Numbrite kirjutamine binaarsüsteem arvestamine toimub ainult kahe numbri abil - 0 ja 1. Seetõttu on seda süsteemi praktikas kõige lihtsam rakendada elektroonilistes arvutites ja seadmetes. Mõelgem, kuidas teisendada arv tavaliseks kümnendkohaks kahendsüsteemiks ilma kalkulaatori ja arvutiprogrammide abita.
Terved numbrid
Kui soovite täisarvu teisendada kümnendarvust binaariks, peate selle jagama kahega ja seejärel jagama iga saadud jagatisega kahega, kuni saate ühe. Soovitud binaararv kirjutatakse numbrite jadana, mis on võrdne viimase jagatisega (üks) ja kõigi saadud jääkidega, alustades viimasest.
Siin on mõned näidised.
Peate teisendama numbri 23 binaarsüsteemiks
- 23: 2 = 11 (ülejäänud 1)
- 11: 2 = 5 (ülejäänud 1)
- 5: 2 = 2 (ülejäänud 1)
- 2: 2 = 1 (ülejäänud 0)
Selle tulemusena 23 10 = 10111 2
Peate tõlkima numbri 88 binaarseks:
- 88: 2 = 44 (ülejäänud 0)
- 44: 2 = 22 (ülejäänud 0)
- 22: 2 = 11 (ülejäänud 0)
- 11: 2 = 5 (ülejäänud 1)
- 5: 2 = 2 (ülejäänud 1)
- 2: 2 = 1 (ülejäänud 0)
Selle tulemusena 88 10 = 1011000 2
Murdarvud
Nüüd vaatame algoritmi, kuidas murdarvulisi kümnendnumbreid teisendada binaarsüsteemiks. Selleks töötame arvu täisosaga vastavalt ülalkirjeldatud protseduurile ja korrutame murdosa kahega. Saadud korrutise murdosa korrutatakse uuesti kahega ja nii edasi, kuni murdosa muutub võrdseks nulliga või kuni nõutud lähendus on saavutatud etteantud arvu kahekohalise arvuni pärast koma. Soovitud murdosa binaararv saame numbrite jadana pärast koma, mis on võrdne saadud toodete tervete osadega, alustades esimesest.
siin on mõned näidised:
Peate tõlkima numbri 5.625 binaariks:
- Vaatame kõigepealt kümnendkoha täisarvu:
- 5: 2 = 2 (ülejäänud 1)
- 2: 2 = 1 (ülejäänud 0)
- Nüüd murdosa:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
Selle tulemusena 5 10 = 101 2
Selle tulemusena 0,125 10 = 0,101 2
Selle tulemusena 5,625 10 = 101,102 2
On vaja teisendada 8.35 kahendsüsteemiks täpsusega 5 kohta pärast koma:
- Alustame kogu osaga:
- 8: 2 = 4 (ülejäänud 0)
- 4: 2 = 2 (ülejäänud 0)
- 2: 2 = 1 (ülejäänud 0)
- Arvu murdosa:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
Selle tulemusena 8 10 = 1000 2
Selle tulemusena 0,35 10 = 0,01011 2 täpsusega 5 kohta pärast koma.
Selle tulemusena 8,35 10 = 1000,01011 2 täpsusega 5 kohta pärast koma.
Sellega online kalkulaatorühest arvusüsteemist teise on võimalik üle kanda täis- ja murdarvu. Esitatakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Tõlkimiseks sisestage algne number, määrake baasinumbri aluse alus, määrake aluse alus, millesse soovite numbri tõlkida, ja klõpsake nuppu "Tõlgi". Teoreetilist osa ja numbrilisi näiteid vt allpool.
Tulemus on juba kätte saadud!
Tervete ja murdarvude teisendamine ühest arvusüsteemist teise - teooria, näited ja lahendused
On positsioonilisi ja mitte positsioneerimissüsteemid arvestamine. Araabia numbrisüsteem, mida me igapäevaelus kasutame, on positsiooniline, kuid Rooma mitte. Positsioonilistes numeratsioonisüsteemides määrab arvu asukoht unikaalselt arvu suuruse. Vaatame seda, kasutades näitena kümnendnumbrit 6372. Loetleme selle numbri paremalt vasakule, alustades nullist:
Siis saab numbri 6372 esitada järgmiselt:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Number 10 määratleb numbrisüsteemi (in sel juhul see on 10). Antud arvu positsiooni väärtused võetakse kraadidena.
Pidage tõeliseks kümnendarv 1287,923. Nummerdame selle, alustades numbri nullpositsioonist kümnendkohani vasakule ja paremale:
Siis saab numbrit 1287.923 esitada järgmiselt:
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10-3.
Üldiselt võib valemit esitada järgmiselt:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
kus Ц n on asendis täisarv n, Д -k -murdarv asendis (-k), s- numbrisüsteem.
Paar sõna arvusüsteemide kohta. Kümnendsüsteemis olev arv koosneb paljudest numbritest (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), kaheksandarvudesüsteemis - numbrid (0,1, 2,3,4,5,6,7), kahendnumbrite süsteemis - numbrite hulgast (0,1), kuueteistkümnendsüsteemis - numbrite hulgast (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kus A, B, C, D, E, F vastavad numbritele 10,11 , 12,13,14,15. Numbrid erinevaid süsteeme arvestamine.
| Tabel 1 | |||
|---|---|---|---|
| Märge | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Numbrite teisendamine ühest numbrisüsteemist teise
Numbrite teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise on kõige lihtsam teisendada number kõigepealt kümnendarvude süsteemi ja seejärel kümnendarvude süsteemist nõutavasse arvusüsteemi.
Numbrite teisendamine mis tahes arvusüsteemist kümnendarvude süsteemi
Kasutades valemit (1), saate teisendada numbrid mis tahes arvusüsteemist kümnendarvude süsteemiks.
Näide 1. Teisendage number 1011101.001 binaarsüsteemist (SS) kümnendkohaks SS. Lahendus:
1 2 6 +0 2 5 + 1 24 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 20 + 0 2-1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Näide2. Teisendage 1011101.001 kaheksasarvsüsteemist (SS) kümnendkohaks SS. Lahendus:
Näide 3 ... Teisendage number AB572.CDF kuueteistkümnendsüsteemist kümnendkoha SS -ks. Lahendus:
Siin A-asendatakse 10 -ga, B- kell 11, C- kell 12, F- 15 -ks.
Numbrite teisendamine kümnendarvude süsteemist teise numbrisüsteemi
Numbrite teisendamiseks kümnendarvude süsteemist teise numbrisüsteemi peate tõlkima eraldi arvu täisosa ja murdosa.
Täisarvuline osa teisendatakse kümnendkoha SS -st teise arvusüsteemi - jagades arvu täisosa järjestikku numbrisüsteemi alusega (binaarse SS -i puhul - 2 -ga, 8 -astmelise SS -iga - 8, 16 -rühma puhul - 16 võrra jne)), kuni saadakse terve jääk, vähem kui alus CC.
Näide 4 ... Teisendame arvu 159 kümnendkoha SS -st binaarseks SS -iks:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Nagu jooniselt fig. Nagu on näidatud joonisel 1, annab arv 159 2 -ga jagamisel jagatise 79 ja ülejäänud osa 1. Lisaks annab arv 79 2 -ga jagamisel jagatise 39 ja ülejäänud 1 jne. Selle tulemusel, kui oleme jao ülejäänud osast (paremalt vasakule) loonud numbri, saame numbri binaarses SS -is: 10011111 ... Seetõttu võime kirjutada:
159 10 =10011111 2 .
Näide 5 ... Teisendame arvu 615 kümnendkoha SS -st kaheksandiliseks SS -ks.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kui teisendate arvu kümnendkoha SS -st kaheksandiliseks SS -ks, peate arvu jagama järjestikku 8 -ga, kuni kogu jääk on väiksem kui 8. Selle tulemusel, luues numbri jao ülejäänud osadest (paremalt vasakule), saame arvu kaheksandilise SS -ga: 1147 (vt joonis 2). Seetõttu võime kirjutada:
615 10 =1147 8 .
Näide 6 ... Numbri 19673 teisendamine kümnendarvult kuueteistkümnendiks SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Nagu jooniselt 3 näha, jagades 19673 järjestikku 16 -ga, saime jäägid 4, 12, 13, 9. Kuueteistkümnendsüsteemis vastab number 12 C -le, number 13 vastab D. Seetõttu on meie kuueteistkümnendarv number on 4CD9.
Õigete kümnendmurdude (täisarv nullist täisosaga) teisendamiseks baasiks s on teil vaja antud number korrutage järjestikku s -ga, kuni murdosa saab puhta nulli või saate vajaliku arvu numbreid. Kui korrutamise käigus saadakse arv täisarvulise osaga, mis erineb nullist, siis seda täisarvu osa arvesse ei võeta (need lisatakse tulemusele järjestikku).
Vaatleme ülaltoodut näidetega.
Näide 7 ... Teisendame arvu 0,214 kümnendarvult binaarseks SS -iks.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Nagu on näha jooniselt fig 4, korrutatakse arv 0,214 järjestikku 2 -ga. Kui korrutamise tulemuseks on nullist erinev arv täisosaga, kirjutatakse täisarv eraldi (numbrist vasakule) ja number on kirjutatud null täisosaga. Kui korrutamisel saadakse täisarvulise osaga arv, kirjutatakse sellest vasakule null. Korrutusprotsess jätkub seni, kuni murdosa saab puhta nulli või saadakse vajalik arv numbreid. Kirjutades paksud numbrid (joonis 4) ülevalt alla, saame binaarses arvusüsteemis vajaliku arvu: 0. 0011011 .
Seetõttu võime kirjutada:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Näide 8 ... Teisendame kümnendarvude süsteemist arvu 0,125 binaarseks SS -ks.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Arvu 0,125 teisendamiseks kümnendkoha SS -st binaarseks korrutatakse see arv järjestikku 2 -ga. Kolmandas etapis osutus see 0. Seetõttu saadi järgmine tulemus:
0.125 10 =0.001 2 .
Näide 9 ... Teisendame arvu 0,214 kümnendarvult kuueteistkümnendiks SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Järgides näiteid 4 ja 5, saame arvud 3, 6, 12, 8, 11, 4. Kuid kuueteistkümnendsüsteemis SS vastavad numbrid 12 ja 11 numbritele C ja B. Seetõttu on meil:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Näide 10 ... Kümnendarvu 0,512 teisendamine kaheksandiks SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Sain:
0.512 10 =0.406111 8 .
Näide 11 ... Arvu 159.125 teisendamine kümnendarvult binaarseks SS -ks. Selleks tõlgime eraldi arvu täisosa (näide 4) ja arvu murdosa (näide 8). Lisaks saame neid tulemusi kombineerides:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Näide 12 ... Arvu 19673.214 teisendamine kümnendarvult kuueteistkümnendiks SS. Selleks tõlgime eraldi arvu täisosa (näide 6) ja arvu murdosa (näide 9). Lisaks saame neid tulemusi kombineerides.
1. Tavaline konto erinevates arvusüsteemides.
Kaasaegses elus kasutame positsioonilisi arvusüsteeme ehk süsteeme, milles numbriga tähistatud arv sõltub numbri asukohast arvukirjes. Seetõttu räägime järgnevalt ainult neist, jättes välja mõiste "positsiooniline".
Selleks, et õppida numbrite tõlkimist ühest süsteemist teise, mõistame, kuidas toimub numbrite järjestikune salvestamine, kasutades näiteks kümnendsüsteemi.
Kuna meil on kümnendarvude süsteem, on meil numbrite koostamiseks 10 tähemärki (numbrit). Alustame järgarvu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numbrid on läbi. Suurendame arvu numbrimahtu ja nullime kõige vähem olulise biti: 10. Seejärel suurendame taas kõige vähem olulist bitti, kuni kõik numbrid saavad otsa: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Suurendage kõige olulisemat bitti 1 võrra ja nullige kõige vähem olulist: 20. Kui kasutame mõlema numbri jaoks kõiki numbreid (saame numbri 99), suurendame jällegi arvu numbrimahtu ja lähtestame olemasolevad numbrid: 100. Ja nii edasi.
Proovime sama teha 2., 3. ja 5. süsteemis (sisestame teise süsteemi, kolmanda jne tähistuse):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Kui numbrisüsteemi baas on suurem kui 10, peame sisestama täiendavaid märke, on tavaks sisestada ladina tähestiku tähed. Näiteks 12-astmelise süsteemi jaoks vajame lisaks kümnele numbrile kahte tähte:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Teisendamine kümnendarvude süsteemist mis tahes muuks.
Täisarvulise positiivse kümnendarvu teisendamiseks erineva alusega arvusüsteemiks peate selle arvu jagama alusega. Jagage saadud jagatis uuesti alusega ja edasi, kuni jagatis on alusest väiksem. Selle tulemusena kirjutage viimane jagatis ja kõik ülejäänud osad alates viimasest ühele reale.
Näide 1. Kümnendarv 46 teisendatakse kahendarvuks.
Näide 2. Kümnendarv 672 teisendatakse kaheksandarvuks.
Näide 3. Teisendame kümnendnumbri 934 kuueteistkümnendarvuks.
3. Teisendamine mis tahes arvusüsteemist kümnendkohaks.
Selleks, et õppida, kuidas teisendada numbreid mis tahes teisest süsteemist kümnendkohani, analüüsime kümnendarvu tavalist tähistust.
Näiteks kümnendarv 325 on 5 ühikut, 2 kümmet ja 3 sada, s.t.
Täpselt sama on olukord ka teistes arvusüsteemides, ainult me korrutame mitte 10, 100 jne, vaid arvusüsteemi baasastmega. Võtame näitena kolmekordse numbri 1201. Nummerdame numbrid paremalt vasakule, alustades nullist, ja esitame oma numbri numbri korrutiste summana kolmega numbri numbri astmes:
See on meie arvu kümnendesitus, s.t.
Näide 4. Kaheksandarvu 511 teisendamine kümnendmärkideks.
Näide 5. Teisendame kuueteistkümnendarvu 1151 kümnendarvude süsteemiks.
4. Teisendamine binaarsüsteemist süsteemiks baas "power of two" (4, 8, 16 jne) abil.
Kahendarvu teisendamiseks arvuks, mille baasvõimsus on kaks, on vaja binaarjärjestus jagada rühmadesse vastavalt võimsusele paremalt vasakule ja asendada iga rühm vastava numbriga uus süsteem arvestamine.
Näiteks teisendage binaarne 1100001111010110 kaheksandiks. Selleks jagage see 3 -tähemärgilisteks rühmadeks, alustades paremalt (alates), seejärel kasutage vastavustabelit ja asendage iga rühm uue numbriga:
Õppisime, kuidas koostada vastavustabelit punktis 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Need.
Näide 6. Teisendage binaarne 1100001111010110 kuueteistkümnendarvuks.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Ülekandmine süsteemist, mille baasvõimsus on kaks (4, 8, 16 jne) binaarsesse.
See tõlge on sarnane eelmisega, mis on tehtud vastupidises suunas: me asendame iga numbri otsingutabelist binaarsüsteemi numbrite rühmaga.
Näide 7. Tõlgime kuueteistkümnendarvu C3A6 kahendsüsteemi.
Selleks asendage vastavuse tabelist iga numbri number (alates) 4 -kohalise rühmaga, lisades vajadusel rühma alguses nullidega:
