos com memória têm mais de um estado, e autômatos sem memória (circuitos combinacionais ou lógicos) têm apenas um estado. Neste caso, conforme (2.16), o funcionamento do circuito combinacional é que ele atribui a cada sinal de entrada x(t) certo sinal de saída y(t), ou seja, implementa uma função lógica do formulário

y(t) = y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Esta função é chamada booleana se o alfabeto X e Y ao qual pertencem os valores do sinal x e y, consistem em duas letras.

Pela natureza da contagem de tempo discreto, as máquinas de estados finitos são divididas em síncronas e assíncronas. Em sincronia F-automatons os tempos em que o autômato "lê" os sinais de entrada são determinados por sinais de sincronização obrigatórios. Após o próximo sinal de sincronização, levando em consideração a "leitura" e de acordo com as equações (2.15) - (2.19), ocorre uma transição para um novo estado e um sinal é emitido na saída, após o qual a máquina pode perceber o próximo valor do sinal de entrada. Assim, a reação da máquina a cada valor do sinal de entrada termina em um ciclo, cuja duração é determinada pelo intervalo entre os sinais de sincronização adjacentes. Assíncrono F- a máquina lê o sinal de entrada continuamente e, portanto, respondendo a um sinal de entrada suficientemente longo de um valor constante x, ele pode, como segue de (2.15) - (2.19), mudar o estado várias vezes, dando o número correspondente de sinais de saída, até que se torne estável, que não pode mais ser alterado por esse sinal de entrada.

Possíveis aplicações F-schemes. Para definir o final F-automaton, é necessário descrever todos os elementos do conjunto F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, ou seja, alfabetos de entrada, interno e de saída, bem como funções de transições e saídas, e entre o conjunto de estados é necessário destacar o estado z 0, em que o autômato está no estado t= 0. Existem várias maneiras de definir o trabalho F-automatons, mas os mais comumente usados ​​são tabulares, gráficos e matriciais.

No método tabular, tabelas de transições e saídas são definidas, as linhas das quais correspondem aos sinais de entrada do autômato, e as colunas - aos seus estados. A primeira coluna à esquerda corresponde ao estado inicial z 0 No cruzamento eu th linha e k-ésima coluna da tabela de transição, o valor correspondente j ( z k, XI) função de transições, e na tabela de saídas - o valor correspondente de y ( z k, x i) funções de saída. Para F- O autômato de Moore ambas as tabelas podem ser combinadas.

Descrição do Trabalho F-automaton Miles com tabelas de transições j e saídas y é ilustrado na Tabela. 2.1, e a descrição F- Autômato de mais - pela tabela de transição (Tabela 2.2).

Tabela 2.1

XI	z k
z 0	z 1	…	z k
Transições
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
XI	j ( z 0 , XI)	j ( z 1 , XI)	…	j ( z k,XI)
Saídas
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
XI	y ( z 0 , XI)	y ( z 1 , XI)	…	y ( z k, XI)

Tabela 2.2

XI	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
XI	j ( z 0 , XI)	j ( z 1 , XI)	…	j ( z k, XI)

Exemplos de forma tabular de configuração F- Milhas automáticas F 1 são fornecidos na tabela. 2.3, e para F-máquina de amarração F 2 - na tabela. 2.4.

Tabela 2.3

XI	z k
z 0	z 1	z 2
Transições
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Saídas
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Tabela 2.4

	Y
XI	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

Na forma gráfica de definir uma máquina de estados finitos, o conceito de um grafo direcionado é usado. O grafo do autômato é um conjunto de vértices correspondendo a diferentes estados do autômato e conectando os vértices dos arcos do grafo correspondentes a certas transições do autômato. Se o sinal de entrada x k causa uma transição do estado z i em um estado z j, então no gráfico do autômato há um arco conectando o vértice z i com topo z j, denotado x k... Para definir a função das saídas, os arcos do gráfico devem ser marcados com os sinais de saída correspondentes. Para máquinas de milhas, essa marcação é feita da seguinte forma: se o sinal de entrada x k age no estado z i, então obtemos um arco saindo de z i e marcado x k; este arco é adicionalmente marcado com um sinal de saída y= y ( z i, x k) Para um autômato de Moore, uma marcação semelhante do gráfico é a seguinte: se o sinal de entrada x k, agindo sobre um certo estado do autômato, causa uma transição para o estado z j, então o arco direcionado para z i e marcado x k, além disso, comemorar o fim de semana
sinal y= y ( z j, x k).

Na fig. 2.4. uma, b dado anteriormente nas tabelas F-Máquinas de milhas F 1 e Moore F 2 respectivamente.

Arroz. 2.4. Gráficos de autômatos a - Miles eb - Moore

Para a atribuição da matriz do autômato finito, a matriz de conexões do autômato é quadrada COM=||com ij||, as linhas correspondem aos estados iniciais e as colunas aos estados de transição. Elemento com ij = x k/sim s parado no cruzamento
eu th linha e j-ésima coluna, no caso do autômato de Miles corresponde ao sinal de entrada x k causando a transição do estado z i em um estado z j, e o sinal de saída sim s gerado por esta transição. Para a máquina de milhas F 1, considerada acima, a matriz de compostos tem a forma:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Se a transição do estado z i em um estado z j ocorre sob a ação de vários sinais, o elemento da matriz c ijé um conjunto de pares de entrada-saída para esta transição, conectado por um sinal de disjunção.

Para F- elemento de máquina de amarração com ijé igual ao conjunto de sinais de entrada na transição ( z i, z j), e a saída é descrita pelo vetor de saídas

= y ( z k) ,

eu-º componente do qual é o sinal de saída que indica o estado z i.

Para o acima F-máquina de amarração F2 a matriz de conexões e o vetor de resultados são da forma:

–x 1 –x 2 –no 1

–x 2 – –x 1 no 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –no 2

x 2 –x 1 – –no 3

Para autômatos determinísticos, a condição de unicidade das transições é satisfeita: um autômato em um certo estado não pode passar para mais de um estado sob a ação de qualquer sinal de entrada. Aplicado à forma gráfica de configuração F-automaton, isso significa que no gráfico do autômato, duas ou mais arestas marcadas com o mesmo sinal de entrada não podem sair de nenhum vértice. E na matriz de conexões da máquina COM qualquer sinal de entrada não deve ocorrer mais de uma vez em cada linha.

Para F- condição automática z k chamado sustentável, se por alguma entrada x i ÎX para o qual j ( z k, XI) = z k, j ( z k,XI) = y k. F-a máquina é chamada assíncrono, se cada estado z k ÎZ estábulo.

Assim, o conceito na abordagem discreta-determinística para estudar as propriedades de objetos em modelos é uma abstração matemática, conveniente para descrever uma ampla classe de processos de funcionamento de objetos reais em sistemas de controle automatizados. Usando F- de um autômato, é possível descrever objetos que se caracterizam pela presença de estados discretos, e pela natureza discreta do trabalho no tempo - são elementos e nós de um computador, dispositivos de controle, regulação e controle, sistemas de tempo e espaço troca em tecnologia de troca de informações, etc.

2.4. Modelos estocásticos discretos ( R-schemes)

Relações básicas... Vamos considerar as características da construção de esquemas matemáticos com uma abordagem estocástica discreta em autômatos probabilísticos (estocásticos). Em geral autômato probabilístico
Esquemas R(Autómato probabijístico inglês) pode ser definido como um conversor linha-a-linha discreto de informação com memória, cujo funcionamento em cada ciclo depende apenas do estado da memória nele, e pode ser descrito estatisticamente.

Vamos apresentar o conceito matemático R-automaton, usando os conceitos introduzidos para F-automático. Considere o conjunto G, cujos elementos são todos os pares possíveis ( x i, z s), Onde XI e z s- elementos do subconjunto de entrada NS e subconjuntos de estados Z, respectivamente. Se houver duas funções j e y que são usadas para realizar os mapeamentos G®Z e G®Y, então eles dizem que F = X, Y, j, y> define um autômato de tipo determinístico.

Vamos considerar um esquema matemático mais geral. Deixe ser
Ф - conjunto de todos os pares possíveis da forma ( z k, y i), Onde eu- elemento do subconjunto de saída Y... Exigimos que qualquer elemento do conjunto G induzida no conjunto Ф alguma lei de distribuição da seguinte forma:

Em que b kj= 1, onde b kj- as probabilidades de transição do autômato para o estado z k e o aparecimento do sinal na saída y j se ele fosse capaz z s e em sua entrada neste momento o sinal foi recebido XI... O número dessas distribuições apresentadas na forma de tabelas é igual ao número de elementos do conjunto G... Denotamos o conjunto dessas tabelas por B. Em seguida, os quatro elementos P = chamado de autômato probabilístico
(R-autômato).

Possíveis aplicações P-schemes. Deixe os elementos do conjunto G induzir algumas leis de distribuição em subconjuntos Y e Z, que podem ser representados, respectivamente, na forma:

Em que z k = 1 e q j = 1, onde z k e q j - probabilidades de transição
R- máquina automática no estado z k e a aparência do sinal de saída y k providenciou que
R z s e sua entrada recebeu um sinal de entrada XI.

Se para todos k e j a relação se mantém q j z k = b kj, então tal
R-a máquina é chamada Autômato probabilístico de Miles... Este requisito significa o cumprimento da condição de independência das distribuições para o novo estado R- dispositivo automático e seu sinal de saída.

Agora vamos a definição do sinal de saída R- o autômato depende apenas do estado em que o autômato se encontra em um dado ciclo de trabalho. Em outras palavras, deixe cada elemento do subconjunto de saída Y induz uma distribuição de probabilidade de resultados que tem a seguinte forma:

Aqui s i = 1, onde s eu- a probabilidade do aparecimento do sinal de saída y eu no no palavras e isso R-a máquina estava em um estado z k.

Se para todos k e eu a relação se mantém z k s i =b ki então tal
R-a máquina é chamada O autômato probabilístico de Moore. Conceito
R-Os autômatos de Miley e Moore são introduzidos por analogia com o determinístico
F-automático. Um caso particular R- autômato definido como P=X, Y, B> são autômatos nos quais a transição para um novo estado ou o sinal de saída são determinados deterministicamente. Se o sinal de saída
R-automaton é determinado deterministicamente, então tal autômato é chamado
Y-... Da mesma forma,
Z-autômato probabilístico determinístico chamado R- um autômato no qual a escolha de um novo estado é determinística.

Exemplo 2.1. Que seja dado Y-determinístico P-máquina

Na fig. 2.5 mostra um gráfico de transição direcionado deste autômato. Os vértices do gráfico estão associados aos estados do autômato, e os arcos estão associados a possíveis transições de um estado para outro. Os arcos têm pesos correspondentes às probabilidades de transição p ij, e os valores dos sinais de saída induzidos por esses estados são escritos perto dos vértices do gráfico. É necessário estimar as probabilidades finais totais de permanência desta P-automaton nos estados z 2 e z 3 .

Arroz. 2,5. Gráfico do autômato de probabilidade

Usando a abordagem analítica, pode-se escrever as relações conhecidas da teoria das cadeias de Markov e obter um sistema de equações para determinar as probabilidades finais. Neste caso, o estado inicial z 0 pode ser ignorado, uma vez que a distribuição inicial não afeta os valores das probabilidades finais. Então nós temos

Onde com k- probabilidade final de permanência R- Dispositivo automático em um estado z k.

Temos o sistema de equações

Adicionamos a essas equações a condição de normalização com 1 + com 2 + com 3 + com 4 = 1. Então, resolvendo o sistema de equações, obtemos com 1 = 5/23, com 2 = 8/23, com 3 = 5/23,
com 4 = 23/05. Assim, com 2 + com 3 = 13/23 = 0,5652. Em outras palavras, com um trabalho infinito dado neste exemplo Y-determinístico
R-automático em sua saída, uma seqüência binária é formada com a probabilidade de ocorrência de um igual a 0,5652.

Semelhante R-automatons podem ser usados ​​como geradores de sequências de Markov, que são necessárias na construção e implementação de processos para o funcionamento dos sistemas S ou influências ambientais E.

2,5. Modelos estocásticos contínuos ( Q-schemes)

Relações básicas... Vamos considerar as características da abordagem estocástica contínua usando o exemplo de matemática típica Q- esquemas - sistemas de filas(Sistema de filas em inglês).

Como um processo de serviço, vários em sua natureza física processos de funcionamento de sistemas econômicos, de produção, técnicos e outros podem ser representados, por exemplo: fluxos de suprimentos de produtos para uma determinada empresa, fluxos de peças e componentes na linha de montagem de uma oficina , solicitações de processamento de informações de computador de terminais remotos e etc. Neste caso, uma característica da operação de tais objetos é o aparecimento aleatório de reivindicações (requisitos) para manutenção e conclusão da manutenção em momentos aleatórios, ou seja, a natureza estocástica do processo de seu funcionamento.

Pelo fluxo de eventosé chamado de sequência de eventos que ocorrem um após o outro em alguns momentos aleatórios no tempo. Faça a distinção entre fluxos de eventos homogêneos e heterogêneos. Fluxo de eventos chamado homogêneo, se é caracterizada apenas pelos momentos de chegada desses eventos (momentos causadores) e é dada pela sequência ( t n} = {0 £ t£ 1 t 2 ... £ t n£ … }, Onde t n - momento de chegada NS- o evento é um número real não negativo. Um fluxo homogêneo de eventos também pode ser especificado como uma sequência de intervalos de tempo entre NS- m e os (n - 1) os eventos (t n), que está inequivocamente associado à sequência de momentos desafiadores ( t n} , onde t n = t n– t n -1 ,NS³ 1, t 0 = 0, Essa. t 1 = t 1 . Um fluxo de eventos heterogêneosé chamado de sequência ( t n, f n} , Onde t n - momentos desafiadores; f n - conjunto de sinais de evento. Por exemplo, em relação ao processo de serviço, para um fluxo não uniforme de reivindicações, pode-se especificar a associação a uma fonte particular de reivindicações, a presença de uma prioridade e a capacidade de atender a um ou outro tipo de canal.

Em qualquer ato elementar de prestação de serviços, dois componentes principais podem ser distinguidos: a expectativa do serviço pelo sinistro e o atendimento efetivo do sinistro. Isso pode ser descrito na forma de alguns eu-º dispositivo de serviço P i(Fig. 2.6), consistindo no acumulador de pedidos Oi, que pode ser simultaneamente j eu= aplicações onde L i H– capacidade
eu-go storage e um canal para solicitações de atendimento (ou apenas um canal) K i. Para cada elemento do dispositivo de serviço P i fluxos de eventos chegam: para a unidade Oi fluxo de aplicações w eu, por canal K i - fluxo de serviço e eu.

Arroz. 2.6. Dispositivo de serviço de aplicativo

Aplicativos atendidos pelo canal K i, e pedidos que saíram do dispositivo P i não atendido por vários motivos (por exemplo, devido a um estouro da unidade Oi), forma um fluxo de saída y i Î Y, Essa. os intervalos de tempo entre os momentos de saída das ordens formam um subconjunto das variáveis ​​de saída.

Normalmente, o fluxo de aplicativos w i ÎW, Essa. intervalos de tempo entre os momentos de aparecimento dos pedidos na entrada K i, forma um subconjunto de variáveis ​​não gerenciadas, e o fluxo de serviço u eu ОU, Essa. os intervalos de tempo entre o início e o fim do atendimento a um sinistro, formam um subconjunto de variáveis ​​controladas.

Processo de operação do dispositivo de serviço P i pode ser representado como um processo de mudança dos estados de seus elementos de tempo z i(t). Transição para um novo estado para P i significa uma mudança no número de aplicativos que estão nele (no canal K i e na unidade Oi) Assim, o vetor de estados para P i parece: , Onde z i H- estado da unidade Oi (z i H= 0 - a unidade está vazia, z i H= 1 - há uma solicitação no armazenamento, ..., z i H = L i H – a unidade está completamente cheia); L i H - capacidade de armazenamento Oi, medido pelo número de aplicativos que podem caber nele; z i k - estado do canal K i(z i k = 0 – o canal é gratuito, z i k= 1 - o canal está ocupado).

Possíveis aplicações Q- esquemas. Na prática de modelagem de sistemas com relacionamentos estruturais mais complexos e algoritmos de comportamento, para formalização, não são usados ​​dispositivos de serviço separados, mas
Q- esquemas , formado pela composição de muitos dispositivos de serviço elementar P i. Se os canais K i diferentes dispositivos de serviço são conectados em paralelo, então o serviço multicanal ocorre ( multicanal Q- esquema) , e se os dispositivos P i e suas composições paralelas são conectadas em série, então há um serviço multifásico ( multifase Q- esquema) . Então, para o trabalho Q- o esquema deve usar o operador conjugado R, refletindo a interconexão de elementos de estrutura (canais e dispositivos de armazenamento) entre si.