Considere a distribuição Beta, calcule sua expectativa matemática, variância e modo. Usando a função MS EXCEL BETA.DIST (), traçaremos os gráficos da função de distribuição e densidade de probabilidade. Vamos gerar uma matriz de números aleatórios e avaliar os parâmetros de distribuição.
Distribuição betaBeta-
distribuição)
depende de 2 parâmetros: α ( alfa)> 0(determina a forma da distribuição) e b (beta)> 0(determina a escala).
Ao contrário de muitas outras distribuições contínuas, o intervalo de variação de uma variável aleatória tendo Distribuição beta, é limitado pelo segmento. Fora deste segmento densidade de distribuiçãoé igual a 0. Os limites deste segmento são definidos pelo pesquisador dependendo do problema. Se A = 0 e B = 1, então Distribuição beta chamado padrão.
Distribuição beta tem a designação Beta(Alpha Beta).
Observação: Se os parâmetros alfa e beta= 1, então Distribuição beta se transforma em, ou seja, Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Em geral função de distribuição não pode ser expresso em funções elementares, portanto é calculado por métodos numéricos, por exemplo, usando a função MS EXCEL BETA.DIST ().
Observação: Para a conveniência de escrever fórmulas no arquivo de exemplo para os parâmetros de distribuição alfa e beta apropriado.
O arquivo de exemplo também contém gráficos densidade de probabilidade e funções de distribuição com valores marcados meio, e .
Geração de número aleatório e estimativa de parâmetro
Usando função de distribuição inversa(ou valores de quantis ( p-
quantil),
ver) você pode gerar valores de uma variável aleatória tendo Distribuição beta... Para fazer isso, você precisa usar a fórmula:
BETA.OBR (RAND (); alfa; beta; A; B)
ADENDO: Porque números aleatórios são gerados usando a função RAND () e, em seguida, pressionando a tecla F9, é possível obter uma nova amostra a cada vez e, consequentemente, uma nova estimativa dos parâmetros.
A função RAND () gera de 0 a 1, que corresponde exatamente à faixa de variação da probabilidade (ver. Geração de planilha de arquivo de exemplo).
Agora, tendo uma matriz de números aleatórios gerados com os parâmetros de distribuição fornecidos alfa e beta(que haja 200), vamos estimar os parâmetros de distribuição.
Estimativa de parâmetro alfa e beta pode ser feito com método dos momentos(presume-se que os parâmetros A e B são conhecidos):
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Oleinikova S.A. - Aproximação da lei de distribuição da soma das variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a lei beta // Cibernética e programação. - 2015. - No. 6. - P. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Aproximação da lei de distribuição da soma das variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a lei beta
| Oleinikova Svetlana Alexandrovna Doutor em Ciências Técnicas Professor associado, Universidade Técnica Estadual de Voronezh 394026, Rússia, Voronezh, perspectiva Moskovsky, 14 Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Doutor em Ciência Técnica Professor Associado, Departamento de Sistemas Automatizados e Computacionais, Universidade Técnica Estadual de Voronezh 394026, Rússia, g. Voronezh, Moskovskii prospekt, 14 Data de envio do artigo ao editor: 14-12-2015
Data da revisão do artigo: 15-12-2015
Anotação. O objeto de pesquisa neste trabalho é a densidade de distribuição de uma variável aleatória, que é a soma de um número finito de valores beta, cada um dos quais é distribuído em seu próprio intervalo com seus próprios parâmetros. Essa lei é amplamente difundida na teoria da probabilidade e na estatística matemática, pois pode ser usada para descrever um número suficientemente grande de fenômenos aleatórios se os valores da variável aleatória contínua correspondente estiverem concentrados em um determinado intervalo. Visto que a soma procurada dos valores beta não pode ser expressa por nenhuma das leis conhecidas, surge o problema de estimar sua densidade de distribuição. O objetivo do trabalho é encontrar tal aproximação para a densidade de distribuição da soma dos valores beta, que difeririam no menor erro. Para atingir este objetivo, foi realizado um experimento computacional, no qual, para um determinado número de valores beta, o valor numérico da densidade de distribuição foi comparado com a aproximação da densidade desejada. Distribuições normal e beta foram usadas como aproximações. Como resultado da análise experimental, foram obtidos resultados que indicam a conveniência de aproximar a lei de distribuição procurada pela lei beta. Como uma das áreas de aplicação dos resultados obtidos, considera-se o problema da gestão de projetos com uma duração aleatória, onde o papel fundamental é desempenhado pela estimativa do tempo de execução do projeto, que, devido às especificidades da área temática, pode ser descrito usando a soma dos valores beta.
Palavras-chave:
variável aleatória, distribuição beta, densidade de distribuição, lei de distribuição normal, soma de variáveis aleatórias, experimento computacional, algoritmo recursivo, aproximação, erro, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Data da publicação: 19-01-2016
Resumo. O assunto da pesquisa neste artigo é a função de densidade de probabilidade (PDF) da variável aleatória, que é a soma de um número finito de valores beta. Essa lei é muito difundida na teoria da probabilidade e na estatística matemática, pois seu uso pode ser descrito por um número suficientemente grande de eventos aleatórios, se o valor da variável aleatória contínua correspondente estiver concentrado em um determinado intervalo. Uma vez que a soma necessária dos valores beta não pode ser expressa por nenhuma das leis conhecidas, há o problema de estimar sua distribuição de densidade. O objetivo é encontrar essa aproximação para o PDF da soma dos valores beta que teriam o menor erro. Para atingir este objetivo foi realizado um experimento computacional, no qual, para um determinado número de valores beta, foram comparados os valores numéricos da PDF com a aproximação da densidade desejada. Como aproximações foram utilizadas as distribuições normal e beta. Como conclusão da análise experimental foram obtidos os resultados, indicando a adequação da aproximação da lei desejada com o auxílio da distribuição beta. Como um dos campos de aplicação dos resultados é considerado o problema da gestão de projetos com as durações aleatórias das obras. Aqui, a questão chave é a avaliação do tempo de implementação do projeto, que, devido à área temática específica, pode ser descrito pela soma dos valores beta.
Palavras-chave: Valor aleatório, distribuição beta, função de densidade, distribuição normal, a soma de variáveis aleatórias, experimento computacional, algoritmo recursivo, aproximação, erro, PERT Introdução O problema de estimar a lei de distribuição da soma dos valores beta é considerado. Esta é uma lei universal que pode ser usada para descrever a maioria dos fenômenos aleatórios com uma lei de distribuição contínua. Em particular, na esmagadora maioria dos casos de investigação de fenômenos aleatórios que podem ser descritos por variáveis aleatórias contínuas de modo único situadas em uma certa faixa de valores, tal valor pode ser aproximado pela lei beta. A este respeito, o problema de encontrar a lei de distribuição para a soma dos valores beta não é apenas de natureza científica, mas também de certo interesse prático. Além disso, ao contrário da maioria das leis de distribuição, a lei beta não possui propriedades únicas que permitem uma descrição analítica da quantidade desejada. Além disso, a especificidade desta lei é tal que é extremamente difícil extrair uma integral definida múltipla necessária para determinar a densidade de uma soma de variáveis aleatórias, e o resultado é uma expressão bastante complicada mesmo para n = 2, e com um aumento no número de termos, a complexidade da expressão final aumenta muitas vezes. Nesse sentido, surge o problema de aproximar a densidade de distribuição da soma dos valores beta com um erro mínimo.
Este artigo apresenta uma abordagem para encontrar uma aproximação para a lei desejada por meio de um experimento computacional que permite para cada caso específico comparar o erro obtido pela estimativa da densidade de interesse usando as leis mais adequadas: normal e beta. Como resultado, concluiu-se que é aconselhável estimar a soma dos valores beta utilizando a distribuição beta. 1. Declaração do problema e suas características Em geral, a lei beta é determinada pela densidade especificada no intervalo da seguinte forma:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0 ,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
No entanto, são de interesse prático, como regra, os valores beta determinados em um intervalo arbitrário. Isso se deve principalmente ao fato de que a gama de problemas práticos neste caso é muito mais ampla e, em segundo lugar, ao se encontrar uma solução para um caso mais geral, não será possível obter um resultado para um caso particular, que será ser determinado por uma variável aleatória (1). Não apresenta dificuldade. Portanto, a seguir, consideraremos variáveis aleatórias definidas em um intervalo arbitrário. Nesse caso, o problema pode ser formulado da seguinte forma.
Consideramos o problema de estimar a lei de distribuição de uma variável aleatória, que é a soma das variáveis aleatórias `xi_ (i),` i = 1, ..., n, cada um dos quais é distribuído de acordo com a lei beta no intervalo com os parâmetros p i e q i. A densidade de distribuição dos termos individuais será determinada pela fórmula:
O problema de encontrar a lei da soma dos valores beta foi parcialmente resolvido anteriormente. Em particular, as fórmulas foram obtidas para estimar a soma de dois valores beta, cada um dos quais é determinado usando (1). Na abordagem proposta para a busca da soma de duas variáveis aleatórias com a lei de distribuição (2).
No entanto, no caso geral, o problema original não foi resolvido. Isso se deve principalmente à especificidade da fórmula (2), que não permite obter fórmulas compactas e convenientes para encontrar a densidade a partir da soma das variáveis aleatórias. Na verdade, para duas quantidades `xi_1` e` xi_2` a densidade necessária será determinada da seguinte forma:
`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)`
No caso de adicionar n variáveis aleatórias, uma integral múltipla é obtida. Ao mesmo tempo, para este problema, existem dificuldades associadas às especificidades da distribuição beta. Em particular, mesmo para n = 2, o uso da fórmula (3) leva a um resultado bastante complicado, que é definido em termos de funções hipergeométricas. Retirar a integral da densidade obtida, o que deve ser feito já em n = 3 e superior, é extremamente difícil. Ao mesmo tempo, não são excluídos os erros que inevitavelmente surgirão ao arredondar e calcular uma expressão tão complexa. Nesse sentido, torna-se necessário buscar uma aproximação para a fórmula (3), que possibilite aplicar fórmulas bem conhecidas com um erro mínimo.
2. Experiência computacional para aproximar a densidade da soma dos valores beta Para analisar as especificidades da densidade de distribuição desejada, foi realizado um experimento que permite coletar informações estatísticas sobre uma variável aleatória, que é a soma de um número predeterminado de variáveis aleatórias com uma distribuição beta com parâmetros dados. A configuração experimental foi descrita com mais detalhes em. Variando os parâmetros dos valores beta individuais, bem como o seu número, como resultado de um grande número de experimentos realizados, chegamos às seguintes conclusões.
1. Se variáveis aleatórias individuais incluídas na soma têm densidades simétricas, então o histograma da distribuição final tem uma forma próxima ao normal. Também estão próximos da lei normal de avaliação das características numéricas do valor final (expectativa matemática, variância, assimetria e curtose).
2. Se as variáveis aleatórias individuais são assimétricas (com assimetrias positivas e negativas), mas a assimetria total é 0, então do ponto de vista da representação gráfica e das características numéricas, a lei de distribuição obtida também é próxima do normal.
3. Em outros casos, a lei procurada é visualmente próxima da lei beta. Em particular, a soma de cinco variáveis aleatórias assimétricas é mostrada na Figura 1.
Figura 1 - A soma de cinco variáveis aleatórias igualmente assimétricas
Assim, com base na experiência realizada, é possível formular uma hipótese sobre uma possível aproximação da densidade da soma dos valores beta por uma distribuição normal ou beta.
Para confirmar esta hipótese e escolher a única lei de aproximação, faremos o seguinte experimento. Tendo dado o número de variáveis aleatórias com distribuição beta, bem como seus parâmetros, encontramos o valor numérico da densidade necessária e comparamos com a densidade da distribuição normal ou beta correspondente. Isso exigirá:
1) desenvolver um algoritmo que permita estimar numericamente a densidade da soma dos valores beta;
2) com os parâmetros dados e o número de valores iniciais, determinar os parâmetros da distribuição final sob o pressuposto de uma distribuição normal ou beta;
3) determinar o erro de aproximação pela distribuição normal ou distribuição beta.
Vamos considerar essas tarefas com mais detalhes. Um algoritmo numérico para encontrar a densidade da soma dos valores beta é baseado na recursão. A soma de n variáveis aleatórias arbitrárias pode ser determinada da seguinte forma:
`eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)` , (4)
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)` . (5)
Da mesma forma, você pode descrever a densidade de distribuição da variável aleatória `eta_ (n-1)`:
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)` , (6)
Continuando o raciocínio semelhante e usando a fórmula (3), obtemos:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n- 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) `
Essas considerações, bem como as especificações para determinar a densidade para quantidades com uma distribuição beta, são fornecidas com mais detalhes em.
Os parâmetros da lei de distribuição final são determinados com base no pressuposto da independência das variáveis aleatórias. Nesse caso, a expectativa matemática e a variância de sua soma serão determinadas pelas fórmulas:
`Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)`
Para a lei normal, os parâmetros a e `sigma` serão determinados diretamente pelas fórmulas (8) e (9). Para distribuição beta, você deve primeiro calcular os limites inferior e superior. Eles podem ser definidos da seguinte forma:` `
`a = soma_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (dez)
,,, b = sum_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (onze)
Aqui, a i e b i são os limites dos intervalos de termos individuais. A seguir, iremos compor um sistema de equações que inclui fórmulas para a expectativa matemática e variância do valor beta:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) :) (12) `
Aqui, `xi` é uma variável aleatória que descreve a soma necessária. Sua expectativa matemática e variância são determinadas pelas fórmulas (8) e (9); os parâmetros aeb são dados pelas fórmulas (10) e (11). Tendo resolvido o sistema (12) com respeito aos parâmetros p e q, teremos:
`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))` . (13)
`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))` . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) `
Aqui, `hatf (x)` é uma aproximação da soma dos valores beta; `f_ (eta) (x)` - lei de distribuição da soma dos valores beta.
Iremos alterar sequencialmente os parâmetros dos valores beta individuais para estimar os erros. Em particular, as seguintes questões serão de interesse:
1) a rapidez com que a soma dos valores beta converge para a distribuição normal, e é possível estimar a soma por outra lei que terá um erro mínimo em relação à verdadeira lei de distribuição da soma dos valores beta;
2) quanto o erro aumenta com o aumento da assimetria dos valores beta;
3) como o erro mudará se os intervalos de distribuição dos valores beta forem diferentes.
O esquema geral do algoritmo do experimento para cada valor individual dos valores beta pode ser representado da seguinte forma (Figura 2).
Figura 2 - Esquema geral do algoritmo do experimento
PogBeta - o erro decorrente da aproximação da lei final pela distribuição beta no intervalo;
PogNorm - o erro decorrente da aproximação da lei final por uma distribuição normal no intervalo;
ItogBeta - o valor final do erro decorrente da aproximação da distribuição final pela lei beta;
ItogNorm - o valor total do erro decorrente da aproximação da distribuição final pela lei normal. 3. Resultados experimentais Vamos analisar os resultados do experimento descrito anteriormente.
A dinâmica da diminuição dos erros com o aumento do número de termos é mostrada na Figura 3. A abscissa mostra o número de termos e a ordenada mostra a magnitude do erro. Doravante, a série "Norma" mostra a mudança no erro pela distribuição normal, a série "Beta" - a distribuição beta.
Figura 3 - Redução de erros com diminuição do número de termos
Como pode ser visto nesta figura, para dois termos, o erro de aproximação pela lei beta é cerca de 4 vezes menor do que o erro de aproximação pela lei de distribuição normal. Obviamente, à medida que os termos aumentam, o erro de aproximação pela lei normal diminui muito mais rápido do que a lei beta. Também pode ser assumido que, para um número muito grande de termos, a aproximação pela lei normal terá um erro menor do que a aproximação pela distribuição beta. Porém, levando em consideração a magnitude do erro neste caso, pode-se concluir que do ponto de vista do número de termos, a distribuição beta é preferível.
A Figura 4 mostra a dinâmica das mudanças nos erros com o aumento da assimetria das variáveis aleatórias. Sem perda de generalidade, o parâmetro p de todos os valores beta iniciais foi fixado com um valor de 2, e a dinâmica da mudança no parâmetro q + 1 é mostrada no eixo das abcissas. O eixo das ordenadas nos gráficos mostra o erro de aproximação. Os resultados da experiência com outros valores dos parâmetros são geralmente semelhantes.
Nesse caso, também é óbvio que é preferível aproximar a soma dos valores beta por uma distribuição beta.
Figura 4 - Mudança nos erros de aproximação com o aumento da assimetria de quantidades
Em seguida, analisamos a mudança nos erros ao alterar a faixa dos valores beta iniciais. A Figura 5 mostra os resultados da medição do erro para a soma de quatro valores beta, três dos quais são distribuídos no intervalo, e o intervalo do quarto aumenta sequencialmente (é plotado na abcissa).
Figura 5 - Mudança nos erros ao mudar os intervalos de distribuição de variáveis aleatórias
Com base nas ilustrações gráficas apresentadas nas Figuras 3-5, além de levar em consideração os dados obtidos com o experimento, pode-se concluir que é aconselhável utilizar a distribuição beta para aproximar a soma dos valores beta.
Conforme mostram os resultados obtidos, em 98% dos casos, o erro na aproximação do valor investigado pela lei beta será menor do que na aproximação da distribuição normal. O valor médio do erro de aproximação beta dependerá principalmente da largura dos intervalos ao longo dos quais cada termo é distribuído. Nesse caso, essa estimativa (ao contrário da lei normal) depende muito pouco da simetria das variáveis aleatórias, bem como do número de termos. 4. Aplicativos Uma das áreas de aplicação dos resultados obtidos é a gestão de projetos. Um projeto é um conjunto de trabalhos paralelos em série mutuamente dependentes com uma duração de serviço aleatória. Nesse caso, a duração do projeto será um valor aleatório. Obviamente, a avaliação da lei de distribuição desta quantidade interessa não só nas etapas de planejamento, mas também na análise de possíveis situações associadas à conclusão intempestiva de todas as obras. Considerando o fato de que o atraso do projeto pode levar a uma ampla variedade de situações desfavoráveis, incluindo multas, a estimativa da lei de distribuição de uma variável aleatória que descreve a duração do projeto parece ser uma tarefa prática de extrema importância.
Atualmente, o método PERT é usado para esta avaliação. De acordo com suas suposições, a duração do projeto é uma variável aleatória normalmente distribuída `eta` com parâmetros:
`a = soma_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)
`sigma = sqrt (sum_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))` . (17)
Aqui, k é o número de empregos no caminho crítico do projeto; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - duração dessas obras.
Vamos considerar a correção do método PERT, levando em consideração os resultados obtidos. Neste caso, assumiremos que a duração do projeto é distribuída de acordo com a lei beta com os parâmetros (13) e (14).
Vamos experimentar os resultados obtidos na prática. Considere um projeto definido pelo diagrama de rede mostrado na Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de diagrama de rede
Aqui, as arestas do gráfico indicam os trabalhos, os pesos das arestas indicam os números dos trabalhos; vértices em quadrados - eventos que significam o início ou fim do trabalho. Sejam os trabalhos dados pelas durações fornecidas na Tabela 1.
Tabela 1 - Características temporais das obras do projeto
| Trabalho não. |
min |
max |
Esteira. espera |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
Na tabela acima, min é o menor tempo em que esse trabalho pode ser concluído; max - tempo mais longo; Esteira. espera é a expectativa matemática da distribuição beta, mostrando o tempo esperado para concluir um determinado trabalho.
Simularemos o processo de execução do projeto usando um sistema de modelagem de simulação especialmente desenvolvido. Ele é descrito com mais detalhes em. Como saída, você precisa obter:
Histogramas de projeto;
Avaliação das probabilidades de execução do projeto em determinado intervalo com base nos dados estatísticos do sistema de simulação;
Estimativa de probabilidades usando distribuições normal e beta.
Durante a simulação da execução do projeto 10.000 vezes, foi obtida uma amostra da duração do serviço, cujo histograma é mostrado na Figura 7.
Figura 7 - Histograma de duração do projeto
É óbvio que a aparência do histograma mostrado na Figura 7 difere do gráfico de densidade da lei de distribuição normal.
Usaremos as fórmulas (8) e (9) para encontrar a expectativa matemática final e a variância. Nós temos:
`M eta = 27; D eta = 1,3889.
A probabilidade de acertar um determinado intervalo será calculada usando a fórmula bem conhecida:
`P (l (18)
onde `f_ (eta) (x)` é a lei de distribuição da variável aleatória `eta`, eu e r- os limites do intervalo de interesse.
Vamos calcular os parâmetros para a distribuição beta final. Para isso usamos as fórmulas (13) e (14). Nós temos:
p = 13,83; q = 4,61.
Os limites da distribuição beta são determinados pelas fórmulas (10) e (11). Terá:
Os resultados do estudo são apresentados na Tabela 2. Sem perda de generalidade, escolhamos o número de execuções do modelo igual a 10000. Na coluna "Estatísticas", calcula-se a probabilidade obtida com base nos dados estatísticos. A coluna "Normal" mostra a probabilidade calculada de acordo com a lei de distribuição normal, que agora é usada para resolver o problema. A coluna Beta contém o valor de probabilidade calculado a partir da distribuição beta.
Tabela 2 - Resultados das estimativas probabilísticas
Com base nos resultados apresentados na Tabela 2, bem como em resultados semelhantes obtidos no decorrer da modelagem do processo de realização de outros projetos, pode-se concluir que as estimativas obtidas da aproximação da soma das variáveis aleatórias (2) pelo beta A distribuição permite obter uma solução para este problema com maior precisão em comparação com as contrapartes existentes. O objetivo deste trabalho foi encontrar essa aproximação da lei de distribuição da soma dos valores beta, que diferiria no menor erro em comparação com outros análogos. Os seguintes resultados foram obtidos.
1. Experimentalmente, foi levantada a hipótese sobre a possibilidade de aproximar a soma dos valores beta usando a distribuição beta.
2. Foi desenvolvida uma ferramenta de software que permite obter o valor numérico do erro decorrente da aproximação da densidade desejada pela lei de distribuição normal e pela lei beta. Este programa é baseado em um algoritmo recursivo que permite determinar numericamente a densidade da soma dos valores beta com uma determinada densidade, que é descrita com mais detalhes em.
3. Foi montado um experimento computacional com o objetivo de determinar a melhor aproximação por meio da análise comparativa de erros em várias condições. Os resultados experimentais mostraram a viabilidade de utilizar a distribuição beta como a melhor aproximação da densidade de distribuição da soma dos valores beta.
4. É apresentado um exemplo em que os resultados obtidos são de importância prática. Essas são tarefas de gerenciamento de projetos com tempos de execução aleatórios para trabalhos individuais. Um problema importante para essas tarefas é a avaliação dos riscos associados à conclusão tardia do projeto. Os resultados obtidos permitem obter estimativas mais precisas das probabilidades desejadas e, consequentemente, reduzir a probabilidade de erros de planejamento.
Bibliografia
|
|
Você não é um escravo!
Curso educacional fechado para crianças da elite: “O verdadeiro arranjo do mundo”.
http://noslave.org
Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Distribuição beta
Densidade de probabilidade
Função de densidade de probabilidade para a distribuição Beta |
Função de distribuição
Função de distribuição cumulativa para a distribuição Beta |
| Designação
|
texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): \ Text (Be) (\ alpha, \ beta)
|
| Opções
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte matemática / README - referência de ajuste.): \ Alpha> 0
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Veja math / README para ajuda de configuração.): \ Beta> 0
|
| Operadora
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Veja math / README para ajuda de configuração.): X \ in
|
| Densidade de probabilidade
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): \ Frac (x ^ (\ alpha-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alpha, \ beta))
|
| Função de distribuição
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda de configuração.): I_x (\ alpha, \ beta)
|
| Valor esperado
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda sobre ajuste.): \ Frac (\ alpha) (\ alpha + \ beta)
|
| Mediana
|
|
| Moda
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda sobre ajuste.): \ Frac (\ alpha-1) (\ alpha + \ beta-2) para Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda sobre ajuste.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Dispersão
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): \ Frac (\ alpha \ beta) ((\ alpha + \ beta) ^ 2 (\ alpha + \ beta + 1))
|
| Coeficiente de assimetria
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): \ Frac (2 \, (\ beta- \ alpha) \ sqrt (\ alpha + \ beta + 1)) ((\ alpha + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha \ beta))
|
| Coeficiente de curtose
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): 6 \, \ frac (\ alpha ^ 3- \ alpha ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alpha \ beta ( \ beta + 2)) (\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta + 2) (\ alpha + \ beta + 3))
|
| Entropia diferencial
|
|
| Função geradora de momentos
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alpha + r) (\ alpha + \ beta + r) \ right) \ frac (t ^ k) (k
!}
|
| Função característica
|
Incapaz de analisar a expressão (Executável texvc não encontrado; Consulte math / README para obter ajuda na configuração.): () _1F_1 (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)
|
Distribuição beta na teoria da probabilidade e estatística, uma família de dois parâmetros de distribuições absolutamente contínuas. Usado para descrever variáveis aleatórias cujos valores são limitados a um intervalo finito.
Definição
|
| 90px |
Distribuições de probabilidade |
|---|
| Unidimensional |
Multidimensional |
|---|
| Discreto:
|
Bernoulli | Binomial | Geométrica | Hipergeométrica | Logarítmico | Binômio negativo | Poisson | Uniforme discreto |
Multinomial |
|---|
| Absolutamente contínuo:
|
Beta| Weibulla | Gamma | Hiperexponencial | Distribuição Gompertz | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | | | Kopula |
|---|
Um trecho caracterizando a distribuição Beta
Lágrimas brilharam em meus olhos ... E eu não tinha vergonha disso. Eu daria muito para conhecer um deles vivo! .. Principalmente Magdalena. Que magia antiga e maravilhosa queimou na alma desta mulher incrível quando ela criou seu reino mágico ?! O reino no qual o Conhecimento e a Compreensão governavam, e a espinha dorsal do qual era o Amor. Só não o amor pelo qual gritava a “santa” igreja, tendo gasto esta palavra maravilhosa a ponto de não querer mais ouvi-la, mas aquele belo e puro, real e corajoso, o único e surpreendente AMOR com quem nome os poderes nasceram ... e com cujo nome os antigos guerreiros correram para a batalha ... com cujo nome uma nova vida nasceu ... por cujo nome nosso mundo mudou e se tornou melhor ... Este amor foi levado pelos Golden Mary. E é a esta Maria que gostaria de me curvar ... Por tudo o que ela carregou, por sua VIDA pura e luminosa, por sua coragem e coragem, e por Amor.
Mas, infelizmente, era impossível fazer isso ... Ela viveu há séculos. E eu não poderia ser aquele que a conhecia. Uma tristeza incrivelmente profunda e leve de repente tomou conta da minha cabeça, e lágrimas amargas escorreram ...
- Pois és tu, meu amigo! .. Outras dores te esperam! - Sever exclamou surpreso. - Por favor acalme-se ...
Ele gentilmente tocou minha mão e gradualmente a tristeza desapareceu. Só ficou a amargura, como se eu tivesse perdido algo leve e caro ...
- Você não pode relaxar ... A guerra espera por você, Isidora.
- Diga-me, Sever, o ensino dos cátaros foi chamado de Ensino do Amor por causa da Madalena?
- Aqui você não está bem, Isidora. Os não iniciados o chamavam de Ensinamento do Amor. Para quem entendeu, carregava um significado completamente diferente. Ouça o som das palavras, Isidora: amor em francês soa - amor - não é? E agora retire esta palavra, separando a letra "a" dela ... Resultará a'mor (a "mort) - sem morte ... Este é o verdadeiro significado dos ensinamentos de Madalena - o Ensino dos Imortais ... Como já te disse - tudo com simplicidade, Isidora, nem que seja para olhar e ouvir bem ... Pois bem, e para quem não ouve - que continue a ser o Ensinamento do Amor ... é lindo também.
Eu fiquei completamente pasmo. O Ensinamento dos Imortais! .. Daariya ... Então, qual foi o ensinamento de Radomir e Madalena! .. O Norte me surpreendeu muitas vezes, mas nunca antes me senti tão chocado! .. O Ensinamento dos Cátaros me atraiu com seu poder poderoso e mágico, e eu não poderia me perdoar por não ter conversado sobre isso com o Norte antes.
- Diga-me, Sever, sobrou alguma coisa dos registros do Qatar? Algo deve ter sobrevivido, certo? Mesmo que não sejam os próprios perfeitos, pelo menos apenas discípulos? Quero dizer algo sobre sua vida real e ensino?
- Infelizmente - não, Isidora. A Inquisição destruiu tudo, em todos os lugares. Os seus vassalos, por ordem do Papa, foram até enviados a outros países para destruir todos os manuscritos, todos os restos de casca de bétula que pudessem encontrar ... Procurávamos pelo menos alguma coisa, mas não podíamos salvar nada.
- Bem, e as próprias pessoas? Não poderia haver algo sobrando para as pessoas que iriam mantê-lo através dos séculos?
- Não sei, Isidora ... Acho que mesmo que alguém tivesse algum tipo de gravação, ela foi mudando com o tempo. Afinal, é natural a pessoa remodelar tudo à sua maneira ... E principalmente sem entender. Portanto, é improvável que algo tenha sobrevivido como antes. É uma pena ... É verdade, preservamos os diários de Radomir e Madalena, mas isso foi antes da criação do katar. Embora, eu acho, o ensino não mudou.
- Desculpe, pelos meus pensamentos confusos e perguntas, Sever. Vejo que perdi muito sem vir para você. Mesmo assim, ainda estou vivo. E enquanto estou respirando, ainda posso te perguntar, não posso? Você pode me dizer como a vida de Svetodar terminou? Desculpa por interromper.
Sever sorriu sinceramente. Ele gostou da minha impaciência e da minha sede de "ter tempo" para descobrir. E ele continuou com prazer.
Após seu retorno, Svetodar viveu e ensinou na Occitânia por apenas dois anos, Isidora. Mas esses anos se tornaram os mais caros e felizes de sua vida errante. Seus dias, iluminados pelo riso alegre de Beloyar, passaram em seu amado Montségur, rodeado pelos Perfeitos, aos quais Svetodar honesta e sinceramente tentou transmitir o que o distante Andarilho lhe ensinara por muitos anos.
- Fórmula de Bernoulli.
Em si distribuição
são chamados binomial.
Os parâmetros da distribuição binomial são a probabilidade de sucesso p (q = 1 - p) e o número de tentativas, n. A distribuição binomial é útil para descrever a distribuição de eventos binomiais, como o número de homens e mulheres selecionados aleatoriamente empresas. O uso da distribuição binomial em problemas de jogos é de particular importância.
A fórmula exata para a probabilidade m de sucessos em n tentativas é escrita da seguinte forma:
onde p é a probabilidade de sucesso; q é 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - número de testes, m = 0,1 ... m
As principais características da distribuição binomial:
6. Fórmula de Poisson e distribuição de Poisson.
Seja o número de tentativas n grande, a probabilidade p pequena, e
np é pequeno. Então, a probabilidade de m sucessos em n tentativas pode ser aproximadamente determinada por Fórmula de Poisson:
.
Uma variável aleatória com uma série de distribuição m,
tem uma distribuição de Poisson. Quanto mais n, mais precisa é a fórmula de Poisson. Para cálculos aproximados, a fórmula é usada para n = 10,
0 - 2, para n = 100
0 - 3. Em cálculos de engenharia, a fórmula é aplicada quando n = 20,
0 - 3, n = 100,
0 - 7. Para cálculos precisos, a fórmula é aplicada quando n = 100,
0 - 7, n = 1000,
0
– 15.
Vamos calcular a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson.
As principais características de uma variável aleatória de Poisson:
Gráfico de distribuição de Poisson:
7. Distribuição geométrica.
Considere o esquema de Bernoulli. Vamos designar X - o número de tentativas antes do primeiro sucesso, se a probabilidade de sucesso em uma tentativa for p. Se o primeiro teste for bem-sucedido, então X = 0. Portanto,
... Se X = 1, ou seja, o primeiro teste é malsucedido e o segundo bem-sucedido, então, pelo teorema da multiplicação
... Da mesma forma, se X = n, então todos os testes até o n-ésimo teste são malsucedidos e
... Vamos compor uma série de distribuição de uma variável aleatória X
Uma variável aleatória com tal série de distribuição tem distribuição geométrica.
Vamos verificar a condição de normalização:
8. Distribuição hipergeométrica.
Esta é uma distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X tomando valores inteiros m = 0, 1,2, ..., n com probabilidades:
onde N, M e n são inteiros não negativos e M< N, n < N.
A expectativa matemática da distribuição hipergeométrica não depende de N e coincide com a expectativa matemática µ = np da distribuição binomial correspondente.
Dispersão da distribuição hipergeométrica 
não excede a variância da distribuição binomial npq. Instâncias de qualquer ordem da distribuição hipergeométrica tendem aos valores correspondentes dos momentos da distribuição binomial.
9. Distribuição beta.
A distribuição beta tem uma densidade da forma:
A distribuição beta padrão está concentrada no intervalo de 0 a 1. Aplicando transformações lineares, o valor beta pode ser transformado de forma que tome valores em qualquer intervalo.
As principais características numéricas de uma quantidade com distribuição beta:
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distribuição beta- 1,45. distribuição beta Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, que pode assumir quaisquer valores de 0 a 1, incluindo limites, e cuja densidade de distribuição a 0 £ x £ 1 e parâmetros m1> 0, m2> 0, onde Г .. ... Livro de referência de dicionário de termos de documentação normativa e técnica
distribuição beta- Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua assumindo valores em um segmento, cuja densidade é dada pela fórmula, onde, a, b> 0 e é a função gama. Observação. Seus casos especiais são muitos amplamente utilizados ... ... Dicionário de Estatística Sociológica
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