Akar integral dari x dx. Solusi integral online

Integral kompleks

Artikel ini melengkapi topik integral tak tentu, termasuk integral yang menurut saya cukup sulit. Pelajaran dibuat atas permintaan berulang pengunjung yang menyatakan keinginan mereka bahwa contoh yang lebih sulit juga dianalisis di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini sudah siap dan tahu bagaimana menerapkan teknik dasar integrasi. Orang bodoh dan orang yang tidak terlalu percaya diri tentang integral harus mengacu pada pelajaran pertama - integral tak tentu. Contoh solusi, di mana Anda dapat menguasai topik secara praktis dari awal. Siswa yang lebih berpengalaman dapat membiasakan diri dengan teknik dan metode integrasi yang belum ditemukan dalam artikel saya.

Integral apa yang akan dipertimbangkan?

Pertama, kita akan mempertimbangkan integral dengan akar, untuk solusi yang kita gunakan berturut-turut penggantian variabel dan integrasi dengan bagian... Artinya, dalam satu contoh, dua teknik digabungkan sekaligus. Dan bahkan lebih.

Kemudian kita akan berkenalan dengan yang menarik dan orisinal metode pengurangan integral itu sendiri... Tidak sedikit integral yang diselesaikan dengan cara ini.

Angka ketiga dari program ini akan menjadi integral dari pecahan kompleks, yang terbang melewati box office di artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan fungsi trigonometri akan dianalisis. Secara khusus, ada metode yang menghindari substitusi trigonometri universal yang memakan waktu.

(2) Dalam integral, kita membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Kami menggunakan properti linearitas dari integral tak tentu. Dalam integral terakhir segera kami membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

(4) Ambil integral yang tersisa. Perhatikan bahwa tanda kurung dapat digunakan dalam logaritma, bukan modulus, karena.

(5) Kami melakukan substitusi terbalik, yang dinyatakan dari substitusi langsung "te":

Siswa masokis dapat membedakan jawaban dan mendapatkan integran asli seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya melakukan pemeriksaan dalam arti yang benar =)

Seperti yang Anda lihat, dalam penyelesaian solusi, bahkan lebih dari dua metode solusi harus digunakan, oleh karena itu, untuk menangani integral semacam itu, keterampilan integrasi yang percaya diri dan bukan pengalaman terkecil diperlukan.

Dalam praktiknya, tentu saja, akar kuadrat lebih umum, berikut adalah tiga contoh untuk solusi independen:

Contoh 2

Tentukan integral tak tentu

Contoh 3

Tentukan integral tak tentu

Contoh 4

Tentukan integral tak tentu

Contoh-contoh ini memiliki jenis yang sama, jadi solusi lengkap di akhir artikel hanya untuk Contoh 2, dalam Contoh 3-4 - satu jawaban. Substitusi mana yang digunakan di awal solusi, saya pikir, sudah jelas. Mengapa saya mengambil contoh dari jenis yang sama? Mereka sering bertemu dalam peran mereka. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti .

Tetapi tidak selalu, ketika akar dari suatu fungsi linier ditemukan di bawah arctangent, sinus, cosinus, eksponen, dan fungsi lainnya, beberapa metode harus diterapkan sekaligus. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk "turun dengan mudah", yaitu, segera setelah penggantian, integral sederhana diperoleh, yang diambil secara elementer. Yang paling mudah dari tugas yang diusulkan di atas adalah Contoh 4, di mana, setelah diganti, ternyata relatif tidak integral kompleks.

Dengan mereduksi integral ke dirinya sendiri

Metode yang cerdik dan indah. Mari kita lihat genre klasik segera:

Contoh 5

Tentukan integral tak tentu

Ada binomial persegi di bawah akar, dan ketika mencoba mengintegrasikan contoh ini, ketel dapat menderita selama berjam-jam. Integral semacam itu diambil sepotong demi sepotong dan direduksi menjadi dirinya sendiri. Pada prinsipnya, tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Mari kita tunjukkan integral yang dipertimbangkan dengan huruf Latin dan mulai solusinya:

Kami mengintegrasikan sepotong demi sepotong:

(1) Siapkan fungsi integral untuk pembagian term.

(2) Kami membagi integran dengan istilah. Mungkin tidak semua orang mengerti, saya akan menulis lebih detail:

(3) Kami menggunakan properti linearitas dari integral tak tentu.

(4) Ambil integral terakhir (logaritma "panjang").

Sekarang kita melihat awal dari solusi:

Dan pada akhirnya:

Apa yang terjadi? Sebagai hasil dari manipulasi kami, integral direduksi menjadi dirinya sendiri!

Mari kita samakan awal dan akhir:

Pindah ke kiri dengan perubahan tanda:

Dan kami membawa deuce ke sisi kanan. Hasil dari:

Konstanta, sebenarnya, seharusnya ditambahkan lebih awal, tetapi menambahkannya di akhir. Saya sangat menyarankan Anda membaca apa yang ketat di sini:

Catatan: Lebih tepatnya, tahap akhir dari solusi terlihat seperti ini:

Dengan demikian:

Konstanta dapat didesain ulang sebagai. Mengapa Anda dapat menunjuk kembali? Karena masih menerima setiap nilai, dan dalam pengertian ini tidak ada perbedaan antara konstanta dan.
Hasil dari:

Trik penunjukan ulang konstan serupa banyak digunakan di persamaan diferensial... Dan di sana saya akan ketat. Dan di sini kebebasan seperti itu diizinkan oleh saya hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal yang tidak perlu dan untuk fokus pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6

Tentukan integral tak tentu

Integral tipikal lain untuk solusi independen. Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial. Perbedaannya dengan jawaban dari contoh sebelumnya adalah!

Jika ada trinomial kuadrat di bawah akar kuadrat, maka solusinya direduksi menjadi dua contoh yang dianalisis.

Sebagai contoh, perhatikan integral ... Yang perlu Anda lakukan adalah terlebih dahulu pilih kotak penuh:
.
Selanjutnya, penggantian linier dilakukan, yang ditiadakan dengan "tanpa konsekuensi apa pun":
, sehingga menjadi integral. Sesuatu yang akrab, bukan?

Atau contoh seperti itu, dengan binomial persegi:
Pilih persegi lengkap:
Dan, setelah penggantian linier, kami mendapatkan integral, yang juga diselesaikan sesuai dengan algoritma yang sudah dipertimbangkan.

Pertimbangkan dua lagi contoh tipikal untuk menerima pengurangan integral itu sendiri:
- integral dari eksponen dikalikan dengan sinus;
Apakah integral dari eksponen dikalikan dengan kosinus.

Dalam integral yang terdaftar dengan bagian, kita harus mengintegrasikan dua kali:

Contoh 7

Tentukan integral tak tentu

Integran adalah eksponen dikalikan dengan sinus.

Kami mengintegrasikan dengan bagian dua kali dan mengurangi integral itu sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi ganda oleh bagian-bagian, integral direduksi menjadi dirinya sendiri. Mari kita samakan awal dan akhir dari solusi:

Pindah ke kiri dengan perubahan tanda dan nyatakan integral kita:

Siap. Sepanjang jalan, disarankan untuk menyisir sisi kanan, mis. letakkan eksponen di luar tanda kurung, dan di dalam tanda kurung atur sinus dan kosinus dalam urutan "bagus".

Sekarang mari kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya ke integrasi per bagian:

Karena kami telah menunjuk peserta pameran. Timbul pertanyaan, tepatnya eksponen harus selalu dilambangkan dengan? Tidak perlu. Sebenarnya, dalam integral yang dipertimbangkan pada dasarnya tidak apa-apa apa yang harus ditunjukkan, adalah mungkin untuk pergi ke arah lain:

Mengapa ini mungkin? Karena eksponen berubah menjadi dirinya sendiri (baik selama diferensiasi dan integrasi), sinus dan kosinus saling berubah menjadi satu sama lain (sekali lagi, baik selama diferensiasi dan integrasi).

Artinya, Anda juga dapat menetapkan fungsi trigonometri. Tetapi, dalam contoh yang dipertimbangkan, ini kurang rasional, karena pecahan akan muncul. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini dengan cara kedua, jawabannya harus sama.

Contoh 8

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Sebelum memutuskan, pikirkan apa yang lebih menguntungkan dalam hal ini untuk menunjuk, fungsi eksponen atau trigonometri? Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial.

Dan tentu saja, perlu diingat bahwa sebagian besar jawaban dalam pelajaran ini cukup mudah untuk dibedakan!

Contoh-contoh itu dianggap bukan yang paling sulit. Dalam praktiknya, integral lebih umum, di mana konstanta dalam eksponen dan argumen fungsi trigonometri, misalnya:. Banyak orang harus tersesat dalam integral seperti itu, dan saya sendiri sering bingung. Faktanya adalah bahwa ada kemungkinan besar munculnya pecahan dalam larutan, dan sangat mudah untuk kehilangan sesuatu karena kurangnya perhatian. Selain itu, ada kemungkinan besar kesalahan dalam tanda, perhatikan bahwa eksponen memiliki tanda minus, dan ini menimbulkan kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, sering muncul sesuatu seperti berikut:

Bahkan di akhir solusi, Anda harus sangat berhati-hati dan kompeten menangani pecahan:

Integrasi pecahan majemuk

Kami perlahan-lahan semakin dekat dengan ekuator pelajaran dan mulai mempertimbangkan integral pecahan. Sekali lagi, tidak semuanya super rumit, hanya karena satu dan lain hal contohnya sedikit "di luar topik" di artikel lain.

Melanjutkan tema akar

Contoh 9

Tentukan integral tak tentu

Dalam penyebut di bawah akar adalah trinomial kuadrat ditambah di luar akar "tambahan" dalam bentuk "x". Integral semacam ini diselesaikan dengan menggunakan substitusi standar.

Kami memutuskan:

Penggantinya sederhana:

Kami melihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, kami membawa istilah di bawah akar ke penyebut yang sama.
(2) Kami mengambil dari bawah akar.
(3) Kurangi pembilang dan penyebutnya dengan. Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang persyaratan dalam urutan yang nyaman. Dengan beberapa pengalaman, langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan yang dikomentari secara lisan.
(4) Integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Integrasi beberapa pecahan, terpecahkan metode pemilihan kotak penuh... Pilih persegi lengkap.
(5) Dengan integrasi kita memperoleh logaritma "panjang" biasa.
(6) Kami melakukan penggantian terbalik. Jika awalnya, kemudian kembali:.
(7) Tindakan terakhir ditujukan pada gaya rambut hasil: di bawah akar, kami kembali membawa istilah ke penyebut yang sama dan mengeluarkannya dari bawah akar.

Contoh 10

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Di sini, sebuah konstanta telah ditambahkan ke X yang kesepian, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu dilakukan tambahan adalah mengekspresikan "x" dari pengganti:

Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial.

Terkadang dalam integral seperti itu mungkin ada binomial kuadrat di bawah root, ini tidak mengubah metode penyelesaian, itu akan lebih sederhana. Rasakan perbedaan nya:

Contoh 11

Tentukan integral tak tentu

Contoh 12

Tentukan integral tak tentu

Solusi dan jawaban singkat di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa Contoh 11 persis integral binomial, metode penyelesaian yang dipertimbangkan dalam pelajaran Integral fungsi irasional.

Integral polinomial tak terdekomposisi derajat 2 dalam derajat

(polinomial dalam penyebut)

Lebih jarang, tetapi tetap ditemukan di contoh praktis bentuk integral.

Contoh 13

Tentukan integral tak tentu

Tapi kembali ke contoh dengan nomor keberuntungan 13 (jujur, saya tidak menebak dengan benar). Integral ini juga termasuk dalam kategori yang dengannya Anda bisa sangat menyiksa diri sendiri jika Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

Solusinya dimulai dengan transformasi buatan:

Saya rasa semua orang sudah mengerti cara membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

Integral yang dihasilkan diambil sepotong demi sepotong:

Untuk integral bentuk (adalah bilangan asli), kami telah menurunkan berulang Rumus pengurangan derajat:
, di mana - integral dari derajat yang lebih rendah.

Mari kita verifikasi validitas rumus ini untuk integral yang diselesaikan.
Dalam hal ini:,, kami menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya sama.

Contoh 14

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Solusi sampel menggunakan rumus di atas dua kali berturut-turut.

Jika di bawah gelar ada yg tak dpt dibagi trinomial persegi, maka solusinya direduksi menjadi binomial dengan memilih persegi lengkap, misalnya:

Bagaimana jika ada polinomial tambahan di pembilangnya? Dalam hal ini, metode koefisien tak terdefinisi digunakan, dan integran diperluas menjadi jumlah pecahan. Tetapi dalam praktik saya tentang contoh seperti itu tidak pernah bertemu jadi aku rindu kasus ini dalam artikel Integral fungsi rasional pecahan, saya akan melewatkannya sekarang. Jika integral seperti itu masih terjadi, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Saya tidak menganggap tepat untuk memasukkan materi (bahkan yang sederhana), kemungkinan bertemu dengan yang cenderung nol.

Integrasi fungsi trigonometri kompleks

Kata sifat "sulit" untuk sebagian besar contoh sekali lagi sebagian besar bersyarat. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotangen dalam derajat tinggi. Dari sudut pandang metode yang digunakan untuk menyelesaikan garis singgung dan kotangen, mereka hampir sama, jadi saya akan berbicara lebih banyak tentang garis singgung, menyiratkan bahwa metode yang ditunjukkan untuk menyelesaikan integral juga berlaku untuk kotangen juga.

Dalam pelajaran di atas, kita melihat substitusi trigonometri universal untuk memecahkan jenis integral tertentu dari fungsi trigonometri. Kerugian dari substitusi trigonometri universal adalah ketika menggunakannya, integral yang rumit dengan perhitungan yang sulit sering muncul. Dan dalam beberapa kasus, substitusi trigonometri universal dapat dihindari!

Pertimbangkan contoh kanonik lain, integral kesatuan dibagi sinus:

Contoh 17

Tentukan integral tak tentu

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometri umum dan mendapatkan jawabannya, tetapi ada cara yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Kami menggunakan rumus trigonometri sinus sudut ganda.
(2) Kami melakukan transformasi buatan: Dalam penyebut, bagi dan kalikan dengan.
(3) Menurut rumus terkenal di penyebut, kami mengubah pecahan menjadi garis singgung.
(4) Kami membawa fungsi di bawah tanda diferensial.
(5) Ambil integralnya.

Pasangan contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 18

Tentukan integral tak tentu

Catatan: Langkah pertama adalah menggunakan formula cast dan hati-hati melakukan tindakan yang mirip dengan contoh sebelumnya.

Contoh 19

Tentukan integral tak tentu

Nah, ini adalah contoh yang sangat sederhana.

Selesaikan solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang akan memiliki masalah dengan integral:
dll.

Apa ide di balik metode tersebut? Idenya adalah untuk mengatur hanya garis singgung dan turunan dari garis singgung dalam integral menggunakan transformasi, rumus trigonometri. Artinya, kita berbicara tentang mengganti: ... Dalam Contoh 17-19, kami benar-benar menerapkan penggantian ini, tetapi integralnya sangat sederhana sehingga masalah diperlakukan dengan tindakan yang setara - membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

Penalaran serupa, seperti yang telah saya sebutkan, dapat dilakukan untuk kotangen.

Ada juga prasyarat formal untuk menerapkan penggantian di atas:

Jumlah pangkat cosinus dan sinus adalah bilangan bulat negatif GENAP, Misalnya:

untuk integral - bilangan GENAP bilangan bulat negatif.

! Catatan : jika integran HANYA berisi sinus atau HANYA cosinus, maka integral tersebut juga diambil untuk derajat ganjil negatif (kasus paling sederhana ada pada Contoh No. 17, 18).

Pertimbangkan beberapa tugas yang lebih bermakna untuk aturan ini:

Contoh 20

Tentukan integral tak tentu

Jumlah dari pangkat sinus dan kosinus: 2 - 6 = –4 adalah bilangan genap negatif, yang berarti integral dapat direduksi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Ubah penyebutnya.
(2) Menurut rumus terkenal, kita peroleh.
(3) Ubah penyebutnya.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Kami membawa fungsi di bawah tanda diferensial.
(6) Kami melakukan penggantian. Siswa yang lebih berpengalaman mungkin tidak melakukan penggantian, tetapi masih lebih baik mengganti garis singgung dengan satu huruf - risiko kebingungan lebih kecil.

Contoh 21

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself.

Tunggu, putaran juara dimulai =)

Seringkali di integrand ada "gado-gado":

Contoh 22

Tentukan integral tak tentu

Integral ini awalnya berisi garis singgung, yang segera memunculkan pemikiran yang sudah dikenal:

Transformasi buatan di awal dan sisa langkah saya akan tinggalkan tanpa komentar, karena semuanya telah dibahas di atas.

Beberapa contoh kreatif untuk solusi mandiri:

Contoh 23

Tentukan integral tak tentu

Contoh 24

Tentukan integral tak tentu

Ya, di dalamnya, tentu saja, Anda dapat menurunkan derajat sinus, kosinus, menggunakan substitusi trigonometri universal, tetapi solusinya akan jauh lebih efisien dan lebih pendek jika Anda menggambarnya melalui garis singgung. Lengkapi solusi dan jawaban di akhir pelajaran

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini datang sebagai kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap aporias Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka telah menjadi solusi yang diterima secara umum untuk pertanyaan ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari magnitudo ke. Transisi ini menyiratkan aplikasi alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan inersia berpikir, menerapkan unit konstan pengukuran waktu untuk timbal balik. Dari segi fisik, sepertinya pelebaran waktu hingga berhenti total pada saat Achilles sejajar dengan kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita membalik logika yang biasa kita gunakan, semuanya jatuh pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalannya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat mengejar kura-kura."

Bagaimana Anda bisa menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan mundur. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Selama waktu di mana Achilles akan berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang ketidakterbatasan kecepatan cahaya sangat mirip dengan Zeno aporia "Achilles and the Turtle". Kami masih harus mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Panah terbang itu tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang terletak di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto, diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi mereka tidak dapat menentukan fakta pergerakan (tentu saja, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah hal yang berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan antara set dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "tidak mungkin ada dua elemen identik dalam suatu himpunan", tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Logika absurditas seperti itu tidak akan pernah bisa dipahami oleh makhluk rasional. Ini adalah tingkat burung beo berbicara dan monyet terlatih, yang kurang cerdas dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kami.

Suatu ketika para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur yang tidak kompeten meninggal di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, seorang insinyur berbakat akan membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "chur, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak," ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Berlaku teori matematika set ke matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, memberikan gaji. Inilah seorang ahli matematika kepada kami untuk uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah untuknya dan meletakkan di atas meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan menyerahkan "kumpulan gaji matematis" kepada ahli matematika itu. Mari kita jelaskan secara matematis bahwa ia akan menerima sisa uang hanya jika ia membuktikan bahwa suatu himpunan tanpa unsur-unsur identik tidak sama dengan suatu himpunan dengan unsur-unsur yang identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berfungsi: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, Anda tidak dapat menerapkannya pada saya!" Selanjutnya, kami akan mulai meyakinkan kami bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada pecahan yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan mulai dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom di setiap koin unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana garis di mana elemen-elemen multiset berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains tidak terletak di dekat sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan nada yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita sudah mendapat multiset. Tapi jika kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita mendapatkan banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada saat yang sama. Bagaimana itu benar? Dan di sini matematikawan-dukun-schuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau tentang multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya dengan kenyataan, cukup untuk menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dipikirkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dipikirkan secara keseluruhan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah angka angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajari untuk menemukan jumlah angka dari suatu bilangan dan menggunakannya, tetapi itulah sebabnya mereka adalah dukun untuk mengajarkan keterampilan dan kebijaksanaan mereka kepada keturunan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Butuh bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan Jumlah Digit halaman Angka. Itu tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari angka apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka dan dalam bahasa matematika tugas terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun - ini adalah dasar.

Mari kita lihat apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, mari kita memiliki nomor 12345. Apa yang harus dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari angka ini? Mari kita lakukan semua langkah secara berurutan.

1. Kami menuliskan nomornya di selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka tersebut menjadi simbol grafis dari angka tersebut. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah simbol grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda perhitungan jumlah digit angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan angka besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop, kami sudah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Ini sama seperti jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda ketika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain untuk fakta bahwa. Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana sesuatu yang bukan merupakan angka yang ditunjuk dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada apa pun selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan - tidak. Realitas tidak semua tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran untuk bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka dengan unit yang berbeda pengukuran. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah perbandingan mereka, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil dari tindakan matematis tidak bergantung pada besaran angka, unit pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak pandang bulu selama kenaikan ke surga! Halo di atas dan panah mengarah ke atas. Toilet apa lagi?

Wanita ... Nimbus di atas dan panah bawah adalah pria.

Jika karya seni desain seperti ini muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika di mobil Anda, Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh:

Secara pribadi, saya berusaha pada diri saya sendiri sehingga pada orang yang buang air besar (satu gambar), saya dapat melihat minus empat derajat (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak berpikir gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip persepsi gambar grafis. Dan matematikawan terus-menerus mengajari kita hal ini. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Aplikasi

Integral online ke situs untuk konsolidasi materi yang lulus oleh siswa dan anak sekolah. Dan melatih keterampilan praktis Anda. Solusi lengkap integral online untuk Anda dalam beberapa saat akan membantu Anda menentukan semua tahapan proses .. Setiap kali, segera setelah Anda mulai menyelesaikan integral online, Anda perlu mengidentifikasi jenisnya, tanpa ini Anda tidak dapat menerapkan metode apapun, kecuali untuk tabel integral. Tidak setiap integral tabular terlihat jelas dari contoh yang diberikan; terkadang Anda perlu mengubah fungsi aslinya untuk menemukan antiturunan. Dalam praktiknya, solusi integral direduksi menjadi menafsirkan masalah menemukan yang asli, yaitu antiturunan dari keluarga fungsi yang tak terbatas, tetapi jika batas-batas integrasi diberikan, maka menurut rumus Newton-Leibniz, ada hanya satu fungsi tunggal yang perhitungannya diterapkan. Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Integral dari fungsi online adalah jumlah dari setiap angka yang dimaksudkan untuk mengintegrasikannya. Oleh karena itu, secara informal, integral online adalah area antara grafik fungsi dan absis dalam integrasi. Contoh penyelesaian masalah integral. Mari kita menghitung integral kompleks atas satu variabel dan menghubungkan jawabannya dengan solusi lebih lanjut dari masalah. Adalah mungkin, seperti yang mereka katakan, untuk menemukan integral dari integral dan langsung. Integral apa pun dengan presisi tinggi menentukan area yang dibatasi oleh garis-garis gambar. Ini adalah salah satu makna geometrisnya. Metode ini memudahkan siswa. Beberapa langkah, pada kenyataannya, tidak akan banyak berdampak pada analisis vektor. Fungsi integral online adalah konsep dasar kalkulus integral.. Solusi integral tak tentu. Menurut teorema utama analisis, integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi, yang membantu untuk memecahkan persamaan diferensial ... Ada beberapa definisi yang berbeda dari operasi integrasi, berbeda dalam rincian teknis. Namun, semuanya kompatibel, yaitu, dua metode integrasi apa pun, jika dapat diterapkan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling sederhana adalah integral Riemann - integral tertentu atau integral tak tentu. Secara informal, integral dari suatu fungsi dari satu variabel dapat dimasukkan sebagai luas di bawah grafik (gambar terlampir di antara grafik fungsi dan sumbu absis). Setiap submasalah semacam itu dapat membenarkan bahwa menghitung integral akan sangat diperlukan pada awal pendekatan penting. Jangan lupakan ini! Mencoba menemukan area ini, kita dapat mempertimbangkan gambar yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal, yang alasnya bersama-sama membentuk segmen integrasi dan diperoleh dengan membagi segmen menjadi jumlah segmen kecil yang sesuai. Solusi integral online .. Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Solusi integral online: integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Kalkulator memecahkan integral dengan deskripsi tindakan secara rinci dan gratis! Integral tak tentu online untuk suatu fungsi adalah kumpulan semua antiturunan dari fungsi yang diberikan. Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu pada suatu interval, maka ada fungsi antiturunan (atau keluarga antiturunan) untuknya. Integral hanya mendefinisikan ekspresi, kondisi yang Anda tetapkan pada saat terjadinya kebutuhan tersebut. Lebih baik mendekati masalah ini dengan hati-hati dan mengalami kepuasan batin dari pekerjaan yang dilakukan. Tetapi menghitung integral dengan cara yang berbeda dari yang klasik terkadang menghasilkan hasil yang tidak terduga dan orang tidak dapat terkejut dengan hal ini. Saya senang bahwa fakta yang akan memiliki respon positif terhadap apa yang terjadi. Daftar integral tertentu dan integral tak tentu dari integral dengan solusi langkah demi langkah yang lengkap dan terperinci. Semua integral dengan solusi terperinci online. integral tak tentu. Menemukan integral tak tentu secara online adalah tugas yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan cabang ilmu teknis lainnya. Metode dasar integrasi. Definisi integral, integral tertentu dan integral tak tentu, tabel integral, rumus Newton-Leibniz. Dan lagi, Anda dapat menemukan integral Anda menggunakan tabel ekspresi integral, tetapi Anda masih harus sampai pada ini, karena tidak semuanya sesederhana kelihatannya pada pandangan pertama. Pikirkan tentang bangunan yang sudah selesai sebelum Anda menemukan kesalahan. Integral tentu dan metode perhitungannya. Integral tentu online dengan batas atas variabel. Solusi integral online. Setiap contoh yang membantu menghitung integral menggunakan rumus tabel akan menjadi panduan tindakan yang berguna bagi siswa dari semua tingkat keahlian. Langkah paling penting menuju jawaban yang benar .. Integral online. Integral tak tentu yang memuat fungsi eksponensial dan logaritma. Solusi integral online - Anda akan menerima solusi terperinci untuk jenis yang berbeda integral: tak tentu, pasti, tak wajar. Kalkulator Integral Pasti menghitung integral tertentu secara online dari suatu fungsi pada suatu interval menggunakan integrasi numerik. Integral suatu fungsi adalah analog dari jumlah suatu barisan. Secara informal, integral tertentu adalah luas bagian grafik fungsi. Solusi integral online .. Integral online adalah integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Seringkali, integral semacam itu menentukan seberapa berat suatu benda daripada benda dengan kepadatan yang sama dibandingkan dengannya, dan tidak peduli apa bentuknya, karena permukaannya tidak menyerap air. Solusi integral online .. Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Setiap siswa junior tahu bagaimana menemukan integral secara online. Berdasarkan kurikulum sekolah, bagian matematika ini juga dipelajari, tetapi tidak secara rinci, tetapi hanya dasar-dasar dari topik yang begitu kompleks dan penting. Dalam kebanyakan kasus, siswa memulai studi integral dari teori ekstensif, yang didahului dengan topik yang juga penting, seperti turunan dan transisi limit - juga limit. Penyelesaian integral secara bertahap dimulai dengan contoh paling dasar dari fungsi sederhana, dan berakhir dengan penerapan banyak pendekatan dan aturan yang diusulkan pada abad terakhir dan bahkan lebih awal. Kalkulus integral adalah untuk tujuan informasi hanya di bacaan dan sekolah, yaitu di sekolah menengah institusi pendidikan... Situs web kami akan selalu membantu Anda dan menyelesaikan integral secara online akan menjadi rutinitas bagi Anda, dan yang terpenting, tugas yang dapat dipahami. Di pangkalan dari sumber ini Anda dapat dengan mudah mencapai keunggulan di bagian matematika ini. Memahami langkah demi langkah aturan yang dipelajari, misalnya, seperti integrasi, di bagian atau penerapan metode Chebyshev, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan tes apa pun untuk jumlah poin maksimum. Jadi, bagaimana kita dapat menghitung integral menggunakan tabel integral yang terkenal, tetapi agar solusinya benar, tepat, dan dengan jawaban eksak maksimum yang mungkin? Bagaimana mempelajari ini dan mungkinkah mahasiswa baru biasa melakukannya dalam waktu sesingkat mungkin? Kami akan menjawab pertanyaan ini dengan tegas - Anda bisa! Pada saat yang sama, Anda tidak hanya dapat menyelesaikan contoh apa pun, tetapi juga mencapai tingkat insinyur kelas atas. Rahasianya lebih sederhana dari sebelumnya - Anda perlu melakukan upaya maksimal, mencurahkan jumlah waktu yang diperlukan untuk persiapan diri. Sayangnya, belum ada yang menemukan cara lain! Tapi tidak semuanya mendung seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Jika Anda menghubungi situs layanan kami dengan pertanyaan ini, maka kami akan membuat hidup Anda lebih mudah, karena situs kami dapat menghitung integral secara online secara rinci, dengan sangat kecepatan tinggi dan jawaban yang sangat akurat. Intinya, integral tidak menentukan bagaimana rasio argumen mempengaruhi stabilitas sistem secara keseluruhan. Andai saja semuanya seimbang. Seiring dengan bagaimana Anda akan mempelajari dasar-dasar topik matematika ini, layanan ini dapat menemukan integral dari integran apa pun, jika integral ini dapat diselesaikan dalam fungsi dasar. Sebaliknya, untuk integral yang tidak diambil dalam fungsi dasar, dalam praktiknya tidak diperlukan jawaban secara analitik atau dengan kata lain dalam bentuk eksplisit. Semua perhitungan integral direduksi untuk menentukan antiturunan dari integran tertentu. Untuk melakukan ini, pertama-tama hitung integral tak tentu dari semua hukum matematika online. kemudian, jika perlu, nilai integral atas dan bawah diganti. Jika tidak diperlukan untuk menentukan atau menghitung nilai numerik dari integral tak tentu, maka konstanta ditambahkan ke fungsi antiturunan yang dihasilkan, sehingga mendefinisikan keluarga fungsi antiturunan. Tempat khusus dalam sains dan umumnya di bidang teknik apa pun, termasuk mekanika media kontinu, integrasi menggambarkan seluruh sistem mekanis, gerakannya, dan banyak lagi. Dalam banyak kasus, integral yang dikompilasi menentukan hukum gerak suatu titik material. Ini adalah alat yang sangat penting dalam studi ilmu terapan. Berdasarkan ini, orang tidak bisa tidak mengatakan tentang perhitungan skala besar untuk menentukan hukum keberadaan dan perilaku sistem mekanis. Kalkulator online untuk menyelesaikan integral di situs adalah alat yang ampuh untuk insinyur profesional. Kami pasti dapat menjamin ini kepada Anda, tetapi kami akan dapat menghitung integral Anda hanya setelah Anda memasukkan ekspresi yang benar ke dalam domain integran. Jangan takut untuk membuat kesalahan, semuanya bisa diperbaiki dalam hal ini! Biasanya, solusi integral direduksi menjadi penggunaan fungsi tabel dari buku teks atau ensiklopedia terkenal. Seperti integral tak tentu lainnya, itu akan dihitung menggunakan rumus standar tanpa terlalu banyak kritik kasar. Mudah dan alami, siswa tahun pertama memahami materi yang dipelajari dengan cepat, dan kadang-kadang dibutuhkan tidak lebih dari dua menit untuk menemukan integral bagi mereka. Dan jika seorang siswa telah mempelajari tabel integral, maka secara umum ia dapat menentukan jawaban di kepalanya. Memperluas fungsi dalam variabel sehubungan dengan permukaan awalnya berarti arah vektor yang benar di beberapa titik pada absis. Perilaku tak terduga dari garis permukaan mengambil integral tertentu sebagai dasar dalam sumber timbal balik fungsi matematika. Tepi kiri bola tidak menyentuh silinder di mana lingkaran itu tertulis, bila dilihat dari bidang datar. Jumlah area kecil yang dibagi menjadi ratusan fungsi kontinu sepotong-sepotong adalah integral online dari fungsi yang diberikan. Arti mekanis integral terletak pada banyak masalah yang diterapkan, ini adalah penentuan volume tubuh, dan perhitungan massa tubuh. Integral rangkap tiga dan ganda terlibat hanya dalam perhitungan ini. Kami bersikeras bahwa solusi integral online dilakukan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui banyak pemeriksaan .. Kami sering ditanya tentang kemajuan siswa yang tidak menghadiri kuliah, melewatkannya tanpa alasan, bagaimana mereka mengaturnya menemukan integral itu sendiri. Kami menjawab bahwa siswa adalah orang bebas dan mungkin dilatih sebagai siswa eksternal, mempersiapkan ujian atau ujian di lingkungan rumah yang nyaman. Dalam hitungan detik, layanan kami akan membantu semua orang yang ingin menghitung integral dari setiap fungsi yang diberikan sehubungan dengan variabel. Periksa hasil yang diperoleh dengan mengambil turunan dari fungsi antiturunan. Dalam hal ini, konstanta dari solusi integral menghilang. Aturan ini jelas bagi semua orang. Karena operasi multiarah dibenarkan, integral tak tentu sering direduksi menjadi membagi daerah menjadi bagian-bagian kecil. Namun, beberapa siswa dan anak sekolah mengabaikan persyaratan ini. Seperti biasa, integral online dapat diselesaikan secara rinci oleh situs layanan kami dan tidak ada batasan jumlah permintaan, semuanya gratis dan tersedia untuk semua orang. Tidak banyak situs seperti itu yang memberikan jawaban langkah demi langkah dalam hitungan detik, dan yang paling penting, dengan akurasi tinggi dan dalam bentuk yang nyaman. Pada contoh terakhir, pada halaman kelima pekerjaan rumah, ada satu yang menunjukkan perlunya menghitung integral langkah demi langkah. Tetapi jangan lupa tentang bagaimana mungkin menemukan integral menggunakan layanan yang sudah jadi, teruji waktu dan diuji pada ribuan contoh yang diselesaikan secara online. Bagaimana integral semacam itu menentukan gerak sistem secara jelas dan jelas dibuktikan oleh sifat gerak fluida kental, yang dijelaskan oleh sistem persamaan ini.

Fungsi irasional dari suatu variabel adalah fungsi yang dibentuk dari variabel dan konstanta arbitrer menggunakan sejumlah operasi penambahan, pengurangan, perkalian (meningkatkan ke bilangan bulat), pembagian dan ekstraksi akar. Fungsi irasional berbeda dari fungsi rasional karena fungsi irasional berisi operasi untuk mengekstraksi akar.

Ada tiga jenis utama fungsi irasional, integral tak tentu dari mana mereka direduksi menjadi integral fungsi rasional. Ini adalah integral yang mengandung akar derajat bilangan bulat arbitrer dari fungsi pecahan linier (akar dapat memiliki derajat yang berbeda, tetapi dari fungsi pecahan linier yang sama); integral binomial diferensial dan integral dengan akar kuadrat dari trinomial kuadrat.

Catatan penting. Akarnya ambigu!

Ketika menghitung integral yang mengandung akar, ekspresi bentuk sering ditemui, di mana adalah beberapa fungsi dari variabel integrasi. Perlu diingat bahwa. Artinya, untuk t> 0, | t | = t... di t< 0, | t | = - t. Oleh karena itu, ketika menghitung integral seperti itu, perlu untuk mempertimbangkan secara terpisah kasus t> 0 dan T< 0 ... Hal ini dapat dilakukan dengan menulis tanda-tanda atau bila perlu. Dengan asumsi bahwa tanda atas mengacu pada kasus t> 0 , dan yang lebih rendah - untuk kasus t< 0 ... Setelah transformasi lebih lanjut, tanda-tanda ini, sebagai suatu peraturan, membatalkan satu sama lain.

Pendekatan kedua juga dimungkinkan, di mana integran dan hasil integrasi dapat dianggap sebagai fungsi kompleks dari variabel kompleks. Maka Anda tidak bisa mengikuti tanda-tanda dalam ekspresi radikal. Pendekatan ini dapat diterapkan jika integran bersifat analitis, yaitu fungsi terdiferensiasi dari variabel kompleks. Dalam hal ini, baik integral maupun integralnya adalah fungsi multinilai. Oleh karena itu, setelah integrasi, ketika mensubstitusi nilai numerik, perlu untuk memilih cabang bernilai tunggal (permukaan Riemann) dari integran, dan untuk itu pilih cabang yang sesuai dari hasil integrasi.

Irasionalitas Linier Pecahan

Ini adalah integral dengan akar dari fungsi pecahan linier yang sama:
,
di mana R adalah fungsi rasional, adalah bilangan rasional, m 1, n 1, ..., m s, n s adalah bilangan bulat, , , , adalah bilangan real.
Integral tersebut direduksi menjadi integral fungsi rasional dengan substitusi:
, di mana n adalah penyebut bilangan r 1, ..., r s.

Akar mungkin tidak harus berasal dari fungsi pecahan linier, tetapi juga dari fungsi linier (γ = 0, = 1), atau pada variabel integrasi x (α = 1, = 0, = 0, = 1).

Berikut adalah contoh integral tersebut:
, .

Integral binomial diferensial

Integral binomial diferensial adalah:
,
di mana m, n, p adalah bilangan rasional, a, b adalah bilangan real.
Integral tersebut direduksi menjadi integral fungsi rasional dalam tiga kasus.

1) Jika p adalah bilangan bulat. Substitusi x = t N, di mana N adalah penyebut dari pecahan m dan n.
2) Jika - utuh. Substitusi a x n + b = t M, di mana M adalah penyebut p.
3) Jika - utuh. Substitusi a + b x - n = t M, di mana M adalah penyebut p.

Dalam kasus lain, integral seperti itu tidak dinyatakan dalam fungsi dasar.

Terkadang integral seperti itu dapat disederhanakan menggunakan rumus reduksi:
;
.

Integral yang mengandung akar kuadrat dari trinomial kuadrat

Integral tersebut berbentuk:
,
dimana R adalah fungsi rasional. Ada beberapa metode penyelesaian untuk setiap integral tersebut.
1) Dengan bantuan transformasi, pimpin ke integral yang lebih sederhana.
2) Terapkan substitusi trigonometri atau hiperbolik.
3) Terapkan substitusi Euler.

Mari kita lihat lebih dekat metode-metode ini.

1) Transformasi integran

Menerapkan rumus, dan melakukan transformasi aljabar, kami membawa integran ke bentuk:
,
di mana (x), (x) adalah fungsi rasional.

Tipe I

Bentuk integral:
,
di mana P n (x) adalah polinomial berderajat n.

Integral tersebut ditemukan dengan metode koefisien tak terdefinisi menggunakan identitas:

.
Membedakan persamaan ini dan menyamakan sisi kiri dan kanan, kita menemukan koefisien A i.

tipe II

Bentuk integral:
,
di mana P m (x) adalah polinomial berderajat m.

Substitusi t = (x - ) -1 integral ini direduksi menjadi tipe sebelumnya. Jika m n, maka seluruh bagian dari pecahan harus dipilih.

tipe III

Di sini kita melakukan substitusi:
.
Setelah itu, integralnya akan berbentuk:
.
Selanjutnya, konstanta , harus dipilih sedemikian rupa sehingga koefisien pada t dalam penyebut hilang:
B = 0, B 1 = 0.
Kemudian integral tersebut terurai menjadi jumlah integral dari dua jenis:
,
,
yang diintegrasikan dengan substitusi:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Substitusi trigonometri dan hiperbolik

Untuk integral bentuk, a > 0 ,
kami memiliki tiga substitusi utama:
;
;
;

Untuk integral, a > 0 ,
kami memiliki substitusi berikut:
;
;
;

Dan, akhirnya, untuk integral, a > 0 ,
penggantinya adalah sebagai berikut:
;
;
;

3) Substitusi Euler

Juga, integral dapat direduksi menjadi integral fungsi rasional dari salah satu dari tiga substitusi Euler:
, untuk a> 0;
, untuk c> 0;
, di mana x 1 adalah akar persamaan a x 2 + b x + c = 0. Jika persamaan ini memiliki akar real.

Integral elips

Sebagai kesimpulan, pertimbangkan integral dari bentuk:
,
di mana R adalah fungsi rasional,. Integral semacam itu disebut elips. Secara umum, mereka tidak dinyatakan dalam fungsi dasar. Namun, ada kasus ketika ada hubungan antara koefisien A, B, C, D, E di mana integral tersebut dinyatakan dalam fungsi dasar.

Di bawah ini adalah contoh yang terkait dengan polinomial balik. Perhitungan integral tersebut dilakukan dengan menggunakan substitusi:
.